Kombiowaie o ieskończoości.. Jak zliczyć materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch marzec 208 Szybkie przypomieie z wykładu Prezetacja multimediala do wykładu. Permutacje, kombiacje, wariacje Permutacje to liczeie liczby możliwych ustawień kolejości jakiegoś zbioru elemetów. Elemety zbioru -elemetowego moża ustawić w -elemetowe ciągi elemetów (bez powtórzeń) a! sposobów, gdzie! =.... Wariacje bez powtórzeń to ieco bardziej ogóle zadaie. Ze zbioru -elemetowego wybieramy k-elemetowe ciągi (bez powtórzeń). Moża to zrobić a: V k = ( )... ( k + ) =! ( k)! sposobów. Wariacje z powtórzeiami to wybór ze zbioru -elemetowego k-elemetowego ciągu, w którym elemety mogą się powtarzać. Moża więc to zrobić a W k = k sposobów. Kombiacje bez powtórzeń to wybór ze zbioru -elemetowego k-elemetowego podzbioru (a więc bez powtórzeń i ie liczy się kolejość elemetów). Łatwo zauważyć, że C k k! = V k, gdzie C k to liczba kombiacji bez powtórzeń. A zatem C k = vk k! = ( )... ( k + ) k! =! ( k)! k! = ( k ). To ostatie ozaczeie jest azywae symbolem Newtoa. W końcu kombiacje z powtórzeiami to zadaie wyboru ze zbioru -elemetowego kolekcji k-elemetowej, w której jedak elemety mogą mieć krotości (ale ie liczy się kolejość).
Jest to rówoważe zadaiu polegającym umieszczeiu k elemetów w pudłach. Doszliśmy do wiosku, że moża to zrobić a sposobów. Podsumowując mamy, co astępuje Trójkąt Paskala K k = ( + k ) wariacje (kolejość) kombiacje (bez kolejości) bez powtórzeń V k =!/( k)! C k = ( ) k z powtórzeiami W k = k K k = ( +k Opowiadając bajkę o stadzie małp wybierającą k-osobową ekipę do poszukiwaia owego żerowiska, udowodiliśmy, że ( k ) = ( k ) + ( k ). Z tego faktu oraz z tego, że dla każdego, ( 0 ) = ( ) = wyika, że symbole Newtowa ( ) k moża przedstawić w poiższym trójkącie, zwaym trójkątem Pascala, w którym każdy elemet jest sumą elemetów ad im i ad im a lewo. k = 0 k = k = 2 k = 3 k = 4 k = 5 k = 6 k = 7 = 0 = = 2 2 = 3 3 3 = 4 4 6 4 = 5 5 0 0 5 = 6 6 5 20 5 6 = 7 7 2 35 35 2 7 Przy okazji udowodiliśmy, że dla każdego, ( 0 ) + ( ) +... + ( ) = 2. Zasada szufladkowa Dirichleta Bardzo prosty fakt kombiatoryczy, a jedak o iesamowitej liczbie zastosowań w dowodach wcale iebaalych matematyczych faktów sformułowaliśmy astępująco: jeśli małp śpi a k drzewach, oraz k < to a co ajmiej jedym drzewie śpią co ajmiej dwie małpy. 2
Zadaia łatwe. Oblicz: ( 8 ), (208), (208 3 0 ), (9 ), (208 5 208 ). 2. Określ, czy w astępującym zadaiu mowa o wariacjach, czy o kombiacjach, z czy bez powtórzeń oraz oblicz. Ile różych pięcio-literowych słów (też bez sesu) moża utworzyć z liter wyrażeia AGRESYWNA MAŁPA, a) jeśli każdej litery możemy użyć wielokrotie? b) jeśli każde stworzoe słowo musi się składać z różych liter? 3. Określ, czy w astępującym zadaiu mowa o wariacjach, czy o kombiacjach, z czy bez powtórzeń oraz oblicz. Z każdego słowa, o którym mowa w poprzedim zadaiu w podpukcie a) tworzymy statystykę o tym ile i jakich liter w im występuje. a) Ile różych statystyk możemy dostać? b) A ile możemy dostać statystyk, jeśli każde stworzoe słowo musiało się składać z różych liter? 4. Określ, czy w astępującym zadaiu mowa o wariacjach, czy o kombiacjach, z czy bez powtórzeń oraz oblicz. a) Pięć ierozróżialych małp siedzi a 8-miu kolejych drzewach. Ile takich sytuacji istieje? b) a ile sytuacji zaobserwuje wytrawy biolog, który będzie potrafił rozróżić wszystkie małpy? 5. W części z zadań a tej liście, ale też w dalszej części aszych zajęć będziemy używać otacji sumy zręczie zastępującą +... +. Na przykład: 208 2 i 2 = 2 2 + 2 2 2 +... + 2 208 2. i= Aby zapozać się z tą otacją, oblicz astępujące sumy: 4 0 i=5 i, (i 2 + i), 4 6. Niech A = {, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}. Ile jest podzbiorów zbioru A? Ile jest cztero-elemetowych podzbiorów zbioru A? Ile jest cztero-elemetowych pobzbiorów zbioru A, składających się z trzech liczb ieparzystych i jedej parzystej? ( 4 i ). 3
7. Drużya piłkarska Legii Warszawa 4 marca 208 roku rozegra mecz z Lechem Pozań, treer ma do dyspozycji 30 zawodików. Na ile sposobów może wybrać drużyę wyjściową składającą się z zawodików? A ile będzie możliwości jeśli dodatkowo założymy, że ma do dyspozycji 3 bramkarzy, 0 obrońców, 0 pomocików oraz 7 apastików i gra ustawieiem: 4 4 2? 8. Rozwiń wyrażeia oraz (a + b) 3 (a + b) 4 oraz porówaj wyiki z liczbami z trójkąta Pascala. Czy jesteś w staie a tej podstawie sformułować swoje przewidywaia a temat kolejych potęg? Sformułowałaś/eś prawdopodobie wzór dwumiaowy Newtoa! 9. Posługując się spostrzeżeiami z poprzediego zadaia, rozwiń: (a + 2b) 4, (a b) 6, (3a + ) 5. 0. Mamy do wysłaia (w sumie) dwaaście idetyczych listów, i musimy je wysłać do czterech osób. Na ile sposobów moża to zrobić? Na ile sposobów moża to zrobić przy założeiu, że każda osoba otrzyma co ajmiej dwa listy? Wskazówka: Kombiacje z powtórzeiami.. Udowodij (opowiadając historię), że dla każdych, r, r, ( r ) = ( r ). Sprawdź też powyższy wzór korzystając z algebraiczej defiicji symbolu Newtoa. 2. Korzystając z zasady szufladkowej Dirichleta, udowodij, że wśród trzech licz całkowitych zawsze są dwie, który suma jest liczbą parzystą. 3. Ile dzielików ma liczba 6000? Wskazówka: 6000 = 2 4 3 5 3. 4. Udowodij, że dla każdych k, r, k r, zachodzi k( r k ) = r(r k ). 5. Udowodij, że dla każdych k, r, k r, zachodzi (r k)( r k ) = r(r k ). 4
2 Zadaia trochę miej łatwe iż łatwe. Ile moża otrzymać różych mieszaek składających się z 0 cukierków, jeśli mamy do dyspozycji 4 rodzaje cukierków w ieograiczoych ilościach? 2. Udowodij, korzystając z algebraiczej defiicji symbolu Newtoa, że dla każdego, k, k, ( k ) = ( k ) + ( k ). 3. Udowodij prawidłowość sformułowaą w zadaiu 8 z zadań łatwych. Wskazówka: Napiszmy (a+b) = (a+b)... (a+b). Chcąc otrzymać wyraz a k b k przy wymażaiu wybieram k razy a z wyrażeia (a + b). 4. Udowodij, korzystając ze wzoru dwumiaowego (patrz poprzedie zadaie), że dla każdego, ( 0 ) + ( ) +... + ( ) = 2. Wskazówka: Niech a = b =. 5. Czemu jest rówe 4? Dlaczego ta liczba jest łatwa do wyliczeia dla osoby, która za wzór dwumiaowy Newtoa? 6. Rozważ, ile wyosi Czy jesteś w staie policzyć, ile wyosi oraz 3 4 5 i, i, i. 207 i 208 i? Wskazówka: Połącz w pary elemety tych sum: pierwszy z ostatim, drugi z przedostatim, itd. 7. Czy jesteś w staie podać wzór działający dla każdego, a i? Wskazówka: Połącz elemety tej sumy w pary: 0 +, + ( ), etc. Aby policzyć ile będzie takich par, i czy zostaie coś bez pary rozważ przypadek parzystego oraz ieparzystego. 5
8. Udowodij, opowiadając historię, że dla każdych r, m, k takich, że m r, k m, mamy ( r m )(m k ) = (r k )( r k m k ). 9. Udowodij, zastaawiając się ad kombiatoryczymi aspektami, że dla każdego, ( 0 ) + ( ) +... + ( ) = 2. Wskazówka: Ile jest podzbiorów zbioru -elemetowego? 0. Udowodij, opowiadając historię, że dla każdych r, s, m, takich, że r + s m + mamy mi(r m,) ( r k=max( m, s) m + k )( s k ) = ( r + s m + ).. Udowodij, ic ie licząc, że k= ( k ) k = 2. Wskazówka: Samiec alpha stada małp wybiera małpy, które pójdą szukać baaów oraz przywódcę tej ekipy. 2. Udowodij, ic ie licząc, że k=2 ( k ) k(k ) = ( ) 2 2. Wskazówka: Zmodyfikuj dowód z poprzediego zadaia. 3. Ile liczb ze zbioru {, 2,..., 99999} ma taką własość, że suma ich cyfr wyosi 7? Wskazówka: Mamy siedem jedości i musimy te jedości rozdzielić w dowoly sposób a 5 możliwych pozycji cyfr w liczbie. 4. Na ile sposobów moża umieścić 4 kul w 3 pudełkach, ale tak, by w co ajmiej jedym z ich było co ajmiej 8 kul? a) Załóż, że kule są ierozróżiale (są takie same), atomiast pudełka są (p. są poumerowae). b) Załóż, że zarówo kule, jak i pudełka są ierozróżiale. Wskazówka: Zauważ, że w dokładie jedym pudełku będzie co ajmiej 8 kul. Więc to pudełko jest wyróżioe. Ustalmy, że poza tymi ośmioma, włożymy do iego jeszcze k kul. Ile jest sposobów podziału pozostałych 6 k kul a dwa pudełka (rozważ parzystość k). 5. Na ile sposobów moża umieścić 4 kul w 3 pudełkach, ale tak, by w co ajmiej jedym z ich było ie więcej iż 7 kul? Wskazówka: Zastosuj wyik z poprzediego zadaia. 6
6. Niech A będzie pewym dziesięcio-elemetowym podzbiorem zbioru {,..., 50}. Udowodij, że istieją dwa róże pięcio-elemetowe podzbiory A o takiej samej sumie elemetów. Wskazówka: Policz liczbę możliwych pięcioelemetowych podzbiorów oraz liczbę możliwych sum ich elemetów i skorzystaj z zasady szufladkowej Dirichleta. 7. Oblicz dla dowolego. 8. Oblicz dla dowolego. 9. Oblicz 208 k= ( ) i i, i= 2 i, k(k + ). Wskazówka: Zapisz 20. Oblicz k(k+) w postaci A k + B k+. Wskazówka: Patrz poprzedie zadaie. 208 k= (k + )(k + 3). 2. Oblicz 208 k= k(k + 3)(k + 4). Wskazówka: Patrz poprzedie zadaie. 22. Udowodij, że ie moża umieścić a trójkącie rówoboczym o boku 2 pięciu puktów, takich, że dystas między dowolymi dwoma puktami jest zawsze większy od. Skorzystaj z zasady szufladkowej Dirichleta. 23. Udowodij, ic ie licząc, że K 3 = K i 2. 3 Zadaia trudiejsze. Udowodij, że dla każdego, r=0 ( ) r ( r ) = 0. Wskazówka: Zastosuj wzór dwumiaowy Newtoa. 2. Udowodij, że dla każdego, r=0 ( r )2r = 3. 7
3. Udowodij, że dla każdego m,, m zachodzi ( k k=m m ) = ( + m + ). Wskazówka: Zastaów się ad sposobami wyboru m+-elemetowych podzbiorów ze zbioru +- elemetowego. Podziel te możliwe podzbiory ze względu a ajwiększy elemet. 4. Ile jest liczb pomiędzy 0, a 999, których suma cyfr jest rówa 20? Wskazówka: Przyjrzyj się zadaiu 3 z zadań trochę miej łatwych iż łatwe, ale pamiętaj, że liczby 0,,... ie są cyframi! Dlatego przeaalizuj też zadaie 5 z zadań trochę miej łatwych iż łatwe. 5. Niech p będzie liczbą aturalą, a a,..., a p dowolym ciągiem p liczb całkowitych. Udowodij, że suma pewych z liczb a,..., a p jest wielokrotością liczby p. Wskazówka: Zastosuj zasadę szufladkową Dirichleta. Rozważ reszty z dzieleia przez p liczb ze zbioru: {0, a, a + a 2,..., a + a 2 +... + a p }. 6. Ciąg Fiboacci ego f zdefiioway jest astępująco: f 0 = 0, f =, oraz dla każdego > 0, f + = f + f. Udowodij, że dla każdego, f + = ( i ). i 7. Oblicz 208 k= k + k +. Wskazówka: Zapisz jako różicę dwóch ułamków. W tym celu ajpierw przemóż liczik k+ k+ i miaowik przez pewe wyrażeie. 8. Udowodij ic ie licząc, że dla każdych, k, k, zachodzi: i=k ( (k ) i ) = ( i i= k )2i. Wskazówka: Pomyśl o k-tym elemecie wybieraego zbioru. 9. Udowodij ic ie licząc, że dla każdego, zachodzi: k=0 ( 2 k )2k = 4. Wskazówka: Zauważ, że jeśli wybieram zbiór ze zbioru 2-elemetowego, to wybieray zbiór lub jego dopełieie będzie mieć co ajmiej elemetów. Następie postępuj podobie, jak w poprzedim zadaiu. Zadaia ispirowae: [5], [4], [2], otatki i pomysły Michała Korcha, []. 8
Literatura dodatkowa [] Marti Aiger ad Gueter Ziegler. Dowody z Księgi. PWN, Warszawa, 2002. rozdział 2. [2] Bogda Chlebus. Matematyka dyskreta skrypt. rozdziały 2, 3, 4. [3] Toy Crilly. 50 teorii matematyki. PWN, Warszawa, 2009. rozdział: 4. [4] Roald Graham, Doald Kuth, ad Ore Patashik. Matematyka kokreta. PWN, Warszawa, 998. rozdziały 2 i 5. [5] Keeth Ross ad Charles Wrigth. Matematyka dyskreta. PWN, Warszawa, 999. rozdział 5. 9