1. Transformata Laplace a przypomnienie

Transkrypt

1 Transformata Laplace a - przypomnienie, transmitancja operatorowa, schematy blokowe, wprowadzenie do pakietu Matlab/Scilab i Simulink, regulatory PID - transmitancja, przykłady modeli matematycznych wybranych obiektów regulacji.. Transformata Laplace a przypomnienie Transformata jednostronna f(t) oryginał spełniający odpowiednie warunki (w naszych rozważaniach spełnione) F(s) transformata, s zmienna zespolona Tablica podstawowych własności Uproszczona tablica podstawowych transformat

2 , zerowe warunki początkowe* zerowe warunki początkowe* *, *, * Przykład 2

3 - obustronnie stosujemy przekształcenie Laplace a dla dla na podstawie tabeli Metoda rozkładu na ułamki proste Pierwiastki jednokrotne rzeczywiste - metoda przesłaniania Pierwiastki zespolone - rzeczywisty 3

4 - metoda przesłaniania Wskazówka - dla biegunów rzeczywistych odpowiedź to suma funkcji wykładniczych ewentualnie mnożonych przez dla biegunów n-krotnych - dla biegunów zespolonych jednokrotnych odpowiedź to suma funkcji sin i cos z amplitudą modyfikowaną wykładniczo Nieformalna wskazówka: 2. Transmitancja operatorowa Uwaga Pierwiastki licznika transmitancji nazywamy zerami zaś pierwiastki mianownika transmitancji nazywamy biegunami. Uwaga Parametry transmitancji zależą tylko od właściwości obiektu a nie od charakteru sygnału wejściowego. Przykład cd. 4

5 Pytanie: jaka będzie odpowiedź układu na wymuszenie skokowe o amplitudzie równej 2. Wyznacz wartość ustaloną odpowiedzi. 3. Schematy blokowe 5

6 6

7 4. Wprowadzenie do pakietu Matlab/Scilab Podstawowe instrukcje - Matlab. Definiowanie wektora czasu t=0:0.:5; 2. Definiowanie transmitancji L=[a n a n- a a 0 ] M=[b n b n- b b 0 ] 3. Odpowiedź transmitancji na sygnał wejściowy w postaci skoku jednostkowego y=step(l,m,t); 4. Wykres plot(t,y); grid Analogiczne zadania można wykonać w nieodpłatnie dostępnym pakiecie Scilab ( Definiowanie wektora czasu t=[0:0.:5]; bądź t=0:0.:5; 7

8 2. Definiowanie transmitancji s=poly(0, s ); bądź s=%s sys=syslin( c,( )/( )); 3. Odpowiedź transmitancji na sygnał wejściowy w postaci skoku jednostkowego y=csim( step,t,sys); 4. Wykres plot2d(t,y); xgrid bądź plot(t,y); xgrid Przykłady 8

9 5. Regulatory PID transmitancje 9

10 6. Modele matematyczne wybranych obiektów regulacji Zbiornik z pompą opróżniającą (bilans masy) q we q wy h A 5 Qwe ( s) Qwy( s) H( s) As 4 3 Matlab L = M = [2 0] t = 0:0.:0; y = step (L,M,t); L = - y = step(l,m,t); plot (t, y, r-,t,y, g-,t,y+y, b- ), grid

11 Zbiornik z wypływem pod ciśnieniem hydrostatycznym (bilans masy) h q we A Po linearyzacji (rozwinięcie w szereg Taylora) H s) we ( 2 k ( ) ( ) Q s k S s Ts s q wy Podgrzewacz elektryczny (bilans energii), c, V q T q, c, T 0 P,R, c, T u T ( s) U ( s) k Ts Opóźnienie transportowe w kotle rusztowym S u y u L v y L v Uwaga Transmitancje obiektów technologicznych (energetycznych, chemicznych i in.) należy zwykle uzupełnić o pewne opóźnienie, co daje: e s, e s, e s. 2 Ts Ts Ts Bardzo często wartość określa się eksperymentalnie.

12 Przybliżenie Padé e s 2 s ( s ) 2! 2 s ( s) 2! ( s )... 3! 3 ( s)... 3! Przykład Matlab instrukcja pade przybliżenie -go rzędu L=; M=[ ]; [Lp Mp]=pade(2,); Lz=conv(L,Lp); Mz=conv(M,Mp); t=0:0.0:2; y=step(lz,mz,t); plot(t,y);grid G( s) e 2s s Przykład Scilab aproksymacja opóźnienia - przybliżenie -go rzędu s=%s; sys= syslin('c',/(s+)); delay=syslin('c',(2-2*s)/(2+2*s)); sys=sys*delay; t=0:0.0:2; y=csim('step',t,sys); plot(t,y);xgrid Przykład Matlab instrukcja pade przybliżenie -go i 2-go rzędu L=; M=[ ]; [Lp Mp]=pade(2,); [Lp2 Mp2]=pade(2,2); Lz=conv(L,Lp); Mz=conv(M,Mp); Lz2=conv(L,Lp2); Mz2=conv(M,Mp2); t=0:0.0:2; y=step(lz,mz,t); y2=step(lz2,mz2,t); plot(t,y, r-,t,y2, b- );grid G( s) e 2s s

13 Silnik prądu stałego z magnesami trwałymi sterowanie napięciowe i R U J S N S U U s k s Ts s k s s( Ts ) Silnik prądu stałego z magnesami trwałymi sterowanie prądowe i s s U k s i R J S k s 2 s s U N S 3