Aaliza Matematycza I dla Fizyki a WPPT Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT, PWr, 07/8 Zadaia ozaczoe * są ieco trudiejsze od zadań bez gwiazdki. Zadaia ozaczoe ** są jeszcze trudiejsze. Wstęp. Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)),. = (p p)), 3. = ((p q) r) (p (q r)) (łączość spójików ) 4. = ((p (q r)) ((p q) (p r)), 5. = ((p (q r)) ((p q) (p r)), 6. = (p q) ( p q) (prawo elimiacji implikacji), 7. = ( (p q)) (p q). Podaj iterpretację dwóch pierwszych tautologii. Uwaga: = φ ozacza, że φ jest tautologią. Zadaie Pokaż, że jeśli Ja umie fizykę i Ja ie umie fizyki, to Ja umie biologię.. Sformułuj odpowiedią tautologię.. Podaj ie przykłady zastosowaia tej tautologii. Zadaie 3 Niech φ ψ ozacza, że = (φ ψ). Pokaż, że dla dowolych zdań φ, ψ, η mamy. φ φ (zwrotość). Jeśli φ ψ to ψ φ (symetria) 3. Jeśli φ ψ oraz ψ η to φ η (przechodiość). Zadaie 4 Pokaż, że spójiki,, możesz zdefiiować za pomocą spójików oraz. Pokaż rówież, że spójiki,, możesz zdefiiować za pomocą spójików oraz. Zadaie 5 Zapisz, stosując otację matematyczą, astępujące zdaia i formuły:. p jest liczbą pierwszą,. istieje ajmiejsza liczba aturala, 3. ie istieje ajwiększa liczba aturala, 4. ie istieje ajmiejsza liczba rzeczywista dodatia. Zastosuj zae prawa logiki do uproszczeia tych wyrażeń. Zadaie 6 Podaj iterpretację astępujących zdań. ( (0, ))( N)( < ),. ( R)( 0), 3. (, y R)( < y = y > y),
4. ( a N)(,, 3, 4 N)(a = + + 3 + 4), 5. ( R)( y R)(y ). Zadaie 7 Niech R(, y) ozacza, że " jest rodzicem y". Niech K() ozacza, że " jest kobietą". Zdefiiuj, korzystając z otacji matematyczej oraz predykatów R i K, astępujące predykaty:." jest dziadkiem y",." jest siostrą y", 3." jest bratem y", 4." jest ciotką y".. Zbiory Zadaie 8 Niech A = [0, ] oraz B = [, 3). Wyzacz zbiory A B, A B, A \ B oraz B \ A. Zadaie 9 Niech A = {(, y) R : + y } oraz B = {(, y) R : <, y < 3 }. Wyzacz zbiory A B, A B, A \ B oraz B \ A. Zadaie 0 Odcikiem azywamy dowoly podzbiór A R taki, że Spróbuj opisać rodzię wszystkich odcików. ( a, b, c) (((a < b < c) (a A) (c A)) b A). Zadaie Niech A, B Ω oraz iech X c ozacza dopełieie zbioru X Ω do przestrzei Ω. Udowodij prawa de Morgaa dla zbiorów A i B, czyli pokaż, że. (A B) c = A c B c. (A B) c = A c B c Pokaż rówież, że 3. (A c ) c = A Zadaie Wymień wszystkie pozae do tej pory wariaty praw de Morgaa. Zadaie 3 Niech A i B będą zbiorami. Pokaż, że astępujące zdaia są rówoważe:. A B. A B = B 3. A B = B. * Zadaie 4 Mamy ustaloe dwa zbiory A, B Ω. Ile zbiorów możesz zdefiiować z tych zbiorów za pomocą operacji,,\ oraz c (dopelieie do zbioru Ω). Uogólij to zadaie a trzy biory. ** Zadaie 5 (Parado Russela) Pokaż, że ie istieje zbiór wszystkich zbiorów. Wskazówka: Załóż, że Ω jest zbiorem wszystkich zbiorów. Rozważ zbiór X = { Ω : / }. Zbadaj zdaie X X. Uwaga: Spostrzeżeie Russela było impulsem do sformułowaia Aksjomatyczej Teorii Mogości. Obecie ajbardziej popularą aksjomatyką jest Teoria Mogości Zermelo-Fraekel a..3 Podstawowe zbiory liczbowe Zadaie 6 Uprość astępujące wyrażeia:. + 3 + 5, + 3. ( 4 ), (4 ) + 5, + 5 Zadaie 7 Niech a, b, c > 0 i a. Udowodij astępujące własości fukcji logarytmiczych:. log a (b c) = log a (b) + log a (c). log a (b k ) = k log a (b) dla dowolego k R
3. log a () = log b () log b (a) dla b. Zadaie 8 Uprość astępujące wyrażeia:. log 0 (0 5 4 ), 4 log (5), log 3 (7 3). log 4 +3 log 8 3, 9 log 3 5 Zadaie 9 Przypomij sobie dowód tego, że / Q. Pokaż, że jeśli p jest liczbą pierwszą, to p jest liczbą iewymierą. * Zadaie 0 Pokaż, że jeśli N jest taką liczbą aturalą, że Q to istieje liczba aturala k taka, że = k. Zadaie Pokaż, że jeśli q Q, to + q / Q. Dla jakich liczb wymierych q Q mamy q Q? Zadaie Niech a = 3.459653589793385.... Dla N defiiujemy liczby a = a 0 0. Wyzacz pierwsze 0 wyrazów tego ciągu, tz. oblicz liczby a 0, a,..., a 9. Uwaga: ozacza część całkowitą liczby.. Zadaie 3 Pokaż, że dla dowolych liczb rzeczywistych oraz y mamy. ( + y)( y) = y. ( + y) = + y + y 3. ( + y) 3 = 3 + 3 y + 3y + y 3 4. Z jakich własości liczb rzeczywistych korzystałaś/korzystałeś podczas dowodzeia tych wzorów? Zadaie 4 Dla jakich par liczb rzeczywistych i y zachodzi rówość ( + y) = + y? Zadaie 5 Pokaż metodą idukcji matematyczej, że. + +... + = ( + ). Uwaga: Musisz rówież zać proste wyprowadzeie tego wzoru... + +... + = 6( + )( + ) ( ) 3. 3 + 3 +... + 3 = (+) 4. ( N)( < ) 5. ( 4)( < ) 6. ( 4)( <!) 7. ( )(6 ( 3 ) Zadaie 6 Pokaż, korzystając z poprzediego zadaia, że + 3 + 5 +... + ( + ) = ( + ). Podaj iterpretację geometryczą teo faktu. Zadaie 7 Załóżmy, że 0 < < <... jest ieskończoym ciągiem liczb aturalych. Pokaż, że ( k N)(k k ). Zadaie 8 Wyzacz samodzielie sześć pierwszych wierszy trójkąta Pascala. Wypisz wzory a ( + y) dla = 0,,,..., 5. ( k ). Jak moża tę obserwację wykorzystać do wyza- Zadaie 9 Pokaż, że jeśli 0 < k, to ( k czaia wartości ( k)? ) = k * Zadaie 30 Symbolem X ozaczamy liczbę elemetów skończoego zbioru X. Niech X będzie - elemetowym zbiorem. Dla k określamy [X] k = {Y X : Y = k}. 3
. Pokaż, że [X] k = ( k).. Korzystając z poprzediego wyiku podaj kombiatorycze wyprowadzeie tożsamości Pascala ( ( k+ ) = ( + k+). 3. Symbolem P (X) ozaczamy zbiór wszystkich podzbiorów zbioru X. Pokaż, że jeśli X = to P (X) =. Zadaie 3 Korzystając ze wzoru dwumiaowego Newtoa pokaż, że.. k=0 k=0 (a + b) = k=0 ( ) a k b k k ( ) k = i podaj iterpretację kombiatorycza tego faktu ( ) k ( ) k = 0. Zadaie 3 Narysuj wykres wartości ( ) 0 k dla k = 0,..., 0. Która z tych liczb jest ajwiększa? Uogólij to spostrzeżeie dla ciągu liczb ( ( k) )k=,..., dla dowolego. Wskazówka: Możesz, p., skorzystać z fukcji KOMBINACJE programu Ecel. Zadaie 33 Pokaż, że ( ) a+b k ( k = a b l=0 l)( k=l)..4 Liczby rzeczywiste k) + Zadaie 34 Za pomocą wyszukiwarki Google arysuj wykresy różych fukcji kwadratowych (p. wprowadź w pasku zapytań wyrażeie 5 + ). Zapozaj się z likami umieszczoymi a stroie http:// ki.pwr.edu.pl/studeciolietools.php. Spróbuj arysować wykresy fukcji kwadratowych za pomocą serwisu Wolfram Alpha. Zadaie 35 Wyzacz astępujące zbiory:. A = { R : 3 + > 0},. B = { R : 4 + 3 0}, 3. C = { R : 4 + 3 0}, 4. D = { R : 4 + 3 > 0}. * Zadaie 36 Sformułuj samodzielie pojęcie kresu dolego podzbioru A zbioru liczb rzeczywistych - ozaczmy go przez if(a). Pokaż, że if(a) = sup( A), gdzie A = { a : a A}. Wywioskuj z tego, że każdy ograiczoy z dołu podzbiór R ma kres doly. Zadaie 37 Wyzacz kresy dole i góre astępujących zbiorów:. { + : N}. (0, ) (3, 4] 3. (0, ] Q 4. [0, ] \ Q 5. N 6. Z * Zadaie 38 Niech A = { 0 : < }. Pokaż, że sup(a) = (czyli, że sup(a) = ). Zadaie 39 Korzystając z tego, że si () + cos () = pokaż, że si() + cos() 5 dla każdego R. Wskazówka: Skorzystaj z ierówości Cauchy ego. Zadaie 40 Pokaż, że dla dowolego ciągu liczb a,... a zachodzi ierówość a +... + a a +... + a. 4
Ciagi liczb rzeczywistych Zadaie 4 Pokaż, że ciąg ( ) jest ograiczoy. Zadaie 4 Oblicz graice astępujących ciągów: a = 3+ +, b = + +3, c = ++3 +3+, d = 3 ++5 ++, e = 3 ++3 +3+3, f = 3 ++ ++, g = ++3 5 +3+, h = ++3 3 + +. Zadaie 43 Dlaczego ciąg a = ( ) + ie jest zbieży? Zadaie 44 Dlaczego ciąg a = ( ) ie jest zbieży? + + Zadaie 45 Bezpośredio z defiicji graicy ciągu pokaż, że lim =, lim ) =. = 0 oraz lim ( Zadaie 46 Oblicz graice lim ++...+ oraz lim + +...+ 3. Zadaie 47 Oblicz graice ciągów. a = +( ) +,. b = +, 3. c = +. Zadaie 48 Pokaż, że ze zbieżości ciągu (a ) wyika zbieżość ciągu ( a ). Czy prawdziwe jest twierdzeie odwrote? Zadaie 49 Ustalmy liczbę a. Wyzacz graicę ciągu a = a. Zadaie 50 Pokaż, że jeśli a < to lim ( + a +... + a ) = a. Wskazówka: Skorzystaj ze wzoru a + q + q +... + q. Zadaie 5 Niech a 0 = oraz a + = 3 + a.. Pokaż, stosując metodę idukcji matematyczej, że a a < 6 dla każdego.. Pokaż, że ciąg (a ) jest rosący 3. Wyzacz graicę tego ciągu. Zadaie 5 Ustalmy liczbę a > 0. Niech 0 = a oraz + = ( + a ). Pokaż, że lim = a. Zastosuj te wyiki dla a =. Który wyraz tak zbudowaego ciągu rożi się od o miej iż 0 3? Zadaie 53 Niech a 0 = oraz a + = (a + 4). Pokaż, że ciąg (a ) jest rosący i ograiczoy oraz zajdź jego graicę. Zadaie 54 Oblicz graicę lim ( + ). Wskazówka: Skorzystaj ze wzoru (a + b)(a b) = a b.. Zadaie 55 Oblicz graicę astępujących ciągów. a = ( + )3+,. b = ( )+, 3. c = ( + ), 4. d = ( + )+, 5. e = ( + ). Zadaie 56 Oblicz astępujące graice: lim 5 +, lim 3 +. 5
Zadaie 57 Załóżmy, że 0 a b. Wyzacz graicę ciągu a + b. Zadaie 58 Załóżmy, że lim a = 0. Pokaż, że wtedy lim a = 0. Zadaie 59 Oblicz graicę lim ( + ). Wskazówka: Skorzystaj ze wzoru a b = (a b )/(a + b). Zadaie 60 Korzystając z twierdzeia o trzech ciągach wyzacz graice astępujących ciągów:. a = + + + +... + +. b = + 3. c = 3 +4 4 +5. Zadaie 6 Niech H = + + 3 +... +. Pokaż, że lim H =. Wskazówka: Pokaż ajpierw, że ciąg (H ) jest rosący. Przyjrzyj się astępie takiemu pogrupowaiu: H 8 = + + ( 3 + 4 ) + ( 5 + 6 + 7 + 8 ). Zapisz w podoby sposób H 6. Spróbuj oszacować od dołu każdy z pogrupowaych składików.. Domkięcie zbioru Zadaie 6 Ustalmy dodatią liczbę aturalą C. Niech a = ( mod C) +. Wyzacz pukty skupieia ciągu (a ). Zadaie 63 Podaj przykład ciągu, który ma ieskończeie wiele puktów skupieia. * Zadaie 64 Podaj przykład ciągu, którego zbiorem puktów skupieia jest odciek [0, ]. ** Zadaie 65 Czy istieje ciąg, którego zbiorem puktów skupieia jest zbiór [0, )? Zadaie 66 Korzystając z Zadaia 49 pokaż, że dla dowolej liczby rzeczywistej a. istieje ciąg liczb wymierych (a ) taki, że lim a = a. istieje ciąg liczb iewymierych (b ) taki, że lim b = a Zadaie 67 Pokaż, że. ( a, b R)(a < b ( Q)(a < < b)). ( a, b R)(a < b ( / Q)(a < < b)) Uwaga: Wymieioe własości moża sformułować astępująco: () zbiór liczb wymierych jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych; () zbiór liczb iewymierych jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych. Zadaie 68 Wyzacz domkięcia astępujących zbiorów i sprawdź, który z tych zbiorów jest domkięty i ograiczoy:., Q, R \ Q, Z, N, R. [0, ] Q, [0, ) \ Q. 3 Graice i ciagłość Zadaie 69 Wyzacz wartości fukcji si, cos, ta i cot dla kątów α = 0, π 6, π 4, π 3, π. Zadaie 70 Pokaż, że si( + π ) = cos(), cos( + π ) = si() oraz ta( + π ) = cot(). Zadaie 7 Korzystając ze wzorów si(+y) = si() cos(y)+si(y) cos() oraz cos(+y) = cos() cos(y) si() si(y) wyprowadź wzory a si(), si(3), cos(), cos(3). Zadaie 7 Narysuj, korzystając z przeglądarki Google, wykresy fukcji f() = (cos() + ) oraz g() = cos(). Wyjaśij zaobserwowae zjawisko. 6
Zadaie 73 Naszkicuj wykresy fukcji f k () = si(k ) dla k =, 0, 00, 00. Zadaie 74 Naszkicuj a wspólym wykresie wykresy fukcji f() = + oraz g() =. Zadaie 75 Naszkicuj a wspólym wykresie wykresy fukcji f() = ( + ) cos (00) oraz g() = ( ) cos (00). Zadaie 76 Niech f() = 4.. Wyzacz astępujące graice: lim f(), lim f(), lim + f(), lim f(), lim + f(), lim f().. Naszkicuj wykres tej fukcji. Zadaie 77 Niech sg() = : < 0 0 : = 0 : > 0. Pokaż, że fukcja sg ie jest ciągła w pukcie 0.. Wyzacz pukty ciągłości fukcji sg. Zadaie 78 Wyzacz pukty ciągłości astępujących fukcji. f () = sg(si()),. f () = sg(cos()), 3. f 3 () = 4. f 4 () =. Zadaie 79 Niech f() = Pokaż, że fukcja f ie jest ciągła w żadym pukcie. Wskazówka: Skorzystaj z zadaia 66. { : Q 0 : R \ Q Zadaie 80 Korzystając z defiicji Cauchy ego ciągłości fukcji pokaż, że suma dwóch fukcji ciągłych w pukcie 0 jest ciągła pukcie 0 Zadaie 8 Korzystając z defiicji Cauchy ego ciągłości fukcji pokaż, że fukcja f() = 3 jest ciągła. Zadaie 8 Załóżmy, że istieje η > 0 taka, że ( )( 0 < η f() = g()). Pokaż, że jeśli f jest ciągła w pukcie 0 to rówież g jest ciągła w pukcie 0. Dlaczego pokazaą własość fukcji ciągłych możemy wysłowić astępująco: ciagłość fukcji w pukcie jest pojęciem lokalym? Zadaie 83 Narysuj wykresy fukcji zadaych wzorami y =, y =, y = si( ), y = si( ), y = si( ) oraz wyzacz ich graice w pukcie 0. Zadaie 84 Naszkicuj wykresy fukcji zadaych wzorami:. y =,. y =, 3. y =, 4. y = 3. Zadaie 85 Niech > 0. Naszkicuj wykres fukcji zadaej wzorem f() = ( ) ( ). Wskazówka: rozważ oddzielie przypadek parzystego i ieparzystego. 7
* Zadaie 86 Pokaż, że dla każdego aturalego mamy ( ) ( ) =! k=0 ( k) k Zadaie 87 Oblicz astępujące graice:. lim 0 si(a),. lim 3, 3. lim 3. Zadaie 88 Załóżmy, że fukcja f jest ciągła. Pokaż, że fukcja g() = f() jest rówież ciągła. Wskazówka: skorzystaj z tego, że złożeie fukcji ciągłych jest fukcją ciągłą. Zadaie 89 Oblicz graice wielomiau postaci w() = + a +... + a + a 0 w ieskończoości oraz w mius ieskończoości. Wskazówka: Rozważ oddzielie przypadek parzystego oraz ieparzystego. Zadaie 90 Pokaż, że każdy wielomia stopia ieparzystego ma pierwiastek. Wskazówka: Skorzystaj z poprzediego zadaia oraz własości Darbou fukcji ciągłych. Zadaie 9 Załóżmy, że fukcje f i g są ciągłe. Niech h() = ma{f(), g()}. Pokaż, że h jest fukcją ciągłą. Zadaie 9 Załóżmy, że f : [0, ] [0, ] jest fukcją ciągłą. Pokaż, że istieje takie [0, ], że f() =. Wskazówka: Przyjrzyj się fukcji g() = f(). Uwaga: Jest to prosty przykład twierdzeia o pukcie stałym. Zadaie 93 Niech f, q : R R będą fukcjami rosącymi. Pokaż, że złożeie f g jest fukcją rosącą. Zadaie 94 Naszkicuj wykresy fukcji f () = ( ), f () =, f 3 () =, f 4 () = e oraz f 5 () = 3. Zadaie 95 Naszkicuj wykresy fukcji f () = log (), f 3() = log (), f 4 () = log e () oraz f 5 () = log 3 (). Zadaie 96 Pokaż, że każda fukcja f : R R jest sumą fukcji parzystej i ieparzystej. Wskazówka: Rozważ fukcje h() = (f() + f( )) oraz g() = (f() f( )). Zadaie 97 Niech f() = si() oraz g() =.. Naszkicuj wykres fukcji f g.. Naszkicuj wykres fukcji g f. Zadaie 98 Naszkicuj wykres fukcji f() = +. Sprawdź, że + = ( )( + ) +. Korzystając z tego wzoru przedstaw fukcję f jako sumę fukcji liiowej oraz pewej prostej fukcji wymierej.. Korzystając z poprzediego puktu aszkicuj poowie wykres fukcji f. 3. Zapozaj się z pojęciem asymptoty ukośej. Zadaie 99 Podaj przykład ciągłej fukcji f : [0, ) [0, ] która ie osiąga wartości maksymalej. Zadaie 00 Pokaż przykład takiej fukcji ciągłej f : (0, ) R która ie jest ograiczoa z góry ai z dołu. Zadaie 0 Załóżmy, że f : R R jest ciągła oraz iech a R.. Pokaż, że zbiór f ([a, )) = { : f() a} jest zbiorem domkiętym.. Pokaż, że zbiór f ({a}) = { : f() = a} jest zbiorem domkiętym. 3. Pokaż, że zbiór f ((a, )) = { : f() > a} jest zbiorem otwartym. 8
* Zadaie 0 Załóżmy, że f : R R jest ciągła, oraz, że lim f() = lim f() = 0. Pokaż, że istieje 0 R takie, że f( 0 ) = sup{f() : R}. ** Zadaie 03 Niech f : R R będzie taką fukcją ciągłą, że (, y R)(f( + y) = f() + f(y)). Pokaż, że f() = a dla a = f(). Wskazówka: Zaczij od pokazaia, że dla każdego N mamy f() = a. Pokaż astępie, że f( ) = f(). Potem się zajmij liczbami wymierymi. A a końcu skorzystaj z ciągłości. 4 Pochode Zadaie 04 Oblicz pochode astępujących fukcji:. f() = 3 + + 3 +, g() = 5 3 + 3 +. f() = + + +... + 3. f() =, g() = +, h() = 4. f() = ( + + )( 3 + + ) 3 + 5. f() = ( + )/( ), g() = ++ 3 6. f() = e, g() = e, h() = 3 e. Wskazówka: (e ) = e. Zadaie 05 W jakich puktach fukcja f() = + + jest różiczkowala? Zadaie 06 Zajdź przykład ciągłej fukcji f : R R, która ie różiczkowala w ieskończoej liczbie puktów. Zadaie 07 W jakich przedziałach fukcje y = ( ), y = e, y = e są rosące? Zadaie 08 Zbadaj wykresy fukcji y = e, y = Zadaie 09 Niech σ() = e +e oraz ζ() = l( + e ).. Zbadaj przebieg zmieości fukcji σ i zeta.. Pokaż, że σ () = σ()( σ()). 3. Pokaż, że ζ () = σ(). 4. Pokaż, że l σ() = ζ( ). +, y = ( )( ). Zadaie 0 Zajdź ekstrema fukcji y = (a ), y = (a ). Zadaie Pokaż, że jeśli fukcje f, g i h są różiczkowale w pukcie, to (f() g() h()) = f () g() h() + f() g () h() + f() g() h (). Zadaie Niech f a,b () = { a + b : < : Zajdź takie parametry a i b aby fukcja f a,b była różiczkowala w każdym pukcie. Zadaie 3 Oblicz pochode astępujących fukcji:. y = 3 3 +,. y = si( ), 3. y = e, (, 4. y = e + ) 5. y = si(), 9
6. y = ta (), 7. y = l( + ), y = log ta()) 8. y = l +, 9. y = arcsi(e ), y = arccos( ) 0. y = arcta( + ), y = arcta(e ). si(si()), si(si(si())). si(cos(si())) Zadaie 4 Oblicz pierwsze i drugie pochode fukcji f(t) = r si(ωt) i g(t) = r cos(ωt). Zadaie 5 Zbadaj przebieg zmieości astępujących fukcji:. f() = 3 e.. f() = 3 3. f() = l() 4. f() = l ( + ) + 5. y = e, 6. y = +, 7. y = ( )( ). Zadaie 6 Dlaczego fukcja y = l ( > 0) jest ciągła? Podaj możliwie prosty argumet. Zadaie 7 Napisz rówaia styczych i prostopadłych do podaych fukcji w podaych puktach:. f() = l( + e ), P = (0, f(0),. f() = +, P = (, f()). * Zadaie 8 Rozważmy astępującą fukcję { ep( f(t) = t ) t > 0 0 t 0. Pokaż, że fukcja f jest ciągła.. Pokaż, że dla każdego 0 istieje taki wielomia w(), że f () (t) = w( t ) ep( t ). 3. Pokaż, że dla każdego > 0 mamy lim t 0+ ep( t ) t a = 0 4. Pokaż, że dla każdego 0 istieje pochoda f () (0) i jest rówa 0 5. Zastosuj wzór Taylora dla fukcji f w pukcie 0. Zadaie 9 Pokaż, że. arcsi + = arccos +. arcta = arcta Wskazówka: Oblicz pochode obu stro. Zadaie 0 (Wzór Leibitza) Załóżmy, że f i g są fukcjami krotie różiczkowalymi. Pokaż, że ( ) (f g) () () = f (k) ()g ( k) () k 4. Zastosowaia k=0 Zadaie Który z puktów paraboli y = leży ajbliżej prostej y 5 = 0? Wskazówka: Odległość puktu P = ( 0, y 0 ) od prostej o rówaiu a + by + c = 0 wyraża się wzorem a 0 + by 0 + c a + b 0
. Zadaie Zajdź pole ajwiększego prostokąta o bokach rówoległych do osi układu współrzędych wpisaego w elipsę o rówaiu a + y b =. Zadaie 3 Pokaż, że ze wszystkich prostokątów o ustaloym obwodzie kwadrat ma ajwiększą powierzchię. Zadaie 4 Pokaż, że ze wszystkich trójkątów o ustaloym obwodzie i o ustaloej podstawie trójkąt róworamiey ma ajwiększą powierzchię. Zadaie 5 Pokaż, że ze wszystkich trójkątów o ustaloym obwodzie trójkąt rówoboczy ma ajwiększą powierzchię. Zadaie 6 Załóżmy, że f (t) = f(t) dla każdego t R. Pokaż, że istieje taka stała C, że f(t) = C e t. Wskazówka: Oblicz pochodą fukcji g(t) = f(t) e. Uwaga: Rozwiązaliśmy w te sposób rówaie różiczkowe t (t) = (t). Zadaie 7 Pokaż, że dla każdego > 0 mamy + < l( + ) <. 4. Reguła de l Hospitala Zadaie 8 Korzystając z reguł de l Hospitala oblicz astępujące graice:. lim 0 e cos(3). lim l 3. lim (l ) 3 4. lim 0 (l( cos()) l( )) 5. lim ( 3 ) 6. lim 0 7. lim (e + ) 8. lim 0+ 3 l 9. lim 0 arcta() 0. lim (l ). lim 0 l(cos(). lim l(e +), 3. lim 0+ l(), 4. lim 0+. Wskazówka: skorzystaj z tego, że t = e l t dla dowolego t > 0, oraz, że fukcja f() = e jest ciągła. 5. lim l Zadaie 9 Wyzacz, dla dowolego ustaloego aturalego k, graice lim (l()) k 4.3 Wzór Taylora, lim k. Zadaie 30 Niech f() = + +. Zastosuj wzór Taylora rzędu 3 dla fukcji f w puktach = 0 oraz =. Zadaie 3 Wyzacz wielomiay Taylora rzędu 0 astępujących fukcji f() = e, g() = si(), h() = cos(), j() = si() + cos(). Za pomocą dowolego pakietu arysuj a jedym wykresie przybliżeia Zadaie 3 Za pomocą wzoru Taylora oblicz si(0.) z dokładością do 0 0.
5 Całki Zadaie 33 Oblicz astępujące całki: ( 3 + + ) d, 0 ( + ) d, 0 π ( si() + si()) d. 0 Zadaie 34 Wyzacz, bez wykoywaia żadych obliczeń, astępujące całki: π/ π/ si() dg 3 d, ( + 5 )d, Zadaie 35 Niech f, g : [a, b] R będą fukcjami ciągłymi. Pokaż, że b b b f()g()d f()d f()d. Wskazówka: Rozważ fukcję φ(t) = b a (f() tg()) d. Zadaie 36 Niech G(c) = c a d.. Zakładając, że c > wyzacz G(c). Oblicz lim G(c) 3. Podaj iterpretację geometryczą otrzymaego wyiku. Zadaie 37 Wyzacz, stosując metodę całkowaia przez części, astępujące całki ieozaczoe:. cos() d, cos() d, 3 cos() d. si() d, si() d, 3 si() d 3. e d, e d, 3 e d 4. l d, l d, 3 l d Spróbuj samodzielie uogólić powyższe obliczeia. Zadaie 38 Wyzacz, stosując metodę całkowaia przez podstawieie, astępujące całki ieozaczoe:. si(3 + ) d, + d, + d (podstaw t = + ),. + d, d, 3 3. e d 4. si(l ) d (podstaw u = l, zastosuj dwukrotie całkowaie przez części) 5. ta d Zadaie 39 Wyzacz pole astępujących obszarów:. A = {(, y) R : 0 y }. B = {(, y) R : 0 π y si }, 3. C = {(, y) R : y < e }. 4. Obszar ograiczoy parabolą o rówaiu y = 6 i osią OX Zadaie 40 Wyzacz pole elipsy zadaej rówaiem: a a + y b =. Zadaie 4 Załóżmy, że f jest fukcją różiczkowala oraz, że g jest fukcją ciągłą. Niech a H() = f() a g(t) dt.
Wyzacz H (). Wskazówka: Niech F () = g(t) dt. Zauważ, że H() = F (f()). a Zadaie 4 Oblicz astępujące całki ieozaczoe z fukcji wymierych:. + 3+ d. ( )(+5) d +3 3. ( )(+5) d 4. ( ) d 5. ( ) d. Wskazówka: Wyzacz takie liczby A, B i C, że ( ) = A + 6. (+ ) d. Wskazówka: Zastosuj podstawieie = ta(u). 7. + d, 8. (+ ) d B + Zadaie 43 Rozważamy fukcję f() = a odciku [0, ]. Rozważamy sumę dolą { s (f, 0, ) = if f() : k k + }. k=0 C ( ).. Korzystając ze wzoru + +...+ = 6 (+)(+) wyzacz zwartą postać wzoru a s (f, 0, ). Oblicz lim s (f, 0, ) 3. Oblicz 0 d za pomocą całki ieozaczoej : ) Zadaie 44 Oblicz objętość torusa powstałego przez obrót koła + (y a) r. Zadaie 45 Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót wykresu fukcji f() = si() dla [0, π]. 6 Szeregi Zadaie 46 Pokaż, że jeśli szeregi a i b są zbieże oraz a i b są ustaloymi liczbami rzeczywistymi, to szereg (a a + b b ) jest zbieży oraz (a a + b b ) = a a + b b. =0 =0 =0 Zadaie 47 Oblicz sumy ( 3 + 3 ), 5 ( ) k= k (+), (+3). Zadaie 48 Oblicz sumy Wskazówka: Zajdź liczby A i B takie, że (+) = A + B +. Zadaie 49 Zbadaj zbieżość astępujących szeregów:, 3,. Zadaie 50 Zastosuj kryterium zbieżości d Alamberta do zbadaia zbieżości szeregów + 3 +, (!) ()!. Zadaie 5 Wyzacz promieie zbieżości astępujących szeregów potęgowych:. +. (!), 3
3. 4. 5. 6. ( ) (!) k (k)! (dla ustaloego aturalego k > 0) Zadaie 5 Rozwiń astępujące fukcje w szereg Maclauria i wyzacz ich promieie zbieżości:. f() = si(). g() = cos() 3. f() = l 4. f() = l + Zadaie 53 Niech d ozacza odległość zbieżości jedostajej a odciku [0,, czyli d(f, g) = sup{ f() g() : [0, ]}, dla ograiczoych fukcji f i g. Wyzacz odległości d(f, g) astępujących par fukcji:. f() = si(), g() = cos(). f() =, g() = ( ) Zadaie 54 Pokaż, że ciąg fukcji f () = + si() jest jedostajie zbieży a R. Zadaie 55 Niech f () = + dla [0, ].. Pokaż, że ciąg fukcyjy (f ) jest puktowo zbieży. Czy ciąg te jest jedostajie zbieży? Zadaie 56 Czy ciąg fukcji f () = ( + ) jest puktowo zbieży? Czy jest jedostajie zbieży a R? Czy jest jedostajie zbieży a odciku [0, ]? Zadaie 57 Wyzacz szeregi Fouriera (a odciku [ π, π]) astępujących fukcji oraz arysuj ich wykresy oraz ich kilka pierwszych przybliżeń szeregami trygoometryczymi:. f() =, g() = + si(). f() = sg() 3. f() = ( + sg)() Zadaie 58 Wyzacz siusowy szereg Fouriera fukcji f() = (π?) a odciku [0, π]. Skorzystaj z tego szeregu do wyzaczeia wartości szeregu 3 + 5 7 + 9.... Zadaie 59 Wyzacz szereg Fouriera fukcji f() = a odciku [ π, π].. Podstawiaj za liczbę π oblicz. Wyzacz 3. Wyzacz 0 () (+) Powodzeia, Jacek Cichoń 4