θx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,

Zadaie 1. Niech X 1,..., X 8 będzie próbą z rozkładu ormalego z wartością oczekiwaą θ i wariacją 1. Niezay parametr θ jest z kolei zmieą losową o rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją 1. Wyzaczyć bayesowski przedział ufości dla parametru θ, to zaczy przedział a, b, gdzie a = ax 1,..., X 8 ), b = bx 1,..., X 8 ), taki, że P θ < a X 1,..., X 8 ) = 0.05 = P θ > b X 1,..., X 8 ). X 0.427, X + 0.427 Zadaie 2. X 1,..., X jest próbą z rozkładu ormalego Nµ, σ 2 ), gdzie µ i σ 2 są iezaymi parametrami. Niech L, U będzie przedziałem ufości dla parametru µ taki, że dla wszystkich µ i σ 2 P µ,σ 2L > µ) = P µ,σ 2U < µ) = 0.025. Niech, W będzie jedostroym przedziałem ufości dla µ takim, że P µ,σ 2W < µ) = 0.01 dla wszystkich µ i σ 2. Oba przedziały ufości zbudowae są w stadardowy sposób w oparciu o średią i wariację X i S 2 z próbki. Wiadomo, że L = 0.262 i U = 4.262. Wyzaczyć W. 4.821 Zadaie 3. Niech X 1,..., X 8 będzie próbą z rozkładu jedostajego a przedziale 0, θ), gdzie θ > 0 jest iezaym parametrem. Zaleźć ajmiejsze c takie, żeby przedział maxx 1,..., X 8 }, c maxx 1,..., X 8 } był przedziałem ufości dla θ a poziomie ufości 0.9375. 1.4142 Zadaie 4. Zakładamy, że X 1, X 2, X 3, X 4, X 5 jest próbą losową z rozkładu o gęstości f θ x) = θx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym, gdzie θ > 0 jest iezaym parametrem. Skostruować przedział ufości θ, θ dla parametru θ a poziomie 1 α = 0.90) tak, żeby P θ θ < θ) = 0.05 = P θ θ > θ). 3.4 2S, 18.31 2S, gdzie S = 5 l X i Zadaie 5. Niech X 1,..., X będzie próbką iezależych realizacji zmieej losowej X o rozkładzie ciągłym i iech X ) 1,..., X ) ozacza uporządkowaą od wartości ajmiejszych do ajwiększych) próbę. Budujemy przedział ufości dla mediay zmieej X o postaci U = X ) 2, X ) 1 ). Ozaczmy przez ajmiejszą z tych wartości, dla których prawdopodobieństwo pokrycia mediay przez przedział U przekracza 0.95. Wyzaczyć. 9 Zadaie 6. Dwie iezależe próbki proste X 1,..., X i Y 1,..., Y pochodzą z tego samego rozkładu ormalego o parametrach µ i σ 2. Jede statystyk ma do dyspozycji pierwszą próbkę, drugi zaś drugą. Obaj statystycy zają wariację σ 2, żade ie za wartości oczekiwaej µ. Każdy z ich buduje a podstawie swojej próbki przedział ufości dla µ a poziomie ufości 0.8. Wyzaczyć prawdopodobieństwo, że zbudowae przedziały okażą się rozłącze. 0.07 Zadaie 7. Na podstawie próbki X 1,..., X z rozkładu ormalego Nµ, σ 2 ) z iezaymi parametrami µ i σ 2 budujemy przedział ufości σ 2, σ 2 ) dla wariacji a poziomie ufości 0.95. Metodę wybieramy możliwie prostą, korzystając a przykład z przybliżeia rozkładu chi-kwadrat z k stopiami swobody rozkładem ormalym Nk, 2k). Względy błąd estymacji przedziałowej mierzymy za pomocą ilorazu R = σ2 σ 2 2σ. Dla 2 jakiego rozmiaru próbki ER) 0.01. 75000 zadaia aktuariale przedziały ufości), modyfikacja WZ, stroa 1

Zadaie 8. Jacek i Placek dostaą próbkę prostą X 1,..., X z rozkładu ormalego Nµ, σ 2 ). Obaj ie zają wartości oczekiwaej µ, ale Jacek za wariację σ 2, a Placek jej ie za. Obaj budują w stadardowy sposób przedziały ufości dla µ a poziomie ufości 0.95. Placek się chwali: mam szasę %, że mój przedział ufości będzie przyajmiej x razy krótszy, iż Twój. Zaleźć x. x 1.25 Zadaie 9. Niech X 1, X 2, X 3, X 4, X 5 będzie próbką z rozkładu wykładiczego o gęstości prawdopodobieństwa: θe f θ x) = θx, dla x > 0, 0 poza tym. Parametr θ jest iezay. Wiadomo, że estymatorem ajwiększej wiarogodości tego parametru jest ˆθ = 5/S 5, gdzie S 5 = X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5. Należy zbudować przedział ufości dla parametru θ postaci a θ, θ =, a. S 5 S 5 Żądamy, żeby te przedział był symetryczy w tym sesie, że P θ θ < θ) = P θ θ > θ). Wyzaczyć stałe a i a tak, żeby otrzymać przedział a poziomie ufości 0.95. a = 1.62. a =.24 Zadaie. Niech X 1,..., X 20 będzie próbką losową z rozkładu ormalego Nµ, σ 2 ), z iezaymi parametrami µ i σ 2. Niech X = 1 X i, X20 = 1 20 20 X i, S 2 = S 2 = 1 9 X i X ) 2. Należy skostruować przedział X as, X + as taki, że P µ,σ 2 X 20 X as, X + as) = 0.95. Wyzaczyć odpowiedią liczbę a. 2.2622/ 20 Zadaie 11. Załóżmy, że X 1,..., X 9 jest próbką z rozkładu ormalego Nµ, σ 2 ) z iezaymi parametrami µ i σ 2. Pa Ixiński miał podać przedział ufości dla µ a poziomie 0.95, ale ie zalazł tablic rozkładu t. Poieważ miał tablice rozkładu ormalego i chi-kwadrat, więc poradził sobie tak: 1. obliczył w stadardowy sposób jedostroy przedział ufości 0, σ 2 dla wariacji, a poziomie 0.95; 2. przyjął, że X 1.96σ 9, X + 1.96σ 9 jest potrzebym przedziałem dla wartości oczekiwaej, gdzie σ zostało wyzaczoe w pukcie 1. Obliczyć faktyczy poziom ufości takiego przedziału ufości dla µ. 0.99 Zadaie 12. Mamy pięć iezależych próbek z tego samego rozkładu ormalego Nµ, σ 2 ) z iezaą wartością oczekiwaą µ i zaą wariacją σ 2, przy tym każda z tych próbek ma tę samą liczebość. Dla każdej z pięciu próbek oddzielie wyzaczamy w stadardowy sposób przedział ufości dla µ. Niech Xi 1.15035σ, X i + 1.15035σ będzie przedziałem obliczoym a podstawie i-tej próbki liczba 1.15035 jest kwatylem rzędu 0.875 stadardowego rozkładu ormalego). Następie, przedział ufości oparty a wszystkich 5 obserwacjach wyzaczamy w sposób iestadardowy: za środek przedziału wybieramy mediaę m = med X 1, X 2, X 3, X 4, X 5 ). Obliczyć z dokładością do 0.01) P µ m 1.15035σ, m + 1.15035σ ) 0.97 zadaia aktuariale przedziały ufości), modyfikacja WZ, stroa 2

Zadaie 13. Załóżmy, że X 1,..., X 6 jest próbą z rozkładu ormalego Nµ, σ 2 ) z iezaymi parametrami. Zadaie polega a zbudowaiu przedziału ufości dla wariacji σ 2. Żąday poziom ufości jest rówy 1 α = 0.99. Rozpatrzmy dwie metody: Metoda S jest stadardowa: budujemy przedział postaci 0, G S, gdzie G S = 5S2 c, S2 ozacza ieobciążoy estymator wariacji, zaś c jest odpowiedim kwatylem rozkładu chi-kwadrat); Metoda N polega a podziale próbki a dwie części. Podpróbkę X 1, X 2, X 3 wykorzystujemy do zbudowaia przedziału ufości 0, G 123, zaś podpróbkę X 4, X 5, X 6 do zbudowaia przedziału 0, G 456. Oba te przedziały obliczamy iezależie w stadardowy sposób przyjmując poziom ufości 1 α = 0.90. Ostateczie aszym przedziałem ufości jest 0, G N, gdzie G N = maxg 123, G 456 }. Porówać średie długości przedziałów otrzymaych obiema metodami. EG N = 1.58EG S Zadaie 14. Każda ze zmieych losowych X 1,..., X 0 ma rozkład ormaly Nµ, σ 2 ) z iezaą wartością oczekiwaą µ i zaą wariacją σ 2. Założoo, że zmiee są iezależe i w stadardowy sposób zbudowao dla µ przedział ufości a poziomie ufości 0.95: X 1.96σ, X + 1.96σ W rzeczywistości zmiee X 1,..., X 0 mają łączy rozkład ormaly, ale są skorelowae, CorrX i, X j ) = 0.1 dla wszystkich i j. Obliczyć faktyczy poziom ufości. 0.45 Zadaie 15. Próbka X 1,..., X 14 pochodzi z rozkładu ormalego Nµ, σ 2 ) z iezaą wartością oczekiwaą µ i iezaą wariacją σ 2. Na podstawie tej próbki zbudowao dla µ w stadardowy sposób przedział ufości a poziomie ufości 1 α = 0.995 X 14 S t, X 14 + S t 14 14 Niech X 15 będzie zmieą losową pochodzącą z tego samego rozkładu, iezależą od X 1,..., X 14. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że X 15 ależy do uprzedio wyzaczoego przedziału ufości: P µ,σ 2 X 14 S t X 15 X 14 + S t ) 14 14 0.60 Zadaie 16. Załóżmy, że X 1,..., X 4 jest próbką z rozkładu ormalego Nµ, 1), zaś Y 1,..., Y 9 jest próbką z rozkładu ormalego Nµ, 4), µ jest iezaym parametrem. Niech X = 1 4 4 X i, Ȳ = 1 9 9 Y i. Zaleźć takie liczby r i d, żeby przedział r X + 1 r) Ȳ d, r X + 1 r)ȳ + d był przedziałem ufości dla µ a poziomie ufości 1 α = 0.95 i przy tym długość tego przedziału 2d) była ajmiejsza. r = 0.64, d = 0.784 Zadaie 17. Załóżmy, że zmiee losowe X 1,..., X są iezależe i mają rozkłady ormale. Zmiea X i ma rozkład N µ, 1 i ), iymi słowy EXi = µ, V arx i = 1 i dla i = 1,...,. Wartość oczekiwaa µ jedakowa dla wszystkich zmieych) jest iezaa. Należy zbudować przedział ufości dla µ a poziomie 1 α = 0.95. Przedział ma być postaci ˆµ d, ˆµ + d, gdzie ˆµ jest estymatorem ajwiększej wiarogodości parametru µ. Podać liczbę d taką, że 0.3354 P µ ˆµ d < µ < ˆµ + d) = 0.95. zadaia aktuariale przedziały ufości), modyfikacja WZ, stroa 3

Zadaie 18. Rozważmy próbkę X 1,..., X z rozkładu jedostajego a odciku 0, θ z iezaym prawym końcem θ). Niech M = maxx 1,..., X }. Należy zbudować przedział ufości dla θ a poziomie 90%. Chcemy, żeby te przedział był postaci am, bm, gdzie liczby a i b są tak dobrae, żeby Podać długość tego przedziału. ) 20 M 20 19 P θ θ < am) = P θ θ > bm) = 0.05. Zadaie 19. Załóżmy, że X 1,..., X 4 jest próbką z rozkładu ormalego Nµ, σ 2 ) o iezaej wartości oczekiwaej i iezaej wariacji, zaś jest X 5 zmieą losową z tego samego rozkładu, iezależą od próbki. Iterpretujemy zmieą X 5 jako koleją obserwację, która pojawi się w przyszłości, ale obecie jest iezaa. Zbudować przedział ufości oparty a próbce X 1,..., X 4 taki, że L, U = LX 1,..., X 4 ), UX 1,..., X 4 ) P µ,σ 2LX 1,..., X 4 ) X 5 UX 1,..., X 4 )) = 0.95, przy tym żądamy, żeby przedział był symetryczy, tz. 1 2 L + U) = X. Używamy tutaj ozaczeń: X = 1 4 L = X 3.558S, U = X + 3.558S 4 X i, S 2 = 1 3 4 X i X) 2. Zadaie 20. Zakładamy, że X 1,..., X są iezależymi zmieymi losowymi o rozkładach ormalych, przy czym EX i = µ i V arx i = σ2 w i. Parametry µ i σ 2 są iezae, a wagi w i i = 1,..., ) są zae. Zbudować przedział ufości ˆσ 1, 2 ˆσ 2 2 dla σ 2 a poziomie ufości 1 α = 0.9. wixi X w) 2 16.9190, wixi X w) 2 3.3251, gdzie X w = wixi wi Zadaie 21. Losujemy 3) iezależych realizacji zmieej losowej z rozkładu jedostajego a przedziale 0, θ). Po uporządkowaiu zaobserwowaych wartości w ciąg rosący x 1,..., x } tworzymy przedział 2x 1, 2x 1 ). Dobrać ajmiejsze, przy którym prawdopodobieństwo tego, że tak utworzoy przedział pokrywa wartość parametru θ jest większe iż 0.9. 7 Zadaie 22. Niech X 1,..., X będą zmieymi losowymi o rozkładzie Pareto1, a 1 ), a Y 1,..., Y m będą zmieymi losowymi o rozkładzie Pareto1, a 2 ), gdzie a 1, a 2 > 0 są iezaymi parametrami. Wszystkie zmiee są iezależe. Na poziomie ufości 1 α budujemy przedział ufości dt, ct dla ilorazu parametrów a 1 a 2 a podstawie estymatora ajwiększej wiarogodości T tego ilorazu w te sposób, że P a1,a 2 ct < a ) 1 = P a1,a2 dt > a ) 1 = α a 2 a 2 2. Wyzaczyć długość przedziału ufości, gdy α = 0.1, m = 4, = 5. 3.02T zadaia aktuariale przedziały ufości), modyfikacja WZ, stroa 4

Zadaie 23. Niech X 1, Y 1 ),..., X, Y ) będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie ormalym z astępującymi parametrami: iezaą wartością oczekiwaą EX i = EY i = µ, wariacją V arx i = 1 4, V ary i = 1 i współczyikiem korelacji CorrX i, Y i ) = 0.5. Osobo a podstawie prób losowych X 1,..., X i Y 1,..., Y zbudowao dwa przedziały ufości dla wartości oczekiwaej µ, każdy a poziomie ufości 0.8. Obliczyć prawdopodobieństwo, że tak zbudowae przedziały okażą się rozłącze. 0.03 Zadaie 24. Zakładamy, że X 1,..., X 12 są iezależymi zmieymi losowymi o rozkładach ormalych, przy czym EX i = µ i V arx i = σ2 i, gdzie parametry µ R i σ2 > 0 są iezae. Budujemy przedział ufości ˆσ 1, 2 ˆσ 2 2 dla parametru σ 2 a poziomie ufości 0.9. Niech X = 1 12 12 X i i Xw = 1 12 78 ix i. Wyzaczyć ˆσ 1 2 i ˆσ 2 2 tak, by P µ,σ 2ˆσ 1 2 > σ 2 ) = P µ,σ 2ˆσ 2 2 < σ 2 ) = 0.05. 12 ixi X w) 2 12 19.6752 i ixi X w) 2 4.5748 Zadaie 25. Dyspoując pięcioma iezależymi próbkami losowymi o tej samej liczebości, z tego samego rozkładu ormalego Nµ, σ 2 ) z iezaą wartością oczekiwaą µ i zaą wariacją σ 2, zbudowao pięć stadardowych przedziałów ufości dla parametru µ postaci Xi 1.2816 σ, X i + 1.2816 σ, gdzie X i jest średią z obserwacji w i-tej próbce, i = 1, 2, 3, 4, 5. Następie zbudowao przedział ufości dla parametru µ postaci m 1.2816 σ, m + 1.2816 σ gdzie m = medx 1, X 2, X 3, X 4, X 5 }. Wyzaczyć P µ m 1.2816 σ µ m + 1.2816 σ., 0.98288 Zadaie 26. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu Weibulla o gęstości f θ x) = 3θx 2 exp θx 3 ), dla x > 0, 0, poza tym, gdzie θ > 0 jest iezaym parametrem. Przedział ufości dla parametru θ w oparciu o estymator ajwiększej wiarogodości ˆθ = ˆθ X 1,..., X ) parametru θ otrzymujemy rozwiązując ierówość ˆθ θ z, σθ) gdzie σ 2 θ) jest wariacją asymptotyczą statystyki ˆθ i liczba z spełia Wyzaczyć postać przedziału ufości. X3 i +1.96), lim P θ X3 i 1.96) ) ˆθ θ z = 0.95. σθ) zadaia aktuariale przedziały ufości), modyfikacja WZ, stroa 5