Jacek Kwiakowski Bayesowska analiza modeli ARFIMA i persysencji na przykładzie kursu jednosek uczesnicwa funduszu Pioneer.. Wsęp Celem prezenowanego arykułu jes analiza empiryczna modeli AR- FIMA oraz persysencji na przykładzie wybranego szeregu czasowego. W pracy poddano badaniom ze względu na możliwość isnienia długiej pamięci ygodniowy kurs cen jednosek uczesnicwa w funduszu powierniczym Pioneer. W arykule przedsawione zosaną podsawowe pojęcia doyczące modeli AR- FIMA zarówno od srony własności ych modeli jak i od srony ich bayesowskiej esymacji. Zosanie zaprezenowana m. in. ogólna posać modeli ARFI- MA, podsawowe warunki sacjonarności, a akże zagadnienia związane z ich bayesowską esymacją funkcja wiarygodności, rozkład predykywny, sposób wyboru modelu. Hisoria analizy procesów z długą pamięcią sięga la pięćdziesiąych, mianowicie do arykułu Hursa z 95 roku. Większe zaineresowanie ekonomeryków pojawia się jednak dopiero na począku la osiemdziesiąych ( arykuły Grangera, 980, Grangera i Joyeux a, 980 i Hoskinga 98). Jako przykład zasosowań modeli ARFIMA można wskazać arykuły Delgado i Robinsona (994) doyczące inflacji, Diebolda i Rudebusha (994), Sowella (992b) względem dochodu narodowego, Cheunga (993) i Peersa (99) badające kursy waluowe. W lieraurze świaowej zagadnienie bayesowskiej analizy modeli ARFIMA zosało omówione w arykułach Koopa, Ley a, Osiewalskiego i Seela (997) oraz Pai a i Ravinshankera (994). Układ arykułu jes nasępujący: W części drugiej omówiono procesy z długą pamięcią oraz przedsawiono posać modeli ARFIMA. Dodakowo rozszerzono zagadnienie o analizę odpowiedzi impulsowych. W części rzeciej omówiono bayesowską analizę modeli ARFIMA, w ym głównie esymację, predykcję i wybór modelu. W części czwarej zosały zaprezenowane wyniki badań kursu cen jednosek uczesnicwa w funduszu powierniczym Pioneer. Całość pracy kończy się ogólnym wnioskiem. 2. Modele z długą pamięcią. Większość analizy procesów makroekonomicznych doyczy zjawisk, w kórych funkcja korelacyjna wraz ze wzrosem liczby opóźnień maleje wykładniczo do zera. Zakłada się zaem warunek
k () k ρ <. 2. W szczególności w/w założenie jes spełnione w modelach ARMA. Dla przykładu rozparując model auoregresji y = ay + ε, (,) a, 2.2 2 gdzie ε jes gaussowskim białym szumem ( 0, σ ) równe k = N, ρ() k jes skończone i 2a = + <. 2.3 k a k= a Okazuje się jednak, że isnieją procesy dla kórych warunek 2. wydaje się być zby silny. W procesach ych funkcja korelacyjna maleje hiperbolicznie w empie ak wolnym, że założenie jej doyczące daje się lepiej opisać równaniem () ρ α ρ k c k, 2.4 α funkcja korelacji maleje do zera powoli do ego sopnia, że szereg ρ () k jes rozbieżny, mianowicie gdzie k zmierza do nieskończoności, naomias c ρ jes skończoną, sałą, dodanią warością. Gdy ( 0,) k = k = () k = ρ. 2.5 Procesy, dla kórych spełnione jes równanie 2.4 określa się jako procesy z długą pamięcią.
Rys. Funkcja korelacyjna procesu z długą pamięcią (ARFIMA (0, 0,3, 0)) oraz modelu auoregresji rzędu pierwszego, dla a = 0,8.,2 0,8 0,6 ARFIMA (0, 0,3, 0) AR(), a = 0,8 0,4 0,2 0 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 Jednym z modeli z długą pamięcią jes ułamkowy biały szum (ARFIMA (0, d, 0)), kórego funkcję auokowariancji można przedsawić w posaci { } 2 d + 2 d + 2 2 d k + k + k γ k = 0,5γ 0, dla k =,2,... 2.6 Jeżeli paramer d przyjmuje warości z przedziału (,0,5) 0, funkcję auokowariancyjną przy dużych k można zapisać 2d γ k ck, dla k, 2.7 0. Tym samym wyrażenie 2.7 spełnia warunek isnienia długiej pamięci wyrażony równaniem 2.4 i 2.5. Zaem jeżeli d znajduje się w przedziale (0, 0,5) proces ARFIMA (0, d, 0) określamy jako proces z długą pamięcią. Funkcje auokorelacji i korelacji cząskowej przyjmują warości dodanie malejąc hiperbolicznie do zera. Funkcja gęsości spekralnej przybiera największe warości dla częsości niskich. gdzie c jes pewną dodanią sałą z przedziału (, ) proces ARFIMA (0, d, 0) określa się jako proces ze średnią pamięcią. Gdy d należy do przedziału ( 0,5, 0)
Gdy d = 0 omawiany proces jes białym szumem. Szerszą klasę modeli paramerycznych opisujących zarówno zależności długo, jak i krókookresowe są modele ARFIMA (p, d, q) posaci d ( )( ) ( ) ( ) φ B B x µ = θ B ε, 2.8 gdzie d jes dowolną liczbą rzeczywisą większą od -, aε jes białym szumem. B określa się jako operaor opóźnienia, naomias φ () i θ () są wielomianami odpowiednio sopnia p i q. Modele ARFIMA sanowią więc uogólnienie modeli ARIMA, przedsawionych przez Boxa i Jenkinsa (983). Model ARFIMA (p, d, q) można rozparywać akże w nieco innej formie, mianowicie opierając się na arykule Koopa, Ley a, Osiewalskiego i Seela (997) można przyjąć φ δ ( B)( B) z = θ ( B) ε, 2.9 gdzie ( B)( y µ α) = y µ z, 2.0 = υ = y µ α. 2. Podsawiając 2.0 do 2.9 uzyskujemy d ( B)( B) ( y µ α) θ ( B) ε φ =, 2.2 gdzie d = δ +. Jeżeli δ proces y jes sacjonarny względem rendu oraz posiada długą pamięć, δ ( 0,5, 0,5) proces y jes sacjonarny i posiada zw. długą pamięć dla δ > 0 i średnią pamięć dla δ < 0, δ = 0 proces y sprowadza się do modelu ARIMA (p,, q). (, 0,5) Jednym z zagadnień związanych z analizą szeregów czasowych jes analiza siły i wielkości persysencji. Bada się zaem efek szoku wywołanego przez pewne zakłócenie, analizując czy wywołuje on w zależności od charake-
ru procesu rwały efek w dłuższym horyzoncie czasowym, czy eż wpływ ego zakłócenia po pewnym czasie wygasa. Analiza ego ypu zagadnień określa się jako analizę odpowiedzi impulsowych. Miarą rwałości i wielkości efeku wywołanego przez wcześniejsze zakłócenie jes zw. skumulowana funkcja odpowiedzi impulsowych worzona w oparciu o pewną klasę modeli. Campbell i Mankiw (987) opierają swoje badania o modele ARIMA, naomias Diebold i Rudebusch (989), Hauser, Pocher i Reschnhofer (992) używają szerszej klasy, czyli modeli ARFIMA. Niech y oznacza pewien szereg czasowy, kóry posiada sacjonarne różnice pierwszego rzędu. Można je zaem przedsawić w posaci nieskończonej średniej ruchomej 2 ( B) ε = µ + ( + α B + α 2B + ) ε y = µ + A.... 2.3 Wpływ jednoskowego zakłócenia na wielkość w momencie + na poziom procesu y w chwili + n określa się zaem poprzez skumulowaną funkcję impulsową I() n = + α +... + αn = A( B = ). Jeżeli proces y jes sacjonarny lub sacjonarny względem deerminisycznego rendu efek zakłócenia wraz ze wzrosem horyzonu czasowego wygasa do zera ( A () = 0). Gdy w modelu wysępuje pierwiasek jednoskowy, efek szoku przy n = jes rwały i równy () / φ() I = θ. 2.4 + Rozparując zaem np. model błądzenia przypadkowego y = y + ε warość skumulowanej funkcji odpowiedzi impulsowych jes sała i równa jeden A =. ( () ) δ Dla modeli ARFIMA φ( B)( B) ( y µ ) = θ ( B) ε funkcja odpowiedzi impulsowych przyjmuje formę y δ ( B) θ ( B) / φ( B) ε = 2.5 W zależności od warości parameru δ skumulowaną posać odpowiedzi impulsowych można wyrazić w posaci
θ 0 () / φ() dla δ > 0 I + = dla δ = 0. 2.6 dla δ < 0 Jeżeli paramer δ jes równy zeru mamy do czynienia z modelem ARIMA (p,, q) dla y i z modelem ARMA (p, q) dla procesu y. Dodakowo zamias rozparywania warości funkcji odpowiedzi impulsowych w nieskończonym horyzoncie czasowym można ją analizować w krókim, średnim i długim okre- np. n = 4,2, 40. sie przyjmując skończone warości dla n ( ) 3. Wnioskowanie bayesowskie w modelach ARFIMA. Wnioskowanie bayesowskie, opare na wzorze Bayesa wymaga przyjęcia rozkładu a priori zarówno dla paramerów srukuralnych, jak i dla paramerów srukury sochasycznej. Opierając się na arykule Koopa, Ley a, Osiewalskiego i Seela (997) można przyjąć nasępujący rozkład a priori paramerów p gdzie p( ω) 2 2 2 ( ω, µ, σ ) = p( ω) p( µ ) p( σ ) σ p( ω), 3. oznacza właściwy rozkład jednosajny wekora paramerów ω określonego w obszarze sacjonarności Ω. W oparciu o posać funkcji wiarygodności p 2 2 ( w /, µ, σ ) f ( w / µ l, σ V ) ω =, 3.2 gdzie oznacza wielkość próby, N f N jes - wymiarowym rozkładem normal- = δ, Θ ', Φ' ' Φ = φ,..., φ ' C, nym w' = ( y,..., ), ω ( ) Ω ( θ,..., θ q ) Cq y ', ( p ) p 2 Θ = ', Ω = (,0, 5) C q C p, µ R, σ R+, l - wekor jedynek, V - macierz, kórej poszczególne elemeny wyrażają się wzorem v i j = σ 2, γ ( i j) dla i, j =,..., T ; naomias γ () s jes funkcją auokowariancji wyprowadzona przez Sowella (992a) oraz rozkład a priori przedsawiony równaniem 3., rozkład a poseriori dla ω ( 2 po wcześniejszym całkowaniu względem µ, σ ) wygląda nasępująco
gdzie / 2 ' 2 ( ) / 2 ( ω dane) K V ( l V l ) / / SSE p( ω) p =, 3.3 K = Ω V / 2 ' / 2 ( ) / 2 ( l V l ) SSE p( ) ω dω, ' ( w µ ˆl ) V ( w ˆ ) SSE = µ ' ' ( l V l ) l V w l µ ˆ =., Rozkład przyszłych warości procesu posaci y + przy danym ω można wyrazić w n ' ( / ω, dane) = / T, + n ˆ µ + l n V V ( w ˆ ), p y + n f S y + n y 2 µ l T SSE ' l n V22 l n + ( ' n l n V V ) 2 2 l ' l V l 3.4 gdzie V22 = V22 V2V V2. We wnioskowaniu bayesowskim jednym z kryeriów wyboru modelu jes przyporządkowanie każdemu z nich w oparciu o wzór Bayesa pewnego prawdopodobieńswa a poseriori. Model, kóry uzyskuje największe prawdopodobieńswo można rakować jako najlepiej dopasowany do analizowanych danych empirycznych. Rozparzmy zbiór wzajemnie wykluczających się i dopełniających modeli M,..., oraz odpowiadające im prawdopodobieńswa a priori M m ( ) ( ) pm,..., pm m. Prawdopodobieńswo a poseriori danego modelu M i można zaem zapisać
( / y) pm i pm ( i) py ( / Mi) m pm ( k) py ( / Mk) =, i =,..., m. 3.5 k = Dodakowo oprócz wyboru jednego z modeli można zasosować zw. meodę bayesowskiego łączenia wiedzy (por. Osiewalski i Pipień, 998). Jeżeli przedmioem zaineresowania badacza są paramery wspólne dla wszyskich analizowanych modeli o zamias wyboru jednego z nich i na ej podsawie wnioskowania o jego paramerach, można wykorzysać meodę uśredniania indywidualnych gęsości a poseriori szacowanych paramerów m ( ψ / ) = ( i / ) i( ψ / ) p y p M y p y i=. 3.6 Meoda a polega zaem na uśrednianiu brzegowych rozkładów a poseriori pi ( ψ / y) wekora paramerów ψ związanych z modelem M i, gdzie jako wagi wysępują prawdopodobieńswa a poseriori modeli M i. Analogicznie, gdy ineresują nas przyszłe warości zmiennej y, zamias wyboru jednego z modeli i na ej podsawie dokonywania prognozy, można uśrednić indywidualne rozkłady predykywne pi ( y, y) związane z modelem M i, gdzie jako wagi - podobnie jak w równaniu 3.6 - wysępują prawdopodobieńswa a poseriori modeli M i m ( / ) = ( i / ) i( / ) py y pm yp y y i=. 3.7 4. Analiza kursu jednosek uczesnicwa w funduszu powierniczym Pioneer. W celu przeprowadzenia analizy jednosek funduszu powierniczego Pioneer, rozparzono jego rzeczywisą realizację w laach 995-998 orzymując szereg składający się z ponad dwusu obserwacji (noowania środowe). Rozparzono 6 modeli z kórych w ośmiu założono możliwość isnienia ułamkowej warości parameru δ, naomias w pozosałych przyjęo założenie co do isnienia pierwiaska jednoskowego δ = 0. Poniższa abela przedsawia zesawienie konkurujących ze sobą modeli wraz z odpowiednim prawdopodobień-
swem a poseriori. Jako rozkład a priori przyjęo rozkład równomierny. Tym samym założono ich jednakowe szanse wysąpienia. Tablica. Prawdopodobieńswa a poseriori modeli ARFIMA ( p, q) ( p, q) dla funduszu powierniczego Pioneer., δ i ARMA p, q ARFIMA ( p, q ), δ ARMA ( p, q) 0,0 0, 0,2,0,,2 2,0 2, 2,2 0,470 0,0225 0,0056 0,0280 0,0254 0,0042 0,0093 0,0050 0,0025 0,458 0,062 0,0244 0,0774 0,0679 0,05 0,0275 0,056 0,0095 Razem 0,2496 0,7504 Modelem, kóry uzyskał największe prawdopodobieńswo a poseriori jes model błądzenia przypadkowego ARMA (0, 0) uzyskując warość 0,458. Drugim modelem co do wielkości prawdopodobieńswa jes model ARFIMA ( 0, δ,0) z warością 0,470. Ogółem modele z pierwiaskiem jednoskowym uzyskały około 0,75 procen całej masy, naomias modele z ułamkową δ ylko 25 procen. Sosunek modeli ARMA do modeli ARFIMA wynosi zaem 3 do jednego. Wydaje się zaem, że w przypadku cen jednosek uczesnicwa funduszu powierniczego Pioneer dominują modele niesacjonarne, w kórych wysępuje pierwiasek jednoskowy. Swierdzenie o znajduje również powierdzenie w podsawowych charakerysykach gęsości a poseriori parameru δ, jak i w samym rozkładzie. Rozkład ego parameru jes jednomodalny, skupiony wokół 0,06, kszałem zbliżony do rozkładu gaussowskiego. Również zesawione w poniższej abeli warości oczekiwane w nie różnią się isonie od zera.
Tablica 2. Momeny rozkładu a poseriori parameru δ w modelu ARFIMA ( p, δ, q) p, q Warość oczekiwana Odchylenie sandardowe 0,0 0, 0,2,0,,2 2,0 2, 2,2 0,0925 0,42 0,0640 0,0379 0,0542 0,0233-0,075-0,0756 0,0245 0,0597 0,00 0,79 0,2880 0,224 0,233 0,267 0,2972 0,998 Rys. 2. Rozkład parameru δ względem wszyskich modeli ARFIMA. 0,4 0,2 0,0 0,08 0,06 0,04 0,02 0,00-0,99-0,9-0,84-0,76-0,69-0,6-0,54-0,46-0,39-0,3-0,24-0,6-0,09-0,0 0,06 0,4 0,2 0,29 0,36 0,44 Pomimo wcześniejszych wniosków uśredniony względem modeli ARFIMA rozkład a poseriori parameru δ, przyjmuje względem zera odpowiednio warości P ( δ < 0 ) = 0,23 oraz P ( δ > 0 ) = 0, 787. Paramer δ przyjmuje zaem znaczną masę prawdopodobieńswa powyżej zera, ym samym sugerując, że bardziej prawdopodobna jes warość odpowiedzi impulsowej w nieskończoności, mianowicie: P( I( ) = ) = 0, 787 i P ( I( ) = 0 ) = 0, 23. Należy jednak pamięać, że e wielkości są zmniejszone czerokronie, ponieważ yle w wyniku oszacowania orzymały modele ARFIMA ( por. ablica ).
Modele ARFIMA jako narzędzie pomiaru persysencji spokały się z kryyką Hausera, Pochera i Reschenhofera. Swierdzają oni mianowicie, że modele ARFIMA dla pierwszych różnic z reguły prowadzą do syuacji, w kórej warość odpowiedzi impulsowej wynosi dla n = zero lub nieskończoność. Dzieje się ak, ponieważ rudno jes uzyskać oszacowanie δ dokładnie równe zeru. Ogólną próbą wyjścia z ej syuacji jes rozparywanie warości odpowiedzi impulsowych w krószym niż nieskończoność horyzoncie czasowym (Diebold i Rudebusch, 989). Inną, ym razem bayesowską meodą (Koop, Ley, Osiewalskiego i Seel,997) jes przyjęcie pewnej wielkości prawdopodobieńswa a priori dla δ = 0. Rozparując zaem dwa modele ARMA i ARFIMA przyjmuje się a priori pewne prawdopodobieńswo ( w rozparywanym przykładzie założono, że każdy z nich ma jednakowe szanse) uzyskując dla I( ) dwupunkowy rozkład a poseriori w zerze i nieskończoności związany z modelem ARFIMA oraz rozkład ciągły w przedziale ( 0, ). Rozkład I ( ) jes więc rozkładem mieszanym, uśrednionym względem wag a poseriori każdego z ych dwóch ypów modeli. Warości oczekiwane i odchylenia sandardowe I () n, n = 4, 2, 40 dla dwóch najbardziej prawdopodobnych modeli oraz dla gęsości funkcji odpowiedzi impulsowych uśrednionej względem modeli ARFIMA, ARMA oraz wszyskich 6 analizowanych modeli przedsawia ablica 3. Tablica 3. Warości oczekiwane gęsości odpowiedzi impulsowych przy n = 4, 2, 40. n ARFIMA 0, d,0 ( ) ARMA 0,0 ( ) Modele ARFIMA Modele ARMA Wszyskie modele 4,22 (0,429),0000 (0,0000),923 (0,523),0409 (0,0934),0786 (0,290) 2,348 (0,249),0000 (0,0000),3036 (0,2843),024 (0,23),099 (0,2) 40,58 (0,3870),0000 (0,0000),4757 (0,5433) 0,9599 (0,633),0886 (0,365) Jak wynika z ablicy 3 efek szoku wywołany jednoskowym zakłóceniem w przypadku modelu ARMA (0, 0) jes rwały i równy jeden. Ogólnie dla modeli ARMA warość oczekiwana funkcji prawdopodobieńswa odpowiedzi impulsowych przyjmuje warość nieco powyżej jedynki, aby nasępnie wraz ze wzrosem horyzonu czasowego nieco zmaleć. W przypadku modeli ARMA średnia sysemaycznie zaczyna rosnąć, co związane jes z fakem, że paramer
δ posiada większość masy prawdopodobieńswa powyżej zera. Należy ym samym podejrzewać, że wraz ze wzrosem horyzonu czasowego warość oczekiwana I () n będzie dążyła do nieskończoności. Kolejne rysunki przedsawiają I dla n = 4, 2, 40. rozkłady a poseriori () n Rys. 3. Rozkład a poseriori funkcji odpowiedzi impulsowych dla n = 4 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 Wszyskie ARFIMA ARMA 0,2 0, 0 0,00 0,27 0,53 0,80,07,33,60,87 2,3 2,40 2,67 2,93 3,20 3,47 3,74. Rys. 4. Rozkład a poseriori funkcji odpowiedzi impulsowych dla n = 2 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 Wszyskie ARFIMA ARMA 0,2 0, 0 0,00 0,32 0,65 0,97,30,62,95 2,27 2,60 2,92 3,25 3,57 3,90
Rys. 5. Rozkład a poseriori funkcji odpowiedzi impulsowych dla n = 40 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 Wszyskie ARFIMA ARMA 0,2 0, 0 0 0,38 0,75,3,5,88 2,25 2,63 3 3,38 3,75 Analizując rysunki 3-5 można swierdzić, że w każdym z rzech rozparywanych przypadków rozkład a poseriori funkcji odpowiedzi impulsowych przedsawia się podobnie. Rozkład względem modeli ARMA oraz wszyskich 6 modeli ma bardzo zbliżony do siebie kszał. Związane jes o fakem uzyskania przez modele z pierwiaskiem jednoskowym prawie ¾ całej masy prawdopodobieńswa a poseriori. Rozkłady e posiadają jedną modę w pobliżu jedynki. Wraz ze wzrosem warości n ich wariancja zaczyna rosnąć. Trochę inaczej przedsawia się syuacją z gęsością a poseriori uśrednioną względem modeli ARFIMA. Jej kszał jes zbliżony do rozkładu normalnego. Dodakowo wraz ze wzrosem warości n ulega on spłaszczeniu, a akże przesunięciu w prawo. Funkcja odpowiedzi impulsowych I ( ) względem wszyskich modeli posiada w zerze i w nieskończoności odpowiednio warości P( I( ) = 0 ) = 0, 053 i P ( I( ) = ) = 0, 96. Rysunek 5 przedsawia jej ciągły fragmen związany modelami ARMA.
n = Rys. 5. Rozkłady a poseriori odpowiedzi impulsowej dla, (rozkład względem wszyskich modeli posiada dodakowo masę prawdopodobieńswa w zerze i nieskończoności). 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 ARMA Wszyskie 0,2 0, 0 0,05 0,35 0,65 0,95,25,55,85 2,5 2,45 2,75 3,05 3,35 3,65 3,95 Na zakończenie przedsawiono prognozę jednosek uczesnicwa funduszu powierniczego Pioneer na 6 października 999. Rys. 6. Predykywny rozkład a poseriori y + 40 jednosek uczesnicwa Pioneer. 0,2 0, 0,08 0,06 0,04 Wszyskie ARFIMA ARMA 0,02 0 30 37, 45 52, 60 67, 75 82, 90 97, 05 3 20 28
5. Zakończenie W prezenowanej publikacji omówiono klasę modeli ARFIMA, kóra w odróżnieniu od sandardowych modeli ARIMA umożliwia przyjęcie przez paramer d dowolnej warości większej od minus jeden. Dzięki ej własności modele ARFIMA w odróżnieniu od wcześniej znanych modeli szeregów czasowych w sposób oszczędny opisują zjawiska z długą pamięcią. W szczególności zaprezenowano sposób analizy z uwzględnieniem wnioskowania bayesowskiego, kóre będąc narzędziem mniej znanym sanowi źródło ciekawych analiz i porównań. Przedsawiono m. in. bayesowski sposób wyboru modelu oraz sposób prognozy. Całość pracy poszerzono o zagadnienie odpowiedzi impulsowych. W przedsawionej pracy dokonano akże analizy opisu zjawisk na przykładzie jednosek uczesnicwa funduszu Pioneer. Wydaje się, ze najbardziej sensowny jes model ARIMA (0,, 0) lub równoznaczny z nim ARMA (0, 0) dla pierwszych różnic. Względnie wysokie prawdopodobieńswo w modelach ARFIMA ( 0, δ,0) - przy dodanim dela - może sanowić dowód isnienia w ego ypu procesach długiej pamięci. Lieraura Box, G.E.P. i G.M. Jenkins, 983, Analiza szeregów czasowych. Prognozowanie i serowanie ( Warszawa: PWN). Campell, J.Y. i N.G. Mankiw, 987, Are oupu flucuaions ransiory?, Quarerly Journal of Economics 02, 857-880. Cheung, Y.-W., 993, Long memory in foreign exchange raes, Journal of Bussines and Economic Saisics, 93-0. Delgado, M.A., i P.M. Robinson, 994, New mehods for he analysis of long-memory ime series: Applicaion o spanish inflaion, Journal of Forcasing 3, 97-07 Diebold, F.X. i G.D. Rudebusch, 989, Long memory and persisence in aggregae oupu, Journal of Moneary Economics 24, 89-209. Granger, C.W.J. i R. Joyeoux, 980, An inroducion o long memory ime series models and fracional differencing, Journal of Time Series Analysis, 5-39. Granger, C.W.J., 980, Long memory relaionships and he aggregaion of dynamic models, Journal of Economerics 4, 227-238. Hauser, M.A., B.M. Poscher, i E. Reschenhofer, 992, Measuring persisence in aggregae oupu: ARMA models, fracionally inegraed ARMA models i nonparameric procedures, maszynopis. Hosking, J.R.M., 98, Fracional differencing, Biomerika 68, 65-76.
Hurs, H.E., 95, Long erm sorage capaciy of reserviors, Transacions of American Sociey of Civil Engineers 6, 770-799. Koop, G., E. Ley, J. Osiewalski i M.F.J. Seel, 997, Bayesian analysis of long memory and persisence using ARFIMA models, Journal of Economerics 76, 49-69. Koop, G., J. Osiewalski, i M.F.J. Seel, 994, Poserior properies of long-run impulse responses, Journal of Business and Economic Saisics 2, 489-492. (koreka, Journal of Business and Economic Saisics 4, 257). Kwiakowski, J., 998, Procesy z długą pamięcią i modele ARFIMA, maszynopis; Zeszyy Naukowe AUNC (999), w druku. Pai, J.S. i N. Ravishanker, 994, Bayesian analysis of auoregressive fracinally inegraed moving average processes, maszynopis. Osiewalski, J. i M. Pipień, 998, Bayesowskie esowanie modeli GARCH i IGARCH, maszynopis; Przegląd Saysyczny (999), w druku. Peers, E.E., 99, Chaos and order in he capial markes (New York: John Wiley & Sons). Sowell, F., 992a, Maximum likelihood esimaion of saionary univariae fracionally inegraed models, Journal of Economerics 53, 65-88. Sowell, F., 992b, Modelling long-run behavior wih he fracional ARIMA model, Journal of Moneary Economics 29, 227-302.