Mamy schemat sterowania (regulacji) w ukªadzie zamkni tym (rys. 1). Zakªada si,»e wzmocnienie czªonu statycznego

Transkrypt

1 LINIE PIERWIASTKOWE JAKO PODSTAWA ANALIZY UKŠADÓW STEROWANIA 1 Mamy schemat sterowania (regulacji) w ukªadzie zamkni tym (rys. 1). Rysunek 1: Podstawowy schemat strukturalny ukªadu sterowania. Zakªada si,»e wzmocnienie czªonu statycznego k [0, ). Cz ± dynamiczna G 0 (s) ukªadu sterowania obejmuje: sterowany obiekt oraz dynamiczne 'fragmenty' regulatora (sterownika).

2 2 Transmitancja ukªadu otwartego G 0 (s) = k G 0 (s). Transmitancja ukªadu zamkni tego G(s) C(s) R(s) = G 0(s) 1 + G 0 (s) = k G 0 (s) 1 + k G 0 (s). Ukªad zamkni ty jest stabilny w sensie BIBO, gdy wszystkie bieguny transmitancji G(s) le» w lewej otwartej póªpªaszczy¹nie zespolonej. da si zatem, aby czyli zera mianownika funkcji G(s) zera wyra»enia 1 + k G 0 (s) posiadaªy ujemne cz ±ci rzeczywiste.

3 Reguªy wykre±lania linii pierwiastkowych Zapiszmy G 0 (s) w postaci czynnikowej G 0 (s) = N(s) D(s) = m j=1 (s z j) n j=1 (s p j) z wyró»nionymi zerami {z j } m j=1 oraz biegunami {p j } n j=1. Zakªada si,»e G 0 (s) jako wªa±ciwa funkcja wymierna o sko«czonych stopniach licznika i mianownika, odpowiednio m = deg(n(s)) n = deg(d(s)), m n jest modelem minimalnym (bez uproszcze«w parach 'zero-biegun'). Denicja. Linie pierwiastkowe to miejsce geometryczne zer wyra»enia 1 + k G 0 (s) dla k [0, ). 3

4 4 Z formalnego punktu widzenia linie pierwiastkowe mo»na zatem traktowa jako zbiór funkcji {[0, ) k s j C} n j=1 gdzie s j = s j (k), j = 1,..., n, jest j- tym pierwiastkiem równania D(s) + k N(s) = 0. Mo»na te» patrze na linie pierwiastkowe jako na pewien odpowiednio 'uporz dkowany' ('skierowany' przez k [0, )) podzbiór LP(N, D) C pªaszczyzny zespolonej: s = s(k) LP(N, D) k [0, ) D(s) + k N(s) = 0.

5 Podane ni»ej praktyczne wskazania (reguªy) wykre±lana linii pierwiastkowych wynikaj bezpo±rednio z równania charakterystycznego 1 + k G 0 (s) = 0 które dla danego k [0, ) musi speªnia liczba zespolona s C, aby by pierwiastkiem (miejscem zerowym) mianownika transmitancji G(s). Równanie to zapisa mo»na w postaci dwóch warunków: warunku amplitudowego k G 0 (s) = 1, warunku fazowego arg G 0 (s) = r 180, r = ±1, 3,.... Jak si rychªo oka»e, podstawowe znaczenie posiada tu warunek fazowy. 5

6 6 Reguªy kre±lenia linii pierwiastkowych (1) Linie pierwiastkowe s symetryczne wzgl dem osi rzeczywistej pªaszczyzny zespolonej. (2) Linie pierwiastkowe zaczynaj si (dla k = 0) w biegunach transmitancji G 0 (s), za± ko«cz si (dla k ) w zerach tej transmitancji G 0 (s), wª czaj c zera w niesko«czono±ci. (3) Linie pierwiastkowe posiadaj asymptoty o nast puj cych wªasno±ciach: asymptoty, w liczbie α, s póªprostymi wychodz cymi z punktu (centroid) na osi rzeczywistej, α = n m, centroid dany jest wzorem σ α = n j=1 p j m j=1 z j, α σ α

7 k ty mi dzy asymptotami a osi rzeczywist ϕ r = r 180, r = ±1, 3,.... α (4) Linie pierwiastkowe na osi rzeczywistej mog le»e tylko na lewo od nieparzystej liczby punktów kontrolnych (rzeczywistych biegunów i zer transmitancji G0 (s)), licz c od punktu o najwi kszej warto±ci. (5) Punkty wspólne gaª zi linii pierwiastkowych (punkty spotkania oraz punkty rozej±cia linii pierwiastkowych) co odpowiada wielokrotnym pierwiastkom równania charakterystycznego ukªadu zamkni tego o transmitancji G(s) nale» do zbioru rozwi za«równania N(s)D (s) N (s)d(s) = 0 7

8 8 gdzie D (s) oraz N (s) oznaczaj pochodne odpowiednich wielomianów. (6) K t odej±cia ϑ di linii pierwiastkowej od danego bieguna p i transmitancji G 0 (s) okre±lony jest wzorem ϑ di = j ϑ z j j,j i ϑ p j + r 180, r = ±1, ±3,... gdzie ϑ pj (ϑ zj ) reprezentuje argument wektora poprowadzonego od bieguna p j (zera z j ) do bieguna p i tej transmitancji, i 1,..., n. (7) K t doj±cia ϑ ai linii pierwiastkowej do danego zera z i transmitancji G 0 (s) okre±lony jest wzorem ϑ ai = j ϑ p j j,j i ϑ z j + r 180, r = ±1, ±3,... gdzie ϑ pj (ϑ zj ) reprezentuje argument wektora poprowadzonego od bieguna

9 p j (zera z j ) do zera z i tej transmitancji, i 1,..., m. Komentarz (a) Warunek podany w regule (5), to znaczy równanie N(s)D (s) N (s) D(s) = 0, jest warunkiem koniecznym na to, aby dana liczba zespolona s C byªa pierwiastkiem wielokrotnym wielomianu charakterystycznego rozwa»anego ukªadu zamkni tego. Nie jest to jednak warunek wystarczaj cy, co oznacza, i» w±ród rozwi za«podanego równania mog wyst powa liczby, które nie s pierwiastkami wielokrotnymi wielomianu charakterystycznego badanego ukªadu. (b) W przypadku, w którym zachodzi m j=1 G 0 (s) = ( 1) (s z j) n j=1 (s p j) 9

10 10 nale»y odpowiednio zmodykowa stosowne reguªy kre±lenia linii pierwiastkowych, uwzgl dniaj c wyst puj ce tu 'dodatkowe' przesuni cie fazy: (3 ) Linie pierwiastkowe posiadaj a- symptoty o nast puj cych wªasno±ciach:. k ty mi dzy asymptotami a osi rzeczywist ϕ r = r 180, r = ±0, 2,.... α (4 ) Linie pierwiastkowe na osi rzeczywistej mog le»e tylko na prawo od nieparzystej liczby punktów kontrolnych (rzeczywistych biegunów i zer transmitancji G0 (s)), licz c od punktu o najwi kszej warto±ci).

11 (6 ) K t odej±cia ϑ di linii pierwiastkowej od danego bieguna p i transmitancji G 0 (s) wyznaczony jest wzorem ϑ di = j ϑ z j j,j i ϑ p j + r 180, r = ±0, ±2,... gdzie ϑ pj (ϑ zj ) reprezentuje argument wektora poprowadzonego od bieguna p j (zera z j ) do bieguna p i tej transmitancji, i 1,..., n. (7 ) K t doj±cia ϑ ai linii pierwiastkowej do danego zera z i transmitancji G 0 (s) wyznaczony jest wzorem ϑ ai = j ϑ p j j,j i ϑ z j + r 180, r = ±0, ±2, gdzie ϑ pj (ϑ zj ) reprezentuje argument wektora poprowadzonego od bieguna p j (zera z j ) do zera z i tej transmitancji, i 1,..., m.

12 12 (c) Na rys. 2 dano geometryczn interpretacj 'fazowego przyczynku' ϑ = arg(s s 0 ), s, s 0 C. Rysunek 2: Konwencja obowi zuj ca przy wyznaczaniu k ta ϑ = arg(s s 0 ).

13 PRZYKŠAD 1 Transmitancja otwartego ukªadu sterowania z jednostkowym ujemnym sprz -»eniem zwrotnym dana jest wzorem G 0 (s) = k G 0 (s) 1 = k s(2 + s)(5 + s), k 0. Podaj obraz linii pierwiastkowych stosownego ukªadu zamkni tego. Okre±l krytyczne wzmocnienie k, przy którym ukªad ten znajduje si 'na granicy stabilno±ci' oraz podaj odpowiadaj c temu pulsacj drga«nietªumionych. Rozwi zanie uzyskujemy w rutynowym post powaniu. Niech m b dzie liczb sko«czonych zer transmitancji ukªadu otwartego G 0 (s), za± n oznacza liczb jej biegunów. Mamy zatem: m = 0 oraz n = 3. 13

14 14 Biegunami G 0 (s) s liczby: p 1 = 5, p 2 = 2 oraz p 3 = 0. Liczba asymptot, do których d» linie pierwiastkowe α = n m = 3. K ty mi dzy asymptotami maj warto± /α = 120. K ty mi dzy asymptotami a osi rzeczywist s równe: ±60 oraz 180. Odci ta σ a punktu na osi rzeczywistej, z którego wychodz asymptoty (centroid) σ a = n i=1 p i n =

15 Wspóln cz ± linii pierwiastkowych o- raz osi rzeczywistej stanowi prawostronnie domkni ta póªprosta le» ca na lewo od bieguna p 1 oraz domkni ty odcinek pomi dzy biegunami p 2 i p 3 (, 5]) [ 2, 0]. Wynika st d, i» punkt 'odej±cia' linii pierwiastkowych od osi rzeczywistej powinien nale»e do odcinka [p 2, p 3 ] = [ 2, 0]. Wspóªrz dn tego punktu wyznaczymy w oparciu o równanie charakterystyczne ukªadu zamkni tego, obliczaj c maksymaln warto± parametru k (wzmocnienia), dla której bieguny ukªadu zamkni tego s rzeczywiste. Wielomian charakterystyczny W (s) u- kªadu zamkni tego ma posta W (s) = k + 10s + 7s 2 + s 3. Zaªó»my, i» s C jest pierwiastkiem tego wielomianu. Odpowiednie rów- 15

16 16 nanie charakterystyczne W (s) = 0 interpretowa mo»na jako zapis uwikªanego odwzorowania s k(s) C przyporz dkowuj cego danemu pierwiastkowi s tak warto± k(s), dla której zachodzi W (s, k(s)) = 0. Ró»niczkuj c to odwzorowanie, mamy dk(s) ds W (s,k(s)) s = W (s,k(s)) k(s) = 10 14s 3s 2. Przyrównuj c powy»sz pochodn do zera (warunek konieczny!), otrzymujemy równanie kwadratowe s + 3s 2 = 0 o nast puj cych pierwiastkach: s 1 = oraz s 2 =

17 Jak widzimy, tylko pierwszy z nich wyznacza szukany punkt odej±cia s d = s 1. Zachodzi bowiem s 1 [p 2, p 3 ]. Identyczny wynik uzyskamy, rozwi zuj c równanie (warunek konieczny!) N(s)D (s) N (s)d(s) = 0 w którym: N(s) = 1 D(s) = s(2 + s)(5 + s). Podstawiaj c s = s d w równaniu W (s, k(s)) = 0, otrzymujemy odpowiadaj c temu punktowi warto± k d wzmocnienia k k d =

18 18 Krytyczn warto± k wzmocnienia k, przy której ukªad zamkni ty osi - ga 'granic stabilno±ci', obliczymy na podstawie równania charakterystycznego W (s) = 0, kªad c s = jω. W ten sposób uzyskujemy równanie k 7ω 2 n + jω n (10 ω 2 n) = 0 (1) w którym ω n oznacza odpowiedni pulsacj drga«nietªumionych. Przyrównuj c do zera urojon cz ± wyra»enia po lewej stronie tego równania, mamy ω n = 10 rad s 1. Nast pnie, po podstawieniu pulsacji ω n we wzorze (1), otrzymujemy równanie, z którego wyznaczamy krytyczn warto± wzmocnienia k = 70.

19 19 Rysunek 3: Przykªad 1: linie pierwiastkowe. Dyskusja: rady dla projektanta Jak zmiana (wzrost) wzmocnienia k wpªywa na podstawowe cechy ukªadu zamkni tego? Stabilno± : gro¹ba destabilizacji. Dokªadno± : ustalone uchyby malej. po pocz tkowym wzro±cie szybko±ci (dominuj cy biegun ukªadu oddala si od zera) czas ustalania procesów przej±ciowych wydªu»a si (oscylacje!) Szybko± :

20 20 PRZYKŠAD 2 Operatorowa transmitancja otwartego u- kªadu sterowania z jednostkowym ujemnym sprz»eniem zwrotnym i k 0 G 0 (s) = k G 0 (s) = k N(s) D(s) 1 = k (1 + s)(2 + s)(10 + s). Wyznacz przebieg linii pierwiastkowych stosownego ukªadu zamkni tego, okre±l krytyczne wzmocnienie k = k ukªadu na 'granicy stabilno±ci' oraz podaj odpowiadaj c temu wzmocnieniu pulsacj drga«nietªumionych. W rozwa»anym przypadku mamy: m = 0 oraz n = 3 p 1 = 10, p 2 = 2 oraz p 3 = 1 (bieguny ukªadu otwartego).

21 Mo»na si zatem spodziewa analogicznego obrazu linii pierwiastkowych jak w Przykªadzie Post puj c tedy wedªug przyj tego tam schematu, stwierdzamy,»e: Linie pierwiastkowe d» ku trzem a- symptotom (α = n m = 3) o k - tach: ±60 oraz 180. Punktem wspólnym owych asymptot jest centroid σ a = = Wspólna cz ± linii pierwiastkowych o- raz rzeczywistej osi pªaszczyzny zespolonej obejmuje zatem póªprost na lewo od punktu p 1 oraz domkni ty odcinek pomi dzy punktami p 2 i p 3.

22 22 Punkt odej±cia linii pierwiastkowych od osi rzeczywistej wyznaczymy z równania N(s)D (s) N (s)d(s) = 0 które w tym przypadku ma posta s + 3s 2 = 0. Spo±ród dwóch rozwi za«tego równania: s 1 = oraz s 2 = jako punkt odej±cia wybieramy punkt zachodzi bowiem s d = s 1 s 1 [p 2, p 3 ].

23 Krytyczn warto± k parametru k obliczamy, posªuguj c si kryterium Routha. Na podstawie równania charakterystycznego ukªadu zamkni tego 20 + k + 32s + 13s 2 + s 3 = 0, otrzymujemy tablic Routha: s s k s k 13 s k. Ukªad zamkni ty jest stabilny przy 20 < k < 396. Krytyczna warto± wzmocnienia (k 0), dla której ukªad zamkni ty znajduje si na 'granicy stabilno±ci' wynosi zatem k =

24 24 Pulsacj draga«nietªumionych (jest to pulsacja odci cia charakterystyki fazowej transmitancji otwartego ukªadu sterowania) ω n = 4 2 = rad s 1 wyznaczamy w oparciu o pomocniczy wielomian 20 + k + 13s 2 (wspóªczynniki tego wielomianu odczytujemy z drugiego wiersza tablicy Routha). Sprawd¹my jeszcze warunek amplitudowy dla punktu s = jω n 1 G 0 (jω n ) = 396 = k.

25 MATLABowe polecenia. 25 >> licz=1; % licznik transmitancji; >> mian=conv(conv([1 1],[1 2]),[1 10]); % mianownik transmitancji, utworzony poprzez mno»enie odpowiednich dwumianów; >> mian mian = >> rlocus(licz,mian); % kre±lanie linii pierwiastkowych odpowiadaj cych ukªadowi sterowania obiektem o zadanej transmitancji (licznik/mianownik) przy zastosowaniu jednostkowego sprz»enia zwrotnego; >> axis([ ]); % skalowanie wykresu; Rysunek 4: Przykªad 2: linie pierwiastkowe.

26 26 >> [Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(licz,mian); % wyznaczanie zapasów (marginesów) stabilno±ci ukªadu o zadanej transmitancji otwartej p tli sterowania (licznik/mianownik); >> Gm Gm = % zapas wzmocnienia (warto± bezwzgl dna); >> Wcg Wcg = % pulsacja odci cia charakterystyki fazowej transmitancji otwartego ukªadu sterowania (rad/sek); >> routh(mian) % wyznaczanie tablicy Routha; s 3 Row: 1 32 s 2 Row: s 1 Row: e s 0 Row: 20 First column is: s 3 1 s 2 13 s s 0 20 Number of sign changes in the rst column is 0 % test stabilno±ci wypadª pomy±lnie; The computed roots of D(s) are: e+001, e+000, e+000.

27 Metoda linii pierwiastkowych: ograniczenia statycznej korekcji Zbadamy obraz linii pierwiastkowych dla pewnych prostych transmitancji G0 (s). Rozwa»ymy mo»liwo± stabilizacji zamkni tego ukªadu sterowania poprzez dobór parametru k Rysunek 5: G0 (s) = 1 s+1 : ukªad stabilny dla k 0. Rysunek 6: G0 (s) = 1 s 1 : ukªad stabilny dla k > 1.

28 28 Rysunek 7: G0 (s) = 1 s+1 : ukªad stabilny dla k < 1. Rysunek 8: G0 (s) = 1 s 1 : ukªad niestabilny dla k 0. Rysunek 9: G0 (s) = 1 s : ukªad stabilny dla k 0. Rysunek 10: G0 (s) = 1 s : ukªad niestabilny dla k 0.

29 29 Rysunek 11: G0 (s) = 1 s 2 : ukªad niestabilny dla k 0. Rysunek 12: G0 (s) = 1 s 2 : ukªad niestabilny dla k 0. Rysunek 13: G0 (s) = 1 s 3 : ukªad niestabilny dla k 0. Rysunek 14: G0 (s) = 1 s 3 : ukªad niestabilny dla k 0.

30 30 Rysunek 15: G0 (s) = s+1 s+2 : ukªad stabilny dla k 0. Rysunek 16: G0 (s) = s+1 s+2 : ukªad stabilny dla k < 1 lub k > 2. Rysunek 17: G0 (s) = s+2 s+1 : ukªad stabilny dla k 0. Rysunek 18: G0 (s) = s+1 s+2 : ukªad stabilny dla k < 1 2 lub k > 1.

31 31 Rysunek 19: G0 (s) = 1 : ukªad niestabilny dla k 0. s 2 1 Rysunek 20: G0 (s) = 1 : ukªad niestabilny dla k 0. s 2 1 Co powiesz o dobrej okre±lono±ci ukªadów z rys. 16 i 18? Jak widzimy, w niektórych przypadkach, stosuj c statyczny czªon korekcyjny o wzmocnieniu k 0, nie mo»na ustabilizowa ukªadu zamkni tego. W jaki sposób mo»na wtedy uzyska stabilizacj tego ukªadu, si gaj c po odpowiedni korektor dynamiczny? piotrjsuchomski