Wykzykniki 6 pomoc do gzaminu pismngo, 8II, 6, godz Ruch dwóch ładunków punktowych q i q o masach m i m można opisać wybiając wktoy położnia każdgo z nich i względm dango punktu odnisinia O m CM R m m m o wpowadzniu wktoów i R ( R - wkto śodka masy), wypowadź ównania m m uchu układu oaz udowodnij, ż a) całkowity pęd, ngia i momnt pędu układu mają postać: VCM V w klqq tot ( m m ) VCM, Etot ( m m), Ltot R ( V w) LCM L d dr gdzi V w - pędkość względna; V CM - pędkość śodka masy obu ładunków, dt dt Vw klqq b) wwnętzna ngia E i momnt pędu L są całkami uchu Całką uchu w polu o potncjal popocjonalnym do / jst wkto Runggo-Lnza (np dla dwóch ładunków punktowych): A p L k lqq, gdzi p Vw i L p okaż, ż a) A jst całką uchu b) znajdź jgo kiunk i zwot 3 Rozpatzmy ładunk punktowy q, któy pousza się w danj chwili z pzyspisznim a W opaciu o lktodynamikę klasyczną można pokazać, ż pol lktyczn tgo ładunku gdy jgo pędkości V << c ma postać kq E(, R R kq c E c pol lktyczn kulombowski R R ( a c) R E pol lktyczn pominiowania tr c, (*) czyli E EC E Z ównań Maxwlla wiadomo, ż indukcja magntyczna ma postać B(, [ R E(, ] c a) okaż, ż wkto oytinga S ( E B) pzyjmuj wtdy postać S S, gdzi i stał 4 3 R R wktoy oaz S malj z odlgłością jak R b) Wykaż, ż moc pominiowania mitowango pzz tn ładunk wynosi kl q a (wzó Lamoa) 3 3 c
Dopowadź tn wzó do postaci 3 E 3 t, pzyjmując, ż pouszający się ładunk to lkton, któy kąży wokół potonu po obici kołowj o pominiu ównym pominiowi Boha, mkl, gdzi m to masa 4 kl mkl 7 lktonu; to stała stuktuy subtlnj, E 7 V, t 49 s to c 37 E atomow jdnostki ngii i czasu c) odaj watość liczbową mocy pominiowania odsumowując, stwidzamy, ż klasyczny opis atomu jst nipopawny 4 W opisi kwantowym Schödinga całkowity hamiltonian układu dwóch ładunków punktowych w zminnych laboatoyjnych ma postać p p kl Htot m m m m a) Udowodnij, ż hamiltonian tn wyażony pzz zminn śodka masy, i R, ma m m postać: p CM H tot H, gdzi p kl H ( m m ), p CM, p i R i b) Oblicz masę zdukowaną z dokładnością do członu liniowgo w zminnj m m Il wynosi liniowa popawka do masy zdukowanj układu lkton-poton, gdzi m to masa lktonu, m - potonu? 5 Z symtii sfycznj hamiltonianu atomu wodou (masę zdukowaną atomu wodou zastąpiłm masą lktonu m) p kl H m wynika, ż funkcja falowa stanu stacjonango ma postać ( R( Y (, ), gdzi to długość wktoa, (, ) to jgo kąty sfyczn Wykaż, ż ównani adialn wynikając z ównania Schödinga, H( E(, ma postać m k l( l ) R( R( E R(, pzy czym m Wskazówka: Laplasjan w współzędnych sfycznych ma postać: L Y (, ) l( l ) Y (, ) ( ) L 6 W ównaniu na adialną część funkcji falowj R( atomu wodou, m k l( l ) E R( R( E R(, wpowadź wilkości bzwymiaow:,, m a E 4 8 mk gdzi a 59 cm oaz E 7 V mk to atomow jdnostki długości i ngii, a takż nową funkcję f ) R( a ) Udowodnij, ż nowa funkcja adialna f () spłnia ównani ( ( ) óżniczkow f ''( ) f( ), któgo ozwiązania znajdzisz na MMF 7 Udowodnij, ż kotność dgnacji ngii atomu wodoopodobngo w stani o głównj liczbi kwantowj n, wynosi n
l 8 Wykaż, ż zachodzi następująca lacja symtii dla hamonik sfycznych: Y ( ) ( ) Y (, gdzi Y () C im ( cos ) l m d d(cos) [(cos ) ] m l l m ; C - czynnik liczbowy zalżny tylko od l i m 9 Oblicz gęstość pawdopodobiństwa znalzinia lktonu w odlgłości od potonu w atomi wodou p nl a) nl d d sin n ( kozystając z otonomalności hamonik sfycznych * d sin Y (, ) Y l ' m' (, ) d Jako pzypadk szczgólny oblicz: p dla stanu podstawowgo atomu wodou Y (, ) (w jdnostkach atomowych), ll' ( b) Śdnią odlgłość lktonu od potonu w stani podstawowym atomu wodou mm' W amach modlu Schödinga atomu wodou bz uwzględninia spinu lktonu, funkcja falowa ma postać n( Rnl( Y(, ) Oblicz śdnią odlgłość lktonu od potonu dla stanu o liczbach kwantowych (,,), jżli wiadomo, ż adialna funkcja falowa tgo stanu ma w jdnostkach atomowych postać () R C Wynik podaj w jdnostc atomowj długości Wskazówka: Najpiw unomuj funkcję ) do jdności a następni skozystaj z faktu, ż śdnia odlgłość n ( lktonu od jąda jst ówna lmntowi macizowmu liczby kwantowj m W achunkach skozystaj z otonomalności hamonik sfycznych nl n * d sin Y (, ) Y l ' m' (, ) n d ll' mm', któy ni zalży od magntycznj 4 Wykaż pożytczną tożsamość dla wktoów polayzacji m Y m (, ), gdzi z, 3 ( R x iy), ( L x iy) - to odpowidnio, wkto polayzacji liniowj oaz wktoy polayzacji kołowj (pawo i lwoskętnj), oaz napisz w jakim poblmi była ona wykozystana? Wskazówka: Skozystaj z tablki kilku początkowych hamonik sfycznych Następni udowodnij lację * ' ' Tożsamość dla kwadatu opatoa kętu obitalngo [ L,[ L, ]] { L, } posłużyła do wypowadznia guły wyboy dla zmiany obitalnj liczby kwantowj pzy pzjściu lktycznym dipolowym w atomi wodou, l l l Licząc obustonni lmnt macizowy między stanami i (między któymi następuj pzjści), nl m [ L,[ L, ]] nl {, } m nl m L n nl m n, wypowadź tę gułę 3 Napisz hamiltonian dla atomu wodou (bz uwzględninia spinu lktonu) umiszczongo w polu magntycznym i wykaż, ż w pzypadku stałgo (w czasi i pzstzni) pola B, opato oddziaływania z tym polm jst diagonalny w bazi nizabuzonych wktoów własnych hamiltonianu bz pola B Oddziaływani to jst odpowidzialn za zjawisko Zmana Oblicz popawki do ngii atomu wodou i zób stosowny ysunk jgo poziomów ngtycznych dla stanów opisanych liczbami kwantowymi (n,l) = (3,) 3
4 opawkami piwszgo zędu w achunku zabuzń do ngii En (dla n >) atomu wodou umiszczongo w stałym i jdnoodnym polu lktostatycznym Ez (liniowy fkt Staka), są watości własn macizy n m Ez z n'm' (w jdnostkach atomowych) Udowodnij, ż maciz ta dla stanów n = ma postać: m Ezz ' m', gdzi 3E z zyjęto tutaj, ż funkcj falow ( ( ) Y(, ( Y (, 6 ( Y( ) oaz ( Y( są ponumowan w koljności,,3,4 6 6 Wskazówki: Kozystając z tablki hamonik sfycznych wyaź współzędną lktonu z pzz stosowną hamonikę sfyczną, a następni, pzy liczniu lmntów macizowych skozystaj l z symtii hamonik sfycznych, Y ( ) ( ) Y (, oaz z guł wybou dla pzjść typu E 5 opawkami piwszgo zędu w achunku zabuzń do ngii En (dla n >) atomu wodou w stałym i jdnoodnym polu lktostatycznym Ez (liniowy fkt Staka), są watości własn macizy n m Ez z n'm' (w jdnostkach atomowych) Maciz ta dla stanów n = ma postać: m Ez z ' m', gdzi 3E z dla następującj numacji funkcji falowych: (, (, (, 3 4 ( Y ( 6 Znajdź popawki piwszgo zędu do nizabuzonj ngii E oaz funkcj falow atomu wodou dopasowan do zabuznia 6 Wykaż, ż tansfomacja cchowania potncjałów pola lktomagntyczngo, A' A, ', (kopka oznacza pochodną cząstkową po czasi) ni zminia pól E A i B A, a następni spawdź, ż stał pol magntyczn B ma następujący potncjał wktoowy A B i pokaż, ż spłnia on waunk cchowania Coulomba iq 7 Wykaż, ż tansfomacja cchowania A' A, ', ' ni zminia ównania t Schödinga dla ładunku punktowgo q o masi m, Ĥ i, gdzi ( p qa) H q t m 8 Równania Maxwlla bz źódł można zapisać w cchowaniu Coulomba następująco:, A a) Wypowadź waunk, jaki musi być spłniony pomiędzy częstością kołową oaz długością wktoa falowgo k, aby płaska fala lktomagntyczna opisana potncjałm wktoowym A(, A sin( t k ) spłniała dugi z ównań Jak jst ona spolayzowana? b) Jaki waunk na A nakłada cchowani Coulomba? c) odaj intptacj fizyczną wktoa oyntinga 4
d) Oblicz pola E A i B A oaz wkto oyntinga S E B dla tj fali ( ) 9 Gęstość ngii pola lktomagntyczngo wynosi (, [( E (, B (, ] Wykaż, ż jj śdnia po czasi, t, dla płaskij fali lktomagntycznj A(, A cos( t k wynosi t A Wskazówka: E A, B A, gdzi w cchowaniu Coulomba w póżni można pzyjąć Żaówka, któj włókno ma pomiń = 5 mm i długość h = cm ma moc = W zyjmując, ż w pobliżu włókna żaówka mituj płaską falę lktomagntyczną o amplitudzi potncjału wktoowgo A, a) oblicz śdnią po czasi gęstość ngii pominiowania lktomagntyczngo t, b) dla światła o częstotliwości = 5 /s oblicz A widząc, ż t A Udowodnij następującą lację komutacji dla opatoów i [ H, ] p, gdzi występując w nij m opatoy dotyczą atomu wodou (jgo masę zdukowaną pzybliżono tutaj masą lktonu m) W amach modlu Rabigo oddziaływania atomu dwupoziomowgo z polm lktomagntycznym wypowadź układ ównań Rabigo, tj ównania na współczynniki stojąc w wzoz na funkcję falową atomu iet iet w polu lktomagntycznym, ( C ( C(, gdzi C ( C( oaz i części pzstznn funkcji falowych atomu, odpowidnio, w stani podstawowym i wzbudzonym Wiadomo, ż spłnia ona ównani Schödinga H ( i ( z hamiltonianm H H at V(, gdzi Ĥ at opisuj t atom bz pola zwnętzngo, natomiast V ( A p W cos(, to opato oddziaływania lktonu m z polm lktomagntycznym (tutaj z płaską falą lktomagntyczną A A cos( t q ) Równania, któ tzba wypowadzić mają postać i it C ( cos( W C( i it C( cos( WC (, gdzi ( E E ) ; W W, i, j, ; W W ij i j 3 Układ ównań Rabigo uśdniony po czasi, w któym pominięto mał człony popocjonaln do -/+ ma postać: iw it C( C( iw it C( C( a) Spowadź powyższy układ ównań do jdngo ównania óżniczkowgo -go zędu W C ( i C ( C (, gdzi 4, b) Rozwiąż j pzy waunku początkowym C() = Rozwiązani wyaź pzz częstość Rabigo R W i oblicz pawdopodobiństwo misji wymuszonj atomu dwupoziomowgo w funkcji czasu 5
4 Wychodząc z postaci niuśdniowanj po czasi układu ównań z zadania, wypowadź układ ównań Rabigo z zadania 3 Wskazówka: Śdniuj po oksi T, a następni pomiń składniki zędu, gdzi 5 zy obliczaniu współczynnika misji wymuszonj (z stanu do stanu ), pojawia się koniczność śdniowania pawdopodobiństwa misji wymuszonj na jdnostkę czasu ( ) p d, po kiunkach polayzacji padającj fali lktomagntycznj (piwsz śdniowani) oaz po kiunkach jj padania (dugi śdniowani), gdzi ê to jdn z dwóch wsoów polayzacji fali =, (dla uposzcznia liniowych); wsoy ( ê, ê, q ) twozą układ pawoskętny Udowodnij, ż w wyniku obu śdniowań otzymuj się ( ) p d 3 4 d 3 6 Współczynnik misji spontanicznj ma postać A k 3 Znajdź jdnostkę tgo wyażnia, 3 l c zapisz j w postaci, w któj występuj stała stuktuy subtlnj k ( c) 37, a następni oszacuj jgo ząd wilkości pzyjmując, iż 8 ~ a 59 cm l 4 3 3 7 Współczynnik misji spontanicznj w jdnostkach atomowych ma postać A d 3 Oblicz watość tgo współczynnika dla pzjścia (,,) (,,), gdzi (jdnostki atomow) ( Y ( oaz 6 ( ) Y ( ) i 8 Udowodnij, ż maciz auligo x y z mają następując własności: i watosci wlasn 3 {, } 4 i 5 [, ] i i i j i j j i ij i i j ijk k ij i j ijk k - dla dowolnj pay dwóch jdnakowych i dwóch óżnych wskaźników 6 ( a)( b) a b i ( a b), a i b dowoln wktoy zczywist 9 Rozwiąż poblm własny dla opatoa Ŝ n a w pzstzni dwuwymiaowych spinoów, gdzi n b to zczywisty wkto jdnostkowy; S to opato spinu /, - wkto zbudowany z tzch macizy auligo 6
3 opawka latywistyczna na oddziaływani spin-obita lktonu w atomi wodou ma w piwszym zędzi achunku zabuzń postać H, gdzi to sfyczny spino auligo, natomiast H SO nlsjm j SO nlsjm j dv S L mc d Wykaż, ż jj watość wynosi zo dla stanów z l = nlsjm j 3 Tzy dominując popawki latywistyczn dla ngii atomu wodoopodobngo, obliczon w piwszym zędzi achunku zabuzń mają postać: Z n 3 Em E n - popawka na latywistyczny wzost masy, n l 4 Z ( l ); j l ESO En dla l i dla l = - popawka na oddział spin-obita, n l l ; j l Z EDa E n l - popawka Dawina n Z n 3 Wykaż, ż ich suma wynosi: El Em ESO EDa E n i ni zalży od l n j 4 3 Sumayczna popawka latywistyczna w piwszym zędzi achunku zabuzń dla atomu Z n 3 wodoopodobngo wynosi El ( j) Em ESO EDa E n Wykaż, ż dla l : n j 4 n a) całkowita szokość multipltu stuktuy subtlnj wynosi En El ( jmax ) El ( jmin ) En Z, n Z b) odlgłość między dwoma sąsidnimi poziomami multipltu wynosi Enl En nl ( l ) 33 Rozwiązania Diaca dla stanu podstawowgo atomu wodoopodobngo mają postać ( ) f ( i( )( Z) cos,, i i( )( Z) sin i( )( Z) sin i( )( Z) cos,,, ( ) f ( i, 3 ( Za) Z a kl gdzi f ( ( Z a ), ( Z), - stała stuktuy subtlnj, 4 ( ) c a - pomiń Boha okaż, ż w ganicy nilatywistycznj ozwiązania t dążą do następujących 3,, ( (, gdzi ( ) ( ) Z a Z a Y ( ) - ozwiązani Schődinga dla stanu podstawowgo atomu wodou;, oaz to dwuskładnikow spinoy auligo; () z - funkcja gamma Eula 7
34 Zjawisko Zmana dla stuktuy subtlnj atomu wodou Oblicz w piwszym zędzi achunku zabuzń popawkę ngtyczną do ngii atomu wodou Enj będącą fktm oddziaływania całkowitgo momntu B magntyczngo lktonu ( L g S ) z zwnętznym stałym polm magntycznym o indukcji B, s H B B z B z gdy oś OZ B Skozystaj z tożsamości dla opatoa wktoowgo V ( V,, x Vy Vz ) mianowici, [ J,[ J, V ]] { J, V } 4 ( J V ) J, gdzi J L S to opato całkowitgo kętu lktonu, L - opato kętu obitalngo, Ŝ - opato spinu Wskazówki: Zapisz tę tożsamość dla opatoa S z Bazą dopasowaną do zabuznia jst baza spinoów auligo{ } nlsjm j 35 W zjawisku Zmana dla stuktuy subtlnj atomu wodou otzymuj się (w piwszym zędzi achunku zabuzń) następującą popawkę do ngii atomu: E Bm g, j( j ) s( s ) l( l ) gdzi g jl - czynnik Landgo, s = / j( j ) a) Oblicz dwi óżn watości czynnika g jl jaki moż on pzyjmować pzy tym samym l b) Zób ysunki ozszczpionych poziomów ngtycznych dla stanów np i np 3 atomu wodou c) Oblicz w obu pzypadkach (dla stanu np i np 3 ) odlgłości pomiędzy sąsidnimi poziomami Zm B j jl 36 Znajdź dozwolon tmy w spzężniu L-S dla konfiguacji: a) np n p (n n), b) np n d, c) np 8