ĆWICZENIA nr 1 - KOMBINATORYKA - czyli sztuka liczenia autor: mgr inż. Agnieszka Herczak

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ĆWICZENIA nr 1 - KOMBINATORYKA - czyli sztuka liczenia autor: mgr inż. Agnieszka Herczak"

Danuta Matysiak
7 lat temu
Przeglądów:

1 ĆWCZENA nr 1 - KOMBNATORYKA - czyli sztuka liczenia autor: mgr inż. Agnieszka Herczak. Reguła mnożenia Jeżeli pewien wybór zależy od skończenie wielu decyzji, przy czym podejmując pierwszą mamy k 1 możliwości drugą - k 2 możliwości trzecią - k 3 możliwości... ostatnią - k n możliwości to wybór ten możemy dokonać na k 1 *k 2 *k 3...* k n sposobów Przypuśćmy, że w bazie danych klasyfikujemy ludzi według pewnych kategorii takich jak płeć (kobieta, mężczyzna), miejsce zamieszkania (wieś, miasto ), wiek (niemowlęcy, przedszkolny, szkolny, dorosły). le różnych możliwych wpisów uzyskamy w bazie danych. w ten sposób daną osobę sklasyfikowaliśmy pewna osoba jako mężczyznę z bezpośrednie wypisanie miasta, w wieku dorosłym PŁEĆ: kobieta mężczyzna MEJSCE: wieś miasto wieś miasto WEK: niemowlęcy niemowlęcy szkolny dorosły niemowlęcy szkolny dorosły szkolny przedszkolny niemowlęcy szkolny przedszkolny przedszkolny dorosły przedszkolny Zliczamy ile możliwości dostaliśmy (licząć ilość wyników w ostatnim podziale - gdy uwzględnialiśmy wiek). Jest ich 16. Czyli odpowiedź brzmi: W bazie możemy uzyskać 16 różnych wpisów Stosujemy poznaną regułę mnożenia. dorosły

2 Wyboru PŁC możemy dokonać na 2 sposoby (kobieta, mężczyzna) Wyboru MEJSCA ZAMESZKANA na 2 sposoby (wieś, miasto) Wyboru WEKU na 4 sposoby (niemowlęcy, przedszkolny, szkolny, dorosły). Stąd wszystkich możliwości mamy 2*2*4 czyli możemy uzyskać 16 różnych wpisów.. Permutacje - zbioru n-elmentowego (różne elementy) Permutacja - każde ustawienie wszystkich elementów zbioru w dowolnej kolejności silnia 0! = 1 lość permutacji zbioru złożonego z n elementów wynosi n! (n silnia) 1! = 1 n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*...3*2*1 2! = 2*1 Uwagi:elementy nie mogą się powtarzać, porządek (kolejność) elementów jest istotny 3! = 3*2itd. Jak wiele jest różnych uporządkowań trzech witamin A, B, C? bezpośrednie wypisanie A B C Mamy 6 możliwości A C B B A C B C A C A B C B A UWAGA: Ten sposób trudno stosować dla dużej liczby elementów, wypisanie bowiem różnych rozmieszczeń już dla 5 elementów wymaga 120 wierszy zastosujmy regułę mnożenia Mamy 3 miejsca (pomyślmy, że są to np. pudełka) w których chcemy umieścić witaminy (do każdego pudełka po jednej) aby żadna się nie powtórzyła Na ile sposobów możemy to zrobić? Po wybraniu 2 witamin do poprzednich pudełek, zostaje nam już tylko jedna Tutaj ustawiamy dowolną z 3 witamina witamin A,B,C Ponieważ witaminy nie mogą się powtarzać, Mamy więc 1 sposób wyboru trzeciej Mamy więc 3 sposoby zatem po wybraniu witaminy do pierwszego witaminy. wyboru pierwszej witaminy pudełka, do naszej dyspozycji zostają już tylko 2 witaminy.mamy więc 2 sposoby wyboru drugiej witaminy

3 witamina na 3 sposoby witamina na 2 sposoby witamina na 1 sposób Zgodnie z regułą mnożenia uzyskujemy 3*2*1 = 6 różnych uporządkowań 3 witamin A,B,C. UWAGA: Ten sposób jest niezawodny, nie trzeba pamiętać wzoru. Wystarczy odrobinę pomyśleć. sposób 3. ze wzoru dla permutacji n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*...3*2*1 Mamy 3 elementy, czyli n=3 Obliczamy 3! = 3*2*1 =6 UWAGA: Ten sposób jest najprostszy, ale wymaga pamiętania wzoru.. Permutacje cd - zliczanie permutacji spośród zbioru n elementów (elementy zbioru mogą się powtarzać (inna nazwa to permutacje z powtórzeniami) Mamy zbiór n elementów, przy czym wśród nich jest n 1 - elementów typu 1 n 2 - elementów typu 2... n k - elementów typu k Wówczas taki zbiór można uporządkować na n! / (n 1!* n 2!*... n k!) sposobów Uwagi: porządek (kolejność) elementów jest istotny Mamy zbiór 3 witamin A, A, C. Na ile sposobów możemy je uporządkować w 3 pudełkach tak aby w każdym była tylko jedna witamina. bezpośrednie wypisanie A A C A C A C A A UWAGA: Ten sposób trudno stosować dla dużej liczby elementów

4 ze wzoru dla permutacji n! / (n 1!* n 2!*... n k!) n=3 (ilość witamin) n 1 = 2 (w zbiorze mamy 2 witaminy A) n 2 = 1 (w zbiorze mamy 1 witaminę C) Obliczamy n! / (n 1!* n 2!*... n k!) = 3!/ (2!*1!) = 6/2 = 3 możliwości UWAGA: Ten sposób jest najprostszy, ale wymaga pamiętania wzoru. V. Permutacje cd - zliczanie permutacji k elementów spośród zbioru n (różnych) elementów (inna nazwa to wariacje bez powtórzeń) Liczba uporządkowań k elementów spośród zbioru n elementów jest równa n*(n-1)*...*(n-k+1) = n!/(n-k)! Uwagi:elementy nie mogą się powtarzać, porządek (kolejność) elementów jest istotny Mamy zbiór 4 witamin A, B, C, D. Na ile sposobów możemy rozmieścić je w 2 pudełkach, tak aby w każdym była tylko jedna witamina, bez powtórzeń. bezpośrednie wypisanie A B A C Mamy 12 możliwości A D B A B C B D C A C B C D D A D B D C UWAGA: Ten sposób trudno stosować dla dużej liczby elementów, co widać już w tym przykładzie zastosujmy regułę mnożenia

5 Tutaj ustawiamy dowolną z 4 witamin A,B,C,D Mamy więc 4 sposoby wyboru pierwszej witaminy witamina na 4 sposoby witamina na 3 sposoby Ponieważ witaminy nie mogą się powtarzać, zatem po wybraniu witaminy do pierwszego pudełka, do naszej dyspozycji zostają już tylko 3 witaminy Mamy więc 3 sposoby wyboru drugiej witaminy Zgodnie z regułą mnożenia uzyskujemy 4*3 = 12 różnych uporządkowań 4 witamin A,B,C,D w 2 pudełkach. UWAGA: Ten sposób jest niezawodny, nie trzeba pamiętać wzoru. Wystarczy odrobinę pomyśleć. sposób 3. ze wzoru dla permutacji k elmentów ze zbioru n elementów n!/(n-k)! n=4 (ilość witamin) k=2 (ilość pudełek) Obliczamy n!/(n-k)! = 4! / 2! = 24/2 = 12 możliwości UWAGA: Ten sposób jest najprostszy, ale wymaga pamiętania wzoru. V. WARACJE z POWTÓRZENAM Liczba k elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru n elementowego jest równa k n Uwagi:elementy mogą się powtarzać, porządek (kolejność) jest istotny. Mamy zbiór 3 witamin A,B,C. Na ile sposobów możemy je włożyć po jednej do 2 pudełek, jeżeli witaminy mogą się powtarzać? bezpośrednie wypisanie A A <-dopuszczamy powtarzanie się elementów A B A C Mamy 9 możliwości B B B A B C C C C A C B

6 UWAGA: Ten sposób trudno stosować dla dużej liczby elementów zastosujmy regułę mnożenia Tutaj ustawiamy dowolną z 3 witamin. Mamy więc 3 sposoby wyboru pierwszej witaminy Ponieważ witaminy mogą się powtarzać, więc tutaj także możemy wstawić dowolną z 3 witamin. Mamy więc 3 sposoby wyboru drugiej witaminy. witamina na 3 sposoby witamina na 3 sposoby Zgodnie z regułą mnożenia uzyskujemy 3*3 = 9 różnych uporządkowań z powtórzeniami 3 witamin 2 pudełkach. UWAGA: Ten sposób jest niezawodny, nie trzeba pamiętać wzoru. Wystarczy odrobinę pomyśleć. sposób 3. ze wzoru dla wariacji z powtórzeniami k n n=3 (liczba elementów zbioru czyli liczba witamin) k=2 (liczba elementów jaką chcemy wybrać = tu wybieramy 2 witaminy do 2 pudełek) Obliczamy 3 2 = 9. Mamy 9 sposobów V. Kombinacje (gdy porządek nie gra roli) Kombinacją k elementów spośród n elementów zbioru nazywamy każdą grupę k elementów tego zbioru. Liczba takich grup (podzbiorów) jest równa n n! = k k!*( n k)! Uwagi:elementy nie mogą się powtarzać, porządek (kolejność) nie jest istotny. Mamy zbiór 5 witamin A,B,C,D, K. Na ile sposobów możemy je połączyć w różne pary? bezpośrednie wypisanie AB BC CD DK n k czytamy 'n nad k' nazywamy Symbolem Newtona w Excelu funkcja KOMBNACJE(n ; k)

7 UWAGA: AC BD CK AD BK AK jest 10 par Ten sposób trudno stosować dla dużej liczby elementów. ze wzoru dla kombinacji n= 5 (liczba wszystkich elementów zbioru - tu 5 witamin) k=2 (liczba elementów jaką chcemy wybrać = tu tworzymy pary czyli wybiermay po 2 witaminy) Obliczamy 5 = 2 Możemy utworzyć 10 par. n n! = k k!*( n k)! 5! 2!*(5 = 2)! 5*4*3*2*1 2!*3! = 5*4*3*2*1 2*1*3*2*1 = 20 2 = 10

Podobne dokumenty

ELEMENTY KOMBINATORYKI

ELEMENTY KOMBINATORYKI Kombinatoryka to dział matematyki, który zajmuje się zliczaniem, na ile sposobów może zajść jakieś zjawisko. Powstała dzięki grom hazardowym a dopiero później rozwinęła się w gałąź