LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI ĆWICZENIE NR Drgania układów mechanicznych Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z właściwościami układów drgających oraz metodami pomiaru i analizy drgań. W ramach ćwiczenia zostaną wykonane pomiary parametrów opisujących drgania poprzeczne prętów zaciśniętych na jednym końcu i swobodnych na drugim. Drgania układów ciągłych. Układ pomiarowy - badany układ drgający, - wzbudnica drgań, 3 - wzmacniacz mocy, 4 - generator, 5 - częstościomierz, 6 - stroboskop.. Zadania laboratoryjne.. Zmierzyć częstotliwości poprzecznych drgań własnych (modów) belek o różnych długościach i przekrojach poprzecznych, wykonanych z różnych materiałów... Wyznaczyć trzy pierwsze sposoby (mody) drgań poprzecznych belek..3. Otrzymane wyniki zamieścić w tabeli wg wzoru (tabela 3) i porównać z wynikami teoretycznymi korzystając z zależności podanych w Dodatku A i danych materiałowych podanych w tabelach i. 3. Zagadnienia do przygotowania 3.. Drgania strun, prętów, belek i płyt. 3.. Częstotliwości drgań własnych (modów). Literatura [] Dobrucki A., Podstawy akustyki. Skrypt PWr.,Wrocław 987. [] Januszajtis A., Fizyka dla Politechnik, Tom III Fale, 5. PWN W-wa 99. [3] Żyszkowski Z., Podstawy elektroakustyki, wyd.3. WNT W-wa 984, rozdz. 6.
Tabela. Dane materiałowe Materiał Współczynnik sprężystości podłużnej (moduł Younga) E [N/m ] Gęstość [kg/m 3 ] Prędkość fali podłużnej (dźwięku) cl E/ [m/s] Stal, 0 7800 5900 Mosiądz,0 0 8600 3830 Duraluminium 0,7 0 700 598 Plexiglas 4,45 0 9 80 670 Tabela. Momenty bezwładności przekrojów o różnych kształtach Kształt przekroju porzecznego Moment bezwładności przekroju [m 4 ] Prostokątny (a x b) Kołowy ( r ) a 3 b/ r 4 /4 Trójkąt równoboczny ( a ) 3 a 96 4
Tabela 3. Wyniki pomiarów i obliczeń. Materiał Parametry geometryczne l = a = b = r = n f n, zm. (Hz) f n, obl. (Hz) f (%) 3 m x nm, zm. (mm) x nm, obl. (mm). x (%) S = I = l = a = b = r = S = I = 3 l = a = b = r = S = I = 3 Uwaga: f = (f n, zm - f n, obl. )/ f n, obl. x 00 %; x = (x n, zm - x n, obl. )/ x n, obl. x 00 %; l długość [m]; a grubość [m]; b szerokość [m]; r promień [m]; S pole powierzchni przekroju [m ]; I moment bezwładności przekroju [m 4 ]; n numer modu drgań; m numer węzła drgań. 3
Dodatek A DRGANIA PRĘTÓW Rozważamy pręt o jednostajnym przekroju poprzecznym S [m ], wykonany z materiału o gęstości [kg/m 3 ] i współczynniku sprężystości podłużnej materiału (moduł Younga) E [N/m ]. W przeciwieństwie do strun nie uwzględnia się zupełnie naciągu. Przyjmuje się, że całkowita siła zwracająca pręt do położenia równowagi pochodzi jedynie od jego sprężystości własnej. Pręt może drgać podłużnie, poprzecznie i skrętnie (wirowo). I. DRGANIA PODŁUŻNE PRĘTÓW Rys.. Drgania podłużne pręta. Pod wpływem działającej siły F [N] odległość między dwoma dowolnymi przekrojami wzrosła o d dx, zatem względne wydłużenie pręta w tym obszarze wynosi x i zgodnie z prawem Hooke a jest proporcjonalna do naprężenia x : x F x, F ES E E S. Siła działająca na prawy przekrój jest F x F dx F ES dx, x x 4
czyli, że wypadkowa siła działająca na odcinek pręta d wynosi: x df ES dx. x Jest to siła sprężystości. Pod wpływem tej siły masa odcinka pręta dx równa dm doznaje przyspieszenia Sdx,. Zatem na podstawie II prawa Newton a otrzymujemy równanie: t (I.) t, x c L w którym cl E/ [m/s] jest prędkością fali podłużnej (dźwięku) w pręcie. Jest to równanie falowe, jednowymiarowe (fali dźwiękowej w pręcie). Spełnia je dowolna x ct. funkcja typu Dla wyznaczenia drgań własnych pręta postępuje się podobnie jak dla struny, tj. metodą rozdzielenia zmiennych. Poszukuje się rozwiązania równania (I.) w postaci iloczynu dwóch funkcji, z których jedna zależy tylko od x, a druga tylko od t ( x, t) X ( x) T ( t). Ostatecznie, rozwiązanie równania falowego ma postać: n ( x, t) C cos t C sin t sin x n n n n, n = 0,,,... n l (I.) gdzie stałe C n, C n wyznacza się z warunków początkowych, natomiast częstości drgań własnych (modów) są równe: (I.3) n n l E, [rad/s]. Należy zauważyć, że częstości podłużnych drgań własnych pręta są, podobnie jak struny, harmoniczne w stosunku do częstości podstawowej (n = ). 5
II. DRGANIA POPRZECZNE PRĘTÓW Rys.. Drgania poprzeczne pręta. Drgania poprzeczne pręta o stałym przekroju S i gęstości wzdłuż długości l opisuje równanie różniczkowe: (II.) z z S t x x EI 0, gdzie wyrażenie w nawiasie jest momentem zginającym, natomiast I jest momentem bezwładności przekroju poprzecznego pręta I z ds. S Równanie (II.) nie jest równaniem falowym. Jeżeli podstawimy do (II.) rozwiązanie z( x, t) Z exp j( t kx), to otrzymamy związek dyspersyjny falowe np. w postaci (dyspersja - zjawisko w którym prędkość fali zależy od częstotliwości): EI k, S przy czym k = / jest liczbą falową, długością fali poprzecznej. Z zależności tej wynika, że prędkość przemieszczania się powierzchni stałej fazy, czyli prędkość fazowa drgań poprzecznych, jest równa: I c cl. k S Ze względów fizycznych jest to niemożliwe, zatem równanie (II.) nie jest ścisłe. Jednak dla małych częstotliwości, dla których długość fali poprzecznej jest znacznie większa od wymiarów liniowych przekroju poprzecznego pręta (a/ < 0.), równanie (II.) jest wystarczająco dokładne dla zastosowań technicznych. Podstawiając do równania (II.): z( x, t) Z( x)exp jt, otrzymamy: (II.) 4 d Z x ( ) 4 dx S EI 4 4 Zx ( ) 0,. 6
Ogólne rozwiązanie równania (II.) można przedstawić w postaci: (II.3) x x jx jx Z( x) A e Ae A3e A4e. B cosh x B sinh x B cos x B sin x 3 4 Rozwiązanie (II.3) zawiera cztery stałe do wyznaczenia których potrzebne są cztery warunki brzegowe, po dwa na każdy koniec pręta. II.. Pręt zaciśnięty na jednym końcu i swobodny na drugim Dla x = 0 wychylenie i nachylenie pręta muszą być równe zero: Stąd B = -B 3 oraz B = -B 4. dz( x) Z(0) 0 i x0 0. dx Dla x = l moment zginający i siła ścinająca na swobodnym końcu pręt muszą być równe zero: Stąd przy czym 3 d Z( x) d Z( x) 0 i 0 xl 3 xl. dx dx sin l sinh l cos l cosh l B B B, cos l cosh l sin l sinh l cos l cosh l sinh l sin l, cosh lcos l. Wartości własne ostatniego równania wynoszą: l.875, l 4.6946, 3l 7.8548, 4l 0.9957,... Dla tych wartości n, n=,,..., otrzymuje się ze wzoru (II.) częstotliwości poprzecznych drgań własnych pręta: (II.4) EI. 4 n n S Na rysunku 3 pokazano cztery pierwsze mody drgań poprzecznych pręta zaciśniętego na jednym końcu. 7
Rys. 3. Cztery pierwsze sposoby (mody) drgań poprzecznych pręta zaciśniętego na jednym końcu o częstotliwościach: f 0.5596 EI l S, [Hz] f f 6.68 f, 7.548 f, 3 f 34.387 f. 4 8
III. DRGANIA SKRĘTNE PRĘTÓW Rys. 4. Drgania skrętne pręta. Gdy pręt jest pobudzany momentem skręcającym powstają drgania skrętne (wirowe). Pręt przenoszący momenty skręcające nazywany jest wałem. Częstotliwość podstawowa drgań własnych skrętnych jest określona wzorem: E (III.) f, [Hz], l ( ) gdzie jest liczbą Poissona. Częstotliwości drgań wyższych modów są harmoniczne w stosunku do częstotliwości podstawowej f. 9