Analiza sterowalno±ci

Analiza sterowalno±ci 1 Niech ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), gdzie A R n n oraz B R n p. x(0) R n Para (A, B) jest caªkowicie sterowalna je»eli x(0), 0 < t f < istnieje takie sterowanie u : [0, t f ] R p przy którym x(t f ) = 0 n. Para (A, B) jest caªkowicie sterowalna. Macierz sterowalno±ci M c = [ B AB A n 1 B ], posiada peªny wierszowy rz d rank M c = n ( Im M c = R n ) M c R n n p

2 Przykªad 1 Analizuj c rz d macierzy sterowalno±ci, zbadaj caªkowit sterowalno± obiektu ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), w którym: a) [ ] [ ] 2 3 1 A =, B = b = 6 1 2 2 1 2 2 1 b) A = 0 2 1, B = 1 0. 0 1 2 0 0 a) Dla obiektów z pojedynczym wej±ciem, a zatem tak»e dla obiektów SISO, macierz sterowalno±ci jest macierz kwadratow ; taka macierz ma peªny rz d wtedy i tylko wtedy, je»eli jej wyznacznik jest ró»ny od zera. Poniewa» [ ] 1 4 det M c = det[ b Ab ] = det = 0 2 8 zatem obiekt nie jest caªkowicie sterowalny.

3 b) Macierz sterowalno±ci M c = [ B AB A 2 B ], M c R 3 6 jest macierz prostok tn. Obiekt jest zatem caªkowicie sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz ta posiada peªny wierszowy rz d. Mamy M c = 2 1 3 2 2 4 1 0 2 0 5 0 0 0 1 0 4 0. Jak ªatwo sprawdzi, badaj c przykªadowo trzy pierwsze kolumny tej macierzy: rank M c = 3. Rozwa»any obiekt jest zatem caªkowicie sterowalny.

4 Uwaga Niech A R n n oraz B R n p. Para (A, B) jest caªkowicie sterowalna wtedy i tylko wtedy, gdy rank M c = n, gdzie M c = [ B AB A n r BB ] za± r B = rank B. O sterowalno±ci pary (A, B) orzeka si zatem na podstawie oceny rz du zredukowanej macierzy sterowalno±ci M c R n (n r B+1) p o odpowiednio zmniejszonej liczbie kolumn ('peªna' macierz sterowalno±ci M c posiada bowiem n p kolumn). W przykªadzie 1b mamy: rank M c = 3. Pytanie: które mody s niesterowalne?

Kryterium modalne (diagonalizacja) Dana jest para macierzy (A, B), gdzie A R n n oraz B R n p, przy czym A posiada jednokrotne warto±ci wªasne spectr A = {λ i } n i=1 Przeksztaªacaj c (A, B) w par podobn (M 1 AM, M 1 B) gdzie M C n n jest dowoln macierz diagonalizuj c macierz A, mo»na sprawdzi, czy (A, B) jest par caªkowicie sterowaln. Macierz A o jednokrotnych warto±ciach wªasnych jest macierz diagonalizowaln. Rol macierzy diagonalizuj cej peª- macierz modalna M o ni dowolna (!) kolumnach utworzonych z wektorów wªasnych macierzy A przyporz dkowanych jej warto±ciom wªasnym (M nie jest wyznaczona jednoznacznie). 5

6 Zachodzi M 1 AM = diag {λ i } n i=1. Para (A, B) jest caªkowicie sterowalna, gdy w macierzy M 1 B nie wyst puj zerowe wiersze. Dla p = 1 odpowiednia para (A, b), w której b R n, jest caªkowicie sterowalna wtedy i tylko wtedy, gdy wektor M 1 b R n nie posiada zerowych wspóªrz dnych). Obecno± takiego zerowego i-tego wiersza ±wiadczy,»e odpowiedni mod e λ it jest modem niesterowalnym.

Przykªad 2 Zbadaj sterowalno± pary (A, B): a) [ ] [ ] 3 0 1 A =, B = b = 1 2 1 0 1 0 0 0 b) A = 0 0 1, B = 1 0. 0 1 0 0 0 7 a) W tym przypadku spectr A = { 3, 2}. Przykªadowej macierzy modalnej [ ] 1 0 M = 1 1 odpowiada wektor M 1 b = [ 1 0 ] T. Na tej podstawie wnioskujemy,»e para (A, b) nie jest caªkowicie sterowalna, za± niesterowalnym modem jest mod e 2t.

8 b) W tym przypadku spectr A = { 1, 0, 1}. Macierzy modalnej 1 1 1 M = 1 0 1 1 0 1 przyporz dkowujemy macierz 1/2 1/2 M 1 B = 0 1. 1/2 1/2 Z powy»szego wynika, i» para (A, B) jest par caªkowicie sterowaln. Uzyskane wnioski ªatwo jest potwierdzi, analizuj c rz d odpowiednich macierzy sterowalno±ci: [ ] 1 3 a) M c =, rank M 1 3 c = 1 0 0 1 0 0 1 b) M c = 1 0 0 1 1 0, rank M c = 3. 0 1 1 0 0 1

Podprzestrze«sterowaln±ci Dana jest para macierzy (A, B), przy czym A R n n oraz B R n p. Podprzestrze«sterowalno±ci Im M c = n 1 i=0 Im Ai B R n gdzie M c R n n p oznacza macierz sterowalno±ci pary (A, B), jest podprzestrzeni A-niezmiennicz, a zatem v Im M c zachodzi Av Im M c. Niech v Im M c, v R n. Istnieje przeto w R n p,»e v = M c w. Mamy zatem Av = AM c w = n gdzie w = [ w1 T wn T ] T oraz w i R p, i {1,..., n}. i=1 Ai Bw i 9

10 Z twierdzenia Cayleya-Hamiltona wynika,»e gdzie n A n = n 1 i=0 a ia i i=0 a iλ i = ϕ A (λ) = det(λi n A), a n = 1. Na tej podstawie otrzymujemy Av = a 0 Bw n + = M c n 1 i=1 a 0 w n w 1 a 1 w n. w n 1 a n 1 w n co oznacza,»e Av Im M c. A i B(w i a i w n )

Dekompozycja przestrzeni stanu 11 Dany jest system ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t), A R n n, B R n p. Niech rank M c = n c < n gdzie M c R n n p oznacza macierz sterowalno±ci pary (A, B). Poka»emy,»e istnieje takie nieosobliwe przeksztaªcenie o macierzy T c R n n, dla którego: [ ] ˆx1 T c x = ˆx =, ˆx ˆx 1 R n c, ˆx 2 R n c 2 oraz [ ˆx1 ˆx 2 ] = ˆx + ˆBu [ ] [ ] [ Â11  = 12 ˆx1 ˆB1 + 0 n c n c  22 ˆx 2 0 n c p ] u

12 gdzie n c + n c = n przy czym (Â11, ˆB 1 ) gdzie Â11 R n c n c oraz ˆB 1 R n c p, jest par caªkowicie sterowaln. O parze macierzy (Â, ˆB) mówimy,»e posiada posta sterowaln zdekomponowan. Para (A, B) nie jest caªkowicie sterowalna. Oznaczmy przez q i R n, i {1,..., n c }, liniowo niezale»ne kolumny macierzy sterowalno±ci M c tej pary. Zbiór {q i } n c i=1 stanowi zatem baz podprzestrzeni sterowalno±ci Im M c R n : span {q i } n c i=1 = Im M c.

Zdeniujmy nast puj c baz w R n : 13 {q i } n c i=1 { q i} n c i=1 gdzie { q i } n c i=1 jest dowolnym zbiorem liniowo niezale»nych wektorów q i R n, i {1,..., n c }, takich,»e zbiory {q i } n c i=1 oraz { q i } n c i=1 s wzajemnie liniowo niezale»ne. Jako przykªadowy zbiór { q i } n c i=1 mo»e sªu»y dowolna baza podprzestrzeni Ker M T c. Niech Q c R n n b dzie nieosobliw macierz utworzon z rozwa»anych bazowych wektorów: gdzie Q c = [ Q c1 Q c2 ] Q c1 = [ q 1 q nc ] R n n c Q c2 = [ q 1 q n c ] R n n c.

14 Zachodzi zatem R n = Im Q c1 Im Q c2. Z denicji macierzy M c wynika,»e Im M c = n i=1 Im Ai 1 B. Pami taj c,»e Im M c jest podprzestrzeni A-niezmiennicz, ªatwo mo»na wykaza, i» Aq i Im M c, i {1,..., n c }. Ka»dy wektor Aq i, i {1,..., n c }, jest liniow kombinacj wektorów {q i } n c i=1. Na tej podstawie wnioskujemy,»e AQ c = [ Aq 1 Aq nc A q 1 A q n c ] = Qc Â, (1) gdzie  Rn n jest macierz o odpowiedniej blokowo trójk tnej strukturze:

15 przy czym  = [ Â11  12 0 n c n c  22 ]  11 R n c n c,  12 R n c n c,  22 R n c n c. Kolumny macierzy B tak»e nale» do Im M c, mog by zatem wyra»one w bazie {q i } n c i=1, co zapisujemy jako B = Q c ˆB gdzie ˆB R n p jest macierz o nast puj cej blokowej strukturze [ ] ˆB1 ˆB =, ˆB1 R nc p. 0 n c p Ze wzoru (1) wynika, i» A = Q c ÂQ 1 c.

16 Poniewa» i 0 zachodzi zatem gdzie A i = Q c  i Q 1 c M c = Q c ˆMc ˆM c = [ ˆB  ˆB  n 1 ˆB ], ˆMc R n n p jest macierz sterowalno±ci pary (Â, ˆB): ˆM c = [ ˆB1  11 ˆB1  n c 1 11 ˆB 1  n 1 11 ˆB 1 0 n c p 0 n c p 0 n c p 0 n c p ].

Z twierdzenia Cayleya-Hamiltona wynika,»e macierz Âi 11, i n c, jest liniow kombinacj macierzy {Âj 11 }n c 1 j=0. Na tej podstawie wnioskujemy o rz dzie macierzy sterowalno±ci ˆMc1 R n c n c p pary (Â11, ˆB 1 ): rank ˆM c1 = rank ˆM c = rank M c = n c. Oznacza to,»e para (Â11, ˆB 1 ) jest caªkowicie sterowalna. Z przedstawionego rozumowania wynika, i» poszukiwan macierz podobie«stwa jest macierz 17 T c = Q 1 c.

18 Przykªad 3 Rozwa»my dwa przypadki: 1 2 2 a) A = 1 0 1, B = 1 1 2 1 0 0 0 b) A = 1 1 1 3 0 2 3 2 1 2 1 4 1 1 1 0 1 0, B = ; a) W tym przypadku 1 1 1 1 1 1 M c = 1 0 0 1 1 0, rank M c = 2 1 0 0 1 1 0 a zatem: n c = 2 oraz n c = 1. Przyjmijmy: q 1 = [ 1 1 1 ] T q 2 = [ 1 0 0 ] T. 0 0 0 2 2 2 2 2.

Jako q 1 wybieramy dowolny niezerowy wektor nale» cy do Ker M T c. Mamy zatem: q 1 q 1 oraz q 1 q 2. Macierz podobie«stwa prowadzi do  = Q 1 c AQ c = ˆB = Q 1 c B = Q c = [ q 1 q 2 q 1 ] [ Â11  12 0 1 2  22 [ ] ˆB1 = 0 1 2 ] = 1 0 0 1 0 0. 19 0 1 2 1 0 2 0 0 1 Jak widzimy, para (Â11, ˆB 1 ) jest caªkowicie sterowalna: rank ˆM c1 = rank [ ˆB1  11 ˆB1 ] = rank [ 1 0 0 1 0 1 1 0 ] = 2.

20 Sprawd¹my jeszcze,»e span { q i } n c i=1 = Ker M T c jest warunkiem wystarczaj cym, lecz nie koniecznym dla Niech R n = span {q i } n c i=1 span { q i} n c i=1. 0 3 q 1 / span {q i } n c i=1 q 1 / Ker Mc T. Przykªadowo, dla q 1 = [ 2 2 1 ] T mamy: [ ] 0 1 3 Â = Q 1 Â11 Â c AQ c = 12 = 1 0 3 0 1 2 Â 22 0 0 1 [ ] 1 0 ˆB1 ˆB = Q 1 c B = = 0 1 0 0 0 oraz rank ˆM c1 = 2.

b) W rozwa»anym przypadku zachodzi 0 0 0 0 0 0 0 0 M c = 0 2 8 10 32 46 104 154 2 2 10 14 34 50 106 158 2 2 10 14 34 50 106 158 rank M c = 2 co oznacza,»e: n c = 2 oraz n c = 2. Dla przykªadowych wektorów gdzie q 1 = [ 0 0 2 2 ] T q 2 = [ 0 2 2 2 ] q 1 = [ 1 0 0 0 ] T q 2 = [ 0 0 1 1 ] T 21 q 1, q 2 Im M c, q 1, q 2 Ker M T c otrzymujemy macierz podobie«stwa Q c = [ q 1 q 2 q 1 q 2 ].

22 Macierzy Q c odpowiada model: [ ] Â = Q 1 Â11 Â c AQ c = 12 0 2 2 Â 22 9 12 3/4 3/2 = 4 5 1/2 1 0 0 1 0 0 0 1/2 2 ˆB = Q 1 c B = [ ˆB1 0 2 2 ] = 1 0 0 1 0 0 0 0. Para (Â11, ˆB 1 ) jest caªkowicie sterowalna, gdy» rank ˆM c1 = rank [ ] ˆB1 Â 11 ˆB1 [ ] 1 0 9 12 = rank = 2. 0 1 4 5

Synteza regulatora od stanu Zadanie stabilizacji Obiekt dynamiczny o jednym wej±ciu opisany jest modelem ẋ(t) = Ax(t) + bu(t), x(0) x(t) R n, A R n n, b R n. Posªuguj c si formuª Ackermanna, wyznaczymy wspóªrz dne wektora k liniowego sprz»enia zwrotnego od stanu 23 u(t) = k T x(t), k R n dla których macierz stanu zamkni tego u- kªadu sterowania tym obiektem posiada zadane (dowolne!) warto±ci wªasne. Zamkni ty ukªad sterowania, uzyskany po zastosowaniu omawianego sprz»enia od stanu, opisany jest równaniem ẋ(t) = (A bk T )x(t), x(0).

24 Formuªa Ackermanna, odniesiona do o- biektu o caªkowicie sterowalnej parze (A, b), pozwala na dowolne uksztaªtowanie wszystkich warto±ci wªasnych macierzy stanu ukªadu zamkni tego. Zgodnie z t formuª wektor wzmocnie«regulatora k R n oblicza si w nast puj cy sposób gdzie: k = ϕ(a) T (M 1 c ) T e n (2) M c R n n oznacza macierz sterowalno±ci pary (A, b), ϕ(a) R n n jest warto±ci, jak wielomian charakterystycznego macierzy stanu zamkni tego ukªadu sterowania przyjmuje dla macierzowego argumentu A, e n = [ 0 0 1 ] T R n jest wektorem jednostkowym.

Wielomian charakterystyczny ϕ(λ) wyznacza si w oparciu o zbiór 25 {λ i } n i=1 zadanych warto±ci wªasnych: ϕ(λ) = det (λi n (A bk T )) = n i=1 (λ λ i). Warunkiem stosowalno±ci wzoru (2) jest odwracalno± macierzy M c. Dla sterowalnego obiektu o jednym wej- ±ciu zadanie rozmieszczania (pozycjonowania, pole placement) warto±ci wªasnych macierzy stanu ukªadu zamkni tego posiada jednoznaczne rozwi zanie.

26 Przykªad 4 Rozwa»my dwa przypadki: a) A = b) A = [ 0 1 16 0 ], b = {λ i } 2 i=1 = { 2 ± j2}; [ 0 1 ] 1.0 1.5 1.5 0.5 2.0 2.0 3.0 1.0 2.0 1.5 3.5 0.5 1.0 1.5 1.5 0.5 {λ i } 4 i=1 = { 6, 6, 4, 4}., B = 1 1 0 0 W obu rozpatrywanych przypadkach sterowany obiekt jest obiektem niestabilnym: spectr A = { 4, 4} spectr A = { 2, 0, 1, 2}

a) Para (A, b) ma kanoniczn posta sterowaln. Jest to zatem para caªkowicie sterowalna, dla której M c = Jak ªatwo sprawdzi : [ 0 1 1 0 ϕ(λ) = (λ λ 1 )(λ λ 2 ) = 8 + 4λ + λ 2. Zatem, zgodnie ze wzorem (2), otrzymujemy ]. 27 k = ( [ ] [ 1 0 0 1 8 + 4 0 1 16 0 ] ] + [ 0 1 16 0 ] 2 ) T = ( [ 0 1 1 0 [ 24 64 4 24 ] 1 ) T [ 0 ] [ 1 0 ] 1 [ ] 24 = 4.

28 b) W rozwa»anym przypadku zachodzi: ϕ(λ) = 4 (λ λ i) i=1 = 576 + 480λ + 148λ 2 + 20λ 3 + λ 4 M c = 1.0 0.5 1.0 0.5 1.0 0.0 3.0 0.0 0.0 0.5 3.0 3.5 0.0 0.5 1.0 0.5. Poniewa» rank M c = 4, zatem para (A, b) jest caªkowicie sterowalna. Ponadto mamy 92.0 580.5 840.0 293.0 ϕ(a) = 968.0 64.0 1680.0 712.0 1348.0 580.5 3144.0 571.0. 484.0 580.5 840.0 869.0

Zauwa»my, i» ze wzoru (2) wynika,»e znajomo± macierzy odwrotnej Mc 1 nie jest niezb dna przy wyznaczaniu wektora wspóªczynników sprz»enia zwrotnego k: rozwi - zuj c ukªad równa«liniowych 29 M T c a = e n otrzymuje si pomocniczy wektor a R n, a nast pnie w ªatwy sposób oblicza si k = ϕ(a) T a. Tak post puj c, uzyskano: a = [ 0.4444 0.4444 0.3333 0.7778 ] T k = [ 436.4444 415.4444 581.3333 671.7778 ] T.

30 Obiekt opisany jest modelem ẋ(t) = Ax(t) + bu(t), A R n n, b R n. Posªuguj c si metod transformacji pary (A, b) do podobnej postaci kanonicznej sterowalnej, wyznacz wspóªrz dne wektora k sprz»enia zwrotnego u(t) = k T x(t) zapewniaj cego macierzy stanu ukªadu zamkni tego zadane warto±ci wªasne. Niech (Â, ˆb) oznacza par macierzy o kanonicznej sterowalnej postaci, w której  R n n jest macierz Frobeniusa, za± ˆb R n jest wektorem jednostkowym 0 1 0 0 0 0 1 0  = 0 0 0 1 a 0 a 1 a 2 a n 1, ˆb = 0 0. 0 1.

Wielomian charakterystyczny macierzy  ma posta det (λi n Â) = n Macierz  ˆbˆk T, gdzie i=0 a iλ i, a n = 1. 31 ˆk = [ ˆk0 ˆk1 ˆk n 1 ] T R n oznacza dowolny wektor, jest tak»e macierz Frobeniusa, w której kolejne elementy ostatniego wiersza przyjmuj warto±ci ( a i ˆk i ), i {0,..., n 1}. Wynika st d,»e w przypadku obiektu dynamicznego opisanego równaniem sterowanie ˆx(t) = ˆx(t) + ˆbu(t) u(t) = ˆk T ˆx(t)

32 oparte o liniowe sprz»enie od stanu ˆx(t) R n, umo»liwia dowolne ksztaªtowanie wielomianu charakterystycznego macierzy stanu odpowiedniego ukªadu zamkni tego: det (λi n (Â ˆbˆk T )) = n i=0 (a i + ˆk i )λ i. O parze (A, b) zakªada si,»e jest caªkowicie sterowalna. Parze tej przyporz dkowa mo»na par podobn (Â, ˆb) = (Tc 1 AT c, Tc 1 b) o kanonicznej sterowalnej postaci, gdzie T c R n n oznacza stosown macierz podobie«stwa. Zachodzi przy tym ˆM c = Tc 1 M c gdzie M c, ˆMc R n n s macierzami sterowalno±ci odpowiednich par: (A, b) oraz (Â, ˆb).

ˆM 1 c Oznaczaj c przez W = R n n odwrotno± macierzy sterowalno±ci pary (Â, ˆb), otrzymujemy wzór T c = M c W w którym W jest symetryczn macierz górn antytrójk tn, utworzon ze wspóªczynników wielomianu charakterystycznego det (λi n A) = n macierzy A i=0 a iλ i, a n = 1 33 W = a 1 a n 2 a n 1 1 a 2 a n 1 1 0 a n 1 0 0 0 1 0 0 0. (3)

34 Zakªadaj c,»e dost pne s wszystkie wspóªrz dne wektora stanu x(t) R n, ªatwo jest wyznaczy taki wektor k R n wspóªczynników sprz»enia zwrotnego u(t) = k T x(t) któremu odpowiada zadany wielomian charakterystyczny det (λi n (A bk T )) = n i=0 α iλ i, α n = 1 macierzy stanu zamkni tego ukªadu sterowania. Bior c pod uwag,»e x(t) = T cˆx(t) otrzymujemy poszukiwany wzór k = (T 1 c ) T ˆk = ( ˆMc M 1 ) T ˆk w którym wspóªrz dne wektora ˆk wyznacza si, porównuj c odpowiednie wspóªczynniki c

rozwa»anych wielomianów charakterystycznych: 35 ˆk = [ α 0 a 0 α 1 a 1 α n 1 a n 1 ] T. Koniecznym i wystarczaj cym warunkiem stosowalno±ci opisanej metody jest odwracalno± macierzy T c, co sprowadza si do postulatu odwracalno±ci macierzy sterowalno±ci M c.

36 Niech: A = oraz Przykªad 5 2.5 2.0 0.5 0.5 0.5 1.0 1.5 0.5 0.5 2.0 1.5 0.5 3.0 4.0 3.0 1.0, b = {λ i } 4 i=1 = { 5, 5, 10, 10}. Kolejno obliczamy: M c = 1.0 7.0 6.0 12.0 2.0 2.0 1.0 5.0 0.0 5.0 2.0 4.0 1.0 10.0 8.0 24.0 det (λi 4 A) = a 0 + a 1 λ + a 2 λ 2 + a 3 λ 3 + λ 4 1 2 0 1 = 4.0 + 4.0λ + 3.0λ 2 4.0λ 3 + λ 4 (λ λ 1 )(λ λ 2 )(λ λ 3 )(λ λ 4 ) = α 0 + α 1 λ + α 2 λ 2 + α 3 λ 3 + λ 4 = 2500 + 1500λ + 325λ 2 + 30λ 3 + λ 4.

37 W = T c = 4.0 3.0 4.0 1.0 3.0 4.0 1.0 0.0 4.0 1.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 13.0 19.0 3.0 1.0 7.0 15.0 10.0 2.0 11.0 18.0 5.0 0.0 18.0 35.0 14.0 1.0 oraz ˆk = [ 2504.0 1496.0 322.0 34.0 ] T. Mamy rank M c = 4, co oznacza,»e macierz T c jest macierz nieosobliw. Zatem, rozwi zuj c ukªad równa«t T c k = ˆk wyznaczamy wektor poszukiwanych wspóªczynników sprz»enia zwrotnego: k = [ 3457.882 2216.118 3619.176 1008.353 ] T.

38 Synteza regulatora od stanu Zadanie ±ledzenia Obiekt dynamiczny opisany jest równaniami ẋ(t) = Ax(t) + bu(t) y(t) = c T x(t) w których A R n n, b R n oraz c R n. Obiekt ten sterowany jest w ukªadzie: Rysunek 1: Strukturalny schemat ukªadu sterowania. Zakªadaj c,»e wszystkie zmienne stanu x(t) s dost pne, zastosowano wewn trzn p tl sprz»enia od stanu x(t) oraz zewn trzn p tl sprz»enia od wyj- ±cia obiektu y(t) (sprz»enie poªo»eniowe)

z caªkowaniem uchybu 39 e(t) = r(t) y(t) gdzie r(t) jest wielko±ci zadaj c. Nale»y wyznaczy warto±ci wspóªrz dnych wektora sprz»enia od stanu k = [ k 1 k n ] T R n oraz warto± wspóªczynnika k n+1 R w gªównym torze sterowania, które zapewni macierzy stanu rozwa»anego ukªadu zamkni tego zadane warto±ci wªasne {λ i } n+1 i=1. Postawiony problem jest zatem zadaniem ±ledzenia z pozycjonowaniem biegunów odpowiedniej transmitancji ukªadu zamkni tego.

40 Niech x(t) = [ x(t) T x n+1 (t) ] T R n+1 b dzie odpowiednio rozszerzonym wektorem stanu rozwa»anego ukªadu zamkni tego, gdzie x n+1 (t) jest wyj±ciem czªonu caªkuj cego uchyb sterowania. Na tej podstawie mo»emy zapisa,»e ẋ n+1 (t) = e(t) = r(t) cx(t) u(t) = k T x(t) + k n+1 x n+1 (t). Ukªad zamkni ty jest zatem opisany równaniem [ ] [ ẋ(t) Ax(t) + b( k = T x(t) + k n+1 x n+1 (t)) ẋ n+1 (t) r(t) c T x(t) [ ] [ ] [ ] A bk = T k n+1 b x(t) 0n c T + r(t). 0 x n+1 (t) 1 ] Odpowiednio rozszerzony wektor wzmocnie«regulatora (stanowy regulator PI) k = [ k T k n+1 ] T R n+1

41 Mamy zatem [ A bk T k n+1 b c T 0 ] = [ A 0n c T 0 ] [ b 0 ] k T. Problem sprowadza si do zadania rozmieszczania warto±ci wªasnych macierzy Ā b k T gdzie: [ ] A 0n Ā = c T R (n+1) (n+1) 0 [ ] b b = R n+1. 0 Zadanie mo»na rozwi za znanymi metodami pod warunkiem,»e para (Ā, b) jest caªkowicie sterowalna. Zauwa»my przy tym,»e spectr Ā = spectr A {0}.

42 Macierz sterowalno±ci Mc R (n+1) (n+1) pary (Ā, b) przyjmuje posta [ ] b Ab A M c = n b 0 c T b c T A n 1 b [ ] [ ] b A 1 01 n = 0 c T 0 n M c gdzie M c R n n jest macierz sterowalno±ci pary (A, b), modelu obiektu. Ukªad zamkni ty, opisany równaniami [ ] x(t) = (Ā b k T 0n ) x(t) + r(t) 1 y(t) = [ c T 0 ] x jest zatem caªkowicie sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy caªkowicie sterowalny jest obiekt (para (A, b)) oraz speªniony dodatkowy jest warunek [ ] A b rank c T = n + 1. 0

Przykªad 6 Rozwa»my przypadek: [ ] 2.50 1.00 A =, b = 0.75 0.50 oraz [ 0.0 100.0 43 ], c = [ 1.0 0.0 ] {λ i } 3 i=1 = { 5.0, 5.0, 5.0}. Zachodzi [ M c = 0.0 100.0 100.0 50.0 ], rank M c = 2 rank [ A b c T 0 ] = rank 2.50 1.00 0.0 0.75 0.50 100.0 1.0 0.0 0 = 3. Postawione zadanie jest zatem wykonalne.

44 Wniosek ten potwierdza analiza rz du macierzy sterowalno±ci pary (Ā, b): M c = 0.0 100.0 300.0 100.0 50.0 50.0 0.0 0.0 100.0. Wielomian charakterystyczny macierzy stanu zamkni tego ukªadu sterowania wynika z zadanych warto±ci wªasnych tej macierzy: ϕ(λ) = (λ + 5) 3 = 125 + 75λ + 15λ 2 + λ 3. Wektor k dany jest formuª Ackermanna 0 0.43 k = ϕ(ā)t 1 ( M c ) T 0 = 0.12. 1 1.25

Transmitancja zamkni tego ukªadu sterowania dana jest wzorem Y (s) R(s) = [ c T 0 ] [ si n+1 (Ā b k T ) ] [ 1 0n 1 45 ] który w naszym przypadku daje Y (s) R(s) = 125.0 125.0 + 75.0s + 15.0s 2 + s. 3 Rozwa»any ukªad zamkni ty pokazano na poni»szym rysunku. Rysunek 2: Symulacyjny schemat ukªadu sterowania.

46 Obiekt dynamiczny opisany jest równaniami: ẋ(t) = Ax(t) + bu(t) y(t) = c T x(t) w których A R n n, b R n oraz c R n. Obiekt ten sterowany jest w ukªadzie: Rysunek 3: Strukturalny schemat ukªadu sterowania. Zakªadaj c,»e wszystkie zmienne stanu x(t) s dost pne, zastosowano: p tl sprz»enia zwrotnego od stanu x(t) oraz gaª ¹ równolegª wiod c do wyj±cia obiektu y(t).

Wyznaczymy takie warto±ci wspóªrz dnych wektora sprz»enia od stanu k = [ k 1 k n ] T R n oraz wspóªrz dnych wektora gaª zi równolegªej m = [ m 1 m n ] T R n które zapewni zadan posta operatorowej transmitancji ukªadu zamkni tego Niech G rc (s) = C(s) R(s). 47 N 0 (s) = c T adj (si n A)b = n 1 i=0 n is i D 0 (s) = det (si n A) = n i=0 a is i, a n = 1. Zachodzi zatem c T (si n A) 1 b = N 0(s) D 0 (s).

48 Z rys. 3 wynikaj zale»no±ci: ẋ(t) = Ax(t) + bu(t) u(t) = r(t) k T x(t) y(t) = (c + m) T x(t) X(s) = (si n A) 1 bu(s) U(s) = R(s) k T X(s) Y (s) = (c + m) T X(s) na podstawie których ªatwo jest wyznaczy transmitancj ukªadu zamkni tego C(s) R(s) = (c + m)t (si n A) 1 b 1 + k T (si n A) 1 b = N 0(s) + m T adj (si n A)b D 0 (s) + k T adj (si n A)b = N(s) D(s). Wektor k wpªywa tylko na mianownik D(s) tak zapisanej transmitancji, za± wektor m tylko na jej licznik N(s).

daj c dowolnego uksztaªtowania wielomianu D(s), musimy zaªo»y caªkowit sterowalno± pary (A, b). Istnieje zatem taka nieosobliwa macierz T c R n n, dla której para podobna (Â, ˆb) = (Tc 1 AT c, Tc 1 b) przyjmuje posta kanoniczn sterowaln. Macierz t obliczamy ze wzoru T c = M c W w którym M c R n n oznacza macierz sterowalno±ci pary (A, b), za± W R n n jest odwrotno±ci macierzy sterowalno±ci ˆMc R n n pary (Â, ˆb) (por. 3). Wielomiany N(s) oraz D(s) mo»na uzale»ni od elementów pary (Â, ˆb): 49 N(s) = N 0 (s) + ˆm T adj (si n Â)ˆb D(s) = D 0 (s) + k T adj (si n Â)ˆb

50 przy czym ˆk = T T c k ˆm = T T c M. Niech N(s) = n 1 i=0 η is i D(s) = n i=0 α is i, α n = 1 oznaczaj zadane wielomiany licznika i mianownika transmitancji ukªadu zamkni tego, wynikaj ce z wymaga«dotycz cych rozmieszczenia zer i biegunów tej transmitancji oraz jej statycznego wzmocnienia. Na tej podstawie wyznaczamy: k = (Tc 1 ) T ˆk ˆk = [ α 0 a 0 α 1 a 1 α n 1 a n 1 ] T oraz m = (T 1 c ) T ˆm ˆm = [ η 0 n 0 η 1 n 1 η n 1 n n 1 ] T.

Przykªad 7 51 Model obiektu oraz ukªadu zamkni tego: 2.0 6.0 1.0 1.0 A = 0.5 0.0 0.5, b = 0.0, c = 2.0 4.0 1.0 1.0 0.5 0.0 1.5 C(s) R(s) = 100 + s (4 + s)(5 + s) 2. Po niezb dnych obliczeniach otrzymujemy: N 0 (s) = n 0 + n 1 s + n 2 s 2 = 1.0 2.0s 2 D 0 (s) = a 0 + a 1 s + a 2 s 2 + s 3 = 3.0 5.0s + s 2 + s 3 N(s) = η 0 + η 1 s + η 2 s 2 = 100.0 + s + 0s 2 D(s) = α 0 + α 1 s + α 2 s 2 + s 3 = 100.0 + 65.0s + 14.0s 2 + s 3 oraz M c = 1.0 1.0 7.0 0.0 1.0 1.0 1.0 1.0 5.0

52 1.0 0.0 1.0 T c = 0.0 1.0 0.0. 1.0 0.0 1.0 Para (A, b) jest caªkowicie sterowalna: rank M c = 3. Na tej podstawie wyznaczamy k = [ 55.0 70.0 42.0 ] T m = [ 50.5 1.0 48.5 ] T co prowadzi do wymaganej transmitancji zamkni tego ukªadu sterowania (c + m) T [si n (A bk T )] 1 b = 100.0 + s 100.0 + 65.0s + 14.0s 2 + s 3. Zauwa»my,»e pary (A, c T ) oraz (A bk T, c + m) w ogólno±ci nie musz by caªkowicie obserwowalne. PJSuchomski