Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Transkrypt

1 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, /10

2 Zasada Dirichleta 1 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (1ZSD) Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m > 0, to istnieje szuflada z przynajmniej dwoma obiektami. 2 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (2ZSD) Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m > 0, to co najmniej jedna szuflada ma n/m lub więcej elementów oraz co najmniej jedna szuflada ma n/m lub mniej elementów. Ta postać zasady mówi, że w zbiorze danych wszystkie wartości nie mogą leżeć równocześnie powyżej średniej ani równocześnie poniżej średniej.

3 Wniosek z 2ZSD Jeżeli dana jest funkcja f: X Y, gdzie X =n, Y =m, n > m > 1 to istnieją y 1, y 2 takie, że f -1 (y 1 ) n/m oraz f -1 (y 2 ) n/m. Dowód 2ZSD Zakładam, że każdy z podzbiorów ma mniej niż n/m elementów, czyli co najwyżej n/m 1 elementów. Wtedy cały zbiór ma ich co najwyżej m ( n/m 1), czyli n m ( n/m 1), czyli n/m +1 n/m. Ale to jest sprzeczne z oczywistą własnością, że x + 1 > x dla każdego x. Dowód drugiej części przebiega analogicznie. Proszę go wykonać. Dowód 1ZSD Przy n > m > 0 wartość n/m jest 2.

4 3 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (3ZSD) Jeśli n obiektów rozmieszczonych jest w m szufladach i n>mr dla pewnego naturalnego r, to istnieje szuflada z co najmniej r+1 obiektami. Wniosek z 3ZSD Jeżeli dana jest funkcja f: X Y, gdzie X =n, Y =m, oraz n>mr, dla pewnego naturalnego r, to co najmniej jeden ze zbiorów f --1 (y) ma więcej niż r elementów. Dowód 3ZSD Z 2ZSD co najmniej jedna szuflada ma n/m lub więcej elementów oraz n>mr, dla pewnego naturalnego r. Zatem n/m n/m > r. Czyli szuflada ta ma co najmniej r+1 elementów.

5 4 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (4ZSD) Niech X 1, X 2, X m będą podzbiorami n-elementowego zbioru X oraz niech każdy element z X należy do co najmniej t spośród zbiorów X i. Wtedy średnia arytmetyczna liczb elementów zbiorów X i wynosi co najmniej tn/m. Dowód 4ZSD Niech P = {(x, i): x X i }. Zbiór P można rozpisać na dwa sposoby: jako suma zbiorów po i=1 m i jako suma zbiorów po x X. P = {(x, 1): x X 1 } {(x, 2): x X 2 } {(x, m): x X m } i wtedy P = X i. i=1 m P = {(x, i): x X i } i wtedy P tn. x X Zatem średnia arytmetyczna (1/m) X i tn/m. i=1 m

6 Przykład Wybierzmy dowolnie 10 różnych liczb naturalnych spośród. Pokażemy, że w zbiorze można wybrać dwa rozłączne podzbiory, dające tę samą sumę liczb.

7 Rozwiązanie Szuflady poetykietujmy liczbami reprezentującymi możliwe sumy liczb w co najwyżej 10-cio elementowych podzbiorach zbioru {1, 2, 100}. Ponieważ największa możliwa taka suma to =955, to weźmy 955 szuflad z etykietami: 0, 1, 2,, 955. Z drugiej strony 10-elementowy zbiór ma 2 10 =1024 podzbiory, więc z 1ZSD będzie szufladka zawierająca dwa podzbiory (co znaczy, że muszą być dwa różne podzbiory o tej samej sumie). Jak na razie takie podzbiory nie muszą być rozłączne, ale jeśli z obu z nich usuniemy wspólne liczby, to pozostałe dalej będą dawać takie same sumy, a powstałe zbiory będą już rozłączne.

8 Przykład W kwadracie o boku 2 umieścimy 5 punktów. Co najmniej dwa z nich są oddalone o nie więcej niż 2.

9 Rozwiązanie Dzielimy nasz kwadrat na cztery kwadraty o bokach 1 i przekątnych 2. Zgodnie z 1ZSD jeden z tych kwadratów musi zawierać dwa punkty, więc ich odległość nie jest większa od przekątnej kwadratu.

10 Przykład Z grupy 21 posłów każdy uczestniczy w co najmniej dwóch komisjach śledczych. Powołano 7 komisji. Jaki nietrywialny wniosek można z tego wyprowadzić?

11 Rozwiązanie Z 4ZSD średnia liczebność komisji wynosi co najmniej 2 21/7 = 6.

12 Przykład Ile co najwyżej razy można rzucić parą kostek bez otrzymywania dwukrotnie tej samej sumy oczek?

13 Rozwiązanie Szuflada oznacza wszystkie wyniki dające tę samą sumę oczek. Takich szuflad będzie od 2 do 12, czyli 11. Tylko ciąg po jednym elemencie z każdej szuflady daje zadany wynik. Dwunasty rzut trafi do jednej z szuflad, które już wystąpiły w ciągu.

14 Przykład Wykazać, że jeśli 10 liczb naturalnych daje w sumie 101, to są wśród nich 3 liczby, których suma wynosi co najmniej 31.

15 Rozwiązanie I sposób Ponumerujmy te liczby jako a 1, a 2, a 10. Następnie wypiszmy 3 rzędy: a 1, a 2, a 8, a 9, a 10 a 2, a 3, a 9, a 10, a 1 a 3, a 4, a 10, a 1, a 2 Suma tych 30 liczb wynosi 303. Jedna z 10 kolumn musi mieć sumę równą co najmniej sufit z 303/10 (czyli 31).

16 Rozwiązanie II sposób Podzielmy 10 liczb na 5 par. Jedna z tych par musi mieć sumę co najmniej 21. Oznaczmy ją przez s. Z pozostałych 8 liczb jedna musi być równa co najmniej 1/8 ich sumy. Wtedy s+ 8 1 (101-s) = 8 7 s =

17 Permutacje Permutacja zbioru skończonego X to bijekcja z X w X. Zbiór permutacji zbioru oznaczamy przez, a permutacje małymi literami greckimi. Np. rozważ funkcję zadaną przez poniższą tabelę: Funkcja jest bijekcją z w, zatem jest permutacją i. Dla dowolnych permutacji skończonego zbioru X złożenia są permutacjami X, oraz jest permutacją X taką, że jej złożenie z α daje funkcję identycznościową. Zbiór n-elementowy ma dokładnie n! permutacji, czyli.

18 Niech będzie permutacją n-elementowego zbioru X. Cykl zbioru n-elementowego X to taka permutacja zbioru X, dla której, przy dowolnym. Łatwo zauważyć, że jeśli dla pewnego zachodzi powyższa równość, to jest tak dla wszystkich, czyli jest cyklem na X. Np. 0, (0)=2, (2)=6, (6)=5, (5)=1, 5 (0)= (1)=3 i 6 (0)= (3)=0

19 Weźmy bowiem { (x), 2 (x), n-1 (x), n (x)}. Ten zbiór jest równy X, bo jest to (X). Zatem n (x)=x. Cykl zbioru X zapisujemy jako wybranego. dla dowolnie Np. więc sekwencja,,,,, pokrywa całe, zatem jest cyklem.

20 Niech będzie permutacją n-elementowego zbioru X. Permutację nazywamy cyklem k-elementowym (k n) jeżeli dla pewnego k-elementowego podzbioru I={i 1, i 2, i k } zbioru X zachodzi ( i 1 )= i 2, ( i 2 )= i 3, ( i k-1 )= i k, ( i k )= i 1 oraz (i)= i dla wszystkich i I. Piszemy wtedy =(i 1, i 2, i k ), ale również =( i 2, i 3, i k, i 1 ) Np. jest cyklem 6-elementowym (0, 2, 6, 5, 1, 3), bo (0)=2, (2)=6, (6)=5, (5)=1, (1)=3, (3)=0 i (4)=4.

21 Dwa cykle nazwiemy rozłącznymi jeżeli ich zbiory wskaźników nie mają wspólnych elementów. Przykłady Permutacja ma cykl 5-elementowy (0, 2, 6, 5, 1, 3) i cykl 1-elementowy (4) Permutacja 8-elementowa n α(n) ma m.in. cykl 3-elementowy (056) i cykl dwuelementowy (12).

22 ROZKŁAD PERMUTACJI NA ROZŁĄCZNE CYKLE Dowolną permutację zbioru X można rozłożyć na rozłączne cykle w sposób następujący: wybierz dowolny element, który nie jest jeszcze w żadnym cyklu, iteruj permutację otrzymując kolejno: aż do uzyskania, dodaj do rozkładu cykl, jeśli w zbiorze X pozostały jeszcze elementy niepokryte przez żaden cykl, to wróć do pierwszego punktu.

23 Jeśli permutacja złożona jest z k rozłącznych cykli, to zapisujemy. Rozważmy jeszcze raz permutację : Rozkład na cykle: 0, α(0)=2, α(2)=6, α(6)=5, α(5)=1, α(1)=3, α(3)=0, 4, α(4)=4 więc α=(026513)(4). Dla permutacji b n b (n) b = (056)(12)(374)(56).

24 ZADANIE Na ile sposobów można rozstawić 8 wież na ponumerowanych polach szachownicy 8x8 w taki sposób, by żadne dwie nie znajdowały się w polu wzajemnego rażenia? Rozwiązanie Rozważamy rozłożenia ośmiu wież w taki sposób, aby w każdej linii i w każdej kolumnie znajdowała się dokładnie jedna wieża. Każde takie rozłożenie jednoznacznie wyznacza bijekcję ze zbioru wierszy (1,...8} w zbiór kolumn {a, b,, h}. Jest ich 8!=40320.