Ciągi Podzbiory Symbol Newtona Zasada szufladkowa Dirichleta Zasada włączania i wyłączania. Ilość najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lemańska

Save this PDF as:

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Ciągi Podzbiory Symbol Newtona Zasada szufladkowa Dirichleta Zasada włączania i wyłączania. Ilość najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lemańska"

Transkrypt

1 Kombinatoryka Magdalena Lemańska

2 Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Aspekty kombinatoryki Victor Bryant Combinatorics V.K. Balakrishnan

3 Ciągi długości k Ile ciągów długości k można utworzyć z elementów zbioru zawierającego n symboli?

4 Ciągi długości k Ile ciągów długości k można utworzyć z elementów zbioru zawierającego n symboli? 1 Jeśli zbiór symboli zawiera dwa elementy a, b, to można utworzyć dwa ciągi długości jeden: i cztery ciągi długości dwa: (a); (b) (a, a); (a, b); (b, a); (b, b).

5 Ciągi długości k Ile ciągów długości k można utworzyć z elementów zbioru zawierającego n symboli? 1 Jeśli zbiór symboli zawiera dwa elementy a, b, to można utworzyć dwa ciągi długości jeden: i cztery ciągi długości dwa: (a); (b) (a, a); (a, b); (b, a); (b, b). 2 Aby uzyskać ciągi długości trzy, postępujemy w następujący sposób: bierzemy cztery ciągi długości dwa i najpierw do każdego z nich dopisujemy na początku a. Otrzymujemy w ten sposób komplet (a, a, a); (a, a, b); (a, b, a); (a.b, b).

6 Ciągi długości k Ile ciągów długości k można utworzyć z elementów zbioru zawierającego n symboli? 1 Jeśli zbiór symboli zawiera dwa elementy a, b, to można utworzyć dwa ciągi długości jeden: i cztery ciągi długości dwa: (a); (b) (a, a); (a, b); (b, a); (b, b). 2 Aby uzyskać ciągi długości trzy, postępujemy w następujący sposób: bierzemy cztery ciągi długości dwa i najpierw do każdego z nich dopisujemy na początku a. Otrzymujemy w ten sposób komplet (a, a, a); (a, a, b); (a, b, a); (a.b, b). 3 Potem do tych samych czterech ciągów długości dwa dopisujemy na początku symbol b i otrzymujemy komplet: (b, a, a); (b, a, b); (b, b, a); (b, b, b).

7 Ciągi długości k Ile ciągów długości k można utworzyć z elementów zbioru zawierającego n symboli? 1 Jeśli zbiór symboli zawiera dwa elementy a, b, to można utworzyć dwa ciągi długości jeden: i cztery ciągi długości dwa: (a); (b) (a, a); (a, b); (b, a); (b, b). 2 Aby uzyskać ciągi długości trzy, postępujemy w następujący sposób: bierzemy cztery ciągi długości dwa i najpierw do każdego z nich dopisujemy na początku a. Otrzymujemy w ten sposób komplet (a, a, a); (a, a, b); (a, b, a); (a.b, b). 3 Potem do tych samych czterech ciągów długości dwa dopisujemy na początku symbol b i otrzymujemy komplet: (b, a, a); (b, a, b); (b, b, a); (b, b, b). 4 Komplety te są rozłączne i oba zawierają różne ciągi. Razem tworzą zbiór wszystkich ciągów długości trzy.

8 Ciągi długości k Ile ciągów długości k można utworzyć z elementów zbioru zawierającego n symboli? 1 Jeśli zbiór symboli zawiera dwa elementy a, b, to można utworzyć dwa ciągi długości jeden: i cztery ciągi długości dwa: (a); (b) (a, a); (a, b); (b, a); (b, b). 2 Aby uzyskać ciągi długości trzy, postępujemy w następujący sposób: bierzemy cztery ciągi długości dwa i najpierw do każdego z nich dopisujemy na początku a. Otrzymujemy w ten sposób komplet (a, a, a); (a, a, b); (a, b, a); (a.b, b). 3 Potem do tych samych czterech ciągów długości dwa dopisujemy na początku symbol b i otrzymujemy komplet: (b, a, a); (b, a, b); (b, b, a); (b, b, b). 4 Komplety te są rozłączne i oba zawierają różne ciągi. Razem tworzą zbiór wszystkich ciągów długości trzy. Twierdzenie Liczba ciągów długości k o elementach ze zbioru {a, b} wynosi 2 k.

9 Uogólnienie Jeśli zbiór symboli zawiera n elementów, to powtarzając powyższe rozumowanie możemy sią przekonać, że istnieje n ciągów długości jeden, n 2 ciągów długości dwa i ogólnie ciągów długości k + 1 jest n razy więcej niż ciągów długości k. Zachodzi zatem twierdzenie.

10 Uogólnienie Jeśli zbiór symboli zawiera n elementów, to powtarzając powyższe rozumowanie możemy sią przekonać, że istnieje n ciągów długości jeden, n 2 ciągów długości dwa i ogólnie ciągów długości k + 1 jest n razy więcej niż ciągów długości k. Zachodzi zatem twierdzenie. Twierdzenie Liczba ciągów długości k o elementach ze zbioru n-elementowego wynosi n k.

11 Uogólnienie Jeśli zbiór symboli zawiera n elementów, to powtarzając powyższe rozumowanie możemy sią przekonać, że istnieje n ciągów długości jeden, n 2 ciągów długości dwa i ogólnie ciągów długości k + 1 jest n razy więcej niż ciągów długości k. Zachodzi zatem twierdzenie. Twierdzenie Liczba ciągów długości k o elementach ze zbioru n-elementowego wynosi n k. Funkcje Policzymy teraz, ile jest funkcji ze zbioru k-elementowego A w zbiór n-elementowy B.

12 Uogólnienie Jeśli zbiór symboli zawiera n elementów, to powtarzając powyższe rozumowanie możemy sią przekonać, że istnieje n ciągów długości jeden, n 2 ciągów długości dwa i ogólnie ciągów długości k + 1 jest n razy więcej niż ciągów długości k. Zachodzi zatem twierdzenie. Twierdzenie Liczba ciągów długości k o elementach ze zbioru n-elementowego wynosi n k. Funkcje Policzymy teraz, ile jest funkcji ze zbioru k-elementowego A w zbiór n-elementowy B. Funkcja jako ciąg Każdą funkcję f : A B można przedstawić jako ciąg (f (1), f (2),..., f (k)).

13 Uogólnienie Jeśli zbiór symboli zawiera n elementów, to powtarzając powyższe rozumowanie możemy sią przekonać, że istnieje n ciągów długości jeden, n 2 ciągów długości dwa i ogólnie ciągów długości k + 1 jest n razy więcej niż ciągów długości k. Zachodzi zatem twierdzenie. Twierdzenie Liczba ciągów długości k o elementach ze zbioru n-elementowego wynosi n k. Funkcje Policzymy teraz, ile jest funkcji ze zbioru k-elementowego A w zbiór n-elementowy B. Funkcja jako ciąg Każdą funkcję f : A B można przedstawić jako ciąg (f (1), f (2),..., f (k)). Ciąg ten jest długości k, a jego elementy są wzięte ze zbioru B.

14 Zauważmy, że każdej funkcji odpowiada jeden ciąg i na odwrót, każdy ciąg (b 1,..., b k ) opisuje jedną funkcję: taką, która dla każdego 1 i k przypisuje wartość f (i) = b i.

15 Zauważmy, że każdej funkcji odpowiada jeden ciąg i na odwrót, każdy ciąg (b 1,..., b k ) opisuje jedną funkcję: taką, która dla każdego 1 i k przypisuje wartość f (i) = b i. W takim razie funkcji ze zbioru A w zbiór B jest tyle samo, co ciągów długości k = A z elementami ze zbioru B. Udowodniliśmy więc poniższe twierdzenie.

16 Zauważmy, że każdej funkcji odpowiada jeden ciąg i na odwrót, każdy ciąg (b 1,..., b k ) opisuje jedną funkcję: taką, która dla każdego 1 i k przypisuje wartość f (i) = b i. W takim razie funkcji ze zbioru A w zbiór B jest tyle samo, co ciągów długości k = A z elementami ze zbioru B. Udowodniliśmy więc poniższe twierdzenie. Twierdzenie Jeśli zbiór A zawiera k elementów, a zbiór B zawiera n elementów, to liczba funkcji ze zbioru A w zbiór B wynosi n k.

17 Zauważmy, że każdej funkcji odpowiada jeden ciąg i na odwrót, każdy ciąg (b 1,..., b k ) opisuje jedną funkcję: taką, która dla każdego 1 i k przypisuje wartość f (i) = b i. W takim razie funkcji ze zbioru A w zbiór B jest tyle samo, co ciągów długości k = A z elementami ze zbioru B. Udowodniliśmy więc poniższe twierdzenie. Twierdzenie Jeśli zbiór A zawiera k elementów, a zbiór B zawiera n elementów, to liczba funkcji ze zbioru A w zbiór B wynosi n k. Zadanie Wypisz wszystkie funkcje F : X Y, gdzie: X = {1, 2, 3}, Y = {a, b} X = {a, b}, Y = {1, 2, 3}. Zrobić to samo z dodatkowym warunkiem, że funkcje są różnowartościowe.

18 Zauważmy, że każdej funkcji odpowiada jeden ciąg i na odwrót, każdy ciąg (b 1,..., b k ) opisuje jedną funkcję: taką, która dla każdego 1 i k przypisuje wartość f (i) = b i. W takim razie funkcji ze zbioru A w zbiór B jest tyle samo, co ciągów długości k = A z elementami ze zbioru B. Udowodniliśmy więc poniższe twierdzenie. Twierdzenie Jeśli zbiór A zawiera k elementów, a zbiór B zawiera n elementów, to liczba funkcji ze zbioru A w zbiór B wynosi n k. Zadanie Wypisz wszystkie funkcje F : X Y, gdzie: X = {1, 2, 3}, Y = {a, b} X = {a, b}, Y = {1, 2, 3}. Zrobić to samo z dodatkowym warunkiem, że funkcje są różnowartościowe. Zadanie Ile jest funkcji f ze zbioru {1,..., n} w zbiór {a, b, c}? Ile spośród nich spełnia warunek f (1) = a? Ile spełnia warunek f (1) f (2)?

19 Ciągi bez powtórzeń Policzmy teraz, ile jest ciągów bez powtórzeń, czyli ciągów rȯżnowartościowych. Jeśli elementy bierzemy ze zbioru trzyelementowego {1, 2, 3}, to możemy utworzyć: trzy ciągi jednoelementowe: sześć ciągów dwuoelementowych: oraz sześć ciągów trójelementowych: (1), (2), (3) (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2) (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)

20 Ciągi bez powtórzeń Policzmy teraz, ile jest ciągów bez powtórzeń, czyli ciągów rȯżnowartościowych. Jeśli elementy bierzemy ze zbioru trzyelementowego {1, 2, 3}, to możemy utworzyć: trzy ciągi jednoelementowe: sześć ciągów dwuoelementowych: oraz sześć ciągów trójelementowych: (1), (2), (3) (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2) (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1) Przykład Ile różnowartościowych ciągów długości cztery można stworzyć dla zbioru siedmioelementowego?

21 Twierdzenie Jeśli elementy wybieramy ze zbioru n-elementowego A, to liczba ciągów k-elementowych bez powtórzeń, które można wybrać z tego zbioru, wynosi n(n 1)... (n k + 1).

22 Twierdzenie Jeśli elementy wybieramy ze zbioru n-elementowego A, to liczba ciągów k-elementowych bez powtórzeń, które można wybrać z tego zbioru, wynosi n(n 1)... (n k + 1). Zadanie Ile jest liczb trzycyfrowych w systemach dziesiętnym, trójkowym i dwójkowym?

23 Twierdzenie Jeśli elementy wybieramy ze zbioru n-elementowego A, to liczba ciągów k-elementowych bez powtórzeń, które można wybrać z tego zbioru, wynosi n(n 1)... (n k + 1). Zadanie Ile jest liczb trzycyfrowych w systemach dziesiętnym, trójkowym i dwójkowym? Zadanie Ile istnieje liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie nie występuje cyfra zero? Ile istnieje liczb naturalnych pięciocyfrowych takich, w których cyfra setek jest 5?

24 Permutacje Permutacje to ciągi bez powtórzeń długości n, wybierane ze zbioru n-elementowego.

25 Permutacje Permutacje to ciągi bez powtórzeń długości n, wybierane ze zbioru n-elementowego. Przykład Na przykład, mamy dwie permutacje dwuelementowe: (2, 1), (1, 2) oraz sześć permutacji trzyelementowych: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1).

26 Permutacje Permutacje to ciągi bez powtórzeń długości n, wybierane ze zbioru n-elementowego. Przykład Na przykład, mamy dwie permutacje dwuelementowe: (2, 1), (1, 2) oraz sześć permutacji trzyelementowych: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1). Ilość permutacji Zgodnie z poprzednim twierdzeniem, ilość permutacji w zbiorze n-elementowym wynosi n(n 1)... 1, czyli jest równa n!.

27 Permutacje Permutacje to ciągi bez powtórzeń długości n, wybierane ze zbioru n-elementowego. Przykład Na przykład, mamy dwie permutacje dwuelementowe: (2, 1), (1, 2) oraz sześć permutacji trzyelementowych: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1). Ilość permutacji Zgodnie z poprzednim twierdzeniem, ilość permutacji w zbiorze n-elementowym wynosi n(n 1)... 1, czyli jest równa n!. Zadanie Rodzina sześcioosobowa (rodzice i czworo dzieci) ustawia się w szeregu do zdjęcia. Ile różnych fotografii można otrzymać, jeśli: a) każdy może stać obok każdego; b) rodzice stoją na dwóch końcach szeregu?

28 Permutacje Permutacje to ciągi bez powtórzeń długości n, wybierane ze zbioru n-elementowego. Przykład Na przykład, mamy dwie permutacje dwuelementowe: (2, 1), (1, 2) oraz sześć permutacji trzyelementowych: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1). Ilość permutacji Zgodnie z poprzednim twierdzeniem, ilość permutacji w zbiorze n-elementowym wynosi n(n 1)... 1, czyli jest równa n!. Zadanie Rodzina sześcioosobowa (rodzice i czworo dzieci) ustawia się w szeregu do zdjęcia. Ile różnych fotografii można otrzymać, jeśli: a) każdy może stać obok każdego; b) rodzice stoją na dwóch końcach szeregu? Zadanie Na egzaminie posadzono w sposób losowy w jednym rzędzie dziesięciu zdających, w tym dwóch z jednej szkoły. Na ile sposobów można rozsadzić zdających tak, by: a) znajomi z jednej szkoły nie siedzieli obok siebie; b) siedzieli na przeciwnych końcach rzędu; c) między nimi siedziały dokładnie trzy inne osoby?

29 Inna definicja permutacji Czasami używa się innej definicji permutacji. Mianowicie, permutacja n-elementowa to dowolna funkcja różnowartościowa ze zbioru {1, 2,..., n} na ten sam zbiór.

30 Inna definicja permutacji Czasami używa się innej definicji permutacji. Mianowicie, permutacja n-elementowa to dowolna funkcja różnowartościowa ze zbioru {1, 2,..., n} na ten sam zbiór. Oznaczenia Na oznaczenie permutacji używa się zapisu: ( 1...n ) π(1)...π(n)

31 Inna definicja permutacji Czasami używa się innej definicji permutacji. Mianowicie, permutacja n-elementowa to dowolna funkcja różnowartościowa ze zbioru {1, 2,..., n} na ten sam zbiór. Oznaczenia Na oznaczenie permutacji używa się zapisu: ( 1...n ) π(1)...π(n) Składanie permutacji Dwie permutacje n-elementowe można składać tak, jak składa się funkcje. Złożenie permutacji określone jest wzorem: π 1 π 2 (x) = π 1 (π 2 (x)).

32 Inna definicja permutacji Czasami używa się innej definicji permutacji. Mianowicie, permutacja n-elementowa to dowolna funkcja różnowartościowa ze zbioru {1, 2,..., n} na ten sam zbiór. Oznaczenia Na oznaczenie permutacji używa się zapisu: ( 1...n ) π(1)...π(n) Składanie permutacji Dwie permutacje n-elementowe można składać tak, jak składa się funkcje. Złożenie permutacji określone jest wzorem: π 1 π 2 (x) = π 1 (π 2 (x)). Własności permutacji Zbiór wszystkich permutacji na zbiorze {1, 2,..., n} z działaniem złożenia ma następujące własności:

33 Własności permutacji

34 Własności permutacji Złożenie permutacji jest łączne, tzn. dla każdych trzech permutacji π, σ, ρ : jest π (σ ρ) = (π σ) ρ.

35 Własności permutacji Złożenie permutacji jest łączne, tzn. dla każdych trzech permutacji π, σ, ρ : jest π (σ ρ) = (π σ) ρ. Wśród permutacji istnieje identyczność id, czyli permutacja, która każdemu x z dziedziny przypisuje wartość id(x) = x. Identyczność jest elementem neutralnym składania permutacji, ponieważ dla każdej permutacji π, id π = π id = π.

36 Własności permutacji Złożenie permutacji jest łączne, tzn. dla każdych trzech permutacji π, σ, ρ : jest π (σ ρ) = (π σ) ρ. Wśród permutacji istnieje identyczność id, czyli permutacja, która każdemu x z dziedziny przypisuje wartość id(x) = x. Identyczność jest elementem neutralnym składania permutacji, ponieważ dla każdej permutacji π, id π = π id = π. Dla każdej permutacji π istnieje permutacja odwrotna π 1, spełniająca warunek π π 1 = π 1 π = id.

37 Własności permutacji Złożenie permutacji jest łączne, tzn. dla każdych trzech permutacji π, σ, ρ : jest π (σ ρ) = (π σ) ρ. Wśród permutacji istnieje identyczność id, czyli permutacja, która każdemu x z dziedziny przypisuje wartość id(x) = x. Identyczność jest elementem neutralnym składania permutacji, ponieważ dla każdej permutacji π, id π = π id = π. Dla każdej permutacji π istnieje permutacja odwrotna π 1, spełniająca warunek π π 1 = π 1 π = id. Zadanie Obliczyć π 1 π 2, π 2 π 1, π 1 1, π 1 2, jeśli π 1 = ( 12345) 25431, π1 = ( ).

38 Podzbiory Policzmy teraz, ile podzbiorów ma skończony zbiór n-elementowy. Jeśli zbiór składa się z trzech elementów: {a, b, c}, to możemy łatwo wypisać wszystkie jego podzbiory:, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}.

39 Podzbiory Policzmy teraz, ile podzbiorów ma skończony zbiór n-elementowy. Jeśli zbiór składa się z trzech elementów: {a, b, c}, to możemy łatwo wypisać wszystkie jego podzbiory:, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}. Rozważmy teraz ogólnie podzbiory zbioru {1, 2,..., n}. Z każdym zbiorem A {1, 2,..., n} związana jest jego funkcja charakterystyczna, określona wzorem: χ A (i) = 1, i A, χ A (i) = 0, i / A.

40 Podzbiory Policzmy teraz, ile podzbiorów ma skończony zbiór n-elementowy. Jeśli zbiór składa się z trzech elementów: {a, b, c}, to możemy łatwo wypisać wszystkie jego podzbiory:, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}. Rozważmy teraz ogólnie podzbiory zbioru {1, 2,..., n}. Z każdym zbiorem A {1, 2,..., n} związana jest jego funkcja charakterystyczna, określona wzorem: χ A (i) = 1, i A, χ A (i) = 0, i / A. Dziedziną funkcji jest zbiór {1, 2,..., n}, a przeciwdziedziną zbiór {0, 1}. Zauważmy, że każdemu podzbiorowi odpowiada jedna funkcja charakterystyczna i na odwrót, jeśli weźmiemy dowolną funkcę χ : {1, 2,..., n} {0, 1}, to wyznacza ona zbiór A = {i : χ(i) = 1}.

41 Z powyższych rozważań wynika, że liczba podzbiorów zbioru n-elementowego jest równa liczbie funkcji ze zbioru {1, 2,..., n} w zbiór {0, 1}. Czyli na podstawie wcześniejszego twierdzenia o funkcjach mamy:

42 Z powyższych rozważań wynika, że liczba podzbiorów zbioru n-elementowego jest równa liczbie funkcji ze zbioru {1, 2,..., n} w zbiór {0, 1}. Czyli na podstawie wcześniejszego twierdzenia o funkcjach mamy: Twierdzenie Każdy zbiór n-elementowy ma 2 n podzbiorów.

43 Podzbiory k-elementowe Zastanowimy się teraz nad podzbiorami określonej mocy.

44 Podzbiory k-elementowe Zastanowimy się teraz nad podzbiorami określonej mocy. Dla zbioru czteroelementowego {1, 2, 3, 4} mamy jeden podzbiór pusty (zeroelementowy), cztery podzbiory jednoelementowe {1}, {2}, {3}, {4}; sześć podzbiorów dwuelementowych: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}; cztery podzbiory trzyelementowe: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4} i jeden podzbiór czteroelementowy: {1, 2, 3, 4}.

45 Podzbiory k-elementowe Zastanowimy się teraz nad podzbiorami określonej mocy. Dla zbioru czteroelementowego {1, 2, 3, 4} mamy jeden podzbiór pusty (zeroelementowy), cztery podzbiory jednoelementowe {1}, {2}, {3}, {4}; sześć podzbiorów dwuelementowych: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}; cztery podzbiory trzyelementowe: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4} i jeden podzbiór czteroelementowy: {1, 2, 3, 4}. Liczbę podzbiorów k-elementowych zbioru n-elementowego oznacza się przez ( n k).

46 Podzbiory k-elementowe Zastanowimy się teraz nad podzbiorami określonej mocy. Dla zbioru czteroelementowego {1, 2, 3, 4} mamy jeden podzbiór pusty (zeroelementowy), cztery podzbiory jednoelementowe {1}, {2}, {3}, {4}; sześć podzbiorów dwuelementowych: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}; cztery podzbiory trzyelementowe: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4} i jeden podzbiór czteroelementowy: {1, 2, 3, 4}. Liczbę podzbiorów k-elementowych zbioru n-elementowego oznacza się przez ( n k). Właśnie pokazaliśmy, że ( 4 ( 4 ( 4 ( 4 ( 4 = 1, = 4, = 6, = 4, = 1. 0) 1) 2) 3) 4)

47 Twierdzenie Dla 0 < k n mamy: ( n k) = ( n 1 ) + k 1 ( n 1 ). k

48 Twierdzenie Dla 0 < k n mamy: ( n k) = ( n 1 ) + k 1 ( n 1 ). k Jeśli 0 k n, to symbol Newtona można obliczyć ze wzoru: ( n n! = k) k!(n k)!.

49 Twierdzenie Dla 0 < k n mamy: ( n k) = ( n 1 ) + k 1 ( n 1 ). k Jeśli 0 k n, to symbol Newtona można obliczyć ze wzoru: ( n n! = k) k!(n k)!. Twierdzenie Dla każdej liczby rzeczywistej t oraz liczby całkowitej n 0 zachodzi wzór (1 + t) n = n k=0 ( n k) t k.

50 Twierdzenie Dla 0 < k n mamy: ( n k) = ( n 1 ) + k 1 ( n 1 ). k Jeśli 0 k n, to symbol Newtona można obliczyć ze wzoru: ( n n! = k) k!(n k)!. Twierdzenie Dla każdej liczby rzeczywistej t oraz liczby całkowitej n 0 zachodzi wzór (1 + t) n = n k=0 ( n k) t k. Wniosek Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b oraz liczby całkowitej n 0 zachodzi wzór (a + b) n = n k=0 ( n k) a n k b k.

51 Twierdzenie Dla 0 < k n mamy: ( n k) = ( n 1 ) + k 1 ( n 1 ). k Jeśli 0 k n, to symbol Newtona można obliczyć ze wzoru: ( n n! = k) k!(n k)!. Twierdzenie Dla każdej liczby rzeczywistej t oraz liczby całkowitej n 0 zachodzi wzór (1 + t) n = n k=0 ( n k) t k. Wniosek Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b oraz liczby całkowitej n 0 zachodzi wzór (a + b) n = n k=0 ( n k) a n k b k. Jeśli podstawimy t = 1 do wzoru z twierdzenia, to otrzymamy 2 n = n k=0 ( n k), co potwierdza jeszcze raz, że wszystkich podzbiorów zbioru n-elementowego jest 2 n.

52 Zasada szufladkowa Dirichleta Zasada szufladkowa Dirichleta Jeżeli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m, to istnieje co najmniej jedna szuflada z przynajmniej dwoma obiektami.

53 Zasada szufladkowa Dirichleta Zasada szufladkowa Dirichleta Jeżeli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m, to istnieje co najmniej jedna szuflada z przynajmniej dwoma obiektami. Przykład Na sali znajduje się 47 osób. Pokazać, że na sali znajdzie się siedem osób urodzonych tego samego dnia tygodnia.

54 Zasada szufladkowa Dirichleta Zasada szufladkowa Dirichleta Jeżeli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m, to istnieje co najmniej jedna szuflada z przynajmniej dwoma obiektami. Przykład Na sali znajduje się 47 osób. Pokazać, że na sali znajdzie się siedem osób urodzonych tego samego dnia tygodnia. Przykład Spośród liczb {1, 2,..., 9} wylosowano sześć. Udowodnić, że spośród wybranych liczb można wybrać dwie, które sumują się do 10.

55 Zasada szufladkowa Dirichleta Zasada szufladkowa Dirichleta Jeżeli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m, to istnieje co najmniej jedna szuflada z przynajmniej dwoma obiektami. Przykład Na sali znajduje się 47 osób. Pokazać, że na sali znajdzie się siedem osób urodzonych tego samego dnia tygodnia. Przykład Spośród liczb {1, 2,..., 9} wylosowano sześć. Udowodnić, że spośród wybranych liczb można wybrać dwie, które sumują się do 10. Przykład Pewna grupa osób wita się, podając sobie ręce. Nikt nie wita się z samym sobą i żadna para osób nie wita się podwójnie. Czy muszą być dwie osoby, które witały tą samą liczbę osób?

56 Zasada włączania i wyłączania.

57 Zasada włączania i wyłączania. Zadanie W klasie liczącej 33 osoby, 17 uczniów uczy się włoskiego, 17 hiszpańskiego i 15 portugalskiego. Wśród nich 7 uczniów uczy się hiszpańskiego i włoskiego, 9 włoskiego i portugalskiego, 6 hiszpańskiego i portugalskiego. Dwóch uczniów uczy się wszystkich trzech języków. Ilu uczniów nie uczy się żadnego języka?

58 Zasada włączania i wyłączania. Zadanie W klasie liczącej 33 osoby, 17 uczniów uczy się włoskiego, 17 hiszpańskiego i 15 portugalskiego. Wśród nich 7 uczniów uczy się hiszpańskiego i włoskiego, 9 włoskiego i portugalskiego, 6 hiszpańskiego i portugalskiego. Dwóch uczniów uczy się wszystkich trzech języków. Ilu uczniów nie uczy się żadnego języka? Zadanie Do pracy zgłosiło się 16 tłumaczy znających rosyjski, hiszpański lub angielski. 12 znało rosyjski, 15 hiszpański, a angielski tylu samo, co rosyjski i hiszpański jednocześnie. Ilu znało hiszpański i angielski, ale nie znało rosyjskiego, jeśli wiadomo, że 8 znało rosyjski i angielski?

59 Zasada włączania i wyłączania. Zadanie W klasie liczącej 33 osoby, 17 uczniów uczy się włoskiego, 17 hiszpańskiego i 15 portugalskiego. Wśród nich 7 uczniów uczy się hiszpańskiego i włoskiego, 9 włoskiego i portugalskiego, 6 hiszpańskiego i portugalskiego. Dwóch uczniów uczy się wszystkich trzech języków. Ilu uczniów nie uczy się żadnego języka? Zadanie Do pracy zgłosiło się 16 tłumaczy znających rosyjski, hiszpański lub angielski. 12 znało rosyjski, 15 hiszpański, a angielski tylu samo, co rosyjski i hiszpański jednocześnie. Ilu znało hiszpański i angielski, ale nie znało rosyjskiego, jeśli wiadomo, że 8 znało rosyjski i angielski? Zasada włączania i wyłączania Dla zbiorów A 1,..., A n, skończonych i parami rozłącznych: A 1 A 2... A n = A 1 + A A n.

60 Zasada włączania i wyłączania Zasada włączania i wyłączania Dla zbiorów skończonych A 1,..., A n zachodzi: A 1 A 2... A n = A 1 + A A n 2 + A n 1 + A n A 1 A 2 A 1 A 3... A n 2 A n A n 1 A n + A 1 A 2 A A n 2 A n 1 A n ( 1) n+1 A 1 A 2... A n.

61 Ilość najkrótszych dróg Ile jest najkrótszych dróg z A do B?

62 Mamy 9 skrzyżowań, wybieramy 6 z których idziemy na wschód lub 3, na których idziemy na północ. Mamy więc ( 9 3) = ( 9 6) = 94.

63 Mamy 9 skrzyżowań, wybieramy 6 z których idziemy na wschód lub 3, na których idziemy na północ. Mamy więc ( 9 3) = ( 9 6) = 94. Ogólnie, ( dla kratki m n rysujemy m + n odcinków, a więc ilość najkrótszych dróg to m+n ) ( m = m+n ) n.

64 Mamy 9 skrzyżowań, wybieramy 6 z których idziemy na wschód lub 3, na których idziemy na północ. Mamy więc ( 9 3) = ( 9 6) = 94. Ogólnie, ( dla kratki m n rysujemy m + n odcinków, a więc ilość najkrótszych dróg to m+n ) ( m = m+n ) n. Przykład Ile rozwiązań ma ma równanie x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 7, gdzie x i są liczbami całkowitymi?

Podzbiory Symbol Newtona Zasada szuadkowa Dirichleta Zasada wª czania i wyª czania. Ilo± najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lema«ska

Podzbiory Symbol Newtona Zasada szuadkowa Dirichleta Zasada wª czania i wyª czania. Ilo± najkrótszych dróg. Kombinatoryka. Magdalena Lema«ska Kombinatoryka Magdalena Lema«ska Zasady zaliczenia przedmiotu Zasady zaliczenia przedmiotu Maksymalna ilo± punktów to 100 punktów = 100 procent. Zasady zaliczenia przedmiotu Maksymalna ilo± punktów to

Bardziej szczegółowo

Funkcja. x X! y Y : x, y f. f : X Y f x = y f : x y. Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XxY taka, że: Notacje:

Funkcja. x X! y Y : x, y f. f : X Y f x = y f : x y. Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XxY taka, że: Notacje: Funkcja Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XxY taka, że: Notacje: x X! y Y : x, y f f : X Y f x = y f : x y Przykłady f: N N, f(n) = 2n f: N R, f(n) = n/2 f: N {13}, f(n)

Bardziej szczegółowo

KOMBINATORYKA. Problem przydziału prac

KOMBINATORYKA. Problem przydziału prac KOMBINATORYKA Dział matematyki zajmujący się badaniem różnych możliwych zestawień i ugrupowań, jakie można tworzyć z dowolnego zbioru skończonego. Zbiory skończone, najczęściej wraz z pewną relacją obiekty

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/10 Zasada Dirichleta 1 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (1ZSD) Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m > 0, to

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/10

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/10 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8A/10 Zbiory przeliczalne Przyjmujemy, że Zn = {0, 1, 2, 3, n-1} dla n>0 oraz Zn = przy n=0. Zbiór skończony to zbiór bijektywny z

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8/15 Zbiory przeliczalne Przyjmujemy, że = {0, 1, 2, 3, n 1} dla n>0 oraz = przy n=0. Zbiór skończony to zbiór bijektywny z pewnym

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, a/14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, a/14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8a/14 Zbiory przeliczalne Przyjmujemy, że = {0, 1, 2, 3, n-1} dla n>0 oraz = przy n=0. Zbiór skończony to zbiór bijektywny z pewnym

Bardziej szczegółowo

Kombinatoryka. Jerzy Rutkowski. Teoria. P n = n!. (1) Zadania obowiązkowe

Kombinatoryka. Jerzy Rutkowski. Teoria. P n = n!. (1) Zadania obowiązkowe Kombinatoryka Jerzy Rutkowski 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru A nazywamy dowolną funkcję różnowartościową f : {1,..., n} A. Innymi słowy:

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku

Matematyka Dyskretna. Andrzej Szepietowski. 25 czerwca 2002 roku Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski 25 czerwca 2002 roku Rozdział 1 Kombinatoryka 11 Ci agi Zastanówmy siȩ, ile ci agów długości można utworzyć z elementów zbioru zawieraj acego symboli Jeżeli zbiór

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry

Bardziej szczegółowo

SPRAWDZIAN KOMBINATORYKA

SPRAWDZIAN KOMBINATORYKA www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI SPRAWDZIAN KOMBINATORYKA 12 GRUDNIA 2011 CZAS PRACY: 45 MIN. ZADANIE 1 Spośród liczb {1, 2, 3,..., 1000} losujemy jednocześnie dwie, które

Bardziej szczegółowo

Moneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )

Moneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( ) Nowa matura kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 11/14 Współczynniki multimianowe (wielomianowe) Współczynniki dwumianowe pojawiały się przy rozwinięciu dwumianu. Odpowiadały one

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

zdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.

zdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno. Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowym celem rachunku prawdopodobieństwa jest określanie szans zajścia pewnych zdarzeń. Pojęcie podstawowe rachunku prawdopodobieństwa to: zdarzenie losowe - zdarzenie

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa

Ćwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa Ćwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa 25 marca 209 Zadanie. W urnie jest b kul białych i c kul czarnych. Losujemy n kul bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsza kula

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:

Bardziej szczegółowo

Teoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,

Teoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska, Teoria liczb Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Wstęp Teoria liczb jest dziedziną matematyki,

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

KOMBINATORYKA OBIEKTY KOMBINATORYCZNE MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015)

KOMBINATORYKA OBIEKTY KOMBINATORYCZNE MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015) MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015) dr hab. inż. Małgorzata Sterna malgorzata.sterna@cs.put.poznan.pl www.cs.put.poznan.pl/msterna/ KOMBINATORYKA OBIEKTY KOMBINATORYCZNE TEORIA ZLICZANIA Teoria zliczania

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna dla informatyków

Matematyka dyskretna dla informatyków Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 12B/14 Permutacje bez punktów stałych Nieporządek na zbiorze X to permutacja taka, że dla dowolnego, czyli permutacja "bez punktów

Bardziej szczegółowo

Podstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn

Podstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna zestaw II ( )

Matematyka dyskretna zestaw II ( ) Matematyka dyskretna zestaw II (17-18.10.2016) Uwaga: Część z zadań z tego zestawu opiera się na zasadzie szufladkowej Dirichleta. Zadanie 1. Na ile sposobów można umieścić w 7 szufladach 3 koszule tak,

Bardziej szczegółowo

I Powiatowy Konkurs Matematyczny dla uczniów klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych 28 kwietnia 2003

I Powiatowy Konkurs Matematyczny dla uczniów klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych 28 kwietnia 2003 I Powiatowy Konkurs Matematyczny dla uczniów klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych 8 kwietnia 003 W tym konkursie nie ma przegranych. To, że tu jesteś, jest już Twoim sukcesem. Więc Jeśli zadanie wydaje

Bardziej szczegółowo

Jak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji?

Jak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji? Jak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji? Porada niniejsza traktuje o tzw. elementach kombinatoryki. Często zdarza się, że rozwiązujący zadania z tej dziedziny mają problemy

Bardziej szczegółowo

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój. Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018

Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018 Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy

Bardziej szczegółowo

Funkcje. Oznaczenia i pojęcia wstępne. Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016

Funkcje. Oznaczenia i pojęcia wstępne. Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Funkcje Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Oznaczenia i pojęcia wstępne Niech f X Y będzie relacją. Relację f nazywamy funkcją, o ile dla dowolnego x X istnieje y Y taki, że (x, y) f oraz dla

Bardziej szczegółowo

Z4. Ankieta złożona ma być z trzech pytań: A, B i C. Na ile sposobów można ją ułożyć zmieniając tylko kolejność pytań? ODP. Jest 6 możliwych sposobów.

Z4. Ankieta złożona ma być z trzech pytań: A, B i C. Na ile sposobów można ją ułożyć zmieniając tylko kolejność pytań? ODP. Jest 6 możliwych sposobów. PERMUTACJE Z1. Oblicz: Z2. Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenia: Z3. Sprawdź czy prawdziwa jest równość: Dana równość jest prawdziwa. Z4. Ankieta złożona ma być z trzech pytań: A, B i C. Na ile

Bardziej szczegółowo

Spotkanie olimpijskie nr lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa

Spotkanie olimpijskie nr lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Spotkanie olimpijskie nr 5 16 lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka Jadwiga Słowik Reguła mnożenia Jeśli wybór polega na podjęciu k decyzji, przy czym pierwszą decyzję możemy

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki

Bardziej szczegółowo

Doświadczenie i zdarzenie losowe

Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie losowe jest to takie doświadczenie, które jest powtarzalne w takich samych warunkach lub zbliżonych, a którego wyniku nie można przewidzieć jednoznacznie.

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl. Przykłady zadań egzaminacyjnych (do liczenia lub dowodzenia)

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl. Przykłady zadań egzaminacyjnych (do liczenia lub dowodzenia) Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl Przykłady zadań egzaminacyjnych (do liczenia lub dowodzenia) 1. Ile układów kart w pokerze to Dwie pary? Dwie pary to układ 5 kart

Bardziej szczegółowo

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 9A/14 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi

Bardziej szczegółowo

Wykłady z Matematyki Dyskretnej

Wykłady z Matematyki Dyskretnej Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Informacje

Bardziej szczegółowo

Elementy kombinatoryki

Elementy kombinatoryki Elementy kombinatoryki Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków UTP Bydgoszcz 04 (Wykłady z matematyki dyskretnej) Elementy kombinatoryki 04 1 / 59 Permutacje Definicja. Permutacja

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 2/15 Funkcje Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XG Y taka, że: Dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 2/10 funkcje Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f X Y taka, że x X!y Y: (x,y) f. Dziedzinę i przeciwdziedzinę

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 1. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski

WYKŁAD 1. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski WYKŁAD 1 Witold Bednorz, Paweł Wolff Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Wprowadzenie Gry hazardowe Wprowadzenie Gry hazardowe Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.

Bardziej szczegółowo

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 0/03 Seria IV październik 0 rozwiązania zadań 6. Dla danej liczby naturalnej n rozważamy wszystkie sumy postaci a b a b 3 a 3 b 3 a b...n

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta

Bardziej szczegółowo

02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w

02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w 02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.1. Niech Ω = R oraz F będzie σ-ciałem generowanym przez rodzinę wszystkich przedziałów otwartych typu (,

Bardziej szczegółowo

Macierze. Rozdział Działania na macierzach

Macierze. Rozdział Działania na macierzach Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 2/14 Funkcji podłogi z logarytmu można użyć do wyliczenia liczby cyfr liczby naturalnej k (k>0): w układzie dziesiętnym log 10 (k)

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE. (odwzorowania) Funkcje 1

FUNKCJE. (odwzorowania) Funkcje 1 FUNKCJE (odwzorowania) Funkcje 1 W matematyce funkcja ze zbioru X w zbiór Y nazywa się odwzorowanie (przyporządkowanie), które każdemu elementowi zbioru X przypisuje jeden, i tylko jeden element zbioru

Bardziej szczegółowo

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. 3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY KOMBINATORYKI

ELEMENTY KOMBINATORYKI ELEMENTY KOMBINATORYKI Kombinatoryka to dział matematyki, który zajmuje się zliczaniem, na ile sposobów może zajść jakieś zjawisko. Powstała dzięki grom hazardowym a dopiero później rozwinęła się w gałąź

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki

Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Katedra Elektroniki, AGH e-mail: zak@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~zak

Bardziej szczegółowo

Lista zadań - Relacje

Lista zadań - Relacje MATEMATYKA DYSKRETNA Lista zadań - Relacje Zadania obliczeniowe Zad. 1. Która z poniższych relacji jest funkcją? a) Relacja składająca się ze wszystkich par uporządkowanych, których poprzednikami są studenci,

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki matematycznej

Elementy logiki matematycznej Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10A/15 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA ZBIORY Z POWTÓRZENIAMI W zbiorze z powtórzeniami ten sam element może występować kilkakrotnie. Liczbę wystąpień nazywamy krotnością tego elementu w zbiorze X = { x,..., x n } - zbiór k,..., k n - krotności

Bardziej szczegółowo

zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób:

zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób: 1. Zagadnienia teoretyczne. 1.1. Przedział domknięty Przykład 1. Pisząc mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od -4 do 7, razem z -4 i 7. Jeśli napiszemy, będziemy mówić o zbiorze wszystkich liczb

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora

Bardziej szczegółowo

Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.

Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/14 Sumy Oto dwie konwencje zapisu skończonych sum wyrazów: (notacja Sigma, Fourier, 1820) Czasami stosowana jest ogólniejsza notacja,

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)

Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub

2. FUNKCJE. jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy FUNKCJĄ, lub WYKŁAD 2 1 2. FUNKCJE. 2.1.PODSTAWOWE DEFINICJE. Niech będą dane zbiory i. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru,, przyporządkujemy jeden i tylko jeden element y ze zbioru, to takie przyporządkowanie nazwiemy

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2019 Zadania 1-100

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2019 Zadania 1-100 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl Zadania 1-100 Udowodnij, że A (B C) = (A B) (A C) za pomocą diagramów Venna. Udowodnij formalnie, że (A B i A C) A B C oraz że (A

Bardziej szczegółowo

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Jerzy Rutkowski Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru

Bardziej szczegółowo

Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska

Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum

Przykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum 1 Przykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum Zagadnienia, które uczeń powinien znać przy rozwiązywaniu opisanych zadań: zastosowanie równań w zadaniach tekstowych, funkcje i ich monotoniczność,

Bardziej szczegółowo

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań. Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1

W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1 W. Guzicki Zadanie 41 z Informatora Maturalnego poziom podstawowy 1 W tym tekście zobaczymy rozwiązanie zadania 41 z Informatora o egzaminie maturalnym z matematyki od roku szkolnego 014/015 oraz rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Wokół Problemu Steinhausa z teorii liczb

Wokół Problemu Steinhausa z teorii liczb Wokół Problemu Steinhausa z teorii liczb Konferencja MathPAD 0 Piotr Jędrzejewicz Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Mikołaja Kopernika w Toruniu Celem referatu jest przedstawienie sposobu wykorzystania

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Zbiór zadań kolekcjonowanych w ciągu semestralnego kursu Matematyka dyskretna prof. dr hab. M. Morayne dla studentów informatyki magisterskiej WPPT PWr wiosna-lato 2005 UWAGA: Zadania

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2017 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/14 TWIERDZENIE HALLA Twierdzenie o kojarzeniu małżeństw rozważa dwie grupy - dziewcząt i chłopców, oraz podgrupy dziewczyn i podgrupy

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka. Arytmetyka. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,

Arytmetyka. Arytmetyka. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska, Arytmetyka Magdalena Lemańska System dziesiętny System dziesiętny Weźmy liczbę 178. Składa się ona z jednej setki, siedmiu dziesiątek i ośmiu jedności. System dziesiętny System dziesiętny Weźmy liczbę

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/15 Sumy Oto dwie konwencje zapisu skończonych sum wyrazów: (notacja Sigma, Fourier, 1820) Czasami stosowana jest ogólniejsza notacja,

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Próbna matura, grudzień 20 r. poziom rozszerzony Próbna matura rozszerzona (jesień 20 r.) Zadanie kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w trzykrotnym

Bardziej szczegółowo

KONSPEKT FUNKCJE cz. 1.

KONSPEKT FUNKCJE cz. 1. KONSPEKT FUNKCJE cz. 1. DEFINICJA FUNKCJI Funkcją nazywamy przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi zbioru X odpowiada dokładnie jeden element zbioru Y Zbiór X nazywamy dziedziną, a jego elementy

Bardziej szczegółowo

1. Elementy kombinatoryki - zadania do wyboru

1. Elementy kombinatoryki - zadania do wyboru . Elementy kombinatoryki - zadania do wyboru Bernadeta Tomasz Zadania dodatkowe Zadanie.. Mamy do wyboru mieszkania i auta. Na ile sposobów można dokonać wyboru, jeśli. mamy wybrać mieszkanie i samochód,.

Bardziej szczegółowo

Algebra abstrakcyjna

Algebra abstrakcyjna Algebra abstrakcyjna Przykłady 1. Sama liczba 0 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe dodawanie, również liczba 1 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe mnożenie.. Liczby 1 i 1 stanowią grupą

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Na diagramie Venna dla 3 zbiorów zaznacz:

Zadanie 1. Na diagramie Venna dla 3 zbiorów zaznacz: Zadanie 1 Na diagramie Venna dla 3 zbiorów zaznacz: A B C Zadanie 1 Na diagramie Venna dla 3 zbiorów zaznacz: A B C A B C Zadanie 1 Na diagramie Venna dla 3 zbiorów zaznacz: A B C A B C A B C Zadanie 1

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.

5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. 5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań

Bardziej szczegółowo

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe

Bardziej szczegółowo

1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.

1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór. 20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Wykład 2: Kombinatoryka. Gniewomir Sarbicki

Matematyka dyskretna. Wykład 2: Kombinatoryka. Gniewomir Sarbicki Matematya dysretna Wyład 2: Kombinatorya Gniewomir Sarbici Kombinatorya Definicja Kombinatorya zajmuje się oreślaniem mocy zbiorów sończonych, w szczególności mocy zbiorów odwzorowań jednego zbioru w drugi

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne 1. Prawdopodobieństwo klasyczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 03.10.2017 1 / 19 Rys historyczny Francja, XVII w.: gry hazardowe

Bardziej szczegółowo

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do kombinatoryki

Wprowadzenie do kombinatoryki Wprowadzenie do kombinatoryki http://www.matemaks.pl/kombinatoryka.html Kombinatoryka jest działem matematyki, który pomaga odpowiedzieć na pytania typu: "ile jest możliwych wyników w rzucie monetą?",

Bardziej szczegółowo

LX Olimpiada Matematyczna

LX Olimpiada Matematyczna LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1

Bardziej szczegółowo

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów 1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i

Bardziej szczegółowo

Elementy statystyki opisowej, teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka

Elementy statystyki opisowej, teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka Wymagania egzaminacyjne: a) oblicza średnią arytmetyczną, średnią ważoną, medianę i odchylenie standardowe danych; interpretuje te parametry dla danych empirycznych, b) zlicza obiekty w prostych sytuacjach

Bardziej szczegółowo

=, wariacje bez powtorzen. (n k)! = n k, wariacje z powtorzeniami.

=, wariacje bez powtorzen. (n k)! = n k, wariacje z powtorzeniami. 1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 02-892 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 Silnia, Kombinacje i Wariacje n! = 1 2 3 (n 1) n, silnia Cn k n! = k!(n k)!, kombinacje Vn k n! =, wariacje bez powtorzen. (n k)! = n k, wariacje

Bardziej szczegółowo

XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych. zestaw A klasa I

XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych. zestaw A klasa I XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych zestaw A klasa I 1. Zbiór wszystkich środków okręgów (leżących na jednej płaszczyźnie) przechodzących przez: a)

Bardziej szczegółowo