Katedra Wtrmałości Materiałów i Metod Komputerowch Mechaniki Wdiał Mechanicn Technologicn Politechnika Śląska LABORATORUM WYTRZYMAŁOŚC MATERAŁÓW Zginanie ukośne
ZGNANE UKOŚNE 2 1. CEL ĆWCZENA Ćwicenie ma na celu poglądowe predstawienie ginania ukośnego i różnic pomięd ginaniem prostm a ukośnm ora doświadcalną werikację wprowadonch teoretcnie ależności. W ramach ćwicenia określane są naprężenia i ugięcia w belce ginanej ukośnie ora położenie osi obojętnej. 2. WPROWADZENE Zginanie proste (takie, w którm kierunek momentu gnącego pokrwa się jedną głównch centralnch momentów bewładności prekroju belki ginanej) jest scególnm prpadkiem ginania. Mam nim do cnienia, gd prekrój belki ginanej jest prekrojem smetrcnm wględem płascn ginania. W innm prpadku mam do cnienia tw. ginaniem ukośnm, które można traktować jako superpocję (łożenie) dwóch ginań prostch, w którch kierunki wektorów momentów gnącch pokrwają się głównmi centralnmi osiami bewładności prekroju.. PODSTAWY TEORETYCZNE.1 Naprężenia w ginaniu ukośnm Zginaniem ukośnm nawam ginanie, w którm kierunek wektora momentu gnącego nie pokrwa się kierunkiem żadnej głównch centralnch osi bewładności prekroju poprecnego. Ropatrujem belkę jednostronnie utwierdoną i obciążoną siłą poprecną P na swobodnm końcu. Kierunek linii diałania sił P jest nachlon pod kątem do osi. Osie i są głównmi centralnmi osiami bewładności prekroju (rs. 1). l x x T P Rs. 1. Pręt ginan ukośnie g W prekroju odległm o x od swobodnego końca wstępują jako sił wewnętrne: siła poprecna T ora moment gnąc M = Px, nachlon do osi pod kątem. Moment ten wwołuje ginanie ukośne. Rutując wektor momentu gnącego na osie układu otrmuje się składowe momentu M g ora M g (rs. 2).
ZGNANE UKOŚNE A Rs. 2. Prekrój pręta ginanego ukośnie Każda e składowch Mg i Mg wwołuje ginanie proste wględem osi lub. W punkcie A(,) można określić wartość naprężenia dokonując superpocji dwóch ginań prostch: σ = M g Mg (1) Różne naki w powżsej ależności wnikają aktu, iż moment powoduje w pierwsej ćwiartce prjętego układu współrędnch rociąganie włókien belki (nak + ), aś moment Mg powoduje w tejże ćwiartce ściskanie włókien belki (nak ). Uwględniając: Mg = Mg sin = Pxsin (2) Mg = Mg cos = Pxcos otrmuje się: sin cos σ = Px () Oś obojętna ginania jest to miejsce geometrcne punktów, dla którch naprężenia są równe ero. Prrównując równanie () do era otrmuje się równanie linii obojętnej: sin cos = (4) lub = tg (5) Podstawiając: = tgβ (6) Mg
ZGNANE UKOŚNE 4 otrmuje się równanie linii obojętnej w postaci: tg β = tg (7) Kąt β w powżsch ależnościach jest kątem nachlenia osi obojętnej wględem osi. W ogólności oś obojętna nie pokrwa się linią diałania wektora momentu gnącego, choć prechodi pre środek ciężkości prekroju (rs. ). β oś obojętna Rs.. Położenie osi obojętnej w ginaniu ukośnm Ponieważ ora mają wartości dodatnie, to kąt β i mają te same naki. Ponadto, jeśli > to β >, aś jeśli <, to β <. Wnika tego, że oś obojętna leż awse pomięd linią diałania wektora momentu gnącego a główną centralną osią bewładności odpowiadającą minimalnemu momentowi bewładności prekroju..2 Ugięcie belki w ginaniu ukośnm Podobnie jak pr wnacaniu naprężeń, wnacając ugięcia również można astosować asadę superpocji, rokładając moment gnąc na dwie składowe pokrwające się głównmi centralnmi osiami bewładności. Dla każdego e ginań prostch można wnacć odpowiednie ugięcia w kierunkach i. Całkowite premiescenie określa się e woru: = + (8) 2 2 Ugięcia składowe można określić wkorstując równanie różnickowe osi ugiętej: E = M (9) " g Dla belki utwierdonej jak na rs. 1 warunki bregowe są określone równościami: x ( = l) = ; '( x= l) = (1) Składowe ugięć w prekroju odległm o x od swobodnego końca belki wnosą: Dla swobodnego końca (x=) ugięcia wnosą: P cos = x 6E l x+ l Psin = x 6E l x+ l 2 ( 2 ) 2 ( 2 ) (11)
ZGNANE UKOŚNE 5 P cos = l E Psin = l E (12) 4. PRZEBEG ĆWCZENA Ćwicenie preprowadane jest na stanowisku (rs. 4), na którm w stwnej obudowie utwierdono jednm końcem belkę o prekroju prostokątnm. Do swobodnego końca można prłożć obciążenie w postaci sił poprecnej. Siłę tę można prkładać w płascźnie prekroju poprecnego w akresie kąta od do 9 co 15, wwołując ginanie proste lub ukośne. 2 2 5 1 5 1 4 1 badan pręt 2 cujniki egarowe ciężarek obciążając 4 otwor do mian kierunku obciążenia 5 linka prenosąca obciążenie 6 obudowa 6 Rs. 4. Stanowisko do ginania ukośnego Należ prjąć układ współrędnch jak na rs. 4 i rs. 5 dla tak prjętego układu współrędnch właściwe są naki we wore (1) i następnch. Należ wrócić uwagę na akt, c dla danego kąta składowa premiescenia w kierunku danej osi jest godna e wrotem tej osi. W preciwnm prpadku należ uwględnić, iż jest to premiescenie ujemne. Prjmując stałą wartość obciążenia należ obciążć belkę po kolei dla wsstkich siedmiu możliwch położeń ciężarka obciążającego (dla = o ora = 9 o wstępuje ginanie proste). Wartości składowch premiesceń i należ amieścić w tab. 1.
ZGNANE UKOŚNE 6 n m P Rs. 5. Położenie wektora sił i wektora momentu gnącego w prekroju Długość belki (l) [mm] Odległość swobodnego końca belki od prekroju, w którm mierone są premiescenia (x) [mm] Grubość belki (n) [mm] Serokość belki (m) [mm] Tabela 1 Siła P [kg] kąt [ o ] [mm] [mm] 15 45 6 75 9 5. OPRACOWANE WYNKÓW WYTYCZNE DO SPRAWOZDANA Sprawodanie powinno awierać:. Cel ćwicenia. Wstęp teoretcn. Rsunek stanowiska pomiarowego anaconmi wmiarami, osiami i prkładowm kątem V. Cęść obliceniową, w której należ: 1. Wlicć całkowite premiescenia końca belki pomiarów składowch premiesceń i (dla poscególnch kątów ). 2. Wlicć moment bewładności ora.
ZGNANE UKOŚNE 7. Wlicć dla poscególnch kątów ależności analitcnch premiescenia składowe i całkowite prekroju, w którm są prłożone cujniki premiesceń (prjmując dla belki E = 2.1 1 5 MPa). 4. Wlicć kąt nachlenia β osi obojętnej (dla poscególnch kątów ). 5. Narsować dla sił diałającej pod kątem = o położenie osi obojętnej w prekroju poprecnm belki. 6. Narsować wkres ależności od kąta ora od kąta (w obdwu prpadkach wkres ciągł dla ależności analitcnej ora punktow dla pomiarów). V. Wnioski ćwicenia 6. PRZYKŁADOWE PYTANA KONTROLNE 1. Co to jest ginanie ukośne? 2. Jak wnacam naprężenia w ginaniu ukośnm?. Co to jest oś obojętna? 4. Jak jest położona oś obojętna wględem linii diałania momentu gnącego w ginaniu ukośnm? 5. Wprowadić wór na oś obojętną w ginaniu ukośnm. 6. Jak wnacam teoretcnie ugięcie w ginaniu ukośnm? 7. Opisać prebieg ćwicenia. 7. LTERATURA 1. Beluch W., Burcński T., Fedeliński P., John A., Kokot G., Kuś W.: Laboratorium wtrmałości materiałów. Wd. Politechniki Śląskiej, Skrpt nr 2285, Gliwice, 22. 2. Bąk R., Burcński T.: Wtrmałość materiałów elementami ujęcia komputerowego, WNT, Warsawa 21.. Dląg Z., Jakubowic A., Orłoś Z.: Wtrmałość materiałów, t. -, WNT, Warsawa 1996-97. 4. Zielnica J.: Wtrmałość materiałów, Wd. Politechniki Ponańskiej, Ponań 1996.