Zadanie 1. Zadanie 2. Niech µ A i µ B oznaczaj stopy zwrotu odpowiednio z aktywa A i B, ªatwo obliczy,»e ,

Transkrypt

1 Zadanie 1 Niech µ A i µ B oznaczaj stopy zwrotu odpowiednio z aktywa A i B, ªatwo obliczy,»e Eµ A 0, 02, Eµ 2 A 0, 0175, V arµ A , Eµ B 0, 135, Eµ 2 B 0, 02275, V arµ B , Eµ A µ B 0, 006, Covµ A, µ B Chcemy zminimalizowa wariancje stopy zwrotu z portfela µ, jest µ pµ A + 1 pµ B, liczymy V arµ p 2 V arµ A + 1 p 2 V arµ B + 2p1 pcovµ A, µ B p p , 4 wspóªczynnik przy p 2 jest dodatni, st d p min zatem ODP p min Eµ A + 1 p min Eµ B 9, 6%. [0; 1], Zadanie 2 Niech C0 CH S 0 ; K; T ; T 0 oznacza cen, w chwili t 0, opcji wyboru z parametrami: S 0 - cena w chwili t 0 instrumentu bazowego przedmiotowych opcji, K - strike przedmiotowych opcji, T - moment wyga±ni cia przedmiotowych opcji, T 0 - moment wyboru. Jest zatem C0 CH 97; 100; 2; 1 10, uniwersalnie zachodzi C CH 0 S 0 ; K; T ; T 0 C 0 S 0 ; K; T + P 0 S 0 ; Ke rt T0 ; T 0, gdzie C 0 i P 0 to odpowiednio ceny, w chwili t 0, europejskich opcji call i put o parametrach S 0 ; K; T cena, w chwili t 0, instrumentu bazowego; strike; moment wykonania. Zatem bo r 0. ODP C 0 97; 100; 2, st d C CH 0 97; 100; 2; 1 C 0 97; 100; 2 + P 0 97; 100; 1, ODP 10 P 0 97; 100; , bo cen P 0 97; 100; 1 wyznaczamy z parytetu kupna-sprzeda»y: P 0 97; 100; 1 C 0 97; 100; e LKU, 2013

2 Zadanie 3 eby sprawdzi czy rynek dopuszcza arbitra» wyce«my opcj przy pomocy portfela replikuj cego portfela o wypªacie identycznej jak opcja. Niech x oznacza ilo± akcji w portfelu, a y warto± ±rodków pieni»nych, by portfel x; y byª replikuj cy musi zachodzi { 2, 5 22, 5x + ye 0,5 0,06, 0 15x + ye 0,5 0,06, st d ˆx 1/3 i ŷ 5e 0,03 4, 852. Warto± w chwili t 0 portfela to 18, 5ˆx + ŷ 1, 31, czyli mniej ni» cena opcji. Zatem rynek umo»liwia arbitra», przy czym opcja jest "droga". Zauwa»my teraz,»e wystawiaj c opcj za 1, 55 i z drugiej strony replikuj c j naszym portfelem ˆx, ŷ w chwili t 0 wypracujemy zysk w kwocie 0, 24 1, 55 1, 31, a w chwili t 0, 5 zaj te przez nas pozycje si wzajemnie zniweluj. Zatem ODP C jest prawidªowa. Mo»liwy jest zysk w chwili t 0 w kwocie 0, 24 przy zaj ciu krótkiej pozycji w opcji wystawienie jej, kupnie 1/3 akcji i krótkiej pozycji w gotówce w kwocie 4, 852. Zadanie 4 Niech v 1+0, 12/2 1. Mo»liwe terminy wykupu obligacji to t end 10; 10, 5; 11; 11, 5;... ; 15, 5; 16, ponumerujmy je kolejno liczbami k 0, 1,..., 12. Warto± na chwil t 0 obligacji, je±li wykup nast piª w momencie o numerze k przy czynniku dyskontuj cym v opisuje poni»sza funkcja gdzie oczywi±cie NP V k 4a v 20 a k + v 20+k fk, 100, dla k 0, 118, 5, dla k 1, 2, 3, 4, fk 98, dla k 5, 6, 7, 8, 142, dla k 9, 10, 11, 12, ODP min NP V k, k0,1,...,12 bo wtedy nawet przy wykupie w najmniej korzystnym dla inwestora momencie inwestor zrealizuje zakªadan stop zwrotu. Nie trudno obliczy NP V 0 77, 05, NP V 4 79, 47, NP V 8 72, 78, NP V 1 81, 91, NP V 5 73, 97, NP V 9 80, 57, NP V 2 81, 05, NP V 6 73, 55, NP V 10 79, 78, NP V 3 80, 24, NP V 7 73, 16, NP V 11 79, 04, i NP V 12 78, 34. St d ODP min NP V k NP V 8 72, 80. k0,1,...,12 2 LKU, 2013

3 Zadanie 5 Wpªacony przez inwestora kapitaª K musi pokry cen na chwil t 0 kontraktu oraz mar» banku, czyli K 0, 01K + cena 0. Cena to zdyskontowana oczekiwana wzgl dem miary martynga- ªowej wypªata. Jest cena 0 Kδ l0 e 0,05 E max{l1; l0} Kδ E max{l1 l0; 0}e 0,05 + l0e 0,05, 1000 ale E max{l1 l0; 0}e 0,05 jest cen opcji call na indeks I przy strike równym l i terminem wykonania za rok, zatem cena 0 Kδ 120, e 0, Wracaj c do zale»no±ci K 0, 01K + cena 0 otrzymujemy,»e ODP δ 0, , 4%. 120, e 0,05 Zadanie 6 ODP dura 5, Przypomnijmy,»e A z drugiej strony zatem dura 5 Ia 5 a 5, Ia 5 + Da 5 6a 5, duria 5 + Da 5 dura 5. dura 5 duria 5 + Da 5 Ia 5 Da duria Ia 5 + Da durda 5 Ia 5 + Da 5, 5 ODP 3, 59 Ia 5 6a 5 + 2, 26 6a 5 Ia 5 6a 5, czyli 3, 59 ODP 6 ODP + 2, ODP, 6 st d ODP 2, 90. Inaczej, mo»na z równania duria 5 3, 59 lub durda 5 2, 26 numerycznie wyznaczy warto± v, a nast pnie wprost obliczy dura 5. Zadanie 7 Jest K P v + P Qv P 19Qv 20 + P 18Qv P 9Qv 30, 3 LKU, 2013

4 st d i dalej K P a 30 Q k 1v k + 39 kv k k2 k21 ODP K Q P 20 Q a k 1v k + 39 kv k. 1 Teraz wyznaczmy odsetki zapªacone w 15. racie k2 P 14Q ods 15 + [P 14Qv P 19Qv 6 + P 18Qv P 9Qv 16 st d ªatwo pokaza,»e ale zachodzi ods 15 /P 14Q 1/2, zatem st d k21 P 15Qv... P 19Qv 5 P 18Qv 6... P 9Qv 15 ], ods 15 P 14Q [P v 16 + Qa 5 9v 16 v 5 a 10 ], ods 15 P 14Q [P v 16 + Qa 5 9v 16 v 5 a 10 ] 1 2 P 7Q, P Q 9v16 + v 5 a 10 a 5 7 v 16, 0, 5 wracaj c teraz do równania 1 otrzymujemy ODP 285. Zadanie 8 Oznaczmy i przypomnijmy,»e je±li v 0; 1 to I 0 v : n0 v n 1 1 v, I 1v : nv n v 1 v 2, I 2v : n 2 v n vv v 3. n1 n1 R NP V n0 v 2n+2 n + 12n + 3 v 2 + v 2 n 2n 2 + 5n + 3 n0 v 2 2I 2 v 2 + 5I 1 v 2 + 3I 0 v , 94. Warto± zdyskontowanej raty przedstawia funkcja f okre±lona na zbiorze liczb naturalnych i zerze Chcemy znale¹ jej maksimum, zatem liczymy fn v 2 1 1, 01 2 n2n 2 + 5n + 3. d dn fn v2 1 n4n v 2 1 n 1 ln 1, , , n 2 + 5n LKU, 2013

5 Sprowadza si to do równania kwadratowego postaci 4 ln1, 01n 2 + n4 10 ln1, ln1, 01 0, którego pierwiastki to n 1 1, 25 i n 2 99, 24, wspóªczynnik przy n 2 jest ujemny zatem analizuj c zmian znaku pochodnej wnioskujemy,»e maksimum osi gane jest w punkcie n 2. Jednak funkcja f okre±lona jest na zbiorze liczb naturalnych i zerze, zatem dla pewno±ci obliczmy f , 39, f , 26, zatem maksimum osi gane jest w n 99. St d M f99 i ODP R M Zadanie 9 Niech ODP X, wtedy zachodzi K Xv + X 1v X 9v 10 + X 7v 11 + X 5v 12 + X 3v 13 + X 1v 14 + X + 1v 15 + X + 10, 9v 16 + X + 10, 9 2 v X + 10, 9 10 v 25. Niech teraz dolny poboczny indeks v oznacza,»e dana warto± jest kalkulowana przy czynniku dyskontuj cym v. Z powy»szego zachodzi i K + via 9 v v 15 a 10 0,9v + 7v v v 13 + v 14 v 15 ODP X i a 15 v + v 15 a 10 0,9v ik + a 9 v 9v10 iv 15 0, 9v 1 0,9v ,9v + i7v v v 13 + v 14 v 15 1 v 15 + iv15 1 0,9v10 1 0,9v 0, 9v ik + a 10 v 10v 10 + v 15 3 i0, 9 1 0,9v10 3v 15 + i7v v v 13 + v 14 v v 15 i0, 9 1 0,9v10 1 ik + a 10 v + v 15 3 i0, 9 1 0,9v10 v v 5 1 v v 7v + 5v2 + 3v 3 + v 4 v v 15 i0, 9 1 0,9v10 1 Teraz ªatwo ju» pokaza wymna»aj c i grupuj c,»e zatem ODP D jest prawidªowa. Po drodze skorzystali±my z to»samo±ci v 5 1 v 7v + 5v 2 + 3v 3 + v 4 v 5 2a v 5 v + 3, 0, 9v 1 0, 9v 0, 9 0, 1 + i. 5 LKU, 2013

6 Zadanie 10 Mamy tu ukªad równa«k Rv 2 + v v 18 + v 20 + Sv 20 v 3 + v 6 + v 9 + v 12, K Rv 2 + 0, 9v 4 + 0, 8v , 2v , 1v , 25Sv 20 v 3 + v 6 + v 9 + v 12, R + 4S K, którego rozwi zanie to trójka K 48923, R 3625 i ODP S LKU, 2013