Spis treści. 1 Macierze Macierze. Działania na macierzach Wyznacznik Macierz odwrotna Rząd macierzy...

Spis treści 1 Macierze 3 1.1 Macierze. Działania na macierzach.............................. 3 1.2 Wyznacznik.......................................... 6 1.3 Macierz odwrotna...................................... 8 1.4 Rząd macierzy........................................ 9 2 Układy równań liniowych 12 2.1 Układ równań liniowych i jego rozwiązanie......................... 12 2.2 Układ Cramera........................................ 13 2.3 Układ Kroneckera-Capelliego................................ 15 3 Ciągi liczbowe 16 3.1 Zasada indukcji matematycznej............................... 16 3.2 Podstawowe definicje..................................... 16 3.3 Ciąg arytmetyczny i geometryczny............................. 17 3.4 Granica ciągu liczbowego................................... 18 3.5 Własności ciągów zbieżnych.................................. 19 3.6 Granice niewłaściwe ciągów.................................. 23 4 Funkcje 24 4.1 Definicje i własności..................................... 24 4.2 Funkcje elementarne..................................... 25 4.2.1 Funkcja liniowa.................................... 25 4.2.2 Funkcja kwadratowa................................. 26 4.2.3 Własności działań na potęgach........................... 27 4.2.4 Funkcje potęgowe i pierwiastkowe.......................... 29 4.2.5 Funkcja wielomianowa................................ 29 4.3 Funkcja wykładnicza..................................... 30 4.4 Logarytmy i własności działań na logarytmach...................... 30 4.5 Funkcja logarytmiczna.................................... 31 4.5.1 Funkcje trygonometryczne.............................. 32 4.5.2 Własności funkcji trygonometrycznych...................... 33 5 Granica i ciągłość funkcji 34 5.1 Granica funkcji w punkcie.................................. 34 5.2 Granice niewłaściwe funkcji.................................. 34 5.3 Własności granic funkcji................................... 36 5.4 Granice jednostronne..................................... 36 5.5 Granice funkcji w nieskończoności.............................. 37 5.6 Ciągłość funkcji........................................ 39

Spis treści 2 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej 41 6.1 Pochodna funkcji w punkcie................................. 41 6.2 Pochodne jednostronne.................................... 41 6.3 Wzory na pochodne..................................... 42 6.4 Zastosowanie pochodnych.................................. 44 6.4.1 Ekstremum funkcji.................................. 45 6.4.2 Wklęsłość i wypukłość funkcji. Punkt przegięcia................. 47 6.4.3 Asymptoty...................................... 47 6.4.4 Badanie przebiegu zmienności funkcji....................... 48 7 Całka nieoznaczona 52 7.1 Podstawowe wzory rachunku całkowego........................... 53 7.2 Całkowanie przez podstawienie............................... 53 7.3 Całkowanie przez części................................... 54

ROZDZIAŁ 1 Macierze 1.1 Macierze. Działania na macierzach. Definicja 1.1.1 Niech m i n będą ustalonymi liczbami naturalnymi. Macierzą prostokątną wymiaru m n nazywamy układ mn liczb zapisanych w postaci tablicy o m wierszach i n kolumnach a 11 a 12... a 1n a A = 21 a 22... a 2n..................... a m1 a m2... a mn Liczby a ik, gdzie i {1, 2,..., m}, k {1, 2,..., n}, nazywamy elementami macierzy A. Macierze postaci ] ] w 1 = [a 11 a 12... a 1n,..., w m = [a m1 a m2... a mn nazywamy wierszami macierzy A, natomiast macierze postaci k 1 = a 11. a m1,..., k n = a 1n. nazywamy kolumnami macierzy A. Wobec tego macierz A można zapisać następująco A = w 1. w m lub A = a mn [k 1... k n ]. Macierz A będziemy również zapisywać w postaci A = [a ik ] m n, gdzie pierwszy indeks i oznacza numer wiersza, drugi indeks k oznacza numer kolumny. Definicja 1.1.2 Macierzą kwadratową stopnia n nazywamy macierz, która posiada n wierszy i n kolumn, to znaczy jest macierzą postaci a 11 a 12... a 1n ] A = [a ik = a 21 a 22... a 2n n n.................... a n1 a n2... a nn Mówimy wtedy, że elementy a 11, a 22,..., a nn tworzą główną przekątną macierzy kwadratowej A. Definicja 1.1.3 Macierzą diagonalną nazywamy macierz kwadratową, której wszystkie elementy położone poza główną przekątną są zerami. Definicja 1.1.4 Macierzą jednostkową stopnia n nazywamy macierz diagonalną stopnia n, której główna przekątna składa sie z samych jedynek. Oznaczamy ją symbolem I n.

Macierze 4 Przykład 1.1.1 I 1 = [ ] 1, I 2 = [ ] 1 0, I 0 1 3 = 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0, I 4 = 0 0 1 0,... 0 0 1 0 0 0 1 Definicja 1.1.5 Macierzą zerową nazywamy macierz, której wszystkie elementy są równe zero. ] Definicja 1.1.6 Macierzą transponowaną do macierzy A = [a ik nazywamy macierz m n AT = ] [b ik, która powstaje z macierzy A przez zamianę wierszy na kolumny, to znaczy n m Przykład 1.1.2 b ik = a ki dla i = 1, 2,..., n, k = 1, 2,..., m. 0 1 A = 2 3, A T = 2 5 ] Definicja 1.1.7 Dwie macierze A = [a ik [b ]m n i B = ik tzn. m = p i n = q oraz [ ] 0 2 2. 1 3 5 p q są równe, gdy mają takie same wymiary, a ik = b ik dla i = 1, 2,..., m, k = 1, 2,..., n. ] Definicja 1.1.8 Niech A = [a ik [b ]m n i B = ik oraz niech λ będzie liczbą rzeczywistą. Wprowadzamy następujące działania na macierzach: 1. Dodawanie macierzy 2. Odejmowanie macierzy 3. Mnożenie macierzy przez liczbę Przykład 1.1.3 [ ] 2 1 0 + 1 3 2 [ ] 1 2 3 1 0 1 1 4 m n ] A + B = [a ik + b ik ] A B = [a ik b ik ] λ A = [λ a ik [ ] 0 4 12 = 4 2 8 m n. m n. m n. [ ] 3 1 3 1 2 1 [ ] [ ] 0 1 3 3 2 0 1 1 = 5. 2 2 0 2 3 Uwaga 1.1.1 Powyższe działania dodawania i odejmowania macierzy wykonalne są jedynie dla macierzy tego samego wymiaru. ] Definicja 1.1.9 Niech A = [a ik [b ]m n i B = kj. Iloczynem A B macierzy A przez macierz B ] n p nazywamy macierz C = [c ij o elementach c ij określonych wzorami m p c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j +... + a in b nj, i = 1,..., m, j = 1,..., p. Przykład 1.1.4 Niech A i B będa następującymi macierzami 3 1 [ ] 2 1 0 3 A = 2 0 i B =. 1 0 1 1 1 1 2 4 3 2 Obliczymy iloczyn A B za pomocą tabelki mnożąc wiersze macierzy A przez kolumny macierzy B

Macierze 5 2 1 0 3 1 0 1 1 3 1 3 2 + ( 1) 1 3 ( 1) + ( 1) 0 3 0 + ( 1) 1 3 3 + ( 1) 1 2 0 2 2 + 0 1 2 ( 1) + 0 0 2 0 + 0 1 2 3 + 0 1 1 1 1 2 + 1 1 1 ( 1) + 1 0 1 0 + 1 1 1 3 + 1 1 W wyniku otrzymujemy, że 5 3 1 8 A B = 4 2 0 6 3 1 1 4 3 4. Uwaga 1.1.2 Mnożenie macierzy jest wykonalne jedynie wtedy, gdy ilość kolumn pierwszej macierzy jest równa ilości wierszy drugiej macierzy. W wyniku otrzymujemy macierz o ilości wierszy pierwszej macierzy i ilości kolumn drugiej macierzy. Mamy następujące własności dodawania i mnożenia macierzy: Stwierdzenie 1.1.1 Niech A, B, C będą macierzami odpowiednich wymiarów (tzn. takimi, na których można wykonać działania dodawania i mnożenia). Wówczas 1. Macierz zerowa jest neutralna względem dodawania, tzn. 0 + A = A + 0 = A 2. Macierz jednostkowa jest neutralna względem mnożenia, tzn. IA = A oraz AI = A 3. Dodawanie macierzy jest przemienne natomiast mnożenie nie musi być przemienne, tzn. 4. Dodawanie i mnożenie macierzy jest łączne A + B = B + A oraz AB BA (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C oraz (AB)C = A(BC) = ABC 5. Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania, tzn. A(B + C) = AB + AC oraz (B + C)A = BA + CA 6. Iloczyn dowolnej macierzy i macierzy zerowej jest macierzą zerową, tzn. A0 = 0A = 0 7. Iloczyn dwóch macierzy niezerowych może być macierzą zerową. Poniżej przedstawiamy przykład na to, że mnożenie macierzy nie musi być przemienne. Przykład 1.1.5 [ ] 0 1 0 0 [ ] 1 1 = 1 0 [ ] 1 0 0 0 [ ] 0 1 = 0 1 [ ] 1 1 1 0 [ ] 0 1. 0 0

Macierze 6 1.2 Wyznacznik Definicja 1.2.1 Każdej macierzy kwadratowej stopnia n można przyporzadkować liczbę rzeczywistą det A zwaną wyznacznikiem macierzy. Postępujemy w następujący sposób: ] 1. Jeśli n = 1, czyli A = [a 11, to przyjmujemy det A = a 11. 2. Jeśli n 2 i wiemy czym jest wyznacznik macierzy stopnia n 1, to przyjmujemy det A = a 11 ( 1) 1+1 det A 11 + a 12 ( 1) 1+2 det A 12 +... + a 1n ( 1) 1+n det A 1n. (L) gdzie A ij oznacza macierz kwadratową stopnia n 1 powstałą z macierzy A przez pominięcie i-tego wiersza i j-tej kolumny. Wzór (L) nosi nazwę rozwinięcia Laplace a (tu względem pierwszego wiersza). Wyznacznik macierzy kwadratowej oznaczamy również w postaci a 11 a 12... a 1n a det A = 21 a 22... a 2n................... a n1 a n2... a nn Przykład 1.2.1 a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11( 1) 1+1 a22 + a12 ( 1) 1+2 a21 = a11 a 22 a 12 a 21, Uwaga 1.2.1 W podobny sposób możemy otrzymać wzór na wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia trzy. Wygodniej stosuje się jednak tak zwany schemat Sarrusa: a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22 = a 31 a 32 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 31 a 22 a 13 a 32 a 23 a 11 a 33 a 21 a 12. Uwaga 1.2.2 Do obliczania wyznaczników macierzy wyższego stopnia stosujemy zawsze rozwinięcie Laplace a wybierając wiersz lub kolumnę z największą liczbą zer. Własność 1.2.1 Mamy następujące własności wyznaczników: 1. Wyznacznik macierzy zerowej równy jest zero. 2. Wyznacznik macierzy, której wszystkie elementy nad lub pod główną przekątna są zerami równy jest iloczynowi wyrazów na głównej przekątnej tej macierzy, tzn. a 11 0... 0 a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... 0 0 a = 22... a 2n = a..................................... 11 a 22 a nn. a n1 a n2... a nn 0 0... a nn 3. Jeśli macierz posiada chociaż jeden wiersz (kolumnę) składającą się tylko z zer, to wyznacznik macierzy równy jest zero. 4. Jeśli elementy pewnego wiersza (kolumny) są proporcjonalne do innego wiersza (kolumny), to wyznacznik macierzy równy jest zero.

Macierze 7 5. Jeśli w macierzy zamienimy wiersze na kolumny, to wyznacznik macierzy nie zmieni się. 6. Jeśli w macierzy przestawimy dwa wiersze (dwie kolumny), to wartość wyznacznika macierzy zmieni się na przeciwną. 7. Jeśli wszystkie elementy pewnego wiersza (kolumny) danej macierzy pomnożymy przez liczbę λ R, to wartość wyznacznika macierzy też zostanie pomnożona przez liczbę λ R. 8. dla dwóch macierzy kwadratowych A, B stopnia n mamy det(ab) = det A det B

Macierze 8 1.3 Macierz odwrotna Twierdzenie 1.3.1 Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n. Jeśli wyznacznik det A 0, to istnieje dokładnie jedna macierz kwadratowa B stopnia n taka, że A B = B A = I n. Definicja 1.3.1 Macierz B występującą w powyższym twierdzeniu nazywamy macierzą odwrotną do macierzy A i oznaczamy symbolem A 1. Istnieją dwa sposoby wyznaczania macierzy odwrotnej. Pierwszy z nich nazywamy sposobem wyznacznikowym. Można go podzielić na pięć kroków. 1. Sprawdzamy, czy det A 0. 2. Wyznaczamy dopełnienia algebraiczne elementów macierzy A, to znaczy liczby W ik = ( 1) i+k det A ik, i, k = 1, 2,..., n, gdzie A ik jest macierzą kwadratową stopnia n, która powstaje z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i k-tej kolumny. ] 3. Budujemy macierz B = [W ik z wyznaczonych w kroku 2 dopełnień algebraicznych. n n 4. Wyznaczamy macierz transponowaną B T. 5. Wyznaczamy macierz odwrotną według wzoru A 1 = 1 det A BT. Drugi sposób to metoda Gaussa, która polega na przekształceniach elementarnych wierszy macierzy. Definicja 1.3.2 Elementarnymi przekształceniami macierzy nazywamy: 1. zamianę miejscami dwóch dowolnych wierszy, 2. pomnożenie dowolnego wiersza macierzy przez dowolną liczbę różną od 0, 3. dodanie do dowolnego wiersza dowolnego innego wiersza tej macierzy, pomnożonego przez dowolną liczbę. Niech A będzie ] macierzą kwadratową stopnia n o wyznaczniku det A 0. Tworzymy macierz postaci [A I n, gdzie po wyrazach macierzy A dopisana jest macierz jednostkowa I n stopnia n 2n n (kreska pionowa jest tylko umownym] separatorem). [ Stosując ] przekształcenia elementarne na wierszach przekształcamy macierz [A I n w macierz I n B. Wówczas B jest poszukiwaną macierzą odwrotną A 1. Przykład 1.3.1 Wyznaczymy dwoma sposobami macierz odwrotną do macierzy 2 0 1 A = 1 1 1 1 0 1 1. Wyznacznik det A = 1 0.

Macierze 9 2. Znajdujemy dopełnienia algebraiczne W 11 = ( 1) 1+1 1 1 0 1 = 1, W 12 = ( 1) 1+2 1 1 1 1 = 0, W 13 = ( 1) 1+3 1 1 1 0 = 1, W 21 = ( 1) 2+1 0 1 0 1 = 0, W 22 = ( 1) 2+2 2 1 1 1 = 1, W 23 = ( 1) 2+3 2 0 1 0 = 0, W 31 = ( 1) 3+1 0 1 1 1 = 1, W 32 = ( 1) 3+2 2 1 1 1 = 1, W 33 = ( 1) 3+3 2 0 1 1 = 2. 3. Macierz dopełnień algebraicznych jest równa 1 0 1 B = 0 1 0 1 1 2 4. Transponujemy macierz B 1 0 1 B T = 0 1 1 1 0 2 5. Macierzą odwrotną do macierzy A jest A 1 = 1 det A BT = 1 0 1 0 1 1. 1 0 2 Teraz macierz odwrotną A 1 wyznaczymy stosując metodę Gaussa. ] [A 2 0 1 1 0 0 I 3 = 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 w 1 = w 1 w 3 w 2 = w 2 w 3 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 w3 = w 1 0 0 1 0 1 3 w 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 2 Stąd 1 0 1 A 1 = 0 1 1. 1 0 2 1.4 Rząd macierzy Definicja 1.4.1 Niech A będzie macierzą wymiaru m n. Wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia r min{m, n} powstałej z macierzy A przez skreślenie m r wierszy i n r kolumn nazywamy minorem macierzy A. Liczbę r nazywamy stopniem minora. Przykład 1.4.1 Niech 1 0 1 3 A = 0 2 0 1 2 2 3 0

Macierze 10 Minorami stopnia 2 tej macierzy są na przykład: 1 0 0 2 = 2, 1 1 0 0 = 0, 0 3 2 0 = 6. Pierwszy z nich jest wyznacznikiem macierzy otrzymanej z macierzy A przez skreślenie trzeciego wiersza oraz trzeciej i czwartej kolumny. Drugi z nich otrzymujemy przez skreślenie trzeciego wiersza oraz drugiej i czwartej kolumny, natomiast trzeci minor otrzymujemy skreślając drugi wiersz oraz pierwszą i trzecią kolumnę macierzy A. Definicja 1.4.2 Rzędem macierzy A nazywamy maksymalny ze stopni jej niezerowego minora. Rząd macierzy A oznaczamy symbolem rz A. Przykład 1.4.2 Niech A = [ ] 1 2. 2 4 Pokażemy, że rz A = 1. Istotnie, wszystkie minory macierzy A stopnia 2 (a jest tylko jeden taki minor) są równe zero, bo 1 2 2 4 = 4 4 = 0. Istnieje jednak minor stopnia 1 macierzy A, który jest różny od zera, gdyż na przykład 4 = 4 0. Twierdzenie 1.4.1 Rząd macierzy nie zmieni się, gdy: 1. Zamienimy wiersze na kolumny. 2. Przestawimy dwa wiersze (dwie kolumny). 3. Pomnożymy elementy pewnego wiersza (kolumny) przez tę samą liczbę różną od zera. 4. Do elementów pewnego wiersza (kolumny) dodamy elementy innego wiersza (kolumny) pomnożone przez tę samą liczbę różną od zera. 5. Pominiemy wiersz (kolumnę) złożoną z samych zer. 6. Pominiemy jeden z dwóch wierszy (kolumn) o elementach proporcjonalnych. W poniższych przykładach wyznaczymy rzędy macierzy korzystając z powyższego twierdzenia. Przykład 1.4.3 1 1 0 2 3 rz 2 2 0 4 6 = w2 = 1 2 w 1 1 0 2 3 [ ] 1 1 0 2 3 2 = rz 1 1 0 2 3 = rz, 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 gdyż w 1 = w 2. Jeden z minorów otrzymanej macierzy 1 1 0 1 = 1 0, więc 1 1 0 2 3 rz 2 2 0 4 6 = 2. 0 1 1 1 1

Macierze 11 Przykład 1.4.4 8 2 2 1 1 8 1 2 1 1 rz 1 7 4 2 5 = k2 = k 2 + k 4 = rz 1 5 4 2 5 = k 2 = k 5 = 2 4 2 1 3 2 3 2 1 3 8 1 2 1 8 1 2 2 8 1 2 = rz 1 5 4 2 = k4 = 2k 4 = rz 1 5 4 4 = k 3 = k 4 = rz 1 5 4. 2 3 2 1 2 3 2 2 2 3 2 Minor stopnia 3 ostatniej macierzy jest równy 8 1 2 1 5 4 = 80 8 + 6 + 20 96 2 = 0 2 3 2 i istnieje niezerowy minor stopnia 2 tej macierzy 8 1 = 40 1 = 39 0. 1 5 Zatem 8 2 2 1 1 8 1 2 rz 1 7 4 2 5 = rz 1 5 4 = 2. 2 4 2 1 3 2 3 2 Dla macierzy kwadratowej prawdziwe jest następujące Twierdzenie 1.4.2 Macierz kwadratowa A stopnia n ma rząd równy n wtedy i tylko wtedy gdy det A 0.

ROZDZIAŁ 2 Układy równań liniowych 2.1 Układ równań liniowych i jego rozwiązanie Definicja 2.1.1 Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n ma postać a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2.................................. a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = b m gdzie a ij, b i R dla i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n. Liczby a ij nazywamy współczynnikami, liczby b i wyrazami wolnymi układu. Ze współczynników tworzymy tzw. macierz układu a 11 a 12... a 1n a A = 21 a 22... a 2n..................... a m1 a m2... a mn Ze współczynników i wyrazów wolnych tworzymy tzw. macierz uzupełnioną (rozszerzoną) układu a 11 a 12... a 1n b 1 a U = 21 a 22... a 2n b 2........................., a m1 a m2... a mn b m gdzie w ostatniej kolumnie stoi kolumna wyrazów wolnych, którą oznaczamy b 2 B =. b 1. b m Przy powyższych oznaczeniach układ równań liniowych możemy zapisać w postaci macierzowej gdzie X oznacza kolumnę zmiennych A X = B, x 1 x 2 X =.. x n Jeżeli B jest macierzą zerową, to układ równań liniowych nazywamy układem jednorodnym. Rozwiązaniem układu równań liniowych nazywamy każdy punkt x = (x 1, x 2,..., x n ), którego współrzędne x 1, x 2,..., x n spełniają wszystkie równania układu. Jest to zatem punkt przestrzeni R n. Układ równań liniowych nazywamy:

Układy równań liniowych 13 sprzecznym, gdy nie ma rozwiązań, oznaczonym, gdy posiada dokładnie jedno rozwiązanie, nieoznaczonym, gdy posiada nieskończenie wiele rozwiązań. Uwaga 2.1.1 Układ jednorodny posiada co najmniej jedno rozwiązanie (rozwiązanie zerowe). 2.2 Układ Cramera Definicja 2.2.1 Układ n równań o n niewiadomych a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2................................ a n1 x 1 + a n2 x 2 +... + a nn x n = b n nazywamy układem Cramera, gdy wyznacznik jego macierzy det A 0. Twierdzenie 2.2.1 (Cramera) Układ Cramera jest układem oznaczonym, czyli ma dokładnie jedno rozwiązanie x = (x 1, x 2,..., x n ), którego współrzędne określone są wzorem x j = det A j, j = 1, 2,..., n, det A gdzie A j jest macierzą kwadratową stopnia n powstałą z macierzy A przez zastąpienie j-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych, tzn. a 11 a 12... a 1j 1 b 1 a 1j+1... a 1n a A j = 21 a 22... a 2j 1 b 2 a 1j+1... a 2n........................................... a n1 a n2... a nj 1 b n a nj+1... a nn Przykład 2.2.1 Rozwiążemy układ równań x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 6 4x 1 + x 2 + 4x 3 = 9 3x 1 + 5x 2 + 2x 3 = 5 Macierzą tego układu jest 1 2 3 A = 4 1 4. 3 5 2 Jej wyznacznik jest równy 1 2 3 det A = 4 1 4 = 2 + 24 + 60 9 20 16 = 41 0. 3 5 2 Zatem jest to układ Cramera, który na podstawie powyższego twierdzenia ma dokładnie jedno rozwiązanie x = (x 1, x 2, x 3 ), gdzie x 1 = det A 1 det A, x 2 = det A 2 det A, x 3 = det A 3 det A,

Układy równań liniowych 14 6 2 3 1 6 3 1 2 6 det A 1 = 9 1 4 = 16, det A 2 = 4 9 4 = 1, det A 3 = 4 1 9 = 76. 5 5 2 3 5 2 3 5 5 Zatem jedynym rozwiązaniem tego układu jest punkt x = ( 16 41, 1 41, 76 41 ). Uwaga 2.2.1 Układ Cramera można rozwiązać jako równanie macierzowe mnożąc lewostronnie obie strony równania przez macierz odwrotną do A, tzn. jeśli AX = B, to wówczas i otrzymujemy A 1 AX = A 1 B X = A 1 B.

Układy równań liniowych 15 2.3 Układ Kroneckera-Capelliego Definicja 2.3.1 Układ m równań o n niewiadomych a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2.................................. a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = b m nazywamy układem Kroneckera-Capelliego, gdy rząd macierzy A tego układu równy jest rzędowi macierzy uzupełnionej U tego układu, czyli gdy rz A = rz U. Twierdzenie 2.3.1 (Kroneckera-Capelliego) Układ równań liniowych posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy jest układem Kroneckera-Capelliego. Ponadto jeśli rz A = r = n, to układ Kroneckera-Capelliego ma dokładnie jedno rozwiązanie, jeśli rz A = r < n, to układ Kroneckera-Capelliego ma nieskończenie wiele rozwiązań. Rozwiązania te zależą od n r parametrów. Wniosek 2.3.1 Jeżeli rz A rz U, to układ równań (2.1) jest sprzeczny. Przykład 2.3.1 Zbadamy liczbę rozwiązań układu równań 2x 1 + x 2 x 3 x 4 + x 5 = 1 x 1 x 2 + x 3 + x 4 2x 5 = 0 3x 1 + 3x 2 3x 3 3x 4 + 4x 5 = 2 Macierz A i macierz uzupełniona U tego układu są równe 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 A = 1 1 1 1 2, U = 1 1 1 1 2 0. 3 3 3 3 4 3 3 3 3 4 2 2 1 1 1 1 rz A = rz 1 1 1 1 2 = k 3 = k 4 k2 3 3 3 3 4 = k 2 Ponieważ minory 2 1 1 1 1 2 = 0, 3 3 4 2 1 1 1 2 1 1 = rz 1 1 1 2 = rz 1 1 2 3 3 3 4 3 3 4 2 1 1 1 = 3 0, to rz A = 2. Podobnie sprawdzamy, że rz U = 2, a zatem rz A = rz U = 2 < 5. Wobec twierdzenia Kroneckera-Capelliego powyższy układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od 5 2 = 3 parametrów. Przykład 2.3.2 Na wykładzie zbadamy liczbę rozwiązań następujących układów równań: (2.1) 1. 2x 1 + 4x 3 = 1 x 2 x 4 = 0 x 1 x 2 + 2x 3 + x 4 = 0 2. 2x 1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 1 x 1 2x 2 = 2 2x 1 x 2 = 1

ROZDZIAŁ 3 Ciągi liczbowe 3.1 Zasada indukcji matematycznej Definicja 3.1.1 Jeżeli podzbiór A N jest taki, że 1 A oraz dla każdego k N z faktu że k A wynika, że k + 1 A, to A = N. Przykład 3.1.1 Korzystając z indukcji matematycznej, udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n prawdziwa jest nierówność 2 n 1 n. Zdefiniujmy zbiór A w następujący sposób: A := {n N : 2 n 1 n}. Zauważmy, że 1 A, gdyż podstawiając n = 1 do badanej nierówności otrzymujemy 1 1. Załóżmy teraz, że n A, tzn. n spełnia nierówność 2 n 1 n (jest to założenie indukcyjne). Pokażemy, że n + 1 A, czyli, że spełniona jest nierówność 2 n n + 1. Istotnie, korzystając z założenia indukcyjnego, mamy 2 n = 2 2 n 1 2n = n + n n + 1. Na mocy zasady indukcji matematycznej stwierdzamy, że A = N, co oznacza, że badana nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej. 3.2 Podstawowe definicje. Definicja 3.2.1 Ciągiem nieskończonym nazywamy każdą funkcję f określoną na zbiorze liczb naturalnych. Wartości tej funkcji nazywamy wyrazami ciągu i oznaczamy f(n) = a n, n N, a ciąg o wyrazach a n zapisujemy symbolem (a n ) n N lub a 1, a 2,...Ciągi nieskończone o wyrazach rzeczywistych będziemy nazywać krótko ciągami. Przykład 3.2.1 Ponieważ ciąg określiliśmy jako dowolną funkcję na zbiorze liczb naturalnych, więc ciągi mogą być zadawane w różnoraki sposób: 1. Ciągi zadane za pomocą wzoru np. f(n) = 2n, n N, lub inaczej a n = 2n. Zbiorem wartości tego ciągu jest zbiór liczb parzystych. 2. Ciągi zadane przepisem, np. f(n) =(n ta liczba pierwsza), n N lub inaczej a n = (n ta liczba pierwsza). Zbiorem wartości tego ciągu jest zbiór wszystkich liczb pierwszych. 3. Ciągi zadane rekurencyjnie, np. f(1) = 1, f(2) = 1, f(n) = f(n 1) + f(n 2) dla n > 2 (ciąg ten nazywany jest ciągiem Fibonacciego). Definicja 3.2.2 Ciąg (a n ) n N liczb rzeczywistych nazywamy rosnącym, jeśli spełniony jest warunek (a n < a n+1 ). n N

Ciągi liczbowe 17 a n a 7 a 6 a 5 a 4 1 2 3 4 5 6 7 n a 3 a 2 a 1 Rysunek 3.1: Przykład ciągu liczbowego a n = n 4. Definicja 3.2.3 Ciąg (a n ) n N liczb rzeczywistych nazywamy malejącym, jeśli spełniony jest warunek (a n > a n+1 ). n N Definicja 3.2.4 Ciąg (a n ) n N liczb rzeczywistych nazywamy niemalejącym, jeśli spełniony jest warunek n N (a n a n+1 ). Definicja 3.2.5 Ciąg (a n ) n N liczb rzeczywistych nazywamy nierosnącym, jeśli spełniony jest warunek n N (a n a n+1 ). Definicja 3.2.6 Ciąg (a n ) n N liczb rzeczywistych nazywamy ograniczonym z dołu, jeśli spełniony jest warunek a n m. m R n N Definicja 3.2.7 Ciąg (a n ) n N liczb rzeczywistych nazywamy ograniczonym z góry, jeśli spełniony jest warunek a n M. M R n N Definicja 3.2.8 Ciąg (a n ) n N liczb rzeczywistych nazywamy ograniczonym, jeśli jest ograniczony z dołu i z góry, tzn. jeśli spełniony jest warunek m a n M. m, M R n N 3.3 Ciąg arytmetyczny i geometryczny W teorii ciągów liczbowych istotną rolę odgrywają dwa typy ciągów, mianowicie ciąg arytmetyczny i geometryczny.

Ciągi liczbowe 18 Definicja 3.3.1 Ciąg (a n ) n N liczb rzeczywistych nazywamy arytmetycznym, jeżeli wyrazy tego ciągu spełniają warunek r R n N a n+1 = a n + r. Stała liczba r R w powyższym równaniu zwana jest różnicą ciągu arytmetycznego. Na podstawie definicji ciągu arytmetycznego istnieje zależność między wyrazami taka, iż każdy następny wyraz ciągu powstaje poprzez dodanie do bezpośrednio go poprzedzającego stałej wartości r, oznacza to, że istnieje również zależność między pierwszym, a dowolnym wyrazem ciągu wyrażająca się wzorem a n = a 1 + (n 1)r. Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi: S n = a 1 + a 2 +... + a n = n a1 + a n. 2 Definicja 3.3.2 Ciąg (a n ) n N liczb rzeczywistych nazywamy geometrycznym, jeżeli wyrazy tego ciągu spełniają warunek q R n N a n+1 = a n q. Stała liczba q R w powyższym równaniu zwana jest ilorazem ciągu geometrycznego. Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wynosi: a S n = 1 1 qn dla q 1, 1 q na 1 dla q = 1. 3.4 Granica ciągu liczbowego. Definicja 3.4.1 Mówimy, że ciąg (a n ) n N ma granicę a (inaczej: dąży do a lub jest zbieżny do liczby a R), gdy dla dowolnej liczby rzeczywistej ε > 0 istnieje taka liczba N N, że dla wszystkich n N prawdziwa jest nierówność a n a < ε. Aby zapisać, że ciąg (a n ) n N dąży do granicy a, piszemy zwykle a n a gdy n, lub a = n a n. Stosując kwantyfikatory powyższą definicję możemy zapisać następująco: a n = a ε>0 N N n N a n a < ε. n Ponieważ nierówność występująca w definicji jest równoważna nierówności a ε < a n < a + ε, więc równoważnie możemy powyższą definicję wypowiedzieć następująco: ciąg (a n ) ma granicę a, gdy dla dowolnego ε > 0 prawie wszystkie wyrazy tego ciągu, leżą w przedziale (a ε, a + ε). Przykład 3.4.1 Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnimy, że Wykażemy, że 1 n n = 0. 1 ε>0 N N n N n 0 < ε.

Ciągi liczbowe 19 a n a + ε a a ε 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 n Rysunek 3.2: Granica ciągu liczbowego. Niech ε > 0 będzie dowolne ustalone. Szukamy takiego N N, aby dla wszystkich n N zachodziła nierówność 1 n 0 = 1 n = 1 n < ε Należy tak przekształcić powyższą nierówność, aby można było oszacować n. Otrzymujemy więc 1 n < ε 1 < nε n > 1 ε. [ ] Wystarczy zatem położyć N = 1 ε. Pokazaliśmy więc, że przy dowolnym wyborze ε istnieje takie N, dla którego spełniona jest nierówność 1 n 0 < ε. Stąd 1 n n = 0. a n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n Rysunek 3.3: Ciąg liczbowy a n = 1 n Symbole nieoznaczone,, 0, 0 0, 00, 0, 1 3.5 Własności ciągów zbieżnych. Twierdzenie 3.5.1 Jeżeli ciąg liczbowy jest zbieżny, to ma dokładnie jedną granicę. Twierdzenie 3.5.2 Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.

Ciągi liczbowe 20 a n 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n Rysunek 3.4: Ciąg monotoniczny i ograniczony a n = 1 1 n. Twierdzenie 3.5.3 Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny. Twierdzenie 3.5.4 Jeśli ciąg (a n ) jest zbieżny do zera, zaś ciąg (b n ) jest ograniczony, to ciąg (a n b n ) jest zbieżny do zera. sin n Przykład 3.5.1 Obliczyć granicę ciągu n + n. Połóżmy a n = 1 n oraz b 1 n = sin n dla n N. Zauważmy, że n a n = n n = 0 oraz ciąg {b n } jest ograniczony, gdyż n N sin n 1. Zatem z twierdzenia 3.5.4 otrzymujemy, że sin n n n = a nb n = 0. n Twierdzenie 3.5.5 Niech (a n ) i (b n ) będą ciągami zbieżnymi i niech a n a i b n b. Niech c R. Wówczas (1) n (a n + b n ) = a + b, (2) n (a n b n ) = a b, (3) n (c a n) = c a, (4) n (a nb n ) = ab, a n (5) = a n b n b, przy założeniu, że b n, b 0 dla każdego n, (6) n + a n = a = (7) n + a n = 0 a n = a, n + a n = 0. n + Uwaga 3.5.1 1. Założenie, że istnieją granice n a n i n b n jest istotne w powyższym twierdzeniu, gdyż np. dla ciągów rozbieżnych a n = n i b n = n istnieje granica ich sumy i podobnie dla ciągów a n = 1/n 2 i b n = n w przypadku iloczynu i ilorazu. 2. Założenie w punkcie 5, że b n 0 dla każdego n nie jest istotne. Jeśli tylko b 0, to począwszy od pewnego wskaźnika zawsze jest b n 0. Zatem zmieniając (lub pomijając) pewne wyrazy początkowe (wiemy, że to nie wpływa na wartość granicy) możemy stosować punkt 5 również do ciągów o skończonej ilości wyrazów. Twierdzenie 3.5.6 (1) n 1/n α = 0, gdy α R, α > 0,

Ciągi liczbowe 21 (2) n n a = 1, dla dowolnego a > 0, (3) n n n = 1, (4) n n α /x n = 0, gdy α R, x R, x > 1, (5) n x n = 0, gdy x R, x < 1, (6) n sin(1/n) = 0, n cos(1/n) = 1, (7) n sin 1 n / 1 n = 1. ( Przykład 3.5.2 Znaleźć granicę ciągu o wyrazie ogólnym: a n = 3 n + 5 n ( n ) 3 2 3). 2 Na podstawie twierdzeń 3.5.5 oraz 3.5.6 mamy ( 3 a n = n n 2 + 5 n ( 2 n ) ( ) 3 3 = 3) n n 2 + 5 n ( ) 2 n 3 = n n 3 ( ) = 3 1 n n n 1 n n + 5 n 2 n 3 = n n 3 = 3 0 0 + 5 1 0 = 5. Przykład 3.5.3 Znaleźć granicę ciągu o wyrazie ogólnym: a n = 4n2 3n + 4 2 + 2n 3n 2. Dzieląc licznik i mianownik przez najwyższą potęgę zmiennej n występującą w mianowniku ułamka, tj. przez n 2, otrzymujemy 4n 2 a n = n 2 3n n 2 + 4 n 2 4 3 2 n 2 + 2n = n + 4 n 2 n 2 3n2 2 n 2 n 2 + 2. n 3 Zauważmy, że przy n mamy 3/n 0, 4/n 2 0, 2/n 2 0, 2/n 0, więc = 4n2 3n + 4 4 3 n 2 + 2n 3n 2 = n + 4 n 2 4 0 + 0 n 2 n 2 + 2 = n 3 0 + 0 3 = 4 3. Twierdzenie 3.5.7 (o trzech ciągach.) Przypuśćmy, że dane są trzy ciągi liczbowe (a n ), (b n ) i (c n ) takie, że dla prawie wszystkich n N a n b n c n. Załóżmy, że Wtedy ciąg (b n ) jest zbieżny oraz n b n = g. a n = g = c n. n n Przykład 3.5.4 Znaleźć granicę ciągu o wyrazie ogólnym Rozwiązanie. Z założenia Ponieważ więc a n = n 10 n + 9 n + 8 n. a n = n 10 n + 9 n + 8 n. 10 n 10 n, 9 n < 10 n, 8 n < 10 n, 10 n + 9 n + 8 n < 10 n + 10 n + 10 n = 3 10 n.

Ciągi liczbowe 22 Stąd Oczywiste jest, że: stąd n 10 n + 9 n + 8 n < n 3 10 n = 10 n 3. 10 n < 10 n + 9 n + 8 n, n 10 n < n 10 n + 9 n + 8 n. Biorąc pod uwagę powyższe nierówności dostajemy Ponieważ 10 < n 10 n + 9 n + 8 n < 10 n 3. 10 = 10 oraz 10 n 3 = 10 n n zatem na mocy twierdzenia o trzech ciągach dostajemy, że n n 10 n + 9 n + 8 n = 10. Twierdzenie 3.5.8 (Liczba e) (1) Ciąg {e n } R o wyrazach e n = granicę oznaczamy przez e, przy czym e 2, 71828182845.... ( 1 + 1 n) n jest zbieżny. Jego (2) Jeśli {a n } R jest ciągiem o wyrazach dodatnich takim, że n + a n = +, to ( 1 + 1 ) an = e. (3.1) n + a n ( ) Przykład 3.5.5 Obliczymy granicę ciągu a n = n+5 n. n W tym celu musimy dokonać takich przekształceń, aby móc skorzystać z punktu 2 ostatniego twierdzenia. Mamy więc ( ) n + 5 n ( = 1 + 5 ( n = 1 + n n) 1 ) n 5 5 n. 5 Z równości (3.1) wynika, że Ostatecznie więc n + n + ( 1 + 1 n 5 ) n 5 = e. ( ) n + 5 n = e 5. Na wykładzie obliczymy granice następujuących ciągów liczbowych: 1. a n = e 2n 5 n+1 2. a n = 9n 2 5n + 4 3n 3. a n = 2 5n +4 7 5 n 2 4. a n = 3n +7 4 n 5 4 n 2 n 5. a n = n 5n 3 7n 2 + n + 3 6. a n = ( n 2 +5 n 2 ) n 2 +3 n

Ciągi liczbowe 23 3.6 Granice niewłaściwe ciągów. Definicja 3.6.1 Ciąg (a n ) ma granicę niewłaściwą + (lub dąży do + lub jest zbieżny do + ), gdy dla dowolnego R > 0 istnieje liczba naturalna N, taka, że a n > R. W symbolicznym zapisie R>0 N N n>n a n > R. Podobnie określamy granicę niewłaściwą ciągu (a n ). W symbolicznym zapisie R>0 N N n>n a n < R. Fakt, że ciąg (a n ) ma granicę + zapisujemy n = + lub a n. Podobnie w przypadku granicy. Dla odróżnienia granice ciągu w poprzednim sensie nazywamy granicami właściwymi lub skończonymi. Twierdzenie 3.6.1 Ciąg ma co najwyżej jedną granicę (właściwą lub niewłaściwą). Twierdzenie 3.6.2 Ciąg (a n ) rosnący (malejący) i nieograniczony z góry (z dołu) jest zbieżny do +, ( ). Twierdzenie 3.6.3 Jeśli n a n = ±, to n 1/a n = 0. Twierdzenie 3.6.4 (1) n a n = 0 jeśli 1 < a < 1. (2) n a n = 1 jeśli a = 1. (3) n a n = + jeśli a > 1. (4) n a n nie istnieje, jeśli a 1. Twierdzenie 3.6.5 Jeżeli n a n = a i n b n =, to (1) n (a n + b n ) = +, (2) n (a n b n ) =, (3) n (a n b n ) = + jeżeli a > 0, (4) n (a n b n ) = jeżeli a < 0, (5) n a n /b n = 0, jeżeli b n 0, dla n N. Twierdzenie 3.6.6 Jeżeli n a n = + i n b n = +, to (1) n (a n + b n ) = +, (2) n (a n b n ) = +. Twierdzenie 3.6.7 Jeśli {a n } R jest ciągiem liczbowym o wyrazach dodatnich (to znaczy n N : a n > 0), to (1) jeśli n + a n+1 a n = a < 1, to n + a n = 0; (2) jeśli n + a n+1 a n = a > 1, to n + a n = +.

ROZDZIAŁ 4 Funkcje 4.1 Definicje i własności Niech X, Y będą zbiorami niepustymi. Definicja 4.1.1 Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y (co zapisujemy f : X Y ) nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x ze zbioru X dokładnie jednego elementu y ze zbioru Y. Zamiast funkcja mówimy też odwzorowanie lub przekształcenie i zapisujemy: x y = f(x) gdzie x X i y Y Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji lub zbiorem argumentów, zaś zbiór Y przeciwdziedziną funkcji lub zbiorem wartości. Definicja 4.1.2 Funkcję f nazywamy różnowartościową w zbiorze A, gdy (x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 )). x 1,x 2 A Definicja 4.1.3 Funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y, gdy y Y y = f (x). x X Definicja 4.1.4 Funkcję f nazywamy wzajemnie jednoznaczną, gdy jest różnowartościowa i na. Definicja 4.1.5 Niech f : X Y będzie funkcją różnowartościową i na. Funkcją odwrotną do funkcji f nazywamy funkcję f 1 : Y X taką, że y = f (x) x = f 1 (y) x,y X Definicja 4.1.6 Niech X, Y, Z będą dowolnymi zbiorami niepustymi. Superpozycją (złożeniem) funkcji f : X Y i g : Y Z nazywamy funkcję g f : X Z określoną wzorem (g f) (x) = g (f (x)) dla x X. Niech teraz f : X Y będzie dowolną funkcją rzeczywistą, A X niepustym zbiorem. Definicja 4.1.7 Funkcję f nazywamy rosnącą w zbiorze A, gdy (x 1 < x 2 f (x 1 ) < f (x 2 )). x 1,x 2 A Definicja 4.1.8 Funkcję f nazywamy malejącą w zbiorze A, gdy (x 1 < x 2 f (x 1 ) > f (x 2 )). x 1,x 2 A

Funkcje 25 Definicja 4.1.9 Funkcję f nazywamy niemalejącą, gdy (x 1 < x 2 f (x 1 ) f (x 2 )). x 1,x 2 A Definicja 4.1.10 Funkcję f nazywamy nierosnącą w zbiorze A, gdy (x 1 < x 2 f (x 1 ) f (x 2 )). x 1,x 2 A Definicja 4.1.11 Funkcję f nazywamy ograniczoną z dołu jeśli f (x) m m R Definicja 4.1.12 Funkcję f nazywamy ograniczoną z góry jeśli f (x) M M R Definicja 4.1.13 Funkcję f nazywamy ograniczoną, jeśli jest ograniczona z dołu i z góry. Definicja 4.1.14 Funkcję f nazywamy parzystą, jeśli f ( x) = f (x). x, x X Definicja 4.1.15 Funkcję f nazywamy nazywamy nieparzystą, jeśli f ( x) = f (x). x, x X Definicja 4.1.16 Funkcję f nazywamy okresową o okresie T > 0 jeśli f (x + T ) = f (x). x,x+t X Najmniejszą liczbę T > 0 nazywamy okresem podstawowym funkcji f. Definicja 4.1.17 Miejscem zerowym funkcji f nazywamy taki argument x 0 X, dla którego f (x 0 ) = 0. 4.2 Funkcje elementarne 4.2.1 Funkcja liniowa Definicja 4.2.1 Funkcją liniową nazywamy funkcję f : R R postaci f (x) = ax + b, gdzie a, b R. Dziedziną funkcji liniowej jest R. Wykresem funkcji liniowej jest prosta. Twierdzenie 4.2.1 Funkcja liniowa f (x) = ax + b jest: rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy a > 0, malejąca wtedy i tylko wtedy, gdy a < 0, stała wtedy i tylko wtedy, gdy a = 0, Funckja liniowa f (x) = ax + b posiada miejsce zerowe x 0 = b a jeśli a 0.

Funkcje 26 y 0 x Rysunek 4.1: Funkcja f(x) = x + 1, x R. y 0 x Rysunek 4.2: Funkcja f(x) = x + 1, x R. 4.2.2 Funkcja kwadratowa Definicja 4.2.2 Funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) nazywamy funkcję f : R R postaci f (x) = ax 2 + bx + c, (4.1)

Funkcje 27 y 0 x Rysunek 4.3: Funkcja f(x) = 1, x R. gdzie a, b, c R oraz a 0. Dziedziną funkcji kwadratowej jest R. Twierdzenie 4.2.2 Dla funkcji kwadratowej f(x) = ax 2 + bx + c znajdujemy = b 2 4ac. Wówczas jeśli: > 0, to f posiada dwa miejsca zerowe postaci x 1 = b 2a = 0, to f posiada jedno miejsce zerowe postaci < 0, to f nie posiada miejsc zerowych., x 2 = b +, 2a x 0 = b 2a, Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku o współrzędnych x w = b 2a y w = 4a. 4.2.3 Własności działań na potęgach Niech n, m N, a, b > 0 1. a n a m = a n+m 2. a n a m = a n m 3. a n b n = (ab) n

Funkcje 28 y 0 x Rysunek 4.4: Funkcja f(x) = x 2 + 2x + 1, x R. y 0 x Rysunek 4.5: Funkcja f(x) = x 2 + 2x + 2, x R. 4. a n b n = ( a b )n 5. (a n ) m = a nm 6. a 1 n = n a 7. a m n = n a m = ( n a) m 8. a n = ( 1 a )n = 1 a n

Funkcje 29 4.2.4 Funkcje potęgowe i pierwiastkowe Definicja 4.2.3 Niech α R będzie ustaloną liczbą rzeczywistą. Funkcją potęgową o wykładniku α nazywamy funkcję określoną wzorem f(x) = x α. Celowo nie podajemy dziedziny tej funkcji, ponieważ zależy to od wykładnika α. 1. gdy α N to dziedziną tej funkcji jest cały zbiór liczb R. 2. gdy α Z \ N to dziedziną tej funkcji jest R \ {0}. 3. dla pozostałych liczb α R dziedziną tej funkcji jest R +. Dodatkowo dla α > 0 dookreślamy funkcję potęgową w punkcie 0 wzorem 0 α = 0. Definicja 4.2.4 Niech n N. Funkcję pierwiastkową n tego stopnia nazywamy funkcję: f(x) = n x, { R 0 x + gdy n jest liczbą parzystą, R gdy n jest liczbą nieparzystą. Uwaga 4.2.1 Z przyjętych definicji wynika, że dla n parzystych funkcja pierwiastkowa n x jest identyczna z funkcją potęgową x 1 n, zaś dla n nieparzystego są to funkcje różne (bo mają różne dziedziny). Są one identyczne tylko w zbiorze liczb nieujemnych. Nie możemy zdefiniować np. funkcji x 1 3 dla x < 0 z powodów podanych w poprzedniej uwadze. Twierdzenie 4.2.3 Funkcja potęgowa x α dla x > 0 jest 1) ściśle rosnąca dla α > 0, 2) ścićle malejąca dla α < 0, 3) stała dla α = 0. 4.2.5 Funkcja wielomianowa Definicja 4.2.5 Wielomianem stopnia n N {0} nazywamy każdą funkcję W postaci W (x) = a 0 x n + a 1 x n 1 +... + a n, x R, gdzie a 0,..., a n są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i a 0 0. Dodatkowo funkcję tożsamościową równą zero, tzn. W (x) = 0 dla x R nazywamy wielomianem zerowym. Wielomian stopnia pierwszego a 0 x + a 1 nazywamy funkcją liniową, zaś stopnia drugiego a 0 x 2 + a 1 x + a 2 funkcją kwadratową. Zerem lub pierwiastkiem wielomianu W nazywamy każdą liczbę rzeczywstą x 0 taką, że W (x 0 ) = 0. Definicja 4.2.6 Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów tzn. każdą funkcję R postaci R(x) = P (x) Q(x), gdzie P, Q są wielomianami i wielomian Q nie jest wielomianem zerowym. Dziedziną funkcji wymiernej R jest zbiór liczb rzeczywistych minus zbiór zer wielomianu Q.

Funkcje 30 y 0 x Rysunek 4.6: Funkcja f(x) = (x + 3)(x 3)(x + 2), x R. 4.3 Funkcja wykładnicza Definicja 4.3.1 Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję f : R R postaci gdzie a > 0. Dziedziną funkcji wykładniczej f(x) = a x gdzie a > 0 jest R. jeśli a > 1, to f jest różnowartościową funkcją rosnącą. jeśli a (0, 1), to f jest różnowartościową funkcją malejącą. jeśli a = 1, to f jest funkcją stałą. f (x) = a x (4.2) Uwaga 4.3.1 Funkcja wykładnicza przyjmuje tylko wartości dodatnie, czyli x R ax > 0 Uwaga 4.3.2 Będziemy często rozważć funkcję wykładniczą f (x) = e x o podstawie równej liczbie Eulera e 2.718 3. Można dowieść, że e jest liczbą niewymierną. 4.4 Logarytmy i własności działań na logarytmach Definicja 4.4.1 Niech a > 0 i a 1 oraz b > 0. Logarytmem z liczby b przy podstawie a nazywamy wykładnik potęgi do jakiej trzeba podnieść podstawę a aby otrzymać liczbę logarytmowaną b. Logarytm z liczby b przy podstawie a oznaczamy symbolem log a b. Mamy zatem, że log a b = c a c = b.

Funkcje 31 y 0 x Rysunek 4.7: Funkcja f(x) = 2 x, x R. y 0 x ( ) 1 x Rysunek 4.8: Funkcja f(x) =, x R. 2 Niech a, b > 0, a 1, b 1, x, y > 0, wówczas: 1. log a x + log a y = log a (x y), ( ) x 2. log a x log a y = log a, y 3. log a x p = p log a x, dla p R, 4. log a x = log b x log b a, 4.5 Funkcja logarytmiczna Definicja 4.5.1 Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję f : (0, ) R postaci f (x) = log a x, (4.3)

Funkcje 32 gdzie a > 0 i a 1. Dziedziną funkcji logarytmicznej jest (0, ). Miejsce zerowe dowolnej funkcji logarytmicznej wynosi x = 1. Funkcja logarytmiczna log a x jest funkcą różnowartościową rosnącą jeśli a > 1 malejącą jeśli a (0, 1) Uwaga 4.5.1 Będziemy często rozważać logarytmy przy podstawie równej liczbie Eulera e. Takie logarytmy nazywamy naturalnymi i oznaczamy log e x = ln x Logarytmy o podstawie równej 10 nazywamy dziesiętnymi i oznaczamy log 10 x = log x y 0 x Rysunek 4.9: Funkcja f(x) = log 2 x, x > 0. 4.5.1 Funkcje trygonometryczne Funkcja f (x) = sin x jest określona dla x R. Jest funkcją okresową o okresie podstawowym T = 2π. Funkcja f (x) = cos x jest określona dla x R. Jest funkcją okresową o okresie podstawowym T = 2π. Funkcja f (x) = tg x jest określona dla x (2k 1) π, (k Z). Jest funkcją okresową o okresie 2 podstawowym T = π. Funkcja f (x) = ctg x jest określona dla x kπ, (k Z). Jest funkcją okresową o okresie podstawowym T = π.

Funkcje 33 y 0 x Rysunek 4.10: Funkcja f(x) = log 1 x, x > 0. 2 4.5.2 Własności funkcji trygonometrycznych 1. sin 2 x + cos 2 x = 1, dla x R, 2. tg x = sin x, dla x kπ, (k Z), cos x 3. ctg x = cos x sin x dla x π + kπ, (k Z), 2 4. tg x ctg x = 1 dla x k π, (k Z), 2 5. sin 2x = 2 sin x cos x, dla x R, 6. cos 2x = cos 2 x sin 2 x, dla x R.

ROZDZIAŁ 5 Granica i ciągłość funkcji 5.1 Granica funkcji w punkcie Definicja 5.1.1 (Heinego) Niech funkcja f określona będzie w otoczeniu pewnego punktu x 0, z wyjątkiem może samego punktu x 0. Funkcja f ma granicę g w punkcie x 0, co zapisujemy w postaci f(x) = g lub f(x) g, gdy x x 0, x x 0 jeżeli dla każdego ciągu wartości argumentu (x n ), zbieżnego do x 0 o wyrazach różnych od x 0 odpowiadający ciąg wartości funkcji (f(x n )) jest zbieżny do granicy g, tzn., że jeżeli x n = x 0, to f(x n) = g. n n W symbolicznym zapisie powyższą definicję możemy zapisać następująco x x 0 f(x) = g (xn),x n x 0 ( n x n = x 0 n f(x n) = g ). Przykład 5.1.1 Weźmy pod uwagę funkcję f(x) = 4x 1. Pokażemy, że funkcja ta posiada w punkcje x = 2 granicę równą 7. Niech (x n ) będzie zatem dowolnym ciągiem takim, że n x n = 2. Wówczas dla odpowiadającego ciągu wartości funkcji mamy f(x n) = (4x n 1) = 4 x n 1 = 8 1 = 7, n n n zatem funkcja f(x) = 4x 1 posiada w punkcje x = 2 granicę równą 7, tzn. (4x 1) = 7. x 2 5.2 Granice niewłaściwe funkcji. Definicja 5.2.1 Mówimy, że funkcja f dąży do +, gdy x x 0, jeżeli dla każdego ciągu (x n ) zbieżnego do x 0, o wyrazach różnych od x 0, odpowiedni ciąg wartości funkcji (f(x n )) jest zbieżny do +. W symbolicznym zapisie powyższą definicję możemy zapisać następująco x x 0 f(x) = + (xn),x n x 0 ( n x n = x 0 n f(x n) = + ). Analogicznie definiujemy granicę niewłaściwą funkcji f. Przykład 5.2.1 Wyznaczymy granicę funkcji f(x) = 1/x 2, x > 0 w punkcje x = 0. Weźmy dowolny ciąg (x n ) taki, że n x n = 0. Wówczas n x2 n = n x n n x n = 0,

Granica i ciągłość funkcji 35 stąd zatem Przykład 5.2.2 x = 0, f(x n) = n n 1 x 2 n 1 x x 0 x 2 = +. = +, (1) Funkcja f(x) = 1/ x, x R {0} ma granicę niewłaściwą + w punkcie y 0 x Rysunek 5.1: Funkcja f(x) = 1 x, x 0. (2) Funkcja f(x) = 1/x, x R {0} ma granicę prawostronną niewłaściwą + w punkcie x = 0, zaś lewostronną w tym samym punkcie. y 0 x Rysunek 5.2: Funkcja f(x) = 1 x, x 0.

Granica i ciągłość funkcji 36 5.3 Własności granic funkcji Twierdzenie 5.3.1 Jeżeli x x0 f(x) = a i x x0 g(x) = b, to (1) x x0 ( f(x) + g(x) ) = a + b, (2) x x0 ( f(x) g(x) ) = a b, (3) x x0 ( f(x) g(x) ) = a b, (4) x x0 ( f(x)/g(x) ) = a/b, przy założeniu, że b 0. Twierdzenie 5.3.2 Jeżeli x x0 f(x) = a i x x0 g(x) = (lub ), to (1) x x0 ( f(x) + g(x) ) =, (lub ), (2) x x0 ( f(x) g(x) ) =, (lub ), gdy a > 0, (3) x x0 ( f(x) g(x) ) =, (lub ), gdy a < 0, (4) x x0 ( f(x)/g(x) ) = 0. Twierdzenie 5.3.3 Jeżeli x x0 f(x) = a 0 i x x0 g(x) = 0 oraz g(x) 0 dla x x 0, to f(x) x x 0 g(x) = +, gdy g(x) > 0 i a > 0,, gdy g(x) > 0 i a < 0,, gdy g(x) < 0 i a > 0, +, gdy g(x) < 0 i a < 0. Twierdzenie 5.3.4 (o trzech funkcjach) Jeżeli x x0 f(x) = x x0 h(x) oraz zachodzi nierówność f(x) g(x) h(x), to x x 0 g(x) = a. Twierdzenie 5.3.5 Zachodzą następujące równości: (1) x 1 p x = 1, p N, (2) x 0 a x = 1, a > 0, (3) x 0 sin x x = 1, (4) x 0 (1 + x) 1/x = e, 5.4 Granice jednostronne Niekiedy przy badaniu funkcji w otoczeniu punktu x 0 ograniczamy się jedynie do wartości argumentu x > x 0 lub do wartości x < x 0, tzn. badamy zachowanie się funkcji tylko w prawej, ewentualnie w 9lewej połowie otoczenia punktu x 0. Definicja 5.4.1 Sumę przedziałów (x 0 ε, x 0 ) (x 0, x 0 +ε) nazywamy sąsiedztwem punktu x 0 o promieniu ε. Przedział(x 0 ε, x 0 ) nazywamy lewostronnym sąsiedztwem punktu x 0 o promieniu ε i oznaczamy S, natomiast przedział (x 0, x 0 + ε) nazywamy prawostronnym sąsiedztwem punktu x 0 o promieniu ε i oznaczamy S +.

Granica i ciągłość funkcji 37 Definicja 5.4.2 Mówimy, że funkcja f ma granicę prawostronną g w punkcie x 0, co zapisujemy f(x) = g, x x + 0 jeżeli dla każdego ciągu wartości argumentu (x n ), zbieżnego do x 0 z prawej strony, tzn. o wyrazach x n > x 0, odpowiedni ciąg f(x n ) wartości funkcji jest zbieżny do g. W symbolicznym zapisie powyższą definicję możemy zapisać następująco f(x) = g (xn),xn S x x + + 0 ( n x n = x 0 n f(x n) = g ). Analogicznie definiujemy granicę lewostronną g w punkcie x 0 funkcji f. Definicja 5.4.3 Funkcja f posiada granicę w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy granice jednostronne w punkcie x 0 istnieją i są sobie równe. Przykład 5.4.1 Funkcja f(x) = x /x, x 0 nie posiada granicy w punkcie x 0 = 0. y 1 0 x 1 Rysunek 5.3: Funkcja f(x) = x x, x 0. 5.5 Granice funkcji w nieskończoności Definicja 5.5.1 Mówimy, że funkcja f ma granicę g, gdy x dąży do +, co zapisujemy f(x) = g, x jeżeli dla każdego ciągu (x n ), zbieżnego do +, ciąg (f(x n )) wartości funkcji jest zbieżny do g. W symbolicznym zapisie powyższą definicję możemy zapisać następująco f(x) = g ( x (x n) x n = f(x n) = g ). n n Analogicznie definiujemy granicę w funkcji f. Twierdzenie 5.5.1 Zachodzą równości:

Granica i ciągłość funkcji 38 (1) x + xn = +, n N, (2) x xn = (3) x + { +, gdy n parzyste,, gdy n nieparzyste. n x = +, n N, (4) x + xα = +, α R, α > 0, (5) x 0 + xα = 0, α R, α > 0, (6) x + ax = +, (7) x + ax = 0, (8) x + log a x = +, (9) x + log a x =, (10) x π 2 x ax = 0, a R, a > 1, x ax = +, a R, 0 < a < 1, tg x = +, tg x =. x π + 2 log x 0 + a x =, a R, a > 1, log x 0 + a x = +, a R, 0 < a < 1, Przykład 5.5.1 Funkcja f(x) = x 3, x R ma granicę + w + i w. y 0 x Rysunek 5.4: Funkcja f(x) = x 3, x R.

Granica i ciągłość funkcji 39 5.6 Ciągłość funkcji Definicja 5.6.1 (Heinego) Funkcję f określoną w otoczeniu punktu x 0 nazywamy ciągłą w punkcie x 0, jeżeli funkcja ta posiada granicę w punkcie x 0 równą wartości f(x 0 ) funkcji w tym punkcie, tzn. gdy x x 0 f(x) = f(x 0 ). Uwaga 5.6.1 W określeniu ciągłości funkcji występują trzy warunki: 1. f(x) jest określona w punkcie x 0, tzn. istnieje f(x 0 ); 2. f(x) posiada granicę w punkcje x 0 ; 3. granica f(x) w punkcie x 0 jest równa wartości funkcji w tym punkcie f(x 0 ). Jeżeli w jakimś punkcje x 0 jeden z powyższych warunków nie jest spełniony, to funkcja nie jest ciągła w tym punkcie. Przykład 5.6.1 (1) Funkcja stała f(x) = c, x R, c R jest ciągła; (2) Funkcja liniowa f(x) = ax + b, x, a, b R jest ciągła; (3) f(x) = x 2, x R jest ciągła; (4) Funkcja f(x) = 1/x jest ciągła w R \ {0}. (7) Funkcja nie jest ciągła tylko w punkcie 0. f(x) = { 0 x (, 0), 1 x [0, ), Uwaga 5.6.2 Zauważmy, że o ciągłości danej funkcji możemy tylko mówić w punktach, w których funkcja ta jest określona. W punktach poza dziedziną funkcji nie mają sensu stwierdzenia, że funkcja jest lub nie ciągła w takim punkcie, np. f(x) = 1 x, x R \ {0} nie jest ani ciągła ani nieciągła w zerze. Twierdzenie 5.6.1 Jeżeli funkcje f oraz g są ciągłe w punkcie x 0, to wtedy funkcje f + g, f g, f g, f g, g(x 0) 0 są ciągłe w punkcie x 0. Definicja 5.6.2 Funkcja f jest prawostronnie ciągła w punkcie x 0, jeśli f(x) = f(x 0). x x + 0 Definicja 5.6.3 Funkcja f jest lewostronnie ciągła w punkcie x 0, jeśli f(x) = f(x 0). x x 0 Definicja 5.6.4 Funkcja f jest ciągła w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła lewostronnie i prawostronnie w punkcie x 0. Funkcję, która nie jest ciągła nazywamy funkcją nieciągłą. Wyróżniamy trzy rodzaje nieciągłości: 1. nieciągłość usuwalną, która ma miejsce, jeżeli granica funkcji w punkcie x 0 istnieje, ale nie jest równa wartości funkcji w tym punkcie;

Granica i ciągłość funkcji 40 2. nieciągłość pierwszego rodzaju, która występuje, gdy nie istnieje granica funkcji w punkcje x 0, ale istnieją właściwe granice jednostronne; 3. nieciągłość drugiego rodzaju, która występuje, gdy jedna z granic jednostronnych funkcji w punkcie x 0 jest niewłaściwa lub nie istnieje. Twierdzenie 5.6.2 Funkcja złożona z dwóch funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą. Przykład 5.6.2 Weźmy funkcje f(x) = sin x i g(x) = 2x. Wówczas funkcja (f g)(x) = sin 2x jest ciągła. Twierdzenie 5.6.3 Funkcja odwrotna względem funkcji ciągłej i monotonicznej jest funkcją ciągłą i monotoniczną.ciągłą. Twierdzenie 5.6.4 Funkcja f ciągła w przedziale domkniętym [a, b] przyjmuje w tym przedziale wartość najmniejszą m i największą M, tzn. istnieją takie punkty x 1 i x 2, że f(x 1 ) = m i f(x 2 ) = M, a dla wszystkich x [a, b] mamy m f(x) M. Twierdzenie 5.6.5 Funkcja f ciągła w przedziale domkniętym [a, b] przyjmuje każdą wartość zawartą między wartościami f(a) i f(b). W szczególności, jeżeli f(a) i f(b) mają różne znaki, to istnieje taki punkt x 0 [a, b], że f(x 0 ) = 0. Przykład 5.6.3 Zbadać, czy równanie posiada pierwiastki w przedziale [0, π/2]. x cos x = 0 Funkcja f(x) = x cos x jest funkcją ciągłą w przedziale [0, π/2] i na krańcach tego przedziału przybiera wartości ( ) π f(0) = 1 i f = π 2 2 różnych znaków, a zatem jest równa zeru przynajmniej w jednym punkcie tego przedziału.

ROZDZIAŁ 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej 6.1 Pochodna funkcji w punkcie Definicja 6.1.1 Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x 0 dla przyrostu h nazywamy iloraz: f(x 0 + h) f(x 0 ). h Definicja 6.1.2 Granicę właściwą powyższego ilorazu różnicowego nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x 0 i oznaczamy symbolem f (x 0 ). Mamy więc f (x 0 ) = h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h Jeżeli granica powyższa nie istnieje lub jest niewłaściwa to mówimy, że funkcja f nie ma pochodnej w punkcie x 0 lub, że nie jest różniczkowalna w punkcie x 0. 6.2 Pochodne jednostronne. Definicja 6.2.1 Pochodną lewostronną w punkcie x 0 oznaczamy f (x 0 ) i definiujemy: f (x 0 ) = h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h Definicja 6.2.2 Pochodną prawostronną w punkcie x 0 oznaczamy f (x 0 + ) i definiujemy: f (x 0 + ) = h 0 + f(x 0 + h) f(x 0 ) h Przykład 6.2.1 Funkcja f(x) = x nie jest różniczkowalna w punkcie x 0 = 0 ponieważ i f (0 0 + h 0 h ) = = h 0 h h 0 h = h h 0 h = 1 f (0 + 0 + h 0 h ) = = h 0 + h h 0 + h = h h 0 + h = 1 Jeżeli funkcja f ma pochodną w każdym punkcie pewnego zbioru X to każdemu punktowi x 0 X przyporządkowana jest dokładnie jedna liczba f (x 0 ). Więc na zbiorze X jest określona nowa funkcja, którą będziemy oznaczać f i będziemy mówić, że f jest różniczkowalna na tym zbiorze. Jeżeli funkcja f ma pochodną w każdym punkcie pewnego przedziału (a, b) oraz istnieją pochodne jednostronne f (a + ) oraz f (b ) to funkcja ma pochodną na przedziale domkniętym [a, b].

Pochodna funkcji jednej zmiennej 42 6.3 Wzory na pochodne 1. (x a ) = ax a 1, x > 0, a R. 2. (sin x) = cos x, x R. 3. (cos x) = sin x, x R. 4. (tg x) = 1 cos 2 x = 1 + tg2 x, cos x 0. 5. (ctg x) = 1 sin 2 x = (1 + ctg2 x), sin x 0. 6. (log a x ) = log a e x 7. (ln x ) = 1 x, x 0. 8. (a x ) = a x ln a, a > 0. 9. (e x ) = e x. = 1, x 0, a 1, a > 0. x ln a Twierdzenie 6.3.1 Jeżeli funkcja jest różniczkowalna to jest ciągła. Twierdzenie 6.3.2 (o działaniach arytmetycznych na pochodnych) Jeżeli funkcje f i h są różniczkowalne na zbiorze X to (1)(f(x) + h(x)) = f (x) + h (x) (2)(f(x) h(x)) = f (x) h (x) (3)(f(x) h(x)) = f (x) h(x) + f(x) h (x) ( ) f(x) (4) = f (x) h(x) f(x) h (x) h(x) h 2 (x) Zadanie 1 Obliczyć następujące pochodne funkcji: (1) f(x) = x 7 4x 5 + 13x 4 x + 19 (2) f(x) = 2x3 4x 2 x + 1 (3) f(x) = x 3 cos x Rozwiązanie. (1) f (x) = 7x 6 20x 4 + 52x 3 1 (2) f (x) = (2x3 4x 2 ) (x + 1) (2x 3 4x 2 ) (x + 1) (x + 1) 2 = = (6x2 8x) (x + 1) 2x 3 + 4x 2 ) (x + 1) 2 = 6x3 + 6x 2 8x 2 8x 2x 3 + 4x 2 (x + 1) 2 = = 4x3 + 2x 2 8x (x + 1) 2 (3) f (x) = (x 3 ) cos x + x 3 (cos x) = 3x 2 cos x x 3 sin x