Informacje pomocnicze:

dr Krzysztof yjewski Informatyka; S-I 0.in». 7 grudnia 06 Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej. Caªka nieoznaczona. przydatne wzory: Informacje pomocnicze: Lp. Wzór Uwagi. dx = x c. adx = ax c 3. x α dx = α xα c α R \ { } 4. sin xdx = cos x c 5. cos xdx = sin x c 6. tg xdx = ln cos x c x π kπ, k N 7. ctg xdx = ln sin x c x kπ, k N 8. sinh xdx = cosh x c 9. cosh xdx = sinh x c 0. dx = tgh x c cosh x. dx = ctgh x c sinh x. a x dx = ln a ax c a > 0 3. e x dx = e x c 4. xdx = ln x c x 0 5. cos xdx = tg x c x π kπ, k N 6. dx = ctg x c x kπ, k N sin x 7. a dx = arcsin x x a c a 0 8. a x dx = a arctg x a c a 0 9. dx = ln x a x x a c a R 0. a x dx = a ln ax a x c a > 0, x a. f (x) f(x) dx = ln f(x) c. axb dx = a ln ax b c 3. cos n xdx = n sin x cosn x n n cos n xdx n 4. sin n xdx = n cos x sinn x n n sin n xdx n 5. x adx = x x a a ln x x a c dx 6. (x ) = x n n (x ) n 3 n n (x ) dx n n 7. a x dx = a arcsin x a x a x c

dr Krzysztof yjewski Informatyka; S-I 0.in». 7 grudnia 06 Twierdzenie. (Podstawowe prawa rachunku caªkowego) Niech funkcje f i g b d ci gªe na przedziale [a, b] oraz k R \ {0}. Wówczas: kf(x)dx = k f(x)dx, gdzie a = const. R, [f(x) ± g(x)]dx = f(x)dx ± g(x)dx. Twierdzenie. (caªkowanie przez podstawienie) Niech funkcja f b dzie ci gªa na przedziale [a, b] oraz funkcja g ma ci gª pochodn (tzn. funkcja g (x) jest ci gªa). Wówczas zachodzi poni»szy wzór na caªkowanie przez podstawienie: f[g(x)] g (x)dx = f(t)dt, () gdzie t = g(x) oraz dt = g (x)dx. Twierdzenie 3. (caªkowanie przez cz ±ci) Niech funkcje f i g maj ci gªe pochodne. Wówczas ma miejsce tzw. wzór na caªkowanie przez cz ±ci: f(x)g (x)dx = f(x)g(x) f (x)g(x)dx. () a) Caªkowanie funkcji wymiernych Algorytm rozkªadania na uªamki proste: Inne metody caªkowania. Wielomian Q(x) z mianownika wyra»enia wymiernego W (x) = P (x) zgodnie z wªasno±ci : Q(x) wielomian rzeczywisty jednej zmiennej mo»na rozªo»y na iloczyn wielomianów rzeczywistych co najwy»ej drugiego stopnia; rozkªadamy do postaci: Q(x) = q m (x e ) n (x e ) n (x e l ) n (x b x c ) k... (x b r x c r ) kr, gdzie δ i = b i 4c i < 0 dla i =,,..., r.. Wspóªczynnik q m przyjmujemy,»e jest równy. Mo»na tak zrobi, o ile podzielimy licznik i mianownik wyra»enia W (x) przez q m. 3. Wyra»enie W (x) rozkªadamy w nast puj cy sposób na sum uªamków prostych pierwszego i drugiego rodzaju: W (x) = P (x) Q(x) = p n x n p n x n... p x p 0 (x e ) n (x e ) n (x el ) n (x b x c ) k... (x b r x c r ) kr = A x e A (x e ) A n (x e ) n B x e B (x e ) B n (x e ) n C x D C x D x b x c (x b x c ) C k x D k (x b x c ) k E x F E x F x b x c (x b x c ) E k x F k (x b x c ) k (3)

dr Krzysztof yjewski Informatyka; S-I 0.in». 7 grudnia 06 4. Aby wyznaczy wspóªczynniki A, A,..., B, B,... E k, F k nale»y sprowadzi praw stron (3) do wspólnego mianownika, a nast pnie porówna licznik otrzymanego wyra»enia z wielomianem P (x) tzw. metoda wspóªczynników nieoznaczonych. 5. Caªki uªamków prostych pierwszego rodzaju obliczmy albo ze wzoru (tabela caªek), albo poprzez podstawienie. Caªki uªamków prostych drugiego rodzaju wyliczmy jak poni»ej. Obliczanie caªki uªamków prostych drugiego rodzaju Ax B (ax bx c) n dx, ( = b 4ac < 0). Powy»sz caªk sprowadzamy do postaci kanonicznej Ax B ( [a(x p) q] dx, p = b n a, q = 4a nast pnie wykonuj c podstawienie x p = q/a t, mamy Ct D (t ) dt. n Teraz nale»y ja rozbi na dwie caªki C t dt oraz D dt. Pierwsz obliczmy przez podstawienie w = t, a drug przy stosuj c wzór indukcyjny nr (t ) n (t ) n 6. Uwaga 4. Je»eli W (x) = P (x) Q(x) oraz stopie«wielomianu P (x) jest niemniejszy od stopnia wielomianu Q(x) to najpierw nale»y podzieli wielomian P (x) przez Q(x). Je»eli w wyniku tego dzielenia otrzymamy wielomian Z(x) oraz reszt z dzielenia R(x), to wówczas mo»emy zapisa : P (x) Q(x) b) Caªkowanie pewnych caªek niewymiernych: = Z(x) R(x) Q(x). (4). Je»eli funkcja podcaªkowa jest iloczynem funkcji wymiernej oraz pewnej ilo±ci pot g postaci (ax b) n m, (ax b) n m,... lub ( ) axb n ( m cxd, axb ) n m cxd,... gdzie ni, m i N s wzgl dnie pierwsze to stosujemy odpowiednio podstawienia ax b = t M ax b lub cx d = tm (5) gdzie M to najmniejsza wspólna wielokrotno± m, m,... a. Caªk postaci dx ax bxc t. a sprowadzamy do dx a(x p) q ) ; i dokonujemy podstawienia x p = b. Caªk postaci ax bx cdx sprowadzamy do a(x p) qdx i dokonujemy podstawienia x p = t, a nast pnie stosujemy wzory(wymiennie) a lub x adx = x x a a ln x x a c; a x dx = a arcsin x a x a x c. 3

dr Krzysztof yjewski Informatyka; S-I 0.in». 7 grudnia 06 c) Caªkowanie pewnych wyra»e«trygonometrycznych:. Caªk W (sin x, cos x, tg x)dx obliczmy przez podstawienie t = tg x. Wówczas mamy: dx = t t dt, sin x =, cos x = t t t.. Caªk W (sin x, cos x, sin x cos x)dx obliczmy przez podstawienie t = tg x. Wówczas mamy: dx = t dt, sin x = t t, cos x = t. 3. Caªk postaci sin m x cos n xdx, n, m N liczmy: a) gdy m, n s parzyste jak podpunkcie ; b) gdy m jest nieparzyste, przez podstawienie t = cos x, c) gdy n jest nieparzyste, przez podstawienie t = sin x. 4. Caªki postaci sin ax sin bxdx, cos ax cos bxdx, sin ax cos bx obliczmy korzystaj c ze wzorów: sin x sin y = [cos(x y) cos(x y)], cos x cos y = [cos(x y) cos(x y)], sin x cos y = [sin(x y) sin(x y)]. Inne przydatne wzory trygonometryczne: cos cos x x =, sin cos x x =, cos x = cos x sin x, sin x = sin x cos x. 4

dr Krzysztof yjewski Informatyka; S-I 0.in». 7 grudnia 06. Sprawd¹, czy funkcja F (x) = (x 5x ) cos x jest funkcj pierwotn funkcji f(x) = (x 5) cos x (x 5x ) sin x 03 w zbiorze P = [-03;03].. Wyznaczy funkcj pierwotn funkcji f(x) = x 3, do której wykresu nale»y punkt (; 3). 3. Wyznaczy zbiór, w którym wykres dowolnej funkcji pierwotnej funkcji f(x) = 4x x jest wypukªy. 4. Korzystaj c z podstawowych wzorów na caªki funkcji elementarnych oblicz podane caªki nieoznaczone: (a) x (b) x x x 3 4x (c) 5x 6x cos x x ex (d) dx 5 ; (e) x 3 x (f) x dx ; x (g) x 5 x (h) sin x (i) tg x (j) e x dx ; (k) 4 3e x x (l) x x x 4 x 3 x (m) 3 x x 4 5 5x 3 6 3 (n) (x ) 3 (o) 5 4 5 3 x x 3x x (p) cos x (r) (s) ( ) e x e x dx. cos x sin x sin x cos x x 5. Korzystaj c z twierdzenia o caªkowaniu przez podstawianie oblicz: (a) e x (b) x x e x 3 (c) x 3x (d) ln x (e) xe x (f) (5 3x) 0 x (g) x (h) sin 3 x (i) (7x ) 4 x x5 (j) x dx 6 9x 4 ; (k) sin x (l) cos(ln x) 3 cos x x (m) (x x) sin(x 3 3 x ) (n) x (o) dx cos (x 3 ) (x ) arctan x (p) x 3 ln(x 4 ) (r) sin 3 x (s) sin x cos x cos x cos x 6. Korzystaj c z twierdzenia o caªkowaniu przez cz ±ci oblicz: (a) x sin x (b) x e x (c) x cos x (d) ln x (e) 3 x cos x (f) ln x 3 x 5 (g) x sin x (h) e x sin x (i) e 4x cos 3x (j) x ln 3 x; (k) x 4 ln x (l) xe x cos x (m) (3x 4x ) cos 4x (n) e 3x sin x (o) x 3 ln x (p) x arcsin x x (r) x ln( x x) x (s) x sin x cos 3 x 7. Oblicz caªki z funkcji wymiernych: (a) x (b) x (c) x x x x(x) (d) x (e) 3 (f) 8x x x 3 x 4x7 cos x x 4x3 x 3 x x x(x) x x3 (h) x 4 x 3 x x 3 x (i) x x 4 (g) (j) x (k) 3x 5x (x) (x4) x 3 9x 6x 54 dx cosh x (l) 3x 4 9x 3 3x x7 x 3 3x x 5 8. Oblicz caªki z funkcji trygonometrycznych: (a) (b) sin x (c) sin xcos x cos x cos x (d) (e) (f) cos 4 x sin xcos x 3cos x (g) sin 3 x (h) (i) sin 3 x cos 3 x 4 sin x9 cos x (j) sin x cos 4 x (k) sin 3x cos 5x (l) sin x sin 3x (m) sin 8 x (n) sin 7 x (o) sin x cos x dx. sin 4 xcos 4 x 5

dr Krzysztof yjewski Informatyka; S-I 0.in». 7 grudnia 06 9. Oblicz caªki z funkcji niewymiernych: (a) 3x x (b) x (c) 3 6 x x x 3 x 4 x (d) (e) (f) x x x 3 x x x 3 x (g) dx ; (h) dx x 4x3 3 x x ; (i) dx ; 4x 7 (j) dx 4x ; (k) dx ; (l) dx ; x 5x7 3x x (m) x 4x 5 (n) x x 0. Oblicz nast puj ce caªki nieoznaczone: (a) dx ; (b) ( x) sin x ctg x x (c) x sin x cos x x (d) x 6 (e) x tg x (f) x arctg 3x x x (g) cos 4 x sin 3 x (h) x ln x (i) sin x e sin x (j) x 3x dx. (x x)(x) 6