3 Korzystaja c ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: a) n ( n n k) ; b) 4 W rozwinie ciu dwumianowym: ( 4 a) ) 1, 3 2 obliczyć wartości wyrazów będa cych liczbami ca lkowitymi, ( ) b) 3 13, 5 + 1 4 3 obliczyć wartości wyrazów będa cych liczbami wymiernymi, c) ( a 3 1 a 2 ) 15 wyznaczyć wspó lczynnik stoja cy przy a 5 5 Dla krzywej 3x 2 y 2 12x 2y 37 = 0 wyznaczyć wierzcho lki oraz ogniska k=0 k=0 ( n ) k ( 1) k 6 a) Elipsa w po lożeniu osiowym przechodzi przez punkt A(1, 1 ) Wyznaczyć równanie prostej stycznej 3 do tej elipsy przechodza cej przez A, jeżeli punkty W 1 ( 1, 1), W 2 (5, 1), sa wierzcho lkami tej elipsy b) Wyznaczyć równanie hiperboli jeżeli punkt F ( 4, 3) jest jej ogniskiem, punkt W (5, 3) jest wierzchołkiem, zaś proste L 1 : 3x 4y + 9 = 0, L 2 : 3x + 4y 15 = 0 sa asymptotami tej hiperboli, c) napisać równanie paraboli, której kierownica jest prosta y = 3, a punkt W ( 1, 5) wierzcho lkiem 7 Jakie to krzywe: a) x 2 y 2 9 = 0, b) x 2 4xy + y 2 16 = 0, c) x 2 + y 2 = 2xy C Liczby zespolone Do samodzielnego przerobienia przed ćwiczeniami 1 (a) Wykonać dzia lania: ( 02 1 2 i) ( 1 2 05i), 4 + 3i 1 + 2i, 1 2i cos π 3 + i (b) Obliczyć stosuja c wzory skróconego mnożenia: ( 3 4i)( 3 + 4i), (100 25i) 2 (100 + 25i) 2, ( 1 i) 3 (c) Naste puja ce liczby zespolone przedstawić w postaci algebraicznej: i(2 + 5i) 2i(3 i), (3 i) 3, (1 + i + i 2 + i 3 ) 2010 (d) Dla z = a + bi, wyznaczyć cze ść rzeczywista i urojona naste puja cych liczb zespolonych: z (1 + 2i), z 1 + 2i, 2iz 1, z 2, 1 z 2 W uk ladzie Oxy zaznaczyć dane liczby zespolone Dla każdej z nich wyznaczyć wartość bezwzgle dna i argument g lówny: 3 + i, 3 i 3, ei, ( π + iπ) 2, 3+i 1 i 3 Rozwia zać równanie z 2 + 4z + 5 = 0 Liczby zespolone Na ćwiczenia 1 Rozwia zać równanie: 2(z + i) + (1 + i)(1 + z) = 11 + 3i 2 W uk ladzie Oxy zaznaczyć zbiory liczb zespolonych spe lniaja cych warunki: i) Im 1 z 1+z = 1, ii) z = 5, iii) z + 3 2i = 4, iv) 3 3iz 6 10 ( 3+i ) 8, 3 Obliczyć 1 i Wynik przedstawić w postaci algebraicznej 4 4 Zgadna ć jeden obliczyć pozosta le: (1 + i 3) 16 5 Korzystaja c z pierwiastków stopnia trzeciego z 1 rozwia zać równanie: z 2 z 5 = 1024 + 1024i 6 Stosuja c postać trygonometryczna lub wyk ladnicza rozwia zać równanie z 4 = 50iz 2 C 7 Wyznaczyć pierwiastki kwadratowe liczby 1+i 3: a) z definicji, b) stosuja c postać trygonometryczna, c) ze wzoru z = ± z + z z z + z 8 Wykorzystuja c umieje tność obliczania pierwiastków kwadratowych rozwia zać iz 2 +(1 4i)z 3+3i = 0 C+ Liczby zespolone Do samodzielnego przerobienia po ćwiczeniach 1 Znaleźć liczbe z spe lniaja ca równanie: 2z + 9 = 4i z 2 W uk ladzie Oxy zaznaczyć zbiory liczb zespolonych spe lniaja cych warunki: i) Re(iz + 2) 0, ii) z i = z + i 3 Obliczyć wartości naste puja cych wyrażeń: i) ( 3 i 3) 18, ii) ( 3 + i 3) 8 Wyniki przedstawić w postaci algebraicznej
4 W uk ladzie Oxy zaznaczyć zbiory liczb zespolonych spe lniaja cych warunki: i) π arg(iz) < 2π, ii) π 3 <arg( z) π 2 iii) 1 z + 2i < 10, π 4 argz 5 4 π 5 Korzystaja c ze wzoru de Moivre a wyraźić sin 3x przez pote gi sin x 6 Korzystaja c ze wzoru Eulera wyraźić cos 4 x przez funkcje trygonometryczne ka ta wielokrotnego 7 Korzystaja c z postaci trygonometrycznej lub wyk ladniczej liczb zespolonych wyprowadzić wzór na: (a) sin(α + β), (b) sin(α β), (c) cos(α + β), (d) cos(α β), (e) sin α 2, (f) cos α 2 8 Wykonuja c dzia lania na odpowiednich liczbach zespolonych wyznaczyć: (i) sin 15 o, (ii) sin 105 o, (iii) cos 165 o 9 Zgadna ć jeden obliczyć pozosta le: a) (1 3i) 4, b) 3 ( 2 + 3i) 9 10 Korzystaja c ze znajomości pierwiastków trzeciego oraz czwartego stopnia z 1 rozwia zać równania: a) z z 4 = 32, b) ( 1 z) 4 = (z + i) 4, c) (2z + 1) 4 = (z + i) 4 11 Stosuja c postać trygonometryczna lub wyk ladnicza rozwia zać równania: a) z 7 = 16z, b) z 3 = z 2 z, c) z 2 z 4 = 81 z 2 12 Wykorzystuja c umieje tność obliczania pierwiastków kwadratowych rozwia zać z 4 + 2z 2 + 9 = 0 D Wielomiany i funkcje wymierne Do samodzielnego przerobienia przed ćwiczeniami 1 Bez wykonywania dzielenia odpowiedzieć na pytania które z dwumianów x 1, x i,x + 1, x + i dziela poniższe wielomiany: A(x) = x 2010 1, B(x) = x 2011 1, C(x) = x 2011 + 1, D(x) = x 2010 + 1 2 Dla wielomianu L(x) = x 4 5x 3 + 7x 2 5x + 6 obliczyć L(i) 3 Wyznaczyć pierwiastki ca lkowite wielomianu A(x) = x 3 + 4x 2 + x 6 4 Napisać przyk lad rzeczywistego trójmianu kwadratowego którego pierwiastkiem jest z = 1 2i 5 Zaprojektować rozk lad funkcji wymiernej na sume u lamków prostych rzeczywistych - nie wyznaczać wspó lczynników tego przedstawienia: A(x) = 4x3 x 4 + 4, B(x) = x 8 + 2x 4 + 5 (x 2 + 1) 3 (x 2 1) 2 (x + 1) 2 Wielomiany i funkcje wymierne Na ćwiczenia 1 Bez wykonywania dzielenia wyznaczyć reszte z dzielenia L(x) = x 4 + 2 4 przez M(x) = x + 2i 2 Wielomian w(x) = 3x 4 + x 3 + 3x 2 29x 10 przedstawić jako iloczyn czynników liniowych 3 Wielomian L(x) = x 5 2x 2 x + 2 przedstawić w postaci iloczynowej rzeczywistej 4 Dla wielomianu L(x) = x 4 5x 3 + 7x 2 5x + 6 obliczyć L(i) a następnie znaleźć pierwiastki 5 Znaja c jeden z pierwiastków wielomianu L, znaleźć pozosta le: L(x) = x 5 8x 4 + 22x 3 18x 2 19x + 30, x 1 = 2 i 6 Podać przyk lad wielomianu rzeczywistego najniższego stopnia, dla którego liczby: 2 + 3i, 2 sa pierwiastkami pojedyńczymi, zaś liczba 2i jest pierwiastkiem potrójnym 7 Wyznaczyć rozk lad funkcji wymiernej na sume u lamków prostych rzeczywistych: F (x) = 3x2 2x 26 x 3 x 2 + x 6 ; G(x) = 3x2 2x 63 x 3 7x 6 ; H(x) = 3x2 2x 62 x 3 3x 2 Wielomiany i funkcje wymierne Do samodzielnego przerobienia po ćwiczeniach 1 Bez wykonywania dzielenia wyznaczyć reszte z dzielenia wielomianu L przez wielomian M: a) L(x) = x 5 + x 2 + x + 1, M(x) = x 2 1; b) L(x) = x 7 x 5 + x 4 + x 3 + x + 3, M(x) = x 3 x; c) L(x) = 2x 5 + 3x 4 + 2x 3 + 3x 2 + 3x + 2, M(x) = x 2 + 1; d) L(x) = x 100 + 2x 40 x + 1, M(x) = x 3 + x 2 + x + 1 D D+ 2 Reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez dwumian x + 2 jest równa 3, a reszta z dzielenia tego samego wielomianu przez dwumian x 3 jest równa -2 Wyznaczyć reszte z dzielenia w(x) przez (x + 2)(x 3) 3 Poniższe wielomiany przedstawić jako iloczyn czynników liniowych: a(x) = x 3 3x 2; b(x) = x 4 + 5x 3 + 9x 2 + 8x + 4 4 Poniższe wielomiany przedstawić w postaci iloczynowej rzeczywistej:
a) L(x) = x 5 2x 4 + 3x 3 4x 2 + 6x 4, b) L(x) = x 6 1, c) L(x) = x 4 256, d) L(x) = x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1, e) L(x) = x 4 + 8, f) L(x) = x 4 + 3 4 5 Znaja c jeden z pierwiastków wielomianu L, znaleźć pozosta le: a) L(x) = x 4 5x 3 + 10x 2 10x + 4, x 1 = 1 i; b) L(x) = x 5 x 4 + 4x 3 + 4x 2 + 3x + 5, x 1 = 1 + 2i 6 Podać przyk lady wielomianów rzeczywistych najniższego stopnia, dla których liczby: a) 3 i, 2i sa pierwiastkami pojedyńczymi, zaś liczba 2 jest pierwiastkiem potrójnym; b) 1 i, 2 + i sa pierwiastkami pojedyńczymi, zaś liczba 3 jest pierwiastkiem podwójnym 7 Podać przyk lad wielomianu rzeczywistego W (x) możliwie najniższego stopnia który jest podzielny bez reszty prez wielomian U(x) = (x i)(x 1 + i) 8 Funkcje wymierna przedstaw jako sume wielomianu i u lamków prostych: E Wektory, macierze Do samodzielnego przerobienia przed ćwiczeniami x 3 + 8 x 2 x 2 1 Niech v = (2, 0, 5, 4); u = ( 2, 3, 1, 1) be da wektorami z przestrzeni R 4 Wyznaczyć wektory x oraz y, jeżeli: a) x = v 2 u; b) 2 v + y = u 2 y 2 Napisać kombinacje liniowe podanych wektorów ze wskazanymi wspó lczynnikami: a) v 1 = (0, 2), v 2 = ( 1, 3),α 1 = 2, α 2 = 8, gdzie V = R 2 ; b) v 1 = (1, 2, 1), v 2 = (2, 1, 1), v 3 = (4, 5, 1), α 1 = 1, α 2 = 2,α 3 = 1, V = R 3 ; c) v 1 = (1, 2, 1), v 2 = (2, 1, 1), v 3 = (4, 5, 1), α 1 = 5, α 2 = 1,α 3 = 2, V = R 3 ; a naste pnie policzyć ich wartość 3 a) Zbadać których iloczynów nie da sie obliczyć: A = [ 2 3 2 1, [ [ [ 1 5 3 0 6 0 2 1 2 B =, C =, D =, 4 6 1 2 5 1 1 4 3 [ 6 0 1 2 3 E =, F = 2 5, G = 4 5 6, H = [ 6, 1, 1, 5 T 4 1 1 1 7 8 9 b) określić rozmiar AH, BH, DE, ED, c) obliczyć DE oraz ED 4 Rozwia zać równanie Y (A T A ) 1 1 = A, gdzie A = 1 0 1 1 5 Obliczyć wyznaczniki 4 1, 1 2 3 0 1 4 5 6 7 8 9, 1 1 0 0 0 2 2 0 0 1 2 0 6 Dla jakiej wartości parametru p wyznacznik macierzy A ma wartość dodatnia? 0 1 0 0 A = 1 2 p 3 2 3 0 1 1 4 1 0 [ 1 2 7 Wyznaczyć A 1 jeżeli A = 3 4 Macierze Na ćwiczenia [ 1 A przedstawić jako sume macierzy symetrycznej i macierzy antysymetrycznej A = E 4 1 2 Obliczyć kilka pocza tkowych pote [ g macierzy A, zgadna ć wzór ogólny na A n, uzasadnić indukcyjnie a 0 1 naste pnie obliczyć A 2009 : A = 1 0 [ [ 3 Rozwia zać równanie X = X 1 0 1 0
4 Napisać rozwinie cie Laplace a wyznacznika 2 3 2 1 1 5 3 0 4 6 1 2 0 1 4 0 a) wzgle dem drugiej kolumny, b) wzgle dem czwartego wiersza 5 Obliczyć wyznaczniki rowijaja c je wzgle dem wierszy lub kolumn z możliwie najwie ksza ilościa zer 7 0 9 0 3 2 1 0 0 0 6 5 3 4 8 3 2 1 0 0 a) 4 0 0 0 0, b) 0 3 2 1 0 1 0 4 0 1 0 0 3 2 1 1 5 3 7 1 0 0 0 3 2 2 3 2 1 6 Obliczyć wykonuja c operacje elementarne a) 1 5 3 0 4 6 1 2, 0 1 4 0 1 1 1 1 3 1 4 2 1 0 3 0 2 4 1 3 2 9 6 2 3 5 b) 0 1 1 1 2, c) 1 2 1 1 5 5 0 1 3 5 1 2 7 1 3 4 5 2 3 4 9 9 1 5 1 3 6 4 2 4 9 3 9 2 7 Rozwia zać równanie wykorzystuja c operacje odwracania macierzy [ [ [ [ 2 1 3 2 0 1 1 2 a) X =, b) X 2 7 9 [ 2 1 3 2 0 2 = 5 3 2 1 1 3 3 5 4 4 0 1 1 1 1 3 1 8 Zbadać dla jakich p R istnieje macierz odwrotna do A(p) = 2 1 p 1 p 3 Dla p = 0 wyznaczyć ostatnia kolumne macierzy odwrotnej Macierze Uzupełnienie listy E do samodzielnego przerobienia po ćwiczeniach 1 A przedstawić jako sume macierzy symetrycznej i macierzy antysymetrycznej: 1 2 3 A = 4 5 6 7 8 9 2 Obliczyć A 2009 : a) A = [ 3 0 0 1 [ 3 Rozwia zać równanie a) X 1 0, c) A = [ = E+ 1 0 0 0 4 0 0 0 5 1 0 X, [ cos α sin α, d) A = sin α cos α 4 Wyznaczyć macierz dolnotrójka tna L z dodatnimi elementami na g lownej przeka tnej dla której LL T = 2 5 3 1 2 1 1 3 6 F Uk lady równań Do samodzielnego przerobienia przed ćwiczeniami 1 Rozwia zać uk lad równań: { { 4x + y = 3 x + iy = 2 a) x 4y = 5, b) ix + 2y = i, c) 2 Wyznaczyc niewiadoma x z układu równan: x + y z = 3 x 4y = 2 2x + y + z = 1
3x + y + z + t = 0 3x + 3y + z + t = 0 3x + 3y + 3z + t = 0 3x + 3y + 3z + 3t = 6 Uk lady równań Wektory Na ćwiczenia x + py z = 1 1 Zbadać dla jakich p R uk lad px + 4y = 2 2x + y + z = 1 a) ma dok ladnie jedno rozwia zanie, b) ma nieskończenie wiele rozwia zań, c) jest sprzeczny 2 Zbadać dla jakich p R uk lad px + y + 4z = 2 x + 2y + pz = 3 ma rozwia zanie spe lniaja ce warunek z 0 x + y + 2z = 2 3 Zbadać dla jakich a, q R uk lad równań: 7x y + 8z + 6t = q 3x + y + 2z + at = 1 jest sprzeczny 2x y + 3z + t = 1 F 4 Zbadać liniowa niezależność podanych uk ladów wektorów we wskazanych przestrzeni liniowych V: a) v 1 = (1, 2, 1), v 2 = (2, 1, 1), v 3 = (4, 5, 1), V = R 3 ; b) v 1 = (1, 1, 1), v 2 = (0, 1, 1), v 3 = (0, 0, 1), V = R 3 ; c) v 1 = (1, 2, 1, 3), v 2 = (2, 4, 2, 6), V = R 4 ; 5 Zbadać czy podane uk lady sa bazami wskazanych przestrzeni liniowych: a) v 1 = (1, 0, 1), v 2 = (0, 1, 1), v 3 = (1, 1, 0), V = R 3 ; b) v 1 = (1, 2), v 2 = (2, 1), v 3 = ( 3, 1), V = R 2 ; Uk lady równań Po ćwiczeniach 1 Wyznaczyć wartości parametru p R, dla których uk lad równań (2 p)x + y + 2z = 0 2x + (1 p)y + 2z = 0 ma rozwia zania niezerowe 2x + y + (2 p)z = 0 2 Rozwia zać uk lad równań: F+ 3x + y z + t = 0 x + 4y 3z t = 1 2x 3y + 2z + 2t = 1 3 Zbadać czy wektory u 1 = (1, 1, 1); u 2 = (1, 1, 1) można uzupe lnić do bazy R 3 w której wektor a = (1, 1, 1) ma wspó lrze dne takie same jak w bazie standartowej G Wektory w R n P laszczyzna i prosta w R 3 Do samodzielnego przerobienia przed ćwiczeniami 1 Obliczyć odleg lość punktów A(0, 1, 2, 4); B(1, 4, 5, 5) w przestrzeni R 4 2 Obliczyć ka t mie dzy wektorami v = (1, 0, 0, 0, 1); u = (2, 2, 3, 0, 1) w przestrzeni R 5 3 Dla jakich wartości p wektory v = (p, p, 2, 1); u = (3, p, p, 4) sa prostopad le w przestrzeni R 4 4 Obliczyć ka t mie dzy wektorem u = [2, 3, 3 i osia wspó lrze dnych OX 5 Obliczyć sinus ka ta mie dzy wektorami u i v jeżeli u = [1, 0, 1 i v = [2, 1, 2 6 Wyznaczyć wersor normalny p laszczyzny π : 2x + y + 2z 3 = 0 7 Napisać równanie parametryczne prostej przechodza cej przez punkt P (1, 3, 2) i prostopad lej do p laszczyzny π : 2x 3y + 4 = 0 x 1 8 Dla jakiej wartości k R wektor u = [1, k, 2 jest prostopad ly do prostej l : = y 2 = z+1? 1 2 1 9 Obliczyć odleg lość punktu P (1, 0, 2) od p laszczyzny π : 2x + y + y + 2z 7 = 0 10 Obliczyć pola : a) równoleg loboku rozpie tego na a = (2, 3, 1), b = ( 3, 4, 2), b) trójka ta o wierzcho lkach A(1, 1, 1), B(2, 2, 3), C(3, 0, 1)
11 Dla jakiej wartości k R różnica wektorów u = [2k, 2, k 1 oraz v = [3, 3, 2k jest wektorem prostopad lym do osi OZ? 12 Dla jakich k R wektor w = u v gdzie u = [1, 0, 1 oraz v = [0, k, 1 jest równoleg ly do osi OY? P laszczyzna i prosta w R 3 Na ćwiczenia G 1 Wyznaczyć równanie analityczne symetralnej odcinka P Q P (5, 3, 3); Q(3, 1, 2) x 3 2 Dla jakich p, q R prosta L : = y 1 4 4 = z+1 leży w pa szczyźnie π : px + 2y 4z + q = 0? 3 x 1 3 Wyznaczyć rzut prostopad ly punktu V (5, 3, 3) na prosta L : = y+2 = z 2 2 1 2 4 Wyznaczyć punkt symetyczny do P (4, 2, 3) wzgle dem π : 2x + y 2z + 9 = 0 5 Obliczyć odległość pomie dzy płaszczyznami Π : Ax + y 2z + C = 0 oraz Γ : 2x + 2y + Cz + A = 0 wiedza c, że jest ona różna od 0 6 Czworościan o wierzcho lkach A(1, 1, 1), B(2, 2, 3), C(0, 3, 4), D(?, 1, 3) ma obje tość V = 1, uzupe lnić brakuja ca wspó lrze dna punktu D 7 Wyznaczyć równanie analityczne p laszczyzny π przechodza cej przez prosta x 1 L : = y 1 2 3 = z 1 i punkt P (4, 1, 3) 1 8 Wyznaczyć { równania parametryczne i kierunkowe prostej L przechodza cej przez A(1, 2, 2) równoleg lej x + 2y + z 3 = 0 do K : 3x y + 2z + 3 = 0 9 Wyznaczyć ka t oraz odleg lość mie dzy prostymi L : x + 4 3 = y + 3 1 = z 2 1 P laszczyzna i prosta w R 3 Po ćwiczeniach oraz K : x = 1 + t, y = 3 + t, 3 + t 1 Wyznaczyć równanie analityczne symetralnej odcinka P Q P ( 1, 1, 5); Q(8, 2, 8) G+ 2 Dane sa trzy punkty A(1, 1, 4); B( 1, 0, 0); C(0, 0, 1) Jeżeli punkty sa wspó lliniowe wyznaczyć równanie prostej przechodza cej przez te punkty W przeciwnym wypadku napisac równanie zawieraja cej je p laszczyzny { 2x + y z + 3 = 0 3 Zbadać, czy prosta l : jest zawarta w p laszczyźnie π : 5y 3z + 13 = 0 x 2y + z 5 = 0 4 Wyznaczyć rzut prostopad ly punktu V (5, 3, 3) na p laszczyzne π : 3x y + 2z + 18 = 0 x 3 5 Wyznaczyć punkt symetyczny do P (4, 2, 3) wzgle dem: a) S(5, 1, 2), b) L : = y+1 1 1 = z 1 1 6 Napisać równanie parametryczne prostej, dwusiecznej ka ta ostrego utworzonego przez proste: x+2 k : = y 4 3 1 = z x+2 oraz l : = y 4 5 1 5 = z 3 x + 1 7 Zbadać dla jakich p, q odleg lość mie dzy π : 3x 6y + 2z + q = 0 oraz L : = y + 1 = z + 2 2 2 p jest równa 1 8 Sprawdzić, czy punkty A = (0, 1, 0); B = (1, 1, 2); C = (1, 1, 4); D = ( 1, 0, 1) leża na jednej p laszczyźnie Jeżeli tak, to wyznaczyć pole czworoboku ABCD Jeśli nie, to wyznaczyć obje tość czworoscianu ABCD 9 Wyznaczyc równanie p laszczyzny przechodza cej przez prosta (x, t, z) = (1 + 2t, 2 + t, 3t) i prostopad lej do p laszczyzny π : 3x 2t + 4z + 6 = 0 x 1 10 Obliczyć odleg lość P (4, 1, 3) od L : = y 1 2 3 = z 1 1 { x 4y + 2z 5 = 0 11 Zapisac w postaci parametrycznej równanie rzutu prostej l : 3x + y z + 2 = 0 π : 2x + 3y + z 6 = 0 12 Obliczyć odleg lość pomie dzy p laszczyzna π 1 : x 4y + 2z + 1 = 0 oraz prosta L : x = 2 + 2t, y = 3 + t, z = 3 + t na płaszczyzne
13 Obliczyć odleg lość pomie dzy prostymi K : L : x = 2 + 2t, y = 3 + t, z = 3 + t x + 4 4 = y + 3 2 = z 2 2 14 Dla jakich p punkty; A(1, 2, 1); B(3, 2, 2); C(2, 3, p 2 ); D(3, 1, 0) leża w jednej p laszczyznie? Podprzestrzenie Przekszta lcenia liniowe Na ćwiczenia 1 Wyznaczyć baze i wymiar podprzestrzeni R 4 A = { (x, y, z, t) R 4 : x = 2z y = 3t }, B = { (x, y, z, t) R 4 : x y + 2z 3t = 0 }, 2 Zbadać czy podane przekszta lcenia sa liniowe: A : R 3 R 2, A(x, y, z) = (x + y, z 2y); B : R R 3, B(x) = (x, x + 1, 3x) H 3 Wyznaczyć macierze podanych przekszta lceń liniowych, w bazach standartowych rozpatrywanych przestrzeni wektorowych: A : R 3 R 3, A(x, y, z) = (x + y, z 2y, x y + z); B : R 2 R 4, B(x, y) = (x + y, x 2y, x y, x); 4 Wyznaczyć wektory i wartości w lasne przekszta lcenia Podaj postać Jordana macierzy tego przekszta lcenia: A(x, y) = ( 4x + 3y, x 2y); B(x, y) = (3x y, x + y); C(x, y) = (2x 3y, 6x 4y) 5 Wyznaczyć wartości w lasne oraz bazę wektorów w lasnych przekszta lcenia liniowego F : C 2 C 2 zadanego wzorem F (x, y) = (x 2y, 4x + 5y) H+ Przekszta lcenia liniowe Uzupełnienie listy H do samodzielnego przerobienia po ćwiczeniach 1 O przekszta lceniu liniowym L wiemy, że L(1, 1) = (2, 1); L(1, 1) = (0, 3) Wyznaczyć L(e, π) 2 Wyznaczyć macierze podanych przekszta lceń liniowych, w podanych bazach rozpatrywanych przestrzeni wektorowych: A : R 3 R 3, A(x, y, z) = (x + y, z 2y, x y + z); v 1 = (1, 0, 1), v 2 = (0, 1, 1), v 3 = (1, 1, 2); u 1 = (1, 1, 2), u 2 = (1, 1, 0), u 3 = (1, 1, 0), B : R 3 R 2, B(x, y, z) = (x + 2y z, 2z 2x 4y); v 1 = (1, 0, 1), v 2 = (0, 1, 1), v 3 = (1, 1, 3); u 1 = (2, 1), u 2 = (1, 2), 3 Przekszta lcenie liniowe L : R 5 R 3 w bazach standartowych ma macierz: 1 1 2 2 1 A L = 2 1 2 1 2 Wyznaczyć baze ja dra tego przekszta lcenia liniowego 2 0 3 4 O przekszta lceniu liniowym L : R 3 R 3 wiemy, że wektor v 1 (1, 1, 1) jest wektorem wlasnym L dla wartości własnej λ 1 = 3, wektor v 2 (1, 1, 0) jest wektorem wlasnym L dla wartoći własnej λ 2 = 2 zaś wektor v 3 (1, 0, 0) jest wektorem wlasnym L dla wartoći własnej λ 3 = 1 Wyznaczyć L 27 (3, 2, 1) 5 O przekszta lceniu liniowym L : R 2 R 2 wiemy, że wektor v 1 (1, 1) jest wektorem wlasnym L dla wartości własnej λ 1 = 1 zaś wektor v 2 (2, 3) jest wektorem wlasnym L dla wartoći własnej λ 2 = 2 Wyznaczyć macierz przekszta lcenia L, w bazie standartowej przestrzeni: R 2 6 Wyznaczyć wektory i wartości w lasne przekszta lcenia Podaj postać Jordana macierzy tego przekszta lcenia: D(x, y) = (7x 3y, 5x y); E(x, y) = (x 3y, 3x 5y); F (x, y) = (x 6y, 3x 5y) i