Stabilno± ukªadów liniowych

Transkrypt

1 Rozdziaª 1 Stabilno± ukªadów liniowych Autorzy: Bartªomiej Fajdek 1.1 Poj cia podstawowe Jednym z podstawowych wymogów stawianych ukªadom automatyki jest stabilno±. Istnieje wiele denicji stabilno±ci ukªadów dynamicznych, opisanych przy pomocy równa«ró»niczkowych. Denicja 1.1 O ukªadzie mo»emy mówi,»e jest stabilny gdy ukªad ten wytr cony ze stanu równowagi (rozpatrywanego punktu pracy P ) powraca do niej (do pewnego stanu K) po ustaniu dziaªania czynników (zakªóce«z) które go z tego stanu wytr ciªy. Przytoczon denicj mo»na wyrazi w postaci zale»no±ci wi» cych sygnaªy ukªadu: z : y (P ) y (K) orazu (P ) u (K) z < + y y (P ) < + oraz u u (K) < + (1.1) gdzie: u- sygnaªy wej±ciowe y- sygnaªy wyj±ciowe z- zakªócenia Poniewa» stan równowagi mo»e by ró»nie interpretowany (stan K jest bli»ej nieokre±lony) bardziej u»ytecznym b dzie okre±lenie ukªadu asymptotycznie stabilnego, tzn. takiego, w którym zakªócenie z ograniczone spowoduje chwilowe wytr cenie ukªadu z rozpatrywanego punktu pracy P (ukªad po zanikni ciu zakªócenia z powraca do tego samego stanu równowagi P który zajmowaª poprzednio). z : z < + y y (P ) < + oraz u u (P ) < + (1.2) Ukªad speªniaj cy powy»sze zale»no±ci jest równie» nazywany ukªadem stabilnym w sensie BIBO (ang. Bounded Input Bounded Output )[lit]. 1

2 W dalszej cz ±ci zostan podane najcz ±ciej stosowane kryteria stanowi ce warunki konieczne i dostateczne stabilno±ci ukªadów liniowych. Rozwa»my ukªad zamkni ty opisany za pomoc nast puj cego równania ró»niczkowego: d n y a n dt n + a d n 1 y n 1 dt n a d m u 0y = b m dt m + b d m 1 u m 1 dt m b 0u (1.3) lub odpowiadaj cej mu transmitancji: G (s) = y (s) u (s) = b 0 + b 1 s + + b m s m, n m (1.4) a 0 + a 1 s + + a n sn Denicja 1.2 Warunkiem koniecznym i dostatecznym stabilno±ci asymptotycznej ukªadu opisanego transmitancj ( 1.4 ) jest, aby pierwiastki równania charakterystycznego (mianownika) miaªy ujemne cz ±ci rzeczywiste. gdzie: s k - pierwiastki równania charakterystycznego ukªadu R (s k ) < 0 (1.5) W przypadku gdy chocia» jeden pierwiastek równania charakterystycznego ma cz ± rzeczywist dodatni ukªad jest niestabilny. Je»eli równanie charakterystyczne ma pierwiastki w lewej póªpªaszczy¹nie oraz jednokrotne na osi liczb urojonych, to w ukªadzie b d wyst powa drgania ostaªej amplitudzie. Ukªad znajduje si wówczas na granicy stabilno±ci, czyli nie jest stabilny asymptotycznie. Na rysunku ( 1.1 ) przedstawione jest rozmieszczenie pierwiastków równania charakterystycznego (biegunów) na pªaszczy¹nie zespolonej s dla ukªadów liniowych stabilnych asymptotycznie, niestabilnych oraz znajduj cych si na granicy stabilno±ci. 2

3 Rysunek 1.1 Rozmieszczenie pierwiastków równania charakterystycznego na pªaszczy¹nie zmiennej zespolonej s dla przykªadowych ukªadów liniowych. Obja±nienia do rysunku ( 1.1 ): Kolejnymi numerami oznaczone s pierwiastki równa«charakterystycznych pewnych ukªadów liniowych. Ukªad liniowy, który posiada wyª cznie pierwiastki równania charakterystycznego oznaczone jako 1 jest stabilny asymptotycznie. Ukªad liniowy, który posiada pierwiastki równania charakterystycznego oznaczone jako 1 oraz 2 znajduje si na granicy stabilno±ci. Ukªad liniowy, który posiada pierwiastki równania charakterystycznego oznaczone jako 1 oraz 3 znajduje si na granicy stabilno±ci. Ukªad liniowy, który posiada pierwiastki równania charakterystycznego oznaczone jako 4 (mo»e posiada tak»e pierwiastki oznaczone jako 1,2,3) jest niestabilny. Ukªad liniowy, który posiada pierwiastek podwójny równania charakterystycznego w punkcie 2 jest niestabilny. W przypadku badania stabilno±ci ukªadów liniowych opisanych przy pomocy równa«ró»- niczkowych wy»szych rz dów wyznaczenie pierwiastków równania charakterystycznego mo»e by kªopotliwe. W takich przypadkach stosuje si jedno kryteriów stabilno±ci. Nale»y pami ta,»e wszystkie kryteria wywodz si z warunku podstawowego ( 1.5 ). 3

4 W niniejszym opracowaniu przedstawione zostan nast puj ce kryteria badania stabilno- ±ci: kryterium Hurwitza kryterium Nyquista logarytmiczne kryterium Nyquista Przykªady zada«przykªad 1.1 Sprawdzi stabilno± ukªadu opisanego transmitancj G (s) = 1 2s 2 + 4s + 1 (1.6) Rozwi zanie: W pierwszej kolejno±ci nale»y wyznaczy miejsca zerowe równania charakterystycznego (mianownika) Wyznaczamy delt : 2s 2 + 4s + 1 = 0 (1.7) a nast pnie wyznaczamy pierwiastki: = = 16 8 = 8 (1.8) s 1 = 4+ = , s 2 = 4 = 4 8 0, (1.9) St d wynika,»e obydwa pierwiastki s ujemne wi c zgodnie z denicj ( 1.2 ) ukªad jest stabilny asymptotycznie. Przykªad 1.2 Sprawdzi stabilno± ukªadu opisanego transmitancj G (s) = 1 s 2 4s + 5 (1.10) Rozwi zanie: Podobnie jak w poprzednim przykªadzie nale»y wyznaczy miejsca zerowe równania charakterystycznego (mianownika) s 2 4s + 5 = 0 (1.11) 4

5 Wyznaczamy delt : a nast pnie pierwiastki: = ( 4) = = 4 = 4i 2 = 2i (1.12) s 1 = (4) = (4) 2i = 2 i s 2 = (4)+ = (4)+2i = 2 + i (1.13) St d wynika»e pierwiastki równania charakterystycznego posiadaj dodatnie cz ±ci rzeczywiste. Zgodnie z denicj ( 1.2 ) ukªad jest niestabilny. Przykªad 1.3 Sprawdzi stabilno± ukªadu opisanego transmitancj G (s) = 2s + 1 s 3 4s 2 + 5s 2 (1.14) Rozwi zanie: Nale»y wyznaczy pierwiastki równania charakterystycznego (mianownika) N (s) = s 3 4s 2 + 5s 2 = 0 (1.15) Šatwo zauwa»y,»e N (2) = = 0wi c zgodnie z twierdzeniem Bézout'a wielomian N (s)mo»na przedstawi w nast puj cej postaci: gdzie: N (s) = (x 2) W (s) (1.16) mo»na to wyrazi nast puj co: W (s) = as 2 + bs + c (1.17) (x 2) (as 2 + bs + c) = as 3 + bs 2 + c 2as 2 2bs 2c = = as 3 + (b 2a) s 2 + (c 2b) s 2c (1.18) wi c liczby a,b,c musz przybiera warto±ci takie, by x Rzachodziªa równo± : Równo± ta jest speªniona gdy: s 3 4s + 5s 2 = as 3 + (b 2a) s 2 + (c 2b) s 2c (1.19) a = 1 b a = 4 c 2b = 5 2c = 2 (1.20) 5

6 Po rozwi zaniu powy»szego ukªadu równa«otrzymujemy: a = 1 b = 2 c = 1 (1.21) St d wynika,»e: W (s) = s 2 2s + 1 (1.22) Ostatecznie równanie charakterystyczne ma nast puj c posta : N (s) = (s 2) ( s 2 2s + 1 ) (1.23) Šatwo zauwa»y,»e równanie mo»na przeksztaªci do nast puj cej postaci: N (s) = (s 2) (s 1) 2 (1.24) Równanie charakterystyczne posiada nast puj ce pierwiastki: s 1 = 2 s 2,3 = 1 (1.25) St d wynika»e pierwiastki równania charakterystycznego posiadaj dodatnie cz ±ci rzeczywiste. Zgodnie z denicj ( 1.2 ) ukªad jest niestabilny Zadania do samodzielnego rozwi zania Przykªad 1.4 Sprawdzi stabilno± ukªadu opisanego transmitancj : G (s) = 1 2s 2 + 4s + 5 (1.26) Przykªad 1.5 Sprawdzi stabilno± ukªadu opisanego transmitancj : G (s) = 1 s 2 0.5s + 2 (1.27) Przykªad 1.6 Sprawdzi stabilno± ukªadu opisanego transmitancj : G (s) = 1 s 3 + 2s 2 + 2s + 3 (1.28) 6

7 Przykªad 1.7 Sprawdzi stabilno± ukªadu opisanego transmitancj : G (s) = s s s + 2 (1.29) Przykªad 1.8 Sprawdzi stabilno± ukªadu opisanego transmitancj : G (s) = 1 s 4 + 6s 3 + 8s 2 + 6s + 3 (1.30) Przykªad 1.9 Sprawdzi stabilno± ukªadu opisanego transmitancj : G (s) = 1 0.1s s s s + 3 (1.31) 1.2 Kryterium Hurwitza Kryterium Hurwitza jest jedn z metod oceny stabilno±ci ukªadów liniowych bez konieczno±ci obliczania pierwiastków równania charakterystycznego. Nale»y do grupy kryteriów algebraicznych. Mo»na je sformuªowa nast puj co: Denicja 1.3 Równanie charakterystyczne ukªadu o transmitancji G (s) = M(s) N(s) : N (s) = a n s n + a n 1 s n a 1 s + a 0 (1.32) posiada wszystkie pierwiastki w lewej póªpªaszczy¹nie zmiennej zespolonej swtedy i tylko wtedy, gdy speªnione s nast puj ce warunki: 1. Warunek I - wszystkie wspóªczynniki równania (1.32 ) istniej i maj jednakowy znak (warunek konieczny, ale niedostateczny) a n > 0,a n 1 > 0,..., a 0 > 0, 2. Warunek II - podwyznaczniki i, od i = 2 do i = n 1, wyznacznika gªównego n s wi ksze od zera. Wyznacznik n utworzony ze wspóªczynników równania charakterystycznego jest nast puj cej postaci: n = a n 1 a n a n 3 a n 2 a n 1 a n 0... a n 5 a n 4 a n 3 a n 2 a n 1... a n 7 a n 6 a n 5 a n 4 a n podwyznaczniki i maj posta : 7

8 [ an 1 a 2 = n a n 3 a n 2 ], 3 = a n 1 a n 0 a n 3 a n 2 a n 1 a n 5 a n 4 a n 3,... Przy pomocy kryterium mo»liwe jest stwierdzenie stabilno±ci asymptotycznej i nieasymptotycznej. Stabilno± nieasymptotyczna zachodzi wtedy, gdy w równaniu charakterystycznym wspóªczynnik a 0 = Przykªady zada«przykªad 1.10 Sprawdzi stabilno± ukªadu liniowego o podanym równaniu charakterystycznym Rozwi zanie: Równanie mo»na sprowadzi do nast puj cej postaci: N (s) = s 5 + 4s 4 + 3s 3 + 4s 2 + s (1.33) N (s) = s 4 + 4s 3 + 3s 2 + 4s + 1 (1.34) Zgodnie z kryterium Hurwitza w pierwszej kolejno±ci nale»y sprawdzi warunek I (czy wszystkie wspóªczynniki równania istniej i maj wspólny znak). Šatwo zauwa»y»e pierwszy warunek jest speªniony poniewa»: a 4 = 1 > 0,a 3 = 4 > 0,a 2 = 3 > 0,a 1 = 4 > 0,a 0 = 1 > 0 (1.35) Nast pnie nale»y sprawdzi warunek II. W tym celu nale»y wyznaczy wyznacznik gªówny n=4 : n=4 = a 3 a a 1 a 2 a 3 a 4 0 a 0 a 1 a a 0 = (1.36) oraz sprawdzi czy podwyznaczniki i, od i = 2 do i = 3s wi ksze od zera: 3 = 2 = [ ], det ( 2 ) = 12 4 = 8 > 0 (1.37), det ( 3 ) = = 16 > 0 (1.38) Zgodnie z kryterium Hurwitza ukªad jest stabilny asymptotycznie. 8

9 Przykªad 1.11 Sprawdzi stabilno± ukªadu liniowego ukªadu przedstawionego na rysunku (1.2 ) Rysunek 1.2 Schemat blokowy ukªadu Rozwi zanie: W pierwszej kolejno±ci nale»y wyznaczy transmitancj ukªadu. W tym celu nale» przeksztaªci schemat blokowy do nast puj cej postaci: Rysunek 1.3 Schemat blokowy ukªadu po przeksztaªceniach 9

10 Nast pnie mo»liwe jest wyznaczenie transmitancji zast pczej ukªadu: gdzie: Z 1 (s) = 2 s 1+ 6 s Z 2 (s) = 1 + = 2 s+6 s = 6s+1 5s+1 5s+1 Z 3 (s) = 1 s+1 Ostatecznie transmitancja zast pcza ma posta : G (s) = Z 1 (s) Z 2 (s) Z 3 (s) (1.39) G (s) = 12s + 2 5s s s + 6 Równanie charakterystyczne ukªadu jest nast puj ce: (1.40) N (s) = 5s s s (1.41) Zgodnie z kryterium Hurwitza w pierwszej kolejno±ci nale»y sprawdzi warunek I (czy wszystkie wspóªczynniki równania istniej i maj wspólny znak). Pierwszy warunek jest speªniony poniewa»: a 3 = 5 > 0,a 2 = 36 > 0,a 1 = 37 > 0,a 0 = 6 > 0 (1.42) Nast pnie nale»y sprawdzi warunek II. W tym celu nale»y wyznaczy wyznacznik gªówny n=3 : n=3 = a 2 a 3 0 a 0 a 1 a a 0 = oraz sprawdzi czy podwyznacznik 2 jest wi kszy od zera: 2 = [ ] (1.43), det ( 2 ) = = 1302 > 0 (1.44) Zgodnie z kryterium Hurwitza ukªad jest stabilny asymptotycznie. 10

11 Przykªad 1.12 Okre±li wzmocnienie regulatora P zapewniaj ce stabiln prac ukªadu regulacji przedstawionego na rysunku (1.4 ) Rysunek 1.4 Schemat blokowy ukªadu regulacji Rozwi zanie: W celu sprawdzenia stabilno±ci ukªadu nale»y wyznaczy transmitancj zast pcz : G (s) = y (s) w (s) = 4k 5s(4s+1) k 5s(4s+1) 2 = 4k 5s ( 16s 2 + 8s + 1 ) + 4k = Równanie charakterystyczne ukªadu jest nast puj ce: 4k 80s s 2 + 5s + 4k (1.45) N (s) = 80s s 2 + 5s + 4k (1.46) Zgodnie z kryterium Hurwitza (warunek I) wszystkie wspóªczynniki równania musz istnie oraz mie wspólny znak. Z warunku I otrzymujemy ostatecznie: a 3 = 80 > 0,a 2 = 40 > 0,a 1 = 5 > 0,a 0 = 4k > 0 (1.47) k > 0 (1.48) Nast pnie nale»y wyznaczy wyznacznik gªówny n=3 w celu sprawdzenia warunku II: n=3 = a 2 a 3 0 a 0 a 1 a a 0 = k k (1.49) 11

12 oraz podwyznacznik 2 : 2 = [ k 5 ], det ( 2 ) = k (1.50) Zgodnie z II warunkiem kryterium Hurwitza podwyznacznik 2 musi by wi kszy od zera k > 0 320k < 200 k < 5 8 (1.51) Ostatecznie, bior c pod uwag obydwa warunki, otrzymujemy: 0 < k < 5 8 (1.52) Przykªad 1.13 Okre±li krytyczn warto± wspóªczynnika wzmocnienia k p regulatora w funkcji jego czasu wyprzedzenia T d dla ukªadu przedstawionego na rysunku () Rysunek 1.5 Schemat blokowy ukªadu regulacji Rozwi zanie: Na pocz tku nale»y wyznaczy transmitancj zast pcz ukªadu regulacji: G (s) = y (s) 1 x (s) = 1 + (s+1)(0.4s+1)(0.1s+1) k p(1+t d s) (s+1)(0.4s+1)(0.1s+1) Równanie charakterystyczne jest postaci: = 1 (s + 1) (0.4s + 1) (0.1s + 1) + k p (1 + T d s) (1.53) N (s) = 0.04s s 2 + (1.5 + k p T d ) s k p (1.54) 12

13 Nast pnie nale»y sprawdzi warunek I kryterium Hurwitza (wszystkie wspóªczynniki równania musz istnie oraz mie wspólny znak). a 3 = 0.04 > 0,a 2 = 0.54 > 0,a 1 = k p T d > 0,a 0 = 1 + kp > 0 (1.55) ostatecznie otrzymujemy nast puj ce warunki: k p T d > 1.5 k p > 1 (1.56) Nast pnie nale»y sprawdzi warunek II. W tym celu nale»y wyznaczy wyznacznik gªówny n=3 : n=3 = oraz podwyznacznik 2 : a 2 a 3 0 a 0 a 1 a a 0 = k p k p T d k p (1.57) 2 = [ k p k p T d ], det ( 2 ) = 0.54 (1.5 + k p T d ) 0.04 (1 + k p ) (1.58) Zgodnie z II warunkiem kryterium Hurwitza podwyznacznik 2 musi by wi kszy od zera (1.5 + k p T d ) 0.04 (1 + k p ) > 0 (1.59) Nierówno± mo»na ªatwo przeksztaªci do nast puj cej postaci k p (13.5T d 1) > 0 (1.60) Analizuj c powy»sz nierówno± mo»na zauwa»y,»e w przypadku gdy czªon 13.5T d 1 b dzie wi kszy od zera ukªad regulacji z idealnym regulatorem PD b dzie stabilny dla ka»dej warto±ci wzmocnienia k p. Warunek b dzie wi c speªniony gdy T d Nierówno± (1.60 ) mo»na podzieli na dwa przedziaªy wzgl dem czasu wyprzedzenia T d : Dla T d : k p > T d 1 (1.61) Dla T d < : k p < T d (1.62) 13

14 Ostatecznie otrzymujemy nast puj cy zestaw warunków: k p T d > 1.5 k p > 1 k p > T d 1, T d < (1.63) k p < T d, T d Przebieg granicy stabilno±ci przedstawiony jest na rysunku (1.6 ). Rysunek 1.6 Przebieg granicy stabilno±ci dla rozpatrywanego ukªadu regulacji 14

15 1.2.2 Przykªady do samodzielnego rozwiazania Przykªad 1.14 Sprawdzi stabilno± ukªadu liniowego o podanym równaniu charakterystycznym: Przykªad 1.15 N (s) = s 3 + 2s 2 + 2s + 3 (1.64) Sprawdzi stabilno± ukªadu liniowego o podanym równaniu charakterystycznym: Przykªad 1.16 N (s) = s s 3 + 2s s + 3 (1.65) Sprawdzi stabilno± ukªadu liniowego o podanym równaniu charakterystycznym: Przykªad 1.17 N (s) = s s s 3 + 5s s + 1 (1.66) Sprawdzi stabilno± ukªadu liniowego o podanym równaniu charakterystycznym: Przykªad 1.18 N (s) = s 5 + 2s s s s + 1 (1.67) Sprawdzi stabilno± ukªadu liniowego ukªadu przedstawionego na rysunku. Rysunek 1.7 Schemat blokowy ukªadu. 15

16 Przykªad 1.19 Okre±li wzmocnienie regulatora P zapewniaj ce stabiln prac ukªadu regulacji przedstawionego na rysunku Rysunek 1.8 Schemat blokowy ukªadu. Przykªad 1.20 Transmitancja ukªadu otwartego ma posta : G o = k p(1 + Ts) 2 s 3 (s + 1) (1.68) Okre±li warto±ci k p i T, dla których ukªad zamkni ty b dzie stabilny. Napisa równanie granicy stabilno±ci oraz narysowa j na pªaszczy¹nie k p i T. 16

17 Przykªad 1.21 Obliczy zale»no± krytycznego wspóªczynnika wzmocnienia obiektu k od staªej czasowej T d regulatora dla ukªadu automatyki przedstawionego na rysunku. Rysunek 1.9 Schemat blokowy ukªadu. 1.3 Kryterium Nyquista Kryterium Nyquista umo»liwia badanie stabilno±ci ukªadu zamkni tego na podstawie przebiegu charakterystyki amplitudowo-fazowej ukªadu otwartego. Mo»emy rozró»ni dwa przypadki: I Przypadek: Ukªad otwarty jest stabilny Denicja 1.4 Ukªad zamkni ty jest stabilny je»eli charakterystyka amplitudowo-fazowa odpowiadaj - cego mu ukªadu otwartego, dla pulsacji od 0 do + nie obejmuje punktu ( 1; j0). Bezpo±rednio z przytoczonej denicji wynika tzw. reguªa lewej strony, wedªug której ukªad zamkni ty jest stabilny je»eli punkt ( 1; j0)znajduje si w obszarze le» cym po lewej stronie charakterystyki amplitudowo-fazowej ukªadu otwartego id c w stron rosn cych pulsacji ω. II Przypadek: Ukªad otwarty jest niestabilny Denicja 1.5 Je»eli otwarty ukªad regulacji jest niestabilny i ma mpierwiastków swego równania charakterystycznego w prawej póªpªaszczy¹nie zmiennej zespolonej s, to po zamkni ciu b dzie on stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy charakterystyka amplitudowo-fazowa ukªadu otwartego dla pulsacji od 0 do + okr»a m punkt ( 1; j0)w kierunku niezgodnym z ruchem 2 wskazówek zegara. 17

18 1.3.1 Przykªady zada«przykªad 1.22 Dla ukªadu regulacji przedstawionego na rysunku (1.10 ): sprawdzi stabilno± oraz okre±li zapas moduªu (w przypadku gdy ukªad jest stabilny), czy dwukrotne zwi kszenie k p regulatora wpªywa na stabilno± ukªadu. Rysunek 1.10 Schemat ukªadu regulacji Rozwi zanie: Aby sprawdzi stabilno± ukªadu regulacji korzystaj c z kryterium Nyquista nale»y wyznaczy transmitancj ukªadu otwartego: G o (s) = k p (s + 1) (0.4s + 1) (0.1s + 1) = s s s + 1 (1.69) Równanie charakterystyczne ukªadu otwartego ma posta : N o (s) = 0.04s s s + 1 (1.70) W pierwszej kolejno±ci nale»y sprawdzi stabilno± ukªadu otwartego. W tym celu mo»- na skorzysta z kryterium Hurwitza. Nale»y sprawdzi warunek I kryterium Hurwitza (wszystkie wspóªczynniki równania musz istnie oraz mie wspólny znak). a 3 = 0.04 > 0,a 2 = 0.54 > 0,a 1 = 1.5 > 0,a 0 = 1 > 0 (1.71) Nast pnie nale»y sprawdzi warunek II. W tym celu nale»y wyznaczy wyznacznik gªówny n=3 : n=3 = a 2 a 3 0 a 0 a 1 a a 0 = (1.72)

19 oraz podwyznacznik 2 : 2 = [ ], det ( 2 ) = = = 0.77 (1.73) Zatem ukªad otwarty jest stabilny. Zgodnie z denicj (1.4 ) aby ukªad po zamkni ciu równie» byª stabilny, to zgodnie z kryterium Nyquista charakterystyka amplitudowo-fazowa nie mo»e obejmowa punktu ( 1; j0). Transmitancja widmowa ukªadu otwartego jest postaci: G o (jω) = (jω) (jω) jω + 1 (1.74) Poniewa» G o (jω)jest funkcj zespolon, mo»na rozªo»y j na cz ± rzeczywist i cz ± urojon : G o (jω) = P (ω)+jq(ω) = 10 (1 0.54ω 2 ) (1 0.54ω 2 ) 2 + ω 2 (0.04ω 2 1.5) 2 +j 10ω (0.04ω 2 1.5) (1 0.54ω 2 ) 2 + ω 2 (0.04ω 2 1.5) 2 (1.75) Nast pnie nale»y wyznaczy warto± pulsacji ω x dla której argg o (jω x ) = Poniewa» φ(ω) = arctg Q(ω) wi c dla rozpatrywanego przykªadu: P (ω) Po przeksztaªceniach otrzymujemy: Równanie jest speªnione gdy: arctg ω (0.04ω2 1.5) ω 2 = (1.76) ω (0.04ω 2 1.5) ω 2 = 0 (1.77) ω = 0 ω = 37.5 ω = 37.5 (1.78) Poniewa» rozpatrujemy jedynie dodatnie warto±ci ωwi c ostatecznie otrzymujemy: Nast pnie wyznaczamy warto± moduªu M (ω x ): ω x = 37.5 (1.79) M (ω x ) = P 2 (ω x ) + Q 2 (ω x ) = 10 ( ) ( ) ( ) (1.80) 19

20 Warto± moduªu dla pulsacji ω x wynosi w przybli»eniu wi c zgodnie z kryterium Nyquista charakterystyka amplitudowo-fazowa nie mo»e obejmowa punktu ( 1; j0). Ukªad jest wi c stabilny z zapasem moduªu M (ω x ) = = W przypadku gdy dwukrotnie zwi kszymy k p regulatora, warto± moduªu dla pulsacji ω x wyniesie: M (ω x ) = P 2 (ω x ) + Q 2 (ω x ) = 20 ( ) ( ) ( ) (1.81) wi c zgodnie z kryterium Nyquista ukªad po zamkni ciu b dzie niestabilny. Wyra¹nie jest to widoczne na rysunku poni»ej Rysunek 1.11 Rysunek pomocniczy charakterystyki amplitudowo-fazowe dla ró»nych wzmocnie«. 20

21 Przykªad 1.23 Zbada stabilno± ukªadu przedstawionego na rysunku (1.10 ) korzystaj c z kryterium Nyquista. Rysunek 1.12 Schemat ukªadu regulacji Rozwi zanie: Aby sprawdzi stabilno± ukªadu regulacji korzystaj c z kryterium Nyquista nale»y wyznaczy transmitancj ukªadu otwartego: G o (s) = 1 2s 3 + 5s 2 + 2s + 1 Równanie charakterystyczne ukªadu otwartego ma posta : (1.82) N o (s) = 2s 3 + 5s 2 + 2s + 1 (1.83) W pierwszej kolejno±ci nale»y, np. korzystaj c z kryterium Hurwitza, sprawdzi stabilno± ukªadu otwartego. Zgodnie z kryterium Hurwitza (wszystkie wspóªczynniki równania musz istnie oraz mie wspólny znak) nale»y sprawdzi wspóªczynniki równania: a 3 = 2 > 0,a 2 = 5 > 0,a 1 = 2 > 0,a 0 = 1 > 0 (1.84) I warunek kryterium Hurwitza jest speªniony. Nast pnie nale»y sprawdzi II warunek Hurwitza. W tym celu wyznaczamy wyznacznik gªówny n=3 : oraz podwyznacznik 2 : 2 = n=3 = [ Zatem ukªad otwarty jest stabilny. ] a 2 a 3 0 a 0 a 1 a a 0 = (1.85), det ( 2 ) = = 10 2 = 8 (1.86) 21

22 Aby ukªad byª stabilny po zamkni ciu, zgodnie z kryterium Nyquista charakterystyka amplitudowo-fazowa nie mo»e obejmowa punktu ( 1; j0). Transmitancja widmowa ukªadu otwartego ma posta : G o (jω) = 1 2(jω) 3 + 5(jω) 2 + 2jω + 1 (1.87) Transmitancj widmow mo»na rozªo»y j na cz ± rzeczywist i cz ± urojon : G o (jω) = P (ω) + jq(ω) = 1 5ω 2 (1 5ω 2 ) 2 + 2ω 2 (ω 2 1) 2 + j 2ω (ω 2 1) (1 5ω 2 ) 2 + 2ω 2 (ω 2 1) 2 Tabela 1.1 Warto±ci cz ±ci rzeczywistej oraz urojonej dla przykªadowych pulsacji ω P (ω) Q(ω) (1.88) Na podstawie zaª czonej tabelki sporz dzamy wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej ukªadu otwartego. Rysunek 1.13 Charakterystyka amplitudowo-fazowa 22

23 Z wykresu wynika bezpo±rednio,»e charakterystyka amplitudowo-fazowa ukªadu otwartego nie obejmuje punktu ( 1,j0),a zatem ukªad po zamkni ciu jest stabilny (zgodnie z kryterium Nyquista) Zadania do samodzielnego rozwiazania Przykªad 1.24 Zbada stabilno± i okre±li zapas moduªu ukªadu przedstawionego na rysunku. Rysunek 1.14 Schemat blokowy ukªadu. Przykªad 1.25 Zbada stabilno± i okre±li zapas moduªu ukªadu przedstawionego na rysunku. Rysunek 1.15 Schemat blokowy ukªadu. 23

24 Przykªad 1.26 Okre±li krytyczn warto± wspóªczynnika wzmocnieniak, przy której ukªad przedstawiony na rysunku b dzie stabilny. Rysunek 1.16 Schemat blokowy ukªadu. 1.4 Logarytmiczne kryterium Nyquista Z kryterium Nyquista wynika bezpo±rednio nast puj cy warunek stabilno±ci: gdzie ω x jest pulsacj dla której: G 0 (jω) < 1 (1.89) argg o (jω) = arctg Q(ω) P (ω) = 1800 (1.90) W przypadku gdy mamy do dyspozycji charakterystyki amplitudow L(ω)oraz fazow φ(ω)to warunek mo»na wyrazi nast puj c zale»no±ci : L (ω x ) = 10log G 0 (jω x ) < 0 (1.91) Logarytmiczne kryterium stabilno±ci mo»na sformuªowa nast puj co: Denicja 1.6 Zamkni ty ukªad regulacji automatycznej jest stabilny wtedy, gdy logarytmiczna charakterystyka amplitudowa ukªadu otwartego ma warto± ujemn przy pulsacji odpowiadaj cej przesuni ciu fazowemu

25 Rysunek 1.17 Przykªadowe charakterystyki amplitudowa oraz fazowa: L- zapas moduªu, φ- zapas fazy Na rysunku (1.17 ) przedstawione s przykªadowe charakterystyki amplitudowa oraz fazowa dla stabilnego ukªadu liniowego. Reprezentacja graczna pozwala na sprawdzenie stabilno±ci ukªadu oraz wyznaczenie liczbowych warto±ci zapasu moduªu L oraz zapasu fazy φ. Warto±ci parametrów zale» od rodzaju ukªadu oraz jego warunków pracy. Zwykle przyjmuje si : L = 6 12dB φ = (1.92) Ukªady niestabilne nie posiadaj zapasu moduªu oraz zapasu fazy (w tym przypadku cz sto wyznacza si ujemne warto±ci tych parametrów). 25

26 1.4.1 Przykªady zada«przykªad 1.27 Otwarty ukªad regulacji ma nast puj c transmitancj operatorow : G o (s) = k (T 1 s + 1) (T 2 s + 1) (T 3 s + 1) (1.93) gdzie: k = 100 T 1 = 1 [ms] T 2 = 0.2 [ms] T 3 = 0.1 [ms] Zbada stabilno± ukªadu zamkni tego o podanej transmitancji, korzystaj c z logarytmicznego kryterium Nyquista. Rozwi zanie: W pierwszej kolejno±ci nale»y sprawdzi czy otwarty ukªad regulacji jest stabilny. Ukªad otwarty jest stabilny, gdy» równanie charakterystyczne ukªadu otwartego nie posiada pierwiastków o dodatnich cz ±ciach rzeczywistych. Nast pnie nale»y wykre±li charakterystyki amplitudow oraz fazow. W tym celu nale»y przedstawi transmitancj operatorow jako poª czenie szeregowe nast puj cych elementów: G 1 (s) = k G 2 (s) = 1 s+1 G 3 (s) = 1 0.2s+1 G 4 (s) = 1 0.1s+1 (1.94) Charakterystyki amplitudowa oraz fazowa poszczególnych elementów przedstawione s na rysunku poni»ej. 26

27 Rysunek 1.18 Charakterystyki amplitudowa oraz fazowa poszczególnych elementów Analizuj c charakterystyki (amplitudow oraz fazow ) wyra¹nie wida,»e dla przesuni cia fazowego Φ(ω) = charakterystyka amplitudowa przyjmuje warto± dodatni. Zgodnie z logarytmicznym kryterium Nyquista ukªad jest niestabilny. 27

28 Przykªad 1.28 Okre±li tak warto± wspóªczynnika wzmocnienia k p regulatora P, aby ukªad przedstawiony na rysunku byª stabilny z zapasem moduªu L = 10db. Rysunek 1.19 Schemat ukªadu regulacji. Rozwi zanie: W pierwszej kolejno±ci (aby skorzysta z logarytmicznego kryterium Nyquista) nale»y wyznaczy transmitancj ukªadu otwartego. G o (s) = k p s (0.1s + 1) (0.01s + 1) (1.95) Nast pnie nale»y sprawdzi czy ukªad otwarty jest stabilny. Ukªad otwarty jest stabilny nieasymptotycznie poniewa» nie posiada pierwiastków o dodatnich cz ±ciach rzeczywistych oraz posiada jeden pierwiastek zerowy. Transmitancja operatorowa mo»e zosta przedstawiona jako iloczyn transmitancji czªonów podstawowych. G 1 (s) = k p G 2 (s) = 1 s G 3 (s) = 1 0.1s+1 G 4 (s) = s+1 (1.96) Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa oraz fazowa ukªadu otwartego dla k p = 1 przedstawione s na rysunku. 28

29 Rysunek 1.20 Charakterystyki amplitudowa oraz fazowa poszczególnych elementów. Analizuj c charakterystyki (amplitudow oraz fazow ) wyra¹nie wida,»e dla aby zapewni zapas moduªu L = 10db nale»y przesun charakterystyk fazow o 30dB do góry. Otrzymujemy wi c: 20log (k p ) = 30dB log (k p ) = 1.5 k p (1.97) 29

30 Przykªad 1.29 Okre±li warto± staªej czasowej caªkowania T i regulatora zapewniaj cego: 1. zapas moduªu L = 6dB 2. zapas fazy Φ = 45 0 dla ukªadu przedstawionego na rysunku poni»ej. Rysunek 1.21 Schemat blokowy ukªadu regulacji. Rozwi zanie: W pierwszej kolejno±ci (aby skorzysta z logarytmicznego kryterium Nyquista) nale»y wyznaczy transmitancj ukªadu otwartego. G o (s) = 100 (s + 1) 1 (1.98) (10s + 1) (0.1s + 1) (0.01s + 1) (0.01s + 1) T i Nast pnie nale»y sprawdzi czy ukªad otwarty jest stabilny. Ukªad otwarty jest stabilny nieasymptotycznie poniewa» nie posiada pierwiastków o dodatnich cz ±ciach rzeczywistych. Transmitancja operatorowa mo»e zosta przedstawiona jako iloczyn transmitancji czªonów podstawowych. G 1 (s) = 100 G 2 (s) = s + 1 G 3 (s) = 1 10s+1 G 4 (s) = 1 0.1s+1 G 5 (s) = s+1 G 6 (s) = s+1 G 7 (s) = 1 T i s (1.99) 30

31 zapas moduªu L = 6dB: Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa oraz fazowa ukªadu otwartego przedstawione s na rysunku. Rysunek 1.22 Charakterystyki amplitudowa oraz fazowa poszczególnych elementów. Na wykresach zaznaczone jest miejsce oraz warto± o jak nale»y przesun wypadkow charakterystyk. W analizowanym przypadku aby zapewni zapas moduªu L = 6dBnale»y przesun charakterystyk o 16dB w dóª. W przypadku, gdy nale»y wyznaczy przesuni cie wypadkowej charakterystyki amplitudowej przy pomocy obiektów o pewnym nachyleniu charakterystyki amplitudowej (np. obiekt caªkuj cy, inercyjny, ró»niczkuj cy) nale»y wyznaczy nieznan staª czasow obiektu. Istniej dwa podstawowe przypadki: 31

32 przesuni cie charakterystyki amplitudowej w dóª Rysunek 1.23 Pomocniczy rysunek przy przesuwaniu charakterystyki amplitudowej w dóª. Aby zapewni przesuni cie wypadkowej charakterystyki w dóª (w punkcie oznaczonym jako ω x ) nale»y skorzysta z nast puj cych zale»no±ci: oraz x A = ydb 1dek (1.100) log(ω) = log (ω x ) A (1.101) Korzystaj c z zale»no±ci mo»emy wyznaczy warto± nieznanej staªej czasowej T = 1 ω. przesuniecie charakterystyki amplitudowej w gór Rysunek 1.24 Pomocniczy rysunek przy przesuwaniu charakterystyki amplitudowej w gór. 32

33 Aby zapewni przesuni cie wypadkowej charakterystyki w gór (w punkcie oznaczonym jako ω x ) nale»y skorzysta z nast puj cych zale»no±ci: oraz x A = ydb 1dek (1.102) log(ω) = log (ω x ) + A (1.103) Podobnie jak w przypadku przesuwania charakterystyki w dóª korzystaj c z zale»- no±ci mo»emy wyznaczy warto± nieznanej staªej czasowej T = 1 ω. Aby przesun charakterystyk amplitudow w dóª o 16dBnale»y wyznaczy staª czasow obiektu caªkuj cego G 7 (s) = 1 T i (miejsce przeci cia charakterystyki amplitudowej z s zerem). Rysunek 1.25 Pomocniczy rysunek do wyznaczenia staªej czasowej obiektu caªkuj cego. Nale»y skorzysta z nast puj cych zale»no±ci: oraz: x = 20dB A 1dek A = 16dek (1.104) 20 log(ω) = log (ω x ) A log(ω) = log (31.6) 0.8 log(ω) = 0.7 ω (1.105) wi c staªa czasowa obiektu inercyjnego powinna wynosi T i = 1 ω

34 zapas fazy Φ = 45 0 : Rysunek 1.26 Charakterystyki amplitudowa oraz fazowa poszczególnych elementów. Na wykresach zaznaczone jest miejsce oraz warto± o jak nale»y przesun wypadkow charakterystyk. W analizowanym przypadku aby zapewni zapas fazy Φ = 45 0 nale»y przesun charakterystyk o 20dB w dóª. Aby przesun charakterystyk amplitudow w dóª o 20dBnale»y wyznaczy staª czasow obiektu caªkuj cego G 7 (s) = 1 T i (miejsce przeci cia charakterystyki amplitudowej z s zerem). 34

35 Rysunek 1.27 Pomocniczy rysunek do wyznaczenia staªej czasowej obiektu caªkuj cego. Nale»y skorzysta z nast puj cych zale»no±ci: oraz: x = 20dB A 1dek A = 20dek (1.106) 20 log(ω) = log (ω x ) A log(ω) = log (10) 1 log(ω) = 0 ω 1 (1.107) wi c staªa czasowa obiektu inercyjnego powinna wynosi T i = 1 ω Zadania do samodzielnego rozwi zania Przykªad 1.30 Otwarty ukªad regulacji ma nast puj c transmitancj operatorow : G o (s) = 20 (0.02s + 1) (0.2s + 1) (2s + 1) (1.108) Zbada stabilno± ukªadu zamkni tego o podanej transmitancji, korzystaj c z logarytmicznego kryterium Nyquista. Przykªad 1.31 Otwarty ukªad regulacji ma nast puj c transmitancj operatorow : G o (s) = 40 (s + 1) 2 (0.4s + 1) (4s + 1) (1.109) Zbada stabilno± ukªadu zamkni tego o podanej transmitancji, korzystaj c z logarytmicznego kryterium Nyquista. 35

36 Przykªad 1.32 Okre±li warto± wspóªczynnika wzmocnienia k p regulatora zapewniaj cego: 1. zapas moduªu L = 6dB 2. zapas fazy Φ = 45 0 dla ukªadu przedstawionego na rysunku poni»ej. Rysunek 1.28 Schemat blokowy ukªadu. Przykªad 1.33 Okre±li warto± staªej caªkowania T i regulatora zapewniaj cego: 1. zapas moduªu L = 10dB 2. zapas fazy Φ = 30 0 Rysunek 1.29 Schemat blokowy ukªadu. 36

37 Przykªad 1.34 Okre±li warto± wspóªczynnika wzmocnienia k p regulatora zapewniaj cego: 1. zapas moduªu L = 5dB 2. zapas fazy Φ = 60 0 Rysunek 1.30 Schemat blokowy ukªadu. Przykªad 1.35 Okre±li warto± staªej caªkowania T i regulatora zapewniaj cego: 1. zapas moduªu L = 10dB 2. zapas fazy Φ = 60 0 Rysunek 1.31 Schemat blokowy ukªadu. 37

38 Przykªad 1.36 Okre±li warto± staªej ró»niczkowania T d regulatora zapewniaj cego: 1. zapas moduªu L = 8dB 2. zapas fazy Φ = 45 0 Rysunek 1.32 Schemat blokowy ukªadu Zagadnienia dodatkowe zwi zane z logarytmicznym kryterium Nyquista Przy badaniu stabilno± ukªadów dynamicznych, korzystaj c z logarytmicznego kryterium Nyquista, wykorzystywane byªy charakterystyki logarytmiczne podstawowych elementów aproksymwane odcinkami linii prostych, które s przybli»eniem charakterystyk rzeczywistych. Uproszczenie to wprowadza niedokªadno±ci do oblicze«. Zwªaszcza w przypadku, gdy przesuwamy charakterystyk amplitudow w punkcie przegi cia (np. dla obiektu inercyjnego). Na rysunku poni»ej przedstawiona jest charakterystyka amplitudowa obieku inercyjnego pierwszego rz du o staªej czasowej równej T = 1 [s]. 38

39 Rysunek 1.33 Charakterystyka amplitudowa rzeczywista oraz asymptotyczna obiektu inercyjnego pierwszego rz du. W przypadku gdy dla analizowanego przykªadu byªo wymagane przesuni cie charakterystyki amplitudowej w punkcie ω = 1 = 1 [rad/s] nale»y uwzgl dnia poprawk 3dB(czyli T ró»nica pomi dzy warto±ci na charakterystyce asymptotycznej oraz rzeczywistej). Dla obiektów inercyjnych wy»szych rz dów poprawka zmienia si proporcjonalnie (np. dla obiektu inercyjnego drugiego rz du poprawka wynosi 6dB). W przypadku obiektów ró»- niczkuj cych sytuacja jest analogiczna. 39