ROZWIĄZYWANIE MAŁYCH TRÓJKĄTÓW SFERYCZNYCH

Transkrypt

1 Mteriły dydktyzne Geodezj geometryzn Mrin Ligs, Ktedr Geomtyki, Wydził Geodezji Górnizej i Inżynierii Środowisk OZWIĄZYWANIE MAŁYCH TÓJKĄTÓW SFEYCZNYCH rezentowne metody rozwiązywni młyh trójkątów sferyznyh (długość oku rzędu 0-50km) mją oenie rzej wlory historyzno dydktyzne. Czs jkiś temu, zupełnie niedwno ;), kiedy nie yło komputerów n kżdym iurku nleżło szukć metod uproszzonyh rozwiązywni prolemów geodezyjnyh, tk y ogrnizyć użyie zsohłonnyh operji rhunkowyh zrzem zpewnić odpowiednią dokłdność metody. Ztem zmist rozwiązywć trójkąty sferyzne metodmi śisłymi uproszzono je w tki sposó y rozwiązywć to zdnie z pomoą trygonometrii płskiej. METODA LEGENDE A: Twierdzenie Legendre Mły trójkąt sferyzny (długość oków 0 50 km) może yć rozwiązny jko trójkąt płski o okh tkiej smej długośi jk oki trójkąt sferyznego i o kąth równyh kątom trójkąt sferyznego zmniejszonym o jedną trzeią ndmiru sferyznego. (ozywiśie jest to pewnego rodzju uproszzenie) A S A B S B () C S C rwdziwość twierdzeni możn wykzć wyhodzą z wzoru osinusów dl oków trójkąt sferyznego: os s os os sin sin os A os A s os os os () sin sin ozwijją w szereg wielkośi w lizniku i minowniku po prwej stronie powyższego równni otrzymmy: os A s () Dl przypomnieni: 5 sin...!! 5! n0 n n! n

2 Mteriły dydktyzne Geodezj geometryzn Mrin Ligs, Ktedr Geomtyki, Wydził Geodezji Górnizej i Inżynierii Środowisk os!!... n0 n n! n Wykonują odpowiednie dziłni dostjemy: os A s () Ze wzoru Heron mmy ntomist: pp p p gdzie p (5) 6 (6) Wykorzystują terz twierdzenie osinusów trygonomerii płskiej (tw. Crnot) mmy: os A (8) os A (7) odstwiją powyższe równnie do () otrzymujemy: os A os A S S 6 os A (9) 6 os A (0) Korzystją z wzoru n różnię osinusów mmy: S S S S A A A A A A S os A os A sin sin sin A A A sin A () owyższy wzór powstł przy uzsdnionym złożeniu, iż kąty młego trójkąt sferyznego niewiele różnią się od odpowiednih kątów trójkąt płskiego, ztem wykorzystno: S S A A A A A sin sin rzyrównują prwą stronę równni (0) do prwej strony równni () dostjemy: S 6 A A sin A () S 6 A A () S 6 A A () 8 o ostteznie dje nm związek zwrty w Twierdzeniu Legendre.

3 Mteriły dydktyzne Geodezj geometryzn Mrin Ligs, Ktedr Geomtyki, Wydził Geodezji Górnizej i Inżynierii Środowisk S A A (5) Anlogizne rozumownie możn przeprowdzić dl pozostłyh kątów trójkąt sferyznego. Sprowdzją w ten sposó kąty trójkąt sferyznego od odpowidjąyh im kątów trójkąt płskiego i mją dny jeden ok trójkąt możemy olizyć pozostłe oki (stosują trygonometrię płską), które rozwiązują trójkąt sferyzny. METODA ADDITAMENTÓW (SOLDNEA) Metodę dditmentów wyprowdz się wyhodzą z twierdzeni sinusów dl trójkąt sferyznego, zyli np: sin B sin sin (6) sin C sin sin (7) ozwijją w szereg sinusy oków i zostwiją pierwsze dw wyrzy otrzymmy: sin B (8) Mnożą przez mmy: sin B (9) Anlogiznie dl oku : sin C (0) Jeżeli terz przyjmiemy oznzeni: ' () ' () ozywiśie, powyższe jest również prwdziwe dl oku ' () Wyrżeni:,, nzywmy dditmentmi liniowymi (lgeriznymi). owyższe formuły przyjmują postć twierdzeni sinusów trygonometrii płskiej: sin B ' ' ()

4 Mteriły dydktyzne Geodezj geometryzn Mrin Ligs, Ktedr Geomtyki, Wydził Geodezji Górnizej i Inżynierii Środowisk sin C ' ' (5) o olizeniu wielkośi primowyh dodjemy dditmenty i otrzymujemy rozwiąznie młego trójkąt sferyznego. rzykłd olizeniowy (n podstwie Geodezj wyższ i stronomi geodezyjn zdni i przykłdy, pr ziorow, WN, 988) ozwiązć trójkąt sferyzny metodą Legendre orz dditmentów. pomierzone kąty: A = 66 o 05,6 B = 59 o 0 5,07 C = 5 o,85 omierzony ok: = 9,8 m promień Ziemi przyjąć 670 km N podstwie olizonyh oków trójkąt sferyznego polizyć ndmir (ekses) sferyzny korzystją z wzorów L Huilier orz Cgnoli sin sin wzór Cgnoli: sin os wzór L Huilier: tg sin C s s s s tg tg tg tg, s OCEDUA OBLICZEŃ DLA METODY LEGENDE A omierzone kąty A, B, C A +B +C = 80 o + ekses + odhyłk kątow A +B +C = 80 o + + Wyznzyć ekses sferyzny ole sin B' sin C' np: ' ' ' N podstwie znnego już ndmiru sferyznego olizyć odhyłkę kątową : A +B +C - 80 o - = Wyrównć kąty odejmują od kżdego pomierzonego / A = A - / B = B - / C = C - / rzejść n kąty plskie odejmują od kżdego kąt wyrównnego / Ap = A - / Bp = B - / Cp = C - /

5 Mteriły dydktyzne Geodezj geometryzn Mrin Ligs, Ktedr Geomtyki, Wydził Geodezji Górnizej i Inżynierii Środowisk Z płskiego twierdzeni sinusów polizyć pozostłe oki ozwiąznie zdni metodą Legendre (olizeni prowdzone w mierze łukowej): pomierzone kąty: A = 66 o 05,6 = rd B = 59 o 0 5,07 = rd C = 5 o,85 = rd omierzony ok: = 9.8 m = 9.8 km promień Ziemi przyjąć 670 km A + B + C =.6007 (sum kątów) = (ndmir sferyzny) = (odhyłk) A = B = (kąty wyrównne) C = A p = B p = (kąty płskie) C p = Olizenie pozostłyh oków sin B 8.06 km sin C 7.97 km Wyrównne kąty A, B, C orz olizone oki, rozwiązują zdnie OCEDUA OBLICZEŃ DLA METODY ADDITAMENTÓW Korzystmy z kątów wyrównnyh zyli od pomierzonyh odejmujemy / Korzystją z wzoru n twierdzenie sinusów olizmy (w zleżnośi który z oków jest dny): sin B ' ' ( ) ( sin B ) ( ) ' sin C ' ' ( ) ( sin C ) ( ) ' Olizmy dditmenty dl poszzególnyh oków: ' ' ',, Olizmy osttezne wrtośi oków dodją dditmenty: ', '

6 Mteriły dydktyzne Geodezj geometryzn Mrin Ligs, Ktedr Geomtyki, Wydził Geodezji Górnizej i Inżynierii Środowisk ozwiąznie zdni metodą dditmentów (Soldner) (olizeni prowdzone w mierze łukowej): pomierzone kąty: A = 66 o 05,6 = rd B = 59 o 0 5,07 = rd C = 5 o,85 = rd omierzony ok: = 9.8 m = 9.8 km promień Ziemi przyjąć 670 km A + B + C =.6007 (sum kątów) = (ndmir sferyzny) = (odhyłk) A = B = (kąty wyrównne) C = km ' 9.5 km sin B ' ' ' 8.0km km ' km 6 sin C ' ' ' 7.97 km km ' km 6