Statystyka. Wykład 2. Magdalena Alama-Bućko. 27 lutego Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

Transkrypt

1 Statystyka Wykład 2 Magdalena Alama-Bućko 27 lutego 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

2 Banki danych: Bank danych lokalnych : Główny urzad statystyczny: Baza Demografia : demografia.stat.gov.pl/bazademografia/startintro.aspx Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

3 Uwaga Jeżeli próba była wybrana w sposób reprezentatywny, wyliczajac pewne statystyki liczbowe (średnie, wskaźniki itp.) dla próby (czyli pewnego podzbioru populacji generalnej), otrzymujemy pewne przybliżenia odpowiadajacych im nieznanych parametrów całej populacji generalnej. średnia z próby jest estymatorem średniej całej populacji jeżeli rzucamy "sprawiedliwa" kostka do gry, to (w dużej liczbie prób) częstotliwość wyrzucenia każdej wartości {1, 2,..., 6} wynosi 1 6. jeżeli rzucamy "sprawiedliwa" moneta, to (w dużej liczbie prób) częstotliwości wyrzucenia Orła i Reszki sa równe i wynosza 1 2. Zatem, jeżeli próba była wybrana w sposób reprezentatywny, wnioski wyciagane na podstawie próby losowej opisuja również właściwości całej populacji generalnej. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

4 Wyniki można opracowywać za pomoca : wyliczania pewnych statystyk liczbowych (średnie, odchylenia, częstości,...) sporzadzania wykresów Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

5 Wykresy Jest wiele typów wykresów kolumnowe słupkowe kołowe kolumnowo-liniowe... Poniżej przedstawimy kilka różnych wykresów dla danych (źródło: BDL) Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

6 Wykres prezentujacy podział placówek gastronomicznych w 2015 roku Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

7 Wykres prezentujacy liczbę restauracji w latach Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

8 Wykres prezentujacy liczbę poszczególnych lokali gastronomicznych w latach ( kategoria podziału : rodzaj lokalu) Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

9 Wykres prezentujacy liczbę poszczególnych lokali gastronomicznych w kolejnych latach ( w kategoria podziału : lata) Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

10 Jak widać, najczęstszym stosowanym typem wykresu jest wykres słupkowy, tzw. histogram. jest to zbiór prostokatów w przypadku danych ilościowych skokowych albo jakościowych prostokaty te sa przyległe albo rozdzielone (inwencja autora wykresu :) ) w przypadku danych ilościowych przedziałowych prostokaty sa przyległe w przypadku danych ilościowych przedziałowych podstawy prostokatów maja długość rozpiętości danej klasy wysokość każdego prostokata odpowiada liczebności danej kategorii ( n i ) albo częstości danej kategorii ( n i n ), n n = n i = n 1 + n n k. suma wag wynosi 1 i=1 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

11 Analiza struktury zbiorowości miary położenia ( miary średnie) miary zmienności miary asymetrii miary koncentracji. Miary średnie (zwane też miarami położenia lub przeciętnymi) służa do określania tej wartości zmiennej opisanej przez rozkład, wokół której skupiaja się wszystkie pozostałe wartości zmiennej. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

12 Miary średnie dziela się na: a) średnie klasyczne: średnia arytmetyczna; średnia harmoniczna; średnia geometryczna; b) średnie pozycyjne: dominanta (modalna, wartość najczęstsza); kwantyle: kwartyle (dziela zbiorowość na cztery części); decyle (dziela zbiorowość na dziesięć części); percentyle (dziela zbiorowość na sto części). Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

13 Miary klasyczne Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

14 Wprowadzamy pewne pomocnicze zapisy operator "Sigma " oznacza sumę wyrażeń n f (i) i=1 f (1) + f (2) f (n 1) + f (n), tzn. podstawiamy kolejno w funkcji f (i) w miejscu i wartości od 1 do n, a następnie wartości te sumujemy. 3 i = = 6 i=1 3 i 2 = = 14 i=1 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

15 operator produktowy oznacza iloczyn wyrażeń n f (i) i=1 f (1) f (2)... f (n 1) f (n), tzn. podstawiamy kolejno w funkcji f (i) w miejscu i wartości od 1 do n, a następnie mnożymy otrzymane wartości. 3 i = = 3! = 6 i=1 3 i=1 1 i 2 = = 1 36 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

16 Średnia arytmetyczna Średnia arytmetyczna n obserwacji to suma wszystkich obserwacji podzielona przez liczbę obserwacji, czyli x = x 1 + x x n n = 1 n Szereg rozdzielczy punktowy (próba zapisana jest w postaci tabeli z wartościami zmiennej x j i jej licznościami n j, j = 1, 2,..., k ) x = x 1 n 1 + x 2 n x k n k n n i=1 x i = 1 n k n i x i Szereg rozdzielczy przedziałowy (próba zapisana jest w postaci tabeli z przedziałami (x j, x j+1 ] i jej licznościami n j, j = 1, 2,..., k ) x = ˆx 1 n 1 + ˆx 2 n ˆx k n k n = 1 n i=1 k n i ˆx i i=1 gdzie ˆx j jest środkiem j- tego przedziału, czyli (x j, x j+1 ]. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

17 Przykłady (1, 1, 1, 2, 2, 3, 5) szereg rozdzielczy punktowy x = = 15 7 x j n j x j n j n = 7 15 x = = 15 7 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

18 szereg rozdzielczy przedziałowy przedział n j ˆx j ˆx j n j [4.12, 4.55] (4.55, 4.98] (4.98, 5.41] (5.41, 5.84] (5.84, 6.27] (6.27, 6.7] (6.7, 7.13] (7.13, 7.56] n = x = i=1 n i ˆx i = = Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

19 Uwagi wartość średniej arytmetycznej jest pewna wartościa abstrakcyjna i nie musi się ona znajdować w zbiorze wartości danej cechy. np. średnia liczba rodzeństwa może wynieść 2,35 średnia arytmetyczna wyliczona na podstawie szeregu rozdzielczego przedziałowego będzie się na ogół różniła od średniej wyliczonej na podstawie szeregu punktowego średnia arytmetyczna jest wrażliwa na wartości skrajne np. średnia płac : 3000, 3000, 5000, wynosi 7000 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

20 Średnia geometryczna - wykorzystywana przy badaniu średniego tempa zmian zjawisk w czasie. x G = n x 1 x 2... x n = n n Szereg rozdzielczy punktowy (próba zapisana jest w postaci tabeli z wartościami zmiennej x j i jej licznościami n j, j = 1, 2,..., k ) Ex. x = {1, 2, 3, 4} x G = x n n 1 1 x n x n k k i=1 = n x G = = 4 24 x j n j=1 x n j j Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

21 Magdalena gdziealama-bućko ˆx jest środkiem j- tego Statystyka przedziału, czyli (x, x 27 lutego ] / 39 Średnia harmoniczna - wykorzystywana gdy wartości zmiennej podane sa w jednostkach względnych (km/h, kg/osobę). x H = Szereg rozdzielczy punktowy n 1 x x = n. n x n 1 x j j=1 n x H = n 1 x 1 + n 2 x n = n k x k k n j. j=1 x j Szereg rozdzielczy przedziałowy n x H = n 1 + n n = n. k ˆx 1 ˆx 2 ˆx k k n j ˆx j j=1

22 Przykład x = {1, 2, 3, 4} 4 x H = =? 4 Przykład szereg rozdzielczy punktowy x j n j 1 x j 1 x j n j n = x H = =? Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

23 Uwagi Średnia arytmetyczna jest miara prawidłowa dla zbiorowości w których rozkład cechy jest jednomodalny, symetryczny lub o niewielkiej asymetrii. (wyjaśnimy te pojęcia później) Jeśli tak nie jest, to dla scharakteryzowania średniego poziomu zjawiska należy wykorzystać średnie pozycyjne. Dla konkretnej cechy tylko jedna średnia klasyczna jest odpowiednia. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

24 Miary pozycyjne Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

25 Dominanta (moda, modalna, wartość najczęstsza) to taka wartość cechy, która w danej próbie występuje najczęściej. dominantę można wyznaczyć tylko w rozkładach jednomodalnych dominanta może nie istnieć W szeregach szczegółowych i rozdzielczych punktowych dominanta jest wartościa cechy, której odpowiada największa liczebność. W szeregach rozdzielczych przedziałowych możemy tylko wyznaczyć przedział, w którym znajduje się dominanta. Jest to przedział z największa liczebnościa. Wartość Dominanty można wtedy wyznaczyć stosujac specjalny wzór (->patrz następny slajd) Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

26 gdzie n D n D 1 D = x D + (n D n D 1 ) + (n D n D+1 ) i D x D - dolna granica przedziału, w którym występuje dominanta n D - liczebność przedziału zawierajacego dominantę n D 1 - liczebność przedziału poprzedzajacego przedział z dominanta n D+1 - liczebność przedziału następujacego po przedziale z dominanta i D - rozpiętość przedziału z dominanta Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

27 Przykłady (1, 1, 1, 2, 2, 3, 5) D = 1 bo występuje najczęściej (3 razy ) szereg rozdzielczy punktowy x j n j D = 1 bo n 1 = 3. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

28 inny szereg rozdzielczy punktowy x j n j Dominanta nie istnieje, bo nie ma jednej wartości x i, która występowałaby najczęściej. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

29 szereg rozdzielczy przedziałowy przedział n j [4.12, 4.55] 6 (4.55, 4.98] 6 (4.98, 5.41] 9 (5.41, 5.84] 13 (5.84, 6.27] 11 (6.27, 6.7] 9 (6.7, 7.13] 7 (7.13, 7.56] 8 n =69 x D = 5.41, n D = 13, n D 1 = 9, n D+1 = 11, i D = 0.43 D = x D + D = n D n D 1 (n D n D 1 ) + (n D n D+1 ) i D =... (13 9) + (13 11) Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

30 Kwantyle rzędu p (0 < p < 1)- to ta wartość cechy, która dzieli uporzadkowan a próbę w pewnej określonej proporcji: wartość mniejsza badź równa kwantylowi rzędu p ma 100p% obserwacji wartość większa badź równa kwantylowi rzędu p ma 100(1 p)% obserwacji Szeregi, z których wyznacza się kwantyle musza być uporzadkowane rosnaco względem danych wartości cechy. Gdy wartości cechy się powtarzaja, po ich uporzadkowaniu otrzymujemy ciag niemalejacy. kwartyle, decyle, centyle,... Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

31 kwartyle - podział próby na ćwiartki, czyli p = 1 4, p = 2 4, p = 3 4. Wyróżniamy tzw. kwartyl pierwszy (gdy p = 1 4 ), kwartyl drugi (gdy p = 2 4 = 1 2 )- zwany również median a, oraz kwartyl trzeci (gdy p = 3 4 ). Q 1 - kwartyl pierwszy, spełnia tę własność że 25% jednostek ma wartość mniejsza badź równa od Q 1, a 75% jednostek ma wartość większa badź równa od Q 1. Q 2 = Me kwartyl drugi=mediana, spełnia tę własność że 50% jednostek ma wartość mniejsza badź równa od Me, a 50% jednostek ma wartość większa badź równa od Me. Q 3 - kwartyl trzeci, spełnia tę własność że 75% jednostek ma wartość mniejsza badź równa od Q 3, a 25% jednostek ma wartość większa badź równa od Q 3. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

32 Mediana Zatem jeżeli mamy nieparzysta próbę (tzn. n - nieparzyste), to Me to wartość środkowa w uporzadkowanej próbie, czyli obserwacja o numerze n+1 2. jeżeli mamy parzysta próbę (tzn. n - parzyste), to Me to średnia arytmetyczna dwóch "środkowych" wartości obserwacji w uporzadkowanej próbie, czyli obserwacji o numerach n 2 i n Me = { x( n+1 2 ), n nieparzyste 1 2 (x ( n 2 ) + x ( n 2 +1) ), n parzyste Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

33 W przypadku szeregu rozdzielczego punktowego pomocniczo sumujemy liczbę obserwacji w każdym kolejnym wierszu, a następnie znajdujemy tę wartość cechy x j, w której w kolumnie ze skumulowanymi licznościami znajduje się odpowiednia wartość (czyli n 2, n+1 2, n 2 + 1). x j n j n sk x 1 n 1 n 1 x 2 n 2 n 1 +n x N n N n 1 +n n k =n w praktyce aby ustalić numer klasy z mediana obliczamy n+1 2 : jeśli całkowita to obserwacji o tym numerze szukamy, jeśli nie jest całkowita bierzemy średnia arytmetyczna obserwacji o numerze mniejszym i większym. dla Q 1 i Q 3 obliczamy n + 1 i 4 i postępujemy jak przy medianie. 3(n + 1) 4 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

34 Przykład szereg rozdzielczy punktowy - Me x j n j n sk = = = 7 = n n = 7 n = 7, wyliczamy n+1 2 = 4, zatem szukamy czwartej obserwacji. ponieważ 3 4 5, to Me należy do drugiej klasy, czyli ma wartość 2. zatem 50% jednostek ma wartości nie większe niż 2 i 50% jednostek ma wartości nie mniejsze niż 2. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

35 Przykład szereg rozdzielczy punktowy - Q 1 i Q 3 x j n j n sk = = = 7 = n n = 7 ponieważ n = 7, poszukujemy wartości o numerze n+1 4 = 2 obserwacji. Druga obserwacja znajduje się w pierwszej klasie, czyli Q 1 = 1. zatem 25% jednostek ma wartości nie większe niż 1 i 75% jednostek ma wartości nie mniejsze niż 1. Q 3 : n = 7, 3(n+1) 4 = 6. Szósta obserwacja znajduje się w trzeciej klasie, czyli Q 3 = 3. Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

36 Szeregi rozdzielcze przedziałowe Po ustaleniu przedziału, w którym znajduje się j-ty kwartyl znajdujemy "dokładna" wartość według wzoru (j=1,2,3): Q j = x Qj + k 1 j 4 n gdzie n - liczebność próby x Qj - dolna granica przedziału, w którym znajduje się j-ty kwartyl n Qj - liczebność przedziału zawierajacego j-ty kwartyl suma liczebności wszystkich przedziałów poprzedzajacych przedział z j-tym kwartylem to i Qj n Qj i=1 n i i Qj k 1 n j = n 1 + n n Qj 1 j=1 - rozpiętość przedziału z j- tym kwartylem Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

37 Inne stosowane kwantyle: (wyznaczane analogicznie jak kwartyle) decyle - podział próby na części dziesiate, czyli k, k = 1, 2, 3,..., 9 10 centyle - podział próby na części setne, czyli Zależności między kwantylami k, k = 1, 2, 3,..., mediana = kwartyl drugi = decyl piaty = centyl pięćdziesiaty kwartyl pierwszy = 25 centyl kwartyl trzeci = 75 centyl decyl drugi = centyl dwudziesty... Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

38 W przypadku rozkładów umiarkowanie niesymetrycznych ( wyjaśnienie później ) między średnia arytmetyczna, dominanta i mediana zachodzi zwiazek: x D 3(x Me). Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

39 Dziękuję za uwagę! Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39