Miej Grzesik Instytut Mtemtyki Politehniki Poznńskiej Cłki podwójne i potrójne 1. efinij łki podwójnej po prostokąie efinij 1. Podziłem prostokąt = {(x, y) : x b, y d} (inzej: = [, b] [, d]) nzywmy zbiór P złożony z prostokątów 1, 2,..., n które łkowiie go wypełniją i mją prmi rozłązne wnętrz. Nieh x k, y k będą długośimi boków prostokąt k, d k = (x k ) 2 + (y k ) 2 jego przekątną. Średnią podziłu P nzywmy lizbę: δ(p) = mx{d k : 1 k n}. Nieh (ξ k, η k ) będzie dowolnie wybrnym punktem prostokąt k. efinij 2. (sum łkow funkji po prostokąie) Nieh funkj f(x, y) będzie ogrnizon n prostokąie orz nieh P będzie podziłem tego prostokąt. Sumą łkową funkji f nzywmy lizbę n f(ξ k, η k )x k y k. k=1 Pojedynze skłdniki powyższej sumy są objętośimi prostopdłośinów, któryh podstwmi są prostokąty k, wysokośimi f(ξ k, η k ). ozptrują iąg podziłów (P n ) i przehodzą do grniy dohodzimy do pojęi łki: efinij 3. (łk podwójn funkji po prostokąie) Nieh funkj f(x, y) będzie ogrnizon n prostokąie. Cłkę podwójną funkji f po prostokąie określmy wzorem o ile t grni jest włśiw. f(x, y) dx dy = lim δ(p) k=1 n f(ξ k, η k )x k y k, Jeżeli łk istnieje, to mówimy, że funkj jest łkowln. Kżd funkj iągł jest łkowln. Interpretj geometryzn. Skłdnik f(ξ k, η k )x k y k sumy łkowej możn interpretowć jko objętość prostopdłośinu, którego podstw jest prostokątem o wymirh x k, y k wysokośią jest f(ξ k, η k ). Sum łkow jest ztem przybliżeniem objętośi bryły ogrnizonej prostokątem, powierzhnią z = f(x, y) i śinmi boznymi równoległymi do osi Oz. Cłk, jko grni tyh sum, jest (dokłdną) objętośią tej bryły. Twierdzenie 1. (włsnośi łki) 1. f(x, y) = f(x, y) dx dy = ; 2. (f(x, y) + g(x, y)) dx dy = f(x, y) dx dy + g(x, y) dx dy; 3. jeżeli = 1 2 i 1 2 =, to f(x, y) dx dy = f(x, y) dx dy+ f(x, y) dx dy; 1 1 2
4. f(x, y) dx dy = f(x, y) dx dy. Twierdzenie 2. (obliznie łki podwójnej) Jeżeli = {(x, y) : x b, y d} jest prostokątem, to f(x, y) dx dy = b d f(x, y) dy dx = Cłki występująe w twierdzeniu nzywmy łkmi iterownymi. Poniewż zpis jest nieo kłopotliwy, będziemy dlej pisli króej: d b f(x, y) dx dy. b dx d f(x, y) dy, d b dy f(x, y) dx. Przykłdy. Oblizyć łki 2 3 1. dx (x + xy 2 ) dy; 1 3 2 2. dy (x + xy 2 ) dx; 1 3. sin(x + y) dx dy, = [ π 4, π 4 ] [, π 4 ]; 4. xy dx dy, = [, 1] [, 1]. x 2 +y 2 +1 2. Cłk podwójn po obszrze normlnym efinij 4. Obszrem normlnym względem osi Ox nzywmy obszr określony nierównośimi x b, g(x) y h(x), dl pewnyh stłyh, b i funkji g(x), h(x). Anlogiznie, obszrem normlnym względem osi Oy nzywmy obszr określony nierównośimi y d, k(y) x l(y), dl pewnyh stłyh, d i funkji k(y), l(y). efinij 5. Jeżeli f(x, y) jest funkją określoną w obszrze normlnym względem osi Ox, to łkę podwójną po obszrze określmy nstępująo: b f(x, y) dx dy = dx h(x) g(x) f(x, y) dy. Anlogiznie, gdy jest obszrem normlnym względem osi Oy, to: d f(x, y) dx dy = dy l(y) k(y) f(x, y) dx. Przykłdy. Oblizyć łki 1. xy 2 dx dy, ogrnizony krzywymi y = x, y = 2 x 2 ; 2. x 2 y dx dy, ogrnizony krzywymi y = 2, y = 1 x, y = x. 2
3. Zmin zmiennyh w łe podwójnej efinij 6. Nieh i będą obszrmi n płszzyznh Ouv i Oxy odpowiednio. Przeksztłeniem obszru w obszr nzywmy funkję T :, T (u, v) = (x, y), gdzie x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v). Przykłdy. Nrysowć obrzy T (), gdy 1. T (u, v) = (u + v, u v), = {(u, v) : u 1, 2 v 4}; Obszr jest prostokątem. Jego obrz łtwo rozpoznć wyznzją obrzy wierzhołków. Np. T (, 2) = (2, 2) itd. Zobzymy, że T () to równoległobok. 2. T (u, v) = (u os v, u sin v), = {(u, v) : u 2, v π 2 }. Obszr jest tkże prostokątem. Jednk funkje występująe w definiji T nie są liniowe, i sytuj się komplikuje. Zobzmy, jkie są obrzy boków prostokt. Bok u =, 2 v 4 przehodzi w punkt (!) (, ). Bok u = 2, 2 v 4 przehodzi w łuk okręgu (2 os v, 2 sin v). Bok u 2, v = przehodzi w odinek ( u 2, ). Bok u 2, v = π/2 przehodzi w odinek (, u 2). Tym rzem T () to ćwirtk koł. efinij 7. Jkobinem przeksztłeni T (u, v) = (ϕ(u, v), ψ(u, v)) nzywmy funkję: J(u, v) = (u, v) (u, v) (u, v) (u, v) Inne oznzeni jkobinu: (ϕ, ψ) (u, v) lub (ϕ, ψ) (u, v) l przeksztłeni z przykłdu 1: J(u, v) = 1 1 1 1 = 2 dl przeksztłeni z przykłdu 2: J(u, v) = os v sin v u sin v u os v = u Twierdzenie 3. Jeżeli 1. T :, T (u, v) = (ϕ(u, v), ψ(u, v)) przeksztł wzjemnie jednoznznie wnętrze obszru n wnętrze obszru ; 2. funkje ϕ, ψ mją iągłe pohodne ząstkowe; 3. funkj f(x, y) jest iągł n ; 4. jkobin J(u, v) jest różny od wewnątrz obszru, to f(x, y) dx dy = f(ϕ(u, v), ψ(u, v)) J(u, v) du dv. Njzęśiej stosujemy zminę n współrzędne biegunowe, zyli: x = ρ os ϕ, y = ρ sin ϕ. Wtedy (sprwdzić!): wię J(ρ, ϕ) = ρ, f(x, y) dx dy = f(ρ os ϕ, ρ sin ϕ)ρ dρ dϕ. 3
Przykłdy. Oblizyć łki zmieniją współrzędne n biegunowe: 1. ln(1 + x 2 + y 2 ) dx dy, gdy jest określony wrunkmi x 2 + y 2 1, x, y. ozwiąznie: We współrzędnyh n biegunowyh obszr określją nierównośi ϕ π/2, ρ 1, wię ln(1 + x 2 + y 2 ) dx dy = ln(1 + ρ 2 )ρ dρ dϕ = 2. 2 x 2 y 2 dx dy, gdy jest określony wrunkiem x 2 + y 2 2. π/2 dϕ 1 ln(1 + ρ 2 )ρ dρ = π (2 ln 2 1). 4 Odp.: 2 3 π3 (objętość półkuli). 3. 2 x 2 y 2 dx dy, gdy jest określony wrunkmi x 2 + y 2 x, y. ( Odp.: 3 π 3 2 ) 2 3. 4. Zstosowni łki podwójnej Pole obszru oblizmy ze wzoru: P = dx dy = ρ dρ dϕ, gdzie jest obszrem opisnym we współrzędnyh biegunowyh. Przykłdy. Oblizyć pol: 1. jest obszrem między krzywymi y = x 2 8x + 2, y = x + 2; 2. jest obszrem ogrnizonym lemnisktą (x 2 +y 2 ) 2 = 2 2 (x 2 y 2 ) (zmienić współrzędne n biegunowe); ównnie biegunowe lemniskty to ρ = 2 os 2ϕ, wię P = 4 π/4 dϕ 2 os 2ϕ ρ dρ = 4 π/4 2 os 2ϕ dϕ = 3. jest obszrem ogrnizonym krzywymi x 2 + (y 2) 2 = 4, y = x, (y x) (zmienić współrzędne n biegunowe). Odp.: π 2. Objętość bryły ogrnizonej obszrem Oxy, powierzhnią z = f(x, y) i prostymi równoległymi do osi Oz oblizmy ze wzoru: P = f(x, y) dx dy. Przykłdy. Oblizyć objętośi brył: 1. ogrnizonej płszzyznmi z = 5 2x y, x =, y =, z =. (odp.: 125/12) 2. ogrnizonej powierzhnimi z = 4 x 2 y 2, z =. (odp.: 8π) 3. wyznzonej przez powierzhnie x 2 + z 2 = 1, x + y = 1, z =, y =, przy zym y, z ; Uwg: w rhunkh skorzystć ze wzoru 2 x 2 dx = 2 2 r sin x + x 2 x 2 + C. 4. wyiętej wlem x 2 + y 2 = x z kuli x 2 + y 2 + z 2 = 2 ; Odp.: 4 3 3( π 2 2 3). 4
5. ogrnizonej stożkiem x 2 + y 2 = z 2 i prboloidą x 2 + y 2 = 6 z, (z ). V = (6 x 2 y 2 2π 2 x 2 + y 2 dx dy = dϕ ρ(6 ρ 2 ρ) dρ = 32 3 π. Przy pomoy łki podwójnej możn oblizć również pole płt powierzhni. Jeżeli z = f(x, y) jest powierzhnią w przestrzeni, to pole jej płt leżąego nd obszrem Oxy wyrż się wzorem S = 1 + (f x) 2 + (f y) 2 dx dy. Przykłdy. Oblizyć pole powierzhni: 1. wyiętej wlem x 2 + y 2 = x ze sfery x 2 + y 2 + z 2 = 2 Odp.: S = 2 2 (π 2); 2. wyiętej wlem x 2 + y 2 = 2 ze stożk y 2 + z 2 = x 2. Odp.: 2π 2. 5. efinij łki potrójnej Obszrem normlnym w przestrzeni nzywmy obszr ogrnizony od dołu powierzhnią z = p(x, y), od góry powierzhnią z = q(x, y), po bokh powierzhnią wlową o tworząyh równoległyh do osi Oz. zutem tego obszru n płszzyznę Oxy jest obszr płski. Wtedy łkę potrójną po określmy wzorem Jeśli obszr jest normlny np. f(x, y, z) dx dy dz = q(x,y) p(x,y) f(x, y, z) dz. x b, g(x) y h(x), to f(x, y, z) dx dy dz = b dx h(x) g(x) dy q(x,y) p(x,y) f(x, y, z) dz. Przykłdy. Oblizyć łki potrójne 1. (x + y + z) dx dy dz, ogrnizony płszzyznmi x =, y =, z =, x =, y = b, z = ; 2. z dx dy dz, ogrnizony płszzyznmi x =, y =, z =, x + y + z = 1. efinij 8. Nieh i będą obszrmi w przestrzenih Ouvw i Oxyz odpowiednio. Przeksztłeniem obszru w obszr nzywmy funkję T :, T = (x, y, z), gdzie x = ϕ, y = ψ, z = χ. efinij 9. Jkobinem przeksztłeni T = (ϕ, ψ, χ) nzywmy funkję: w J = w χ χ χ 5 w
Twierdzenie 4. Jeżeli 1. T :, T = (ϕ, ψχ) przeksztł wzjemnie jednoznznie wnętrze obszru n wnętrze obszru ; 2. funkje ϕ, ψ, χ mją iągłe pohodne ząstkowe; 3. funkj f(x, y, z) jest iągł n ; 4. jkobin J jest różny od wewnątrz obszru, to f(x, y, z) dx dy dz = f(ϕ, ψ, χ) J du dv dw. Często stosujemy zminę n współrzędne wlowe: punktowi P przyporządkowujemy lizby ρ, ϕ, h, gdzie ρ, ϕ są współrzędnymi biegunowymi rzutu punktu P n płszzyznę Oxy, h jest odległośią punktu P od płszzyzny Oxy. Mmy ztem związki: x = ρ os ϕ, y = ρ sin ϕ, z = h, ównież zęsto stosujemy zminę n współrzędne sferyzne: punktowi P przyporządkowujemy lizby r, ϕ, θ, gdzie r jest promieniem wodząym punku P, tj. jego odległośią od pozątku ukłdu, ϕ jest tkie smo jk we współrzędnyh biegunowyh, θ jest kątem jki wektor OP tworzy z dodtnią półosią Oz (kąt θ spełni wrunek π 2 θ π 2 ). Ztem: x = r os ϕ sin θ, y = r sin ϕ sin θ, z = r os θ. Wtedy dl współrzędnyh wlowyh mmy: os ϕ ρ sin ϕ J(ρ, ϕ, h) = sin ϕ ρ os ϕ 1 = ρ, wię f(x, y, z) dx dy dz = f(ρ os ϕ, ρ sin ϕ, h)ρ dρ dϕ dh. Ntomist dl współrzędnyh sferyznyh jkobin wynosi: os ϕ sin θ r sin ϕ sin θ r os ϕ os θ J(r, ϕ, θ) = sin ϕ sin θ r os ϕ sin θ r sin ϕ os θ os θ r sin θ = r2 sin θ, wię f(x, y, z) dx dy dz = f(r os ϕ sin θ, r sin ϕ sin θ, r os θ)r 2 sin θ dr dϕ dθ. Przykłdy. 1. Oblizyć łkę zmieniją współrzędne n wlowe: z x 2 + y 2 dx dy dz. jest określony wrunkmi x 4, y 4x x 2, z 2. Odp. 256 9. 2. Oblizyć łkę zmieniją współrzędne n sferyzne: (x 2 + y 2 ) dx dy dz. jest określony wrunkmi 1 x 2 + y 2 + z 2 4, z. Odp. 124 15 π. 6