1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania
|
|
- Bronisława Stasiak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania 1.1 Podstawowe definicje Def. Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f, określonej w przedziale otwartym P (skończonym lub nieskończonym), jeśli F () = f() dla każdego P. Przykłady. Funkcja sin jest funkcją pierwotną funkcji cos, bo (sin ) = cos. Również funkcja sin + C, gdzie C jest dowolną stałą, jest funkcją pierwotną funkcji cos. Funkcją pierwotną dla e jest ta sama funkcja e. Jeśli funkcja f jest określona w przedziale domkniętym a b, to funkcję F nazywamy jej funkcją pierwotną, jeśli F () = f() dla a < < b oraz zachodzi: F +(a) = f(a) i F (b) = f(b). Tw. Jeśli dwie funkcje F i G są funkcjami pierwotnymi funkcji f w przedziale P (otwartym lub domkniętym), to te dwie funkcje różnią się między sobą o stałą. Dow. Ponieważ zachodzi: F () = G (), to na mocy twierdzenia które było przy pochodnych (wniosek z wz. Lagrange a o wart. średniej) funkcje te różnią się o stałą: F () = G() + C. I odwrotnie, funkcja, która powstaje przez dodanie stałej do funkcji pierwotnej funkcji f, jest też funkcją pierwotną funkcji f. Tak więc wyrażenie: F () + C jest ogólną postacią funkcji pierwotnej funkcji f. CBDO To ostatnie wyrażenie oznaczamy symbolem f(), czytamy: "całka f() po " i nazywamy je całką nieoznaczoną funkcji f. Mamy więc: f() = F () + C, gdzie F () = f(), (1) d f() = f(), () df () = F () + c. (3) Znajdowanie całki nieoznaczonej danej funkcji f lub innymi słowy znajdowanie funkcji pierwotnej funkcji f nazywamy całkowaniem funkcji f. Całkowanie jest więc procesem (prawie) odwrotnym 1 do różniczkowania. 1. Funkcje pierwotne funkcji elementarnych Jak wynika z samej definicji całki nieoznaczonej, każdy wzór na pochodną jakiejś funkcji daje automatycznie wzór na całkę funkcji otrzymanej po zróżniczkowaniu. Mamy np.: Z wzoru (sin ) = cos 1 Dlaczego prawie? Otóż jeśli weźmiemy jakąś funkcję f, scałkujemy ją, a następnie zróżniczkujemy to otrzymamy tę samą funkcję f. Natomiast jeśli najpierw funkcję f zróżniczkujemy, a potem scałkujemy, to otrzymamy funkcję f plus dowolna stała więc coś bardzo podobnego, ale jednak nie to samo. 1
2 otrzymujemy cos = sin + C. Ze znanych wzorów na pochodne otrzymujemy następujące wzory na funkcje pierwotne: 0 = C, (4) a = a + C, (5) n = 1 n + 1 n+1 + C, n N, (6) cos = sin + C, (7) sin = cos + C, (8) 1 = tg + C; cos (9) 1 sin = ctg + C, (10) e = e + C (11) = ln + C, (1) = arcsin + C, (13) 1 = arctg + C, 1 + (14) a = 1 a + 1 a+1 + C, a R, a 1 (15) 1.3 Ogólne wzory na całkowanie Załóżmy, że funkcje f i g są ciągłe. Zachodzą wówczas następujące wzory. Tw. (f() + g()) = f() + g(). Dow. Mamy bowiem ( d f() + ) g() = f() + g(). Tw. af() = a f(), gdzie a stała. CBDO Dow. ( d a ) f() = a d f() = af().
3 Tw. : (Wzór na całkowanie przez części:) Dla f, g takich, że f, g są ciągłe zachodzi f()g () = f()g() f ()g() Dow. Zrózńiczkujmy obie strony powyższej równości. Mamy: f()g () = f ()g() + f()g () f ()g(). Przykł. e = (e ) = e e = e e = e e. CBDO Przykł. ln = ln = ln (ln ) = ln 1 = ln + C. Tw. (wzór na całkowanie przez podstawienie, lub na zamianę zmiennych w całce): g(f()) df() = g(y)dy y=f() Uwaga. Krócej ten wzór możemy zapisać, oznaczając y = f() i z = g(y). Wtedy mamy: z dy = Dow. Dowód opiera się na odwróceniu wzoru na różniczkowanie funkcji złożonej. Oznaczmy G(y) = g(y)dy. Mamy: zdy. [G(f())] = G (f()) f () = g(f()) f (); biorąc teraz funkcję pierwotną od obu stron, mamy g(f()) f () = [G(f())] = G(f()) = G(y) y=f() = g(y)dy y=f() Przykł. g(a) = 1 a g(y)dy, gdzie y = a. CBDO Przykł. f( + a) = f(y)dy, gdzie y = + a. Przykł. Obliczmy całkę: 1 +. Zrobimy to za pomocą podstawienia y =. Mamy: 1 + = y =, = 1dy = 1 3 dy 1 + y = 1 ln(1 + y) = 1 ln(1 + ).
4 Przykł. W następującej całce podstawimy = sin t, zakładając, że t [ π, π]: 1 = = sin t, = cos tdt = cos tdt; tę całkę liczymy całkując przez części: cos tdt = (sin t) cos tdt = sin t cos t sin t(cos t) dt = sin t cos t + sin tdt skąd mamy 1 = = sin t cos t + dt cos tdt, cos tdt = 1 (sin t cos t + t) = 1 ( 1 + arcsin ). Uwaga. Poprawność całkowania możemy sprawdzić, różniczkując wynik; po zrobieniu tego powinniśmy otrzymać funkcję podcałkową. Uwaga. Funkcją elementarną nazywamy funkcję wymierną, trygonometryczną, wykładniczą, lub jedną z odwrotności tychże. Rozpatrzmy teraz zbiór funkcji, powstałych z elementarnych przez branie ich sumy, iloczynu, ilorazu, złożenia albo kombinacji tychże. Pochodną każdej z tych funkcji można znaleźć, posługując się wzorami na pochodną sumy, iloczynu, ilorazu bądź złożenia funkcji. Z całkami jest inaczej: Gdy musimy znaleźć funkcję pierwotną funkcji z powyższej klasy, to taka pochodna może się już nie dać wyrazić przez funkcje elementarne. Tak jest np. z całkami: e czy 1 + k sin, k 1. Podkreślmy, że obie te funkcje pierwotne istnieją zgodnie z powyższym twierdzeniem, że każda funkcja ciągła posiada funkcję pierwotną. Powyższe funkcje pierwotne istnieją, tyle że się nie wyrażają przez funkcje elementarne: Pierwsza całka to tzw. funkcja błędu, a druga to całka eliptyczna. Tak więc nie dla każdej funkcji da się funkcję pierwotną wyrazić przez funkcje elementarne. W pozostałej części tego rozdziału będziemy rozważać te klasy funkcji, dla których da się to zrobić. 1.4 Rekurencyjne metody obliczania całek Załóżmy, że mamy jakiś ciąg funkcji {f n ()} i że chcemy obliczyć całki I n = f n () Metoda rekurencyjna polega na obliczeniu całki dla n = 1 (lub n = 0) i na umiejętności sprowadzenia liczenia n tej całki do całki o numerze n 1 (lub wcześniejszej). To był ogólny (tak ogólny, że ogólnikowy) przepis; przyjrzyjmy się, jak to się przekłada na praktykę. Przykł. Obliczyć całkę I n = e n. We wzorze na I n wykonajmy całkowanie przez części w następujący sposób: I n = e n = ( )(e ) n = e n ( ) e n n 1 = e n + ni n 1 ; aby sfinalizować liczenie całki, potrzebujemy jeszcze wyrażenia na I 0 : I 0 = e = e. 4
5 Ostatecznie więc I n = e n + ni n 1 = e n ne n 1 n(n 1)I n =... ( ) = e [ n +n n 1 +n(n 1) n + +n!]+i 0 = n!e 1 + +! + + n +C. n! Przykł. Weźmy teraz: Mamy: Teraz policzmy: I n = (1 + ) = n (1 + ) n I n = I 1 = (1 + ) n. = arctg. 1 + ( ) 1 = (1 + ) n (1 + ) ( n) n (1 + ) n+1 skąd mamy = (1 + ) + n n (1 + ) = n+1 (1 + ) + ni n n ni n+1, I n+1 = n 1 n I n + 1 n (1 + ). (16) n 1.5 Całki z funkcji wymiernych Nazywamy w ten sposób całkę, gdzie funkcją podcałkową jest funkcja wymierna: f() = P () Q() gdzie P (), Q() wielomiany. Liczenie całki wykonujemy w kilku krokach. Będziemy zakładać, że stopień licznika jest niższy od stopnia mianownika. Gdyby tak nie było, to I. wykonujemy dzielenie wielomianów (z resztą) i możemy zapisać: P () = w() Q() + r(), gdzie w() wynik dzielenia, a r() reszta, przy czym deg r < deg Q. Mamy w ten sposób: P () Q() = w() + r() Q(), gdzie w() jest wielomianem, który umiemy scałkować, zaś w r() stopień licznika Q() jest mniejszy od stopnia mianownika tak jak dalej potrzeba. 5
6 II. Rozkładamy mianownik na czynniki. Niedługo poznamy twierdzenie z algebry, które mówi, że: Tw. Dowolny wielomian o współczynnikach rzeczywistych rozkłada się na czynniki stopnia co najwyżej drugiego, tzn. postaci: a (czynniki liniowe) oraz + b + c (kwadratowe), dla których < 0. Uwaga. Liczba a z czynnika liniowego jest pierwiastkiem wielomianu; z tw. Bézout mamy, że jeżeli a jest pierwiastkiem wielomianu Q(), to wielomian Q() dzieli się przez a bez reszty, tzn. można zapisać: Q() = Q()( a), gdzie Q() jest wielomianem stopnia o 1 niższego niż Q(). Oraz dokładniej: Jeśli a jest k krotnym pierwiastkiem wielomianu Q(), to wielomian Q() dzieli się przez ( a) k bez reszty, tzn. można zapisać: Q() = Q()( a) k, gdzie Q() jest wielomianem stopnia o k niższego niż Q(). Dla trójmianów kwadratowych nierozkładalnych jest podobnie, ale zagłębienie się w temat wymaga znajomości liczb zespolonych, więc odkładamy to do czasu, gdy się z nimi zaznajomimy. III. Trzecim krokiem jest rozkład na ułamki proste. Def. Ułamkiem prostym nazywamy wyrażenie postaci gdzie A, a; C, D, α, β R. A ( a) k lub C + D (( α) + β ) m, Uwaga: W mianowniku ostatniego wyrażenia występuje postać kanoniczna trójmian kwadratowego, który nie ma pierwiastków rzeczywistych. I teraz!! IV. Tw. Funkcja wymierna P ()/Q() jest sumą ułamków prostych, których mianowniki są czynnikami wielomianu Q(). Tw. (o rozkładzie na ułamki proste): Każda funkcja wymierna: P (), gdzie deg P < Q() deg Q, daje się zapisać jako suma ułamków prostych, których mianowniki są czynnikami wielomianu Q(). Dokładniej: Jeżeli w rozkładzie Q() na czynniki pojawia się wyrażenie ( a) k, to wśród ułamków prostych znajdują się wyrazy: A 1 a, A ( a),..., A k ( a) k ; jeżeli zaś w rozkładzie Q() na czynniki pojawia się (( α) + β ) m, to wśród ułamków prostych znajdą się wyrazy: C 1 + D 1 ( α) + β, C + D (( α) + β ),... C m + D m (( α) + β ) m. Wyznaczenie konkretnych wartości współczynników stojących przy ułamkach prostych odbywa się przez porównanie obu postaci funkcji wymiernej: Postaci wyjściowej: f() =, oraz otrzymanej z rozkładu na ułamki proste. P () Q() Gdy wszystkie ułamki proste są odwrotnościami wielomianów pierwszego stopnia, to współczynniki można wyznaczyć znacznie prościej. 6
7 "Jak to działa", zobaczmy na przykładach. Przykł. Rozłóżmy na ułamki proste funkcję wymierną f() = 1 ( ) ( 3) (17) Zgodnie z powyższym twierdzeniem, rozkład na ułamki proste będzie miał postać: 1 ( ) ( 3) = A + B ( ) + C 3. Współczynniki A, B, C wyznaczamy, sprowadzając prawą stronę do wspólnego mianownika. Mamy: 1 A( )( 3) + B( 3) + C( ) ( ) = ( 3) ( ) ( 3) = (A + C) + ( 5A + B 4C) + (6A 3B + 4C) ( ), ( 3) co daje równania: A + C = 0; 5A + B 4C = 1; 6A 3B + 4C = 1. Rozwiązanie tego układu równań daje: Przykł. Weźmy teraz: f() = A =, B = 1, C = ( )( +1). Rozkład na ułamki proste ma postać: f() = ( )( + 1) = A + B + C D + E ( + 1). (18) Współczynniki A, B, C, D, E wyznaczamy z porównania obu stron po sprowadzeniu prawej do wspólnego mianownika, co daje: = A( + 1) + (B + C)( )( + 1) + (D + E)( ) skąd otrzymujemy układ równań na współczynniki: Rozwiązując ten układ równań, dostajemy: co daje rozkład na ułamki proste: wsp. przy 4 : A + B = 0 wsp. przy 3 : B + C = 0 wsp. przy : A + B C + D = wsp. przy 1 : B + C D + E = wsp. przy 0 : A C E = 13. A = 1, B = 1, C =, D = 3, E = 4 f() = ( )( + 1) = ( + 1). (19) Twierdzenie o rozkładzie na ułamki proste sprowadza całkowanie funkcji wymiernej do całkowania ułamków prostych. Zobaczymy zaraz, jak obliczać funkcje pierwotne z takich ułamków prostych. 1. Zacznijmy od ułamków prostych postaci A ( a) k. Podstawiając y = a, mamy { A dy A ln( a) dla k = 1, ( a) = A k y = k A 1 dla k > 1. 1 k ( a) k 1 7
8 . Gdy mamy ułamek prosty: C+D (( α) +β ) m, to całka nieoznaczona z tego wyrażenia sprowadza się do obliczenia dwóch całek: (( α) + β ) oraz m ( α) (( α) + β ) m..1. Przy pierwszej całce podstawiamy y = α i otrzymujemy całkę dy, (y +β ) m w której z kolei podstawiamy y = βz i po tym podstawieniu dostajemy całkę dz. Dla m = 1 funkcją pierwotną jest arctg z, zaś dla m > 1 wyprowadziliśmy już na tę całkę wzór rekurencyjny (z +1) m (16)... Przy całce drugiego typu, podstawiamy: y = ( α). Mamy: dy = ( α), skąd otrzymujemy: ( α) (( α) + β ) = 1 m { dy 1 (y + β ) = ln(( α) + β ) dla m = 1, m 1 1 dla k > 1. (k 1) (( α) +β ) k 1 Tymi to sposobami zawsze możemy obliczyć całkę z funkcji wymiernej. (Oczywiście, jeśli znamy pierwiastki mianownika Q()). Obliczmy teraz dla naprzykładu całki z f. wymiernych (17) i (18). Przykł. (17), cd: Przykł. (18), cd: = 1 ( ) ( 3) = ( ) + = ln + ln C ( )( + 1) = + 1 ( + ) = ln 1 ln( + 1) arctg + 3 ( + 1) (3 + 4) ( + 1) ( + 1) ( + 1). Ostatnią całkę liczymy wykorzystując wzór rekurencyjny (16); dla n = mamy: I = (1 + ) = I 1 = arctg. Ostatecznie ( )( + 1) = ( ) ln 4arctg + C. + 1 Uwaga. Analizując metodę całkowania funkcji wymiernych widzimy, że całka z funkcji wymiernej jest postaci: R() + A ln U() + Barctg V (), gdzie A, B stałe, zaś R(), U(), V () są funkcjami wymiernymi. 8
9 1.6 Całki z funkcji wymiernych od funkcji trygonometrycznych Niech R(u, v) oznacza funkcję trygonometryczną dwóch zmiennych u, v. Rozważmy całkę: R(sin, cos ). Okazuje się, że całkę tego typu można sprowadzić do całki z funkcji wymiernej poprzez podstawienie trygonometryczne. Podstawieniem, które działa zawsze (aczkolwiek często nie jest sposobem optymalnym ze względu na ilość rachunków) jest podstawienie uniwersalne: t = tg. Musimy wyrazić sin, cos, przez t. Mamy: Mamy dalej Ponadto: co daje sin + cos = 1, skąd tg + 1 = 1 cos cos = cos 1 = 1 + t 1 = 1 t 1 + t. sin = 1 cos = sin = sin cos =, co daje cos = t t 1 + t, t 1 + t. Wreszcie, z równości: = arctg t mamy dt = 1 + t. Ostatecznie mamy wszystko co jest potrzebne do podstawienia: sin = t 1 t, cos = 1 + t 1 + t, = 1 + t dt. Przykł. 1 + t I = sin = dt t 1 + t dt = t = ln t = ln tg. Uwaga. Powyższe podstawienie uniwersalne działa zawsze. Prowadzi jednak często do funkcji wymiernej o dużych stopniach licznika i mianownika. Z tego względu należy je stosować tylko w ostateczności, jeśli inne podstawienia trygonometryczne nie dadzą się zastosować. Te inne podstawienia to: t = sin, t = cos t = tg. Istnieją przepisy, kiedy takie podstawienia stosować. Nie będziemy ich tu wypisywać (zainteresowany Czytelnik znajdzie je np. w książce Fichtenholza, t. II). 1.7 Całki z wyrażeń typu R(, n α+β γ+δ ) Rozpatrzmy teraz całki postaci R(, n α + β γ + δ ), 9
10 (zakładamy tu, że α+β const, bo inaczej problem byłby trywialny), gdzie R(u, v) jest γ+δ funkcją wymierną swoich argumentów. Okazuje się, że takie całki można sprowadzić do całek z funkcji wymiernych. Realizuje się to za pomocą następującego podstawienia: t = n α + β γ + δ. tzn. tn = α + β γ + δ, co znaczy, że wyraża się wymiernie przez t i w ten sposób otrzymujemy w zmiennej t całkę z funkcji wymiernej, którą liczymy znanymi nam już metodami. Konkretnie, mamy tutaj: = β δtn γt n α, = n(αδ βγ) t n 1 (γt n α) dt Przykł. I = ( 1)( + 1) = Zgodnie z powyższym przepisem, podstawiamy: i nasza całka przyjmuje postać t = , = t3 + 1 t 3 1, = 6t dt (t 3 1) I = 3dt t 3 1. Powyższe podstawienie sprowadziło więc całkę do całki wymiernej. Zachęcam Czytelnika, aby powyższą całkę policzył dalej. Wynik jest następujący: I = 1 ln t + t + 1 (t 1) + 3 arctg t C. 1.8 Całki z wyrażeń typu R(, a + b + c); podstawienia Eulera Ostatnią z omawianych teraz klas całek będą całki R(, a + b + c), (0) gdzie R(u, v) jest funkcją wymierną. Całki powyższego rodzaju także wyrażają się przez funkcje elementarne. Istnieje kilka sposobów obliczania całek (0); my omówimy tu podstawienia Eulera. Odnośnie trójmianu kwadratowego a + b + c zakładamy, iż nie jest on pełnym kwadratem, gdyż w tym przypadu moglibyśmy wyciągnąć zeń pierwiastek i mieć całkę wymierną. 1. Pierwsze podstawienie Eulera można stosować w przypadku, gdy a > 0. Podstawiamy wówczas: a + b + c = t a (1) 10
11 (lub, aby t występowało tylko po jednej stronie równości: t = a + b + c + a. Po podniesieniu do kwadratu równości (1) wyraz a skasuje się po obu stronach i zostanie b + c = t at skąd mamy = t c b + at, at + bt + c a a + b + c =, at + b at + bt + c a = (b + dt. at) Widać, że przy tym podstawieniu zarówno (oraz oczywiście, jak i a + b + c wyrażają się wymiernie przez t; w ten sposób doprowadziliśmy całkę (0) do całki z funkcji wymiernej.. Drugie podstawienie Eulera można stosować w przypadku, gdy c > 0. Wówczas bierzemy: a + b + c = t + c. () Jeśli podniesiemy obie strony równości () do kwadratu, odejmiemy po obu stronach c i podzielimy przez, to otrzymamy: i mamy: a + b = t + ct = ct b ct bt + ca, a + b + c =, a t a t ct bt + ca = dt. (a t ) Znów więc, oraz a + b + c wyrażają się wymiernie przez t; w ten sposób znowu doprowadziliśmy całkę (0) do całki z funkcji wymiernej. 3. Wreszcie, trzecie podstawienie Eulera można stosować w przypadku, gdy trójmian kwadratowy a + b + c ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste; oznaczmy je λ oraz µ. Wiemy, że w takim przypadku trójmian ten rozkłada się na czynniki liniowe: a + b + c = a( λ)( µ). (3) Wtedy podstawiamy: a + b + c = t( λ). (4) Podnosząc równość (4) do kwadratu i korzystając z (3), skracamy przez wspólny czynnik ( λ) i otrzymujemy znów równanie pierwszego stopnia na : a( µ) = t ( λ) skąd dostajemy: = λt aµ t a, = a + b + c = ta(µ λ) (t a) dt a(λ µ)t t a, 11
12 Uwaga. Może się zdarzyć, że do jakiejś całki można zastosować więcej niż jedno podstawienie Eulera! Pokażemy teraz, w dowolnej całce postaci (0) można zastosować któreś z podstawień Eulera (konkretnie, pierwsze lub trzecie). Otóż jeśli trójmian kwadratowy a + b + c ma pierwiastki rzeczywiste, to można zawsze zastosować podstawienie trzecie. Jeśli natomiast trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych, tzn. b 4ac < 0, to Przykł. I. Obliczmy całkę I I = za pomocą pierwszego podstawienia Eulera. Zgodnie z (1) mamy = t, skąd wyliczamy = t + 4 t + 4, = t + 8t 8 (t + 4) dt, i wstawiając do całki wyjściowej, mamy I I = = t = t + 4t 4 t + 4 dt t + 4. Tę całkę już łatwo policzyć, dostając (zachęcam Czytelnika, aby uzupełnił te rachunki) I I = arctg [( )] + C. Przykł. II. Obliczmy całkę I II = + 1 za pomocą drugiego podstawienia Eulera. Zgodnie z () mamy + 1 = t + 1; skąd i w zmiennej t całka przybiera postać = t t, = (t + t + 1) (t 1) dt, (t + t + 1) I II = t t dt + 1 = t + t t, a więc otrzymaliśmy jak trzeba całkę z wyrażenia wymiernego. Czytelnika zachęcam do dokończenia i sprawdzenia rachunku. Przykł. III. Przetestujmy wreszcie trzecie podstawienie Eulera na całce Zgodnie z (4) bierzemy skąd wyliczamy I III = ( 3) 4. 4 = t, = 4 t + 1, = 8 tdt (t + 1), 4 = t = 4t t + 1, i w zmiennej t całka przyjmuje postać I III = dt 3t 5 5 3t 3 = t + 1 więc znów w postaci wymiernej, tak jak powinno być. Znów wykładowca zachęca Czytelnika do dokończenia i sprawdzenia rachunków. 1
13 Całka Riemanna 13
Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości
Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej
Bardziej szczegółowoCałki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,
Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowo1 Całki funkcji wymiernych
Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowoFunkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory. Autorzy: Konrad Nosek
Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory Autorzy: Konrad Nosek 09 Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory Autor: Konrad Nosek DEFINICJA Definicja : Funkcja pierwotna Rozważmy
Bardziej szczegółowo6. Całka nieoznaczona
6. Całka nieoznaczona Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Całka nieoznaczona 1 / 35 Całka nieoznaczona - motywacja Wiemy
Bardziej szczegółowoCAŁKI NIEOZNACZONE C R}.
CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowo5. Całka nieoznaczona
5. Całka nieoznaczona Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5. Całka nieoznaczona zima 2017/2018 1 / 31 Całka nieoznaczona
Bardziej szczegółowoCałki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych
Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział
Bardziej szczegółowoRozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna
Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Teoria. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych. Definicja. Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoMatematyka A kolokwium: godz. 18:05 20:00, 24 maja 2017 r. rozwiązania. ) zachodzi równość: x (t) ( 1 + x(t) 2)
Matematyka A kolokwium: godz. 18:05 0:00, 4 maja 017 r. rozwiązania 1. 7 p. Znaleźć wszystkie takie funkcje t xt, że dla każdego t π, π zachodzi równość: x t 1 + xt 1+4t 0. p. Wśród znalezionych w poprzedniej
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II
Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 10.1.010r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = x 4x + 3 x + x + log arc sin 1 x. Rozwiązanie. Wymagane
Bardziej szczegółowoCIĄGI wiadomości podstawowe
1 CIĄGI wiadomości podstawowe Jak głosi definicja ciąg liczbowy to funkcja, której dziedziną są liczby naturalne dodatnie (w zadaniach oznacza się to najczęściej n 1) a wartościami tej funkcji są wszystkie
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowoKOMPENDIUM Z MATEMATYKI
Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego KOMPENDIUM Z MATEMATYKI Metody obliczania całek ε = mc Michał Stukow Błażej Szepietowski Publikacja współfinansowana
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji odwrotnej
Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Definicja 1 (funkcja pierwotna i całka nieoznaczona). Niech f : I R. Mówimy, że F : I R jest funkcją pierwotną funkcji f, jeśli F jest różniczkowalna
Bardziej szczegółowo1 Caªki nieoznaczone: caªkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do ró»niczkowania
1 Caªki nieoznaczone: caªkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do ró»niczkowania 1.1 Podstawowe denicje Def. Funkcj F nazywamy funkcj pierwotn funkcji f, okre±lonej w przedziale otwartym P (sko«czonym
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II
Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład
Bardziej szczegółowo1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. =1+cos a) = =2cos( sin) = = sin2 = ln += =sin2 = ln 1+cos +. b) sin(+3)= =+3 = 3 =( 3) = sin= =( 6+9) sin= sin 6 sin+9sin. Obliczamy teraz pierwszą całkę: sin= ()=
Bardziej szczegółowoPierścień wielomianów jednej zmiennej
Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów
Bardziej szczegółowo1 Funkcje elementarne
1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N
Bardziej szczegółowoMatematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12
Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12 Egzamin Termin: 28.01, godz. 10.15-11.45, sala 309 3 pytania teoretyczne 2 zadania wybór pytań i wybór zadań
Bardziej szczegółowoWielomiany podstawowe wiadomości
Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur
Bardziej szczegółowo0.1 Pierścienie wielomianów
0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn
Bardziej szczegółowo1. Pochodna funkcji. 1.1 Pierwsza pochodna - definicja i własności Definicja pochodnej
. Pierwsza pochodna - definicja i własności.. Definicja pochodnej Definicja Niech f : a, b) R oraz niech 0 a, b). Mówimy, że funkcja f ma pochodna w punkcie 0, którą oznaczamy f 0 ), jeśli istnieje granica
Bardziej szczegółowoRozważmy przedział I zawarty w zbiorze liczb rzeczywistych ( I R ). Funkcję rzeczywistą mającą pochodną w każdym
Całka nieoznaczona E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Konrad Nosek 05 Spis treści Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory Całkowanie przez podstawianie całek nieoznaczonych
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne
Bardziej szczegółowo3.Funkcje elementarne - przypomnienie
3.Funkcje elementarne - przypomnienie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 1 / 51 1 Funkcje
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE. Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wiele obiektywnych prawidłowości przyrodniczych udaje się zapisać w postaci równości formalnej F (x, y(x), y (1) (x), y () (x),..., y (n) (x)) = 0, gdzie y (k) (x) to k ta
Bardziej szczegółowoV. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE
V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze:
dr Krzysztof yjewski Informatyka; S-I 0.in». 7 grudnia 06 Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej. Caªka nieoznaczona. przydatne wzory: Informacje pomocnicze: Lp. Wzór Uwagi. dx = x c. adx = ax c 3. x
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoPochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:
Podstawowe definicje Iloraz różnicowy funkcji Def. Niech funkcja będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt. Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu nazywamy funkcję Pochodna
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera
Kongruencje wykład 6 ... Euler, 1760, Sankt Petersburg Dla każdego a m zachodzi kongruencja a φ(m) 1 (mod m). Przypomnijmy: φ(m) to liczba reszt modulo m względnie pierwszych z m; φ(m) = m(1 1/p 1 )...
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 6 Transformata Laplace a Funkcje specjalne Przekształcenia całkowe W wielu zastosowaniach dużą rolę odgrywają tzw. przekształcenia całkowe
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony
Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem
Bardziej szczegółowoLista 6. Kamil Matuszewski 13 kwietnia D n =
Lista 6 Kamil Matuszewski 3 kwietnia 6 3 4 5 6 7 8 9 Zadanie Mamy Pokaż, że det(d n ) = n.... D n =.... Dowód. Okej. Dla n =, n = trywialne. Załóżmy, że dla n jest ok, sprawdzę dla n. Aby to zrobić skorzystam
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowoIII. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
III. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 1. Pojęcia wstępne Przykład 1.1. (Rozpad substancji promieniotwórczej ) Z doświadczeń wiadomo, że prędkość rozpa pierwiastka promieniotwórczego jest ujemna i proporcjonalna
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy - całka oznaczona
SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej
Bardziej szczegółowoZagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres
Bardziej szczegółowoCałka nieoznaczona Andrzej Musielak Str 1. Całka nieoznaczona
Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Sr Całka nieoznaczona Całkowanie o operacja odwrona do liczenia pochodnych, zn.: f()d = F () F () = f() Z definicji oraz z abeli pochodnych funkcji elemenarnych od razu
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoKryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych
Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych 24 marca 2011 Niech F będzie ciałem doskonałym (tzn. każde rozszerzenie algebraiczne ciała F jest rozdzielcze lub równoważnie, monomorfizm Frobeniusa jest
Bardziej szczegółowoWielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria
Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych
Bardziej szczegółowoRównania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0
Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto
Bardziej szczegółowoWykład 10: Całka nieoznaczona
Wykład 10: Całka nieoznaczona dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2016/2017 Motywacja Problem 1 Kropla wody o średnicy 0,07 mm
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ
ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z
Bardziej szczegółowoRozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony
Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY
Bardziej szczegółowo2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoDane są wielomiany, i. Znajdź wielomian. Iloczyn dwóch wielomianów jest wielomianem, suma dwóch wielomianów jest wielomianem.
Zadanie 1 Dane są wielomiany, i Znajdź wielomian To łatwe Iloczyn dwóch wielomianów jest wielomianem, suma dwóch wielomianów jest wielomianem Zadanie 2 Podziel (z resztą) wielomian przez wielomian Przykro
Bardziej szczegółowoLiteratura podstawowa
1 Wstęp Literatura podstawowa 1. Grażyna Kwiecińska: Matematyka : kurs akademicki dla studentów nauk stosowanych. Cz. 1, Wybrane zagadnienia algebry liniowej, Wydaw. Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk, 2003.
Bardziej szczegółowoCAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016
WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowoPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom podstawowy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1
Nr zadania Nr czynności. Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR Etapy rozwiązania zadania POZIOM PODSTAWOWY Obliczenie wyróżnika oraz pierwiastków trójmianu
Bardziej szczegółowo26. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE DRUGIEGO RZĘDU
6. RÓWNANIA RÓŻNIZKOWE ZWYZAJNE DRUGIEGO RZĘDU 6.. Własności ogólne Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzęd drgiego nazywamy równanie, w którym niewiadomą jest fnkcja y jednej zmiennej i w którym występją
Bardziej szczegółowoCałki z funkcji trygonometrycznych. Autorzy: Tomasz Drwięga
Całki z funkcji trygonometrycznych Autorzy: Tomasz Drwięga 08 Całki z funkcji trygonometrycznych Autor: Tomasz Drwięga TWIERDZENIE Twierdzenie : o całkowaniu funkcji postaci R(sin x, cos x) Do obliczania
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM PODSTAWOWY
Nr zadania Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr Etapy rozwiązania zadania czynności Obliczenie wyróżnika oraz pierwiastków trójmianu
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowona egzaminach z matematyki
Błędy studentów na egzaminach z matematyki W opracowaniu omówiłem typowe błędy popełniane przez studentów na kolokwiach i egzaminach z algebry oraz analizy. Ponadto podaję błędy rzadziej spotykane, które
Bardziej szczegółowoWeźmy wyrażenie. Pochodna tej funkcji wyniesie:. Teraz spróbujmy wrócić.
Po co nam całki? Autor Dariusz Kulma Całka, co to takiego? Nie jest łatwo w kilku słowach zdefiniować całkę. Najprościej można powiedzieć, że jest to pojęcie odwrotne do liczenia pochodnych, Mówimy czasami
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie Zaoczne, Sieradz WDAM
Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 1.1.010r. Zarządzanie Licencjackie Zaoczne, Sieradz WDAM Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = arc cos ( x + 1 x ) + Rozwiązanie. Wymagane są następujące
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoInterpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna
Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1
Bardziej szczegółowodr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE
dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoPrzykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:
Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna - 1. Granice
Analiza matematyczna - Granice Celem tej części wykładu jest uściślenie, co rozumiemy przez stwierdzenie, że jakaś zmienna ekonomiczna zachowuje się w pewien sposób w przybliżeniu bądź w granicy Przykład
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D R, D R określona jest w pewnym otoczeniu punktu 0 D i istnieje skończona granica ilorazu różniczkowego: f f( ( 0 )
Bardziej szczegółowo