Aademia Morsa w Gdyi Katedra Automatyi Orętowej Teoria sterowaia Trasformata Z Matlab Mirosław Tomera. WPROWADZENIE W uładach sterowaia cora cęściej stosowae są regulatory cyfrowe i stąd oiecość oreślaia rówań, tóre opisują sygały cyfrowe i dysrete. Ta ja rówaia różicowe stosowae są do opisu uładów sygałami aalogowymi, ta rówaia różicowe stosowae są dla uładów sygałami dysretymi lub cyfrowymi. Rówaia różicowe używae są rówież do aprosymacji rówań różicowych w celu apisaia ich w programach omputerowych wyorystywaych w różego rodaju symulacjach. Rachue operatorowy Laplace a może być stosoway do rowiąywaia liiowych rówań różicowych wycajych, atomiast trasformata Z jest metodą wyorystywaą do rowiąywaia liiowych rówań różicowych i uładów liiowych daymi dysretymi lub cyfrowymi. Zmiea jest licbą espoloą.. PRZEKSZTAŁCENIE RÓWNANIA RÓŻNICOWEGO DO POSTACI TRANSFORMATY Z Podobie ja w prypadu trasformaty Laplace'a, wprowadeie trasformaty Z ma a celu umożliwieie wyoywaia matematycych operacji algebraicych co może być wyoywae w diediie mieej espoloej, ostateca odpowiedź casowa wyacaa jest pre astosowaie odwrotej trasformaty Z. Odwrota trasformata Z fucji Y() daje iformacje tylo o y(t), a ie o y(t). Iymi słowy trasformata Z achowuje iformacje tylo w chwilach próbowaia. Sygały występujące w dysretych chwilach casu opisywae są pre rówaia różicowe. W tym podrodiale poaae ostaie w jai sposób doouje się astąpieia rówaia różicowego odpowiadającą mu trasformatą Z. W tabeli ajdują się podstawowe twierdeia w oparciu o tóre doouje się prestałceia rówaia różicowego do postaci trasformaty Z. Na podstawie rówaia różicowego w sposób sewecyjy moża dooać wyaceia dysretego sygału casowego. Taie same wartości próbe sygału dysretego moża uysać rowiąując rówaie różicowe metodą trasformaty Z. Poiżsy pryład ilustruje sposób wyaceia trasformaty Z dla rówaia różicowego. Pryład Dla poiżsego rówaia różicowego uładu II rędu, wyac odpowiadająca mu trasformatę Z. y ( ) y ( ) + 0.5y( 5 ( (.) gdie ( jest jedostową fucją soową. Wartości pierwsych próbe są astępujące: 0 y. y, Ostatia atualiacja: 08-06- M. Tomera
Teoria sterowaia Trasformata Z Matlab Tabela. Podstawowe twierdeia trasformaty Z. Dodawaie i odejmowaie Zf T f T F. Możeie pre stałą Zaf T azf T a F F. Presuięcie w diediie recywistej Z T f F (opóźieie casowe) Zf T F( ) f T (wypredeie casowe) 0 gdie: licba całowita.. Presuięcie w diediie mieej espoloej T Z e f T T F e 4. Twierdeie o wartości pocątowej lim f ( T) lim F( ) 0 5. Twierdeie o wartości ońcowej F( ) lim f ( T) lim, pod waruiem, że F( ) ie ma żadych bieguów a ewątr ai a oręgu Rowiąaie: Dooując obustroego prestałceia Z rówaia (.), pry wyorystaiu twierdeń tabeli i fucji tabeli Y ( ) y(0) y() Y( ) y(0) + 0.5Y() 5 Podstawiając wartości licbowe pierwsych próbe do rówaia (.) i wyacając Y(), otrymuje się 6 6 Y ( ) (.) 0.5.5 0. 5 Dodatowo moża sprawdić poprawość uysaej trasformaty (.) pry użyciu twierdeia o wartości pocątowej (tabela, pt. 4) 6 6 y(0) lim lim (.4) 0.5.5 0.5 Aaliując wór (.4) widać, że o wyiu decydują współcyii pry ajwyżsych potęgach licia i miaowia, cyli sprawdaie poprawości wyacoej trasformaty Z dla rówaia różicowego pry użyciu twierdeia o wartości pocątowej jest mało wiarygode. Na podstawie trasformaty (.), pry użyciu twierdeia o wartości ońcowej (tabela, pt 5) moża wyacyć rówież wartość ustaloą fucji y( 6 6 y( ) lim lim 0 (.5) 0.5 0.5 (.) Ostatia atualiacja: 08-06- M. Tomera
Teoria sterowaia Trasformata Z Matlab Tabela. Wybrae trasformaty Z f( F().. ( ) 0 0 0. 4.! 5. lim! 0 6. r 7. r 8. si 9. cos! r r r si cos cos cos r si 0. r si r cos r r cos. r cos r cos r. Ar cos Ae j re j Ae j re j. ZNAJDOWANIE ODWROTNYCH TRANSFORMAT Z METODĄ ROZKŁADU NA UŁAMKI PROSTE W celu wyaceia odwrotej trasformaty fucja F() roładaa jest a sumę ułamów wyłych, a astępie orysta się tablicy trasformat Z w celu oreśleia posuiwaej fucji f(t). Pry roładie a sumę ułamów wyłych występuje iewiela różica pomiędy trasformatami Z i trasformatami Laplace'a. Preglądając tabelę trasformat Z (tabela ), moża auważyć, że pratycie ażda trasformata Z fucji jest pomożoa w liciu pre. Dlatego też doouje się roładu fucji F ( ) a sumę ułamów wyłych, a astępie moży się wsystie sładii pre. Roważ astępującą fucję operatorową apisaą w postaci ilorau dwóch wielomiaów: m m F( ) B( ) umd bm bm... b b0 () A( ) ded a a... a a 0 Ostatia atualiacja: 08-06- M. Tomera
Teoria sterowaia Trasformata Z Matlab w tórych ietóre e współcyiów a i ora b j mogą być rówe ero. W MATLABIE wetory wiersowe umd ora ded oreślają współcyii licia i miaowia fucji opisaej worem (). Wobec tego umd b m bm... b 0 Poleceie ded a a... a 0 pd,d residue umd,ded rd, () wyaca residua rd, bieguy pd ora współcyii stałe D roładu fucji dysretej a ułami proste ilorau dwóch wielomiaów B()/A(). Roład a ułami proste ilorau wielomiaów B()/A() jest wówcas astępujący: F( ) B( ) umd rd rd rd... A( ) ded pd pd pd Pryład ilustruje tą metodę. D () Pryład Dla fucji dysretej uysaej w pryładie 6 Y ( ) (.).5 0.5 wyac postać dysretą y( stosując metodę roładu a ułami proste. Rowiąaie: W pierwsej olejości ależy podielić fucję (.) pre. Y ( ) 6 6 (.).5 0.5 0.5 j0.5 0.5 j0.5 Korystając fucji residue ajdującej się w bibliotece Matlaba moża łatwo wyacyć parametry roładu fucji opisaej worem (.) do postaci () Y ( ) 0 5.5 j6.5 5.5 j6.5 (.) 0.5 j0.5 0.5 j0.5 Po prestałceiu residuów espoloych do postaci wyładicej i pomożeiu obu stro rówaia (.) pre, uysuje się j.7 j.7 8.547 e 8.547 e Y( ) 0 (.4) j0.7854 j0.7854 0.707e 0.707e Korystając tablicy trasformat Z ajduje się postać casową fucji dysretej cos0.7854.7 y( 0 ( 7.094 0.707 Uysae wyi (.5) będący rowiąaiem rówaia różicowego pryładu predstawioy ostał a rysuu.. Rowiąaie pryładu preprowadoe ostało wyorystaiem astępującego odu Matlaba. clear % Wycysceie pamięci robocej Matlaba close all % Zamięcie wsystich oiee graficych %Lici i miaowi fucji dysretej umd [- 0 6]; ded cov([ -],[ - 0.5]); % Wyaceie parametrów roładu a ułami wyłe [rd,pd,d] residue( umd, ded); (.5) Ostatia atualiacja: 08-06- M. Tomera 4
Teoria sterowaia Trasformata Z Matlab % Wyaceie postaci wyładicej espoloego residua M_rD abs( rd()); theta_rd agle( rd()); % Wyaceie postaci wyładicej espoloego biegua M_pD abs( pd()); theta_pd agle( pd()); % Wygeerowaie olejych próbe rowiąaia for 0:0, td(+) ; yd(+) rd() + *M_rD*(M_pD)^*cos(theta_pD*+theta_rD) ed; % Wyreśleie uysaego rowiąaia figure() stem(td, yd, '-') xlabel('') ylabel('y(') 4 Rowiąaie rówaia różicowego y( 0 8 6 4 0 - -4 0 4 6 8 0 4 6 8 0 Rys... Wyres fucji dysretej y( uysay a podstawie woru (.5) Moża dooać sprawdeia uysaego rowiąaia (.5) popre wygeerowaie rowiąaia rówaia różicowego (.) w sposób bepośredi po dopisaiu dodatowo astępującego odu programu Matlaba. t() 0; y() -; % Wartość pierwsej próbi t() ; y() -; % Wartość drugiej próbi for :9, t(+) +; y(+) y(+) - 0.5*y( + 5; ed; % Wyreśleie uysaych rowiąań figure() plot( td, yd, 'o', t, y, '*') xlabel('') ylabel('y(') Ostatia atualiacja: 08-06- M. Tomera 5
Teoria sterowaia Trasformata Z Matlab ĆWICZENIA W MATLABIE M. Zajdź odwrote trasformaty Z dla 0 a) Y () b) Y () 6 5 6 c) () 5 5 8 Y 4 4 d) Y () 0 M. Zajdź odwrote trasformaty Z dla 0 a) () Y 0 0.5 b) () 0 Y 0. c) () Y 0.85 d) () Y 0. e) () 5 0 Y f) () Y.5 g) () Y 0.5 h) Y () i) () 0 0. 0.5 0.8 Y j) () 0.5 Y () Y l) () 0.86 Y.64 0.7 Ostatia atualiacja: 08-06- M. Tomera 6
Teoria sterowaia Trasformata Z Matlab M. Korystając metod trasformaty Z, rowiąż astępujące rówaia różicowe dla 0 uwględieiem waruów pocątowych: a) y( ).5y( ).04y( ) 0.54y( 0.0 ( y ( 0) y ( ) 0.9 y ( ) 0.8 b) y( ).54y( ) 0.56y( 0.0 0. 9 y ( 0) 0 y ( ) 0. c) y( ) 0.8y( 0.6 cos0. y ( 0) d) y( ).6y( ).y( ) 0.6y( 0.0 ( y ( 0) y ( ). y ( ).8 e) y( ) 0.8y( 0. 005 y ( 0) f) y( ) 0.7 y( 0.4 si0. y ( 0) g) y( ).6y( ) 0.65y( 0.0( y ( 0) y ( ).8 h) y( ).7 y( ) 0.7y( 0.0 0. 74 y ( 0) 0 y ( ) 0. i) y( ).8y( ) 0.8y( 0.05( y ( 0) y ( ) 0.8 j) y( ).8y( ) 0.8y( 0.0si0. y ( 0) y ( ).7 y( ).9y( ) 0.94y( 0.0cos0. y ( 0) y ( ). l) y( ).7 y( ) 0.76y( 0.0 0.8 cos0. y ( 0) 0 y ( ) 0. Ostatia atualiacja: 08-06- M. Tomera 7
Teoria sterowaia Trasformata Z Matlab ODPOWIEDZI DO WYBRANYCH ZADAŃ M. M. M. a) y ( 0.5 ( b) ( 0.5 y 9 y + + y.84.6 cos.89 0.48 c) ( d) ( a) y ( 0 ( + 0 ( b) y (.5 ( c) y ( 0.5405 ( d) y ( 5.5556 ( e) y ( 5 ( f) y ( ( g) y ( ( 40 0.5.5 0. 0.5405 0.85 5 0.5 h) y ( 80 ( i) y ( 4 ( j) ( +.5 0.5556 0. 00 0.8 + 0 0.5 4 0.5 4 0. 5. ( + 0.6667 cos.0944.0944 ( +.094 cos.047.680.0489 ( +.7 0.8556 cos0.648.5898 y 0 ( y ) l) ( y Y ( ).6 0.6 0.0 a) 4.5.04 0.54 0.5 0.59 0.778 0.07 0.9 0.6 0 y ( 0.5 ( 0.59 0.9 0.778 0.6 0.07 ( Y ( ) b) 0. 0..44.946 0.504 0.56.5 0.784 0.954 0.9 0.5886 y ( 0.56 (0.954).50.9 0.784 0. 5886 Y ( ) c) 4.50.588.89e.760.568 0.8 e y (.77 cos(0. 0.845).508 0. 8 Y ( ).5 0.55 0.0 d) 4.6. 0.6 j0.845 j0..89e e j0.845 j0..508 0.8 0.6667.667 0.880 0.0476 0.9 0.7 0 y ( 0.6667 (.667 0.9 0.880 0.7 0.0476 ( Y ( ) e) 0.995.8.6 0.8 0.5 y ( 0.5( 0.05 0.875 0. 8 0.05 0.875 0. 8 Y ( ).960.0795.6740 0.585e f).660.7 0.7 0.7 e y (.6740 (0.7).649 cos0..878 j.878 j0. 0.585e e j.878 j0. Ostatia atualiacja: 08-06- M. Tomera 8
Teoria sterowaia Trasformata Z Matlab j.996 Y ( ) 5.99 0..70e g).6.5 0.65 0.806e y ( 0.( 5.4406 0.806 cos0.44.996 Y ( ) h) 0. 0.044.44.978 0.58 y (.875 (0.9) 60.8.5 0. 74 Y ( ) i).05.8.6 0.8 y ( 5 ( 0.4 0.9 0.6667 0. 9 Y ( ) j) 4 j0.44.70e 0.806e.875 6.5 0.9 0.8 0.74 5 0.4 0.9 5.80 5.74.8980.760 5.48.407 0.8 j.544 j.544 0.6 0.9 j0.9 0.7e 0.7e.54e.54e j0. j0. j0.07 e e 0.9055e 0.9055e y ( 0.545 cos0..544.708 0.9055 cos0.07 0.9 Y ( ) 4.607.475 0.7096.807 5.570.6960 0.9400 j.078 j.078 j0.865 0.00e 0.00e 0.876e 0.876e j0. j0. j0.0 e e 0.9695e 0.9695e y ( 0.004 cos0..078.755 0.9695 cos0.0 0.865 Y ( ) l) 4 0. 0.4486 0.844.85.9985.497 0.4864 j.56 j.56 j.868 j.996 j0.44 j0.9 j0.07 j0.865 j0.0 j.868 0.905e 0.905e 0.90e 0.90e j0.40 j0.40 j0. 0.878e 0.878e 0.8e 0.8e y (.800 0.878 cos0.4.56 0.80 0.8 cos0..868 j0. LITERATURA. Frali G.F, Powell J.D., Emami-Naeii A. Digital Cotrol of Dyamic Systems, rd ed. Addiso-Wesley Publishig Compay, 998.. Kuo B.C. Automatic Cotrol Systems, Joh Wiley&Sos, 995. Ostatia atualiacja: 08-06- M. Tomera 9