Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu zachowaia się jego ogoa. Przypomijmy, że przez tzw. ogo ciągu (a ) 1 rozumiemy wszystkie wyrazy o umerach o, dla pewego aturalego o.wtedyzachowaiesięogoa determiuje asymptotycze zachowaie się ciągu. Dalej przyjmiemy założeie, że rozważae ciągi będą albo zbieże, albo rozbieże, co ozacza, że z aalizy wykluczymy ciągi, które ie są ai zbieże, ai rozbieże. Niech C ozacza mogość takich ciągów. Możemy sformułować dwa podstawowe problemy, rozwiązaiem których zajmiemy się w dalszej części. Problem 1 Niech (a ) 1 C. Należy rozstrzygąć kwestię, czy day ciąg jest zbieży, czy jest rozbieży. Problem 2 Wiedząc, że (a ) 1 C jest zbieży ależy ustalić jego graicę. W przypadku jego rozbieżości ależy określić typ tej rozbieżości. Wydział Nauk Techiczych i Ekoomiczych Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej im. Witeloa w Legicy, e mail: rebowskir@pwsz-legica.eu 1
2 BADANIE CIĄGÓW ZBIEŻNYCH 2 Badaie ciągów zbieżych Przedstawimy trzy metody badaia zbieżości ciągów: twierdzeie o arytmetyce graic (TAG), twierdzeie o 3 ciągach (T3C) oraz twierdzeie o liczbie Eulera (TLE). Jak zobaczymy dalej, żade z tych twierdzeń ie jest a tyle uiwersale, aby mogło rozstrzygąć kwestię zbieżości każdego ciągu. Dlatego waża będzie dalej umiejętość doboru odpowiediego twierdzeia do badaego ciągu, a co zwrócimy szczególą uwagę. 2.1 TAG Zacziemy od defiicji wyjaśiającej pojęcie struktury arytmetyczej ciągu. Defiicja 1 Powiemy, że ciąg (a ) 1 posiada strukturę arytmetyczą, jeśli istieją dwa ciągi (b ) 1 i (c ) 1 takie, że (a ) 1 ma jedą z poiższych postaci: 1. 2. 3. 4. a = b + c, dla 1. (1) Wtedy powiemy, że jest o sumą ciągów (b ) 1 i (c ) 1, a = b c, dla 1. (2) Wtedy powiemy, że jest o różicą ciągów (b ) 1 i (c ) 1, a = b c, dla 1. (3) Wtedy powiemy, że jest o iloczyem ciągów (b ) 1 i (c ) 1, a = b, oiledla 1c 0. (4) c Wtedy powiemy, że jest o ilorazem ciągów (b ) 1 i (c ) 1, Przykład 1 Każdy z poiższych ciągów ma strukturę arytmetyczą: a = 5 +2 2 1, 1, (5) 5 5 3 a = 2 4 +3 2 + +1, 3, (6) a =( 1) 1, 1, (7) 2
2.1 TAG 2 BADANIE CIĄGÓW ZBIEŻNYCH Przykład 2 Nie każdy ciąg ma strukturę arytmetyczą, p.: a =si 1, 1, (8) a = 2, 1, (9) a = 2 +5, 1, (10) ( ) 2 +1 4 1, a = 1. 2 1 (11) Twierdzeie 1 (TAG) Niech ciąg (a ) 1 ma strukturę arytmetyczą typu (1) (3), gdzie ciągi (b ) 1 i (c ) 1 są zbieże. Wtedy (a ) 1 też jest zbieży. Co więcej, jeśli b b, c c, to odpowiedio a b + c, a b c, a bc. Jeśli dodatkowo c 0, to ciąg typu (4) też jest zbieży i a b c. Przykład 3 Zbadać charakter zbieżości ciągu daego wzorem (5). Rozwiązaie. Wiemy, że a = 5 +2 2 1, 1 ma strukturę arytmetyczą jako 5 5 3 iloraz dwóch ciągów b = 5 +2 2 1 oraz c =5 5 3, 1.Poieważb 5 dla 1 iciąg 5 ie jest ograiczoy z góry, ciąg (b ) 1 jest ieograiczoy i dlatego ie może być zbieży. Ozacza to, że pomimo dopuszczalej struktury, ie możemy zastosować TAG dla badaego ciągu. Z drugiej stroy, z oszacowaia 1 1 6 = 5 6 a 5 25 =1, 1, 25 wyika, że baday ciąg jest ograiczoy. W takim razie, zgodie z umową zawartą we wstępie jest zbieży. Jak to uzasadić, skoro ie działa TAG. Odpowiedź jest tylko jeda ależy iaczej zapisać postać wyrazu a. Zauważmy, że 2 a = 1+2 1 1 3 5 5 3 1, 1. 4 Teraz TAG zadziała, bowiem ciąg 1+2 1 1 ma strukturę typu (1) i (2) 3 5 oraz z własości ciągu α harmoiczego, 1+2 1 1 1+0 0 =1. Podobie 3 5 dla 5 3 1 5 0=5 0. 4 Dlatego z TAG a 1 5. 1 Czytelik powiie umieć uzasadić to oszacowaie. 2 Należy to uzasadić. 3
2.1 TAG 2 BADANIE CIĄGÓW ZBIEŻNYCH Przykład 4 Zbadać charakter zbieżości ciągu daego wzorem (6). Rozwiązaie. Z Przykładu 1 wiemy, że baday ciąg rówież posiada strukturę arytmetyczą. Poieważ jedak 2 + +1>, rówież w tym przypadku TAG ie może być zastosowae. Jedocześie mamy podobą sytuację do ciągu z przykładu powyżej badaych ciąg jest ograiczoy 3. W takim razie, jako elemet zbioru C jest zbieży. Wykażemy to dokoując przeformatowaia jego zapisu. Zauważmy, że ( 2 4 +3 )( 2 + +1 2 4 +3+ 2 + +1) a = 2 4 +3+ 2 + +1, czyli 4 a = 5 +2 2 4 +3+ 2 + +1 = 5+2 1 1 4 1 +3 1 + 1+ 1 +. 1 2 2 Dalej będziemy potrzebowali pewego wspomagającego faktu. 5 Fakt 1 Przypuśćmy, że dla ciągu (d ) 1 wiadomo, że: wyrazy jego są ieujeme oraz d d. Wtedyd 0 oraz d d. Korzystając teraz z Faktu 1 oraz z TAG możemy apisać 5+0 a = 5 1 0+0+ 1+0+0 2. Przykład 5 Zbadać charakter zbieżości ciągu daego wzorem (7). Rozwiązaie. Nie moża zastosować TAG, pomimo, że ciąg ma strukturę arytmetyczą. 6 Baday ciąg jest jedak ograiczoy, zatem przy obowiązującym założeiu jest zbieży. Tym razem jedak procedura wstępego przeformatowaia, z jaką spotkaliśmy się w przykładach 3 i 4 ie zadziała. Jak tym razem w takim razie uzasadić zbieżość badaego ciągu? Zauważmy, że 1 ( 1) = 1, co ozacza, że a 0. Dalej potrzebujemy kolejego faktu 7. 3 Czytelik powieie to umieć uzasadić! 4 Należy to uzasadić. 5 Czytelik powiie zapozać się z dowodem tego faktu. 6 Proszę uzasadić dlaczego. 7 Proszę zapozać się z dowodem. 4
2.2 T3C 2 BADANIE CIĄGÓW ZBIEŻNYCH Fakt 2 Dla każdego ciągu (a ) 1 astępujące waruki są rówoważe: 1. 2. a 0. a 0. Dlatego ( 1) 1 0. 2.1.1 Ćwiczeia Zadaie 1 Zbadać zbieżość ciągu a = 3 8 +1 +3, 1. 2 +1 Zadaie 2 Zbadać zbieżość ciągu a = (20 +2) 3, 1. ( 3 +1) 20 Zadaie 3 Zbadać zbieżość ciągu a = 2 +4, 1. 2.2 T3C Przykład 2 pokazuje, że ie każdy ciąg posiada strukturę arytmetyczą. Z tego powodu zasięg zastosowaia TAG jest ograiczoy. Dla potrzeb badaia takich ciągów potrzebe są koleje metody. Jedą z ich jest zaprezetowaa poiżej metoda trzech ciągów. Przypuśćmy, że położeia ogoa badaego ciągu (a ) 1 możemy kotrolować pośredio używając do tego celu dwóch dodatkowych ciągów (łączie mamy zatem trzy ciągi) (b ) 1 i (c ) 1 w sposób astępujący o b a c. (12) Jeśli teraz ciągi (b ) 1 i (c ) 1 są zbieże, czyli b b i c c oraz b = c, to z waruku (12) wyika, że ogo ciągu (a ) 1 zajduje się w dowolym otoczeiu liczby a = b = c. Prowadzi to do astępującego twierdzeia. Twierdzeie 2 (T3C) Niech dla ciągu (a ) 1 istieją takie ciągi (b ) 1 i (c ) 1, dla których zachodzi waruek (12). Wtedy, jeśli b b i c c oraz b = c, tociąg(a ) 1 jest zbieży oraz a a = b = c. 5
2.2 T3C 2 BADANIE CIĄGÓW ZBIEŻNYCH Przykład 6 Zbadać zbieżość ciągu daego wzorem (8). Rozwiązaie. Z własości fukcji trygoometryczej si, ciągsi 1, 1 jest ograiczoy. Zatem, zgodie z założeiem ależy do klasy C, czyli jest zbieży. Do wyzaczeia jego graicy ie możemy zastosować TAG, bowiem ie posiada o struktury arytmetyczej. Graicę tę wyzaczymy metodą pośredią zastosujemy T3C. Z podstawowej własości fukcji si wiadomo, że si x x dla x 0 oraz dla kątów z przedziału x [0,π/2], si x 0. W takim razie dla badaego ciągu możemy apisać astępujące oszacowaie 0 si 1 1, dla 1, co a mocy T3C dowodzi, że si 1 0. Przykład 7 Zbadać charakter zbieżości ciągu 2, 1 z przykładu 2. Rozwiązaie. Z własości działaia pierwiastkowaia wyika, że każdego 1. W takim razie możemy apisać 2 1 dla 2=1+ε, gdzie ε 0 dla 1. Jeśli wykażemy, że zdefiioway powyżej ciąg (ε ) 1 jest zbieży do zera, to z TAG będzie wyikało, że 2 1. W tym celu skorzystamy z T3C. Zauważmy, że z defiicji (ε ) 1 możemy apisać 2=(1+ε ), dla 1. Dalej będziemy potrzebowali pewej ierówości. 8 Fakt 3 (Nierówość Beroulliego) Dla każdej liczby rzeczywistej a 1, liczby aturalej (1 + a) 1+a. (13) W takim razie dla ciągu (ε ) 1 mamy oszacowaie 9 skąd i z T3C wyika, że ε 0. 0 ε 1, 8 Proszę zapozać się z dowodem. 9 Należy to uzasadić. 6
2.3 TLE 2 BADANIE CIĄGÓW ZBIEŻNYCH Przykład 8 Zbadać charakter zbieżości ciągu daego wzorem (10). Rozwiązaie. Zauważymy, że baday ciąg jest ograiczoy, bowiem 3 2 +3 3 +3 = 2 3 =3 2, oraz z przykładu 7 ciąg 2 jako zbieży jest ograiczoy. Poieważ 2 1, z T3C ostatie oszacowaie ozacza, że 2 +3 3. 2.2.1 Ćwiczeia Zadaie 4 Zbadać zbieżość ciągu 4 +7 +11, 1. Zadaie 5 Wyzaczyć graice ciągu 2+( 1), 1. 3+2 Zadaie 6 Wyzaczyć graicę ciągu 2 +1, 1. Zadaie 7 Obliczyć graicę ciągu 2+si, 1. Zadaie 8 Zbadać zbieżość ciągu a, 1, gdziea>0. 2.3 TLE Asymptotycze zachowaie się ciągu opisuje się za pomocą trzech własości: mootoiczości, ograiczoości i zbieżości (rozbieżości). Dobrze zae przykłady 10 pokazują, że ie ma związku pomiędzy mootoiczością a ograiczoością oraz pomiędzy zbieżością (rozbieżością) a mootoiczością. Jeśli jedak w odpowiedi sposób skompiluje się własość ograiczoości z mootoiczością, to otrzyma się efekt zbieżości lub rozbieżości ciągu. Na przykład: 11 1. każdy ciąg iemalejący i ograiczoy z góry jest zbieży; 2. każdy ciąg malejący i ieograiczoy z dołu jest rozbieży. W szczególości, ozacza to, że każdy ciąg mootoiczy jest albo zbieży albo rozbieży, czyli ależy do zbioru ( C. Klasyczym przykładem jest tutaj tzw., ciąg Eulera (e ) 1, gdzie e = 1+ ) 1 który jest rosący i ograiczoy z góry. Feome tego ciągu polega a tym, że jego graicą ie jest liczba wymiera jest ią liczba iewymiera 12,tzw.liczba Eulera ozaczaa literą e. 10 Proszę je przypomieć. 11 Proszę sformułować pozostałe przypadki. 12 Jej przybliżoa wartość to 2,71. 7
2.3 TLE 2 BADANIE CIĄGÓW ZBIEŻNYCH Poiższe twierdzeie pokazuje, że istieje cała klasa ciągów, które zachowują się podobie do ciągu Eulera, czyli są zbieże do e. Twierdzeie 3 (TLE) Każdy ciąg postaci ( 1+ 1 α ) α, gdzie (α ) 1 jest dowolym ciągiem rozbieżym, jest zbieży do liczby Eulera. ( ) α, Dalej o ciągu 1+ 1 α 1 będziemy mówili, że ma strukturę ciągu Eulera. Przykład 9 Zbadać zbieżość ciągu daego wzorem (11). Rozwiązaie. Kwestią kluczową jest umiejętość dostrzeżeia w defiicji badaego ciągu struktury ciągu Eulera. W tym celu zajmiemy się ajpierw podstawą potęgi. Zauważmy, że 2 +1 2 1 = 2 1+2 2 1 =1+ 2 2 1 =1+ 1 1. 2 Defiiujemy ciąg (α ) 1, gdzie α = 1. Wtedy, poieważ = α 2 + 1, baday 2 ciąg ma strukturę ( ) 2 +1 4 1 ( = 1+ 1 ) 4α+2, 2 1 α co po przekształceiach daje ( ) 2 +1 4 1 = [(1+ 1 ) α ] 4 ( 1+ 1 ) 2. 2 1 α α Uzyskaa faktoryzacja badaego ciągu pozwala zastosować TLE. Pierwszy czyik a mocy TLE i TAG zbieży jest do e 4. Drugi czyik, a mocy TAG ma graicę rówą 1 13. Dlatego a mocy TAG baday ciąg jest zbieży do e 4. 2.3.1 Ćwiczeia Zadaie 9 ( Obliczyć graicę ciągu Zadaie 10 Obliczyć graicę ciągu 3+1 3+2 ) 6, 1. ( 1 1 ), 1. Zadaie 11 ( ) 2, Zbadać zbieżość ciągu 2 1. 1= 2 13 Proszę to uzasadić. 8
3 BADANIE CIĄGÓW ROZBIEŻNYCH 3 Badaie ciągów rozbieżych Przykład 10 Weźmy szereg harmoiczy Σ 1, czyli ciąg S = 1 k=1, 2. k Zbadać zachowaie się jego ogoa. Rozwiązaie. Poieważ S +1 S = 1 +1, ciąg sum częściowych szeregu harmoiczego jest rosący. Moża pokazać, 14 że ie jest o ograiczoy z góry. W takim razie jest o rozbieży przez wartości dodatie, co możemy zapisać jako S + lub Σ 1 =+. Badaie rozbieżości ciągu sprowadza się do ustaleia położeia jego ogoa w otoczeiu tzw. ieskończoości, czyli albo dowolie daleko a prawo od zera, albo dowolie daleko a lewo od zera. Ozacza to, że do ustaleia takiego położeia, z puktu widzeia metody porówawczej wystarczy dyspoować tylko jedym (dodatkowym) ciągiem rozbieżym. Prowadzi to do tzw. twierdzeia o dwóch ciągach (T2C). Twierdzeie 4 (T2C) Jeśli dla ciągu (a ) 1 położeiejegoogoadajesięustalićjedązmetod: a b, dla o, albo c a, dla o, gdzie b,alboc +, to (a ) 1 jest rozbieży odpowiedio przez wartości ujeme albo dodatie. Przykład 11 Zbadać zachowaie się ogoa ciągu +5, 1. Rozwiązaie. Zauważmy, że +5 =, dla 1. Poieważ ciąg o wyrazie jest rozbieży przez wartości dodatie, z T2C, baday ciąg rówież. Ozacza to, że ogo badaego ciągu zajduje się w otoczeiu +. Przykład 12 Zbadać zachowaie się ciągu 5 +7, 1. 3 +5 Rozwiązaie. Zauważmy, że dla 1 mamy oszacowaie 5 +7 7 3 +5 2 5 = 1 ) 7. 2( 5 Ozacza to, że baday ciąg domiuje z góry ciąg geometryczy o ilorazie większym od jede. Z T2C baday ciąg jest rozbieży przez wartości dodatie. 14 Proszę to zrobić. 9
3.1 Ćwiczeia 3 BADANIE CIĄGÓW ROZBIEŻNYCH 3.1 Ćwiczeia Zadaie 12 Ustalić charakter rozbieżości ciągu (3 + ( 1) ), 1. Zadaie 13 Uzasadić, że astępujący ciąg (si 2) 2, 1jest rozbieży. Zadaie 14 Zbadać zachowaie się ogoa ciągu, 1. 10