8--3 PRZEWARZAIE SYGAŁÓW SEMESR V Człowi- nalpsza inwsyca Pro współinansowany przz Unię Europsą w ramach Europsigo Funduszu Społczngo PRZEWARZAIE SYGAŁÓW Opiun przdmiou pro. nzw. dr hab. inż. Krzyszo Kałużyńsi Wyład pro. nzw. dr hab. inż. Krzyszo Kałużyńsi współauor dr inż. Krzyszo Miołaczy laboraorium dr inż. Baa Lśnia-Plwińsa irowni, dr inż. Szymon Cygan, dr inż. Jaub Żmigrodzi, mgr inż. Iryna Gorbno
8--3 Uzysiwan ompnc Znaomość podsawowych poęć i mod opisu sygnałów ciągłych i dysrnych dno- i dwuwymiarowych, znaomość podsaw przwarzania sygnałów i obrazów. Umięność przwarzania sygnałów z wyorzysanim poznanych mod i narzędzi. Zaliczni przdmiou Egzamin - 7% ocny ońcow. Wymagan uzysani min. 5% p., w ym wyni z zadania doyczącgo przszałcnia Fourira i analizy widmow min. 5%. Laboraorium - 3% ocny ońcow. Wymagan uzysani min. 5% p. z laboraorium Liczba gzaminów w ssi zimow, w ssi poprawow
8--3 Laboraorium zaęcia rozpoczną się po 7..8 Dalsz inormac zosaną podan pod onic paździrnia przz USOS ilub na sroni ZIB: zib.mchr.pw.du.pl LIERAURA..P. Zilińsi Cyrow przwarzani sygnałów, WKiŁ 5. R.G.Lyons Wprowadzni do cyrowgo przwarzania sygnałów, WKiŁ 6 3. W.Malina, M.Smiaacz Mody cyrowgo przwarzania obrazów, Exi 5 4. R.adusiwicz, P.Korohoda Kompurowa analiza i przwarzani obrazów, Kraów Wydawnicwo Fundaci Posępu lomuniaci 997 3
8--3 Wyład I Wprowadzni Podsawy oryczn przwarzania sygnałów Sygnały Sygnał unca czasu naczęści przdsawiaąca przbig paramru pwngo zawisa, wilości izyczn.5 -.5-3 4 5 6 Przyład sygnału san przściowy po udarz 4
8--3 Zasosowania przwarzania sygnałów I lomuniaca usuwani cha, omprsa, ilraca, muliplsowani, widoonrnc id. chnia miliarna choloaca, radioloaca, naprowadzani pocisów, bzpiczńswo inormaci id. Przmysł srowani, badania niniszcząc, analiza drgań, mirogomria powirzchni id. chnia samochodowa inlignn zawisznia, lroniczn srowani i sysmy hamowania, auonomiczny poazd, sysmy nawigacyn, onrola ciśninia w oponach, srowani działanim podusz, mulimdia obcni ooło 5% warości samochodu sanowi lronia, główni związana z przwarzanim sygnałów. Zasosowania przwarzania sygnałów II Idnyiaca obiów osób Analiza danych rynowych i giłdowych AGD inlignn prali i lodówi Rozrywamulimdia odowani i omprsa obrazów i sygnałów, y spcaln Biologia, ologia analiza zmian populaci zwirzą, analiza aywności organizmów 5
8--3 Zasosowania przwarzania sygnałów III Rozpoznawani i gnraca mowy Gologia poszuiwani złóż surowców, prognozowani rzęsiń zimi i innych zawis Badania osmiczn omprsa danych, analiza zdęć pochodzących z osmosu, analiza sygnałów pochodzących z różnych czuniów umiszczonych w przsrzni Mdycyna obrazowani, przwarzani i analiza sygnałów biomdycznych, wspomagani słuchu, inlignn prozy ończyn, urządznia do wspomagania unci narządów, omprsa danych. Sygnały i ich lasyiaca Sygnały: drminisyczn losow procsy sochasyczn orsow niorsow prawi orsow sany przściow nisaconarn saconarn rgodyczn 6
8--3 Przyłady sygnałów I sygnały drminisyczn.5.5.5 -.5 -.5 -.5-5 5-5 5-3 4 5 6 Ciąg impulsów prosoąnych sygnał cosinusoidalny Sygnał sinusoidalny łumiony Przyłady sygnałów II sygnały drminisyczn - 4 6 8 4 6 Ciąg pacz ali sinusoidaln.5 -.5-4 6 8 4 Ciąg impulsów gaussowsich podyncza woluca sygnał sinusoidalny z obwidnią gaussowsą, zw. pacza gaussowsa. Js o sygnał pomiarowy sosowany np. w dosopii 7
8--3 Procsy losow sochasyczn {x } rodzina unci zminn losow i czasu procs sochasyczny x -a ralizaca procsu - unca czasu dla pwn warości zminn losow wyniu zdarznia losowgo X i warości procsu dla usalongo czasu są warościami zminn losow Zminna losowa unca orślona na zbiorz zdarzń i przymuąca warości rzczywis z orślonym prawdopodobińswm Sygnały ciągł a sygnały dysrn Sygnały: Ciągł czasu ciągłgo, analogow -przbigi paramrów zawisprocsów izycznych, obsrwowan np. na rani oscylosopu analogowgo -sygnał ausyczny dźwię dysrn: -dan giłdow -obsrwac aywności organizmów żywych -dan pomiarowsprymnaln po opraci próbowania!!! -dan symulowan 8
8--3 Sygnały ciągł a sygnały dysrn Sygnały: ciągł - w współczsn chnic i nauc bardzo rzado są obim przwarzania; dysrn - w współczsn chnic i nauc przwarzani doyczy sygnałów dysrnych, powsaących w wyniu onwrsi analogowcyrow sygnałów ciągłych; Sygnały dysrn bywaą przdsawian ao sygnały ciągł ławisza inrpraca; Podsawow narzędzia przwarzania sygnałów omawian będą w ramach wyładu przd wszysim w dzidzini czasu ciągłgo. Sygnał I - przbig czasowy 6 4 - -4-6.5.5 [s] Powyższy sygnał s ombinacą liniową ilu sładowych orsowych sinusoidalnych. Jai są ampliudy i częsoliwości ych sładowych?? Odpowidź na o pyani na podsawi przbigu czasowgo s rudna, oniczny s inny sposób analizy sygnału. Wyorzysu się w ym clu związ między orsm a częsoliwością sygnału sładowych sygnału. 9
8--3 Dzidzina czasu dzidzina częsoliwości π Sygnał orsowy związ ors-częsoliwość widmo sygnału ors, częsoliwość, pulsaca częsoliwość ołowa Analiza sygnału w dzidzini częsoliwości analiza widmowa!! Sygnał I - wyni analizy widmow 8 6 4 8 6 4 3 4 5 [Hz] Sygnał zawira 3 sładow sinusoidaln o różnych ampliudach i częsoliwościach. Wysoości poszczgólnych masimów są proporconaln do ampliud sładowych.
8--3 Sygnał II - przbig czasowy - -.5.5 [s] Jai są sładow sygnału?? Sygnał II - wyni analizy widmow 5 5 3 4 5 [Hz] Sygnał zawira 3 sładow sinusoidaln o różnych ampliudach i częsoliwościach oraz szum
8--3 Porównani przdsawinia sygnału I i II w dzidzini czasu i częsoliwości 6 4 - -4-6.5.5 [s] 8 6 4 8 6 4 3 4 5 [Hz] 5 - -.5.5 [s] 5 3 4 5 [Hz] Sygnał III - przbig czasowy i wyni analizy widmow 6 4 - -4-6.5.5 [s] 5 5 Sygnał zawira sładową sinusoidalną oraz szum o duż ampliudzi w sosunu do ampliudy sładow sinusoidaln. RUDA IERPREACJA!! 3 4 5 [Hz]
8--3 Sygnał III - wyni analizy widmow Sygnał zawira sładową sinusoidalną oraz szum o duż ampliudzi w sosunu do ampliudy sładow sinusoidaln. RUDA IERPREACJA!! Powyż zaproponowano ograniczni zarsu częsoliwości sygnału, a, aby zachować inrsuącą nas sładową sinusoidalną. Ogranicznia ai ralizowan s przy pomocy ilraci uład lroniczny, algorym - ilraca cyrowa. Czrwony rapz orśla zbiór sładowych częsoliwościowych, ór pozosaną w sygnal po ilraci. Sygnał III - apy Sładowa sinusoidalna -.5.5 [s] 5-5.5.5 [s] -.5.5 [s] Sładowa sinusoidalna z szumm Wyni ilraci sładow sinusoidaln z szumm 3
8--3 Zasosowania przwarzania sygnałów - przyłady Prznaca czasowo-częsoliwościowa sygnału mowy rść - rozład mocy sygnału na płaszczyźni czas-częsoliwość. Widoczn zw. ormany głosi. czas c z ę s o l i w o ś ć czas Zasosowania przwarzania sygnałów - przyłady Obrazy i sygnały biomdyczn Ulrasonograia Wizualizaca sruur oraz rozładu prędości przpływu rwi Dan prznowan na obrazach USG obrazy - sygnały D częso są wyniim przwarzania ch sygnałów D. 4
8--3 Podsawy oryczn przwarzania sygnałów Warość śrdnia, nrgia, moc sygnału 5
8--3 Warość śrdnia, nrgia, moc Podsawow paramry sygnałów o warość śrdnia, nrgia i moc, zdiniowan poniższymi zalżnościami: warośćśrdnia sygnału w przdzial [, ]: E[ x] x d w przypadu sygnału o nisończonym czasi rwania warość śrdnia s nasępuącą wilością graniczną: E [ x] lim x d śli sygnał s orsowy o orsi o o o E [ x] x d o o Warość śrdnia, nrgia, moc Enrgia sygnału E x x d moc P x lim x d w przypadu sygnału orsowgo moc: o - ors o o P x x d o o Kolny paramr sygnału sanowi go warość suczna, równa pirwiasowi wadraowmu z mocy sygnału. 6
8--3 Enrgia i moc - lasyiaca sygnałów Sygnały z względu na właściwości zdiniowanych powyż wilości można podzilić na sygnały o ograniczon nrgii, śli E x <, oraz sygnały o sończon mocy, śli P x <. Moc sygnałów o ograniczon nrgii s równa, zaś nrgia sygnałów o sończon mocy s nisończona. a więc możmy mić do czyninia z sygnałami o ograniczon nrgii i sończonym czasi rwania, sygnałami o ograniczon nrgii i nisończonym czasi rwania, sygnałami niorsowymi o ograniczon mocy np. sygnał sały oraz z sygnałami orsowymi o ograniczon mocy. Uwaga - sygnały spróbowan - ao sończon zbiory prób, możmy raować zarówno a sygnały o sończonym czasi rwania, a i sygnały orsow, órych przdłużnim orsowym s właśni spróbowany sygnał. Splo unci 7
8--3 Splo dwóch unci Dinica * τ τ dτ Właściwości splou Przminność * * Rozdzilność względm dodawania *[ ] * * 3 3 Łączność *[ * 3 ] [ * ]* 3 Splo dwóch unci * τ τ dτ Przyład odwrócni i zmiana argumnu osi czasu na τ!!! Przsunięci τ o odwrócon 8
8--3 Splo dwóch unci Przyład * τ τ dτ Wyznaczni całi z iloczynu τ i τ - - czyli zarsowango pola orzymumy warość splou dla Splo dwóch unci Przyład * τ τ dτ Wyznaczni całi z iloczynu τ i τ - dla przbigaących zbiór [-4,] da nizrow warości splou. 9
8--3 Splo dwóch unci oin prosoąnych * τ τ dτ *[ ] * * Splo dwóch unci oin prosoąnych * τ τ dτ
8--3 Dysrybuca dla Diraca Dysrybuca dla Diraca I Dinica i właściwości dysrybuci δ δ dla δ δ
8--3 Dysrybuca dla Diraca I Dinic graniczn dysrybuci: ciąg unci prosoąnych: δ limτ [ τ τ τ gdzi - so dnosowy ciąg unci róąnych: δ limτ [ ] τ τ dla <τ, poza ym przdziałm; ciąg unci sinxxsincx: δ lim sinc π Dysrybuca dla Diraca II Dysrybuca ao granica ciągu sinc: δ lim sinc π Ciąg dysrybuci : δ δ
8--3 Splo unci z dysrybucą dla Diraca I Właściwości dysrybuci Diraca: δ * δ τ δ τ dτ Splo unci będąc onm prosoąnym o ampliudzi A i czasi rwania a usyuowanym w począu uładu Arc,a oraz unci - dly Diraca, usyuowan w począu uładu: a[ a a ] Arc, a δ * τ δ τ dτ Arc, A Splo unci z dysrybucą dla Diraca II Właściwości dysrybuci Diraca: δ * δ τ δ τ dτ Splo unci będąc onm prosoąnym o ampliudzi A usyuowanym w przdzial [a, a] oraz unci - dly Diraca, usyuowan w począu uładu: Arc, a δ * τ δ τ dτ Arc, a 3
8--3 4 * d τ τ δ τ δ Splo unci z dysrybucą dla Diraca III A Splo unci będąc onm prosoąnym o ampliudzi A usyuowanym w przdzial [a, a] oraz unci - pary dl Diraca, usyuowanych w punach - i :, a Arc δ δ * * ] *[ * δ δ δ δ alży wyorzysać rozdzilność splou względm dodawania: Splo unci z dysrybucą III B Splo unci będąc onm prosoąnym o ampliudzi A usyuowanym w przdzial [a, a] oraz unci - pary dl Diraca, usyuowanych w punach - i :, a Arc δ δ,, * * * a Arc a Arc d d τ τ δ τ τ τ δ τ δ δ alży wyorzysać rozdzilność splou względm dodawania:
8--3 Splo unci z dysrybucą Diraca IV A Splo unci będąc sumą dwóch oin prosoąnych o ampliudzi A usyuowanych w przdziałach [--a, -a] oraz [-a, a] oraz unci - sumy dwóch dl Diraca o ampliudach, usyuowanych w punach - i. Mamy Arc, a Arc, a δ δ gdzi Arc,a oznacza ono prosoąn usyuowan w punci, o szroości czasi rwania a oraz ampliudzi A?????? alży wyorzysać rozdzilność splou względm dodawania Splo unci z dysrybucą dla Diraca IV B Splo unci będąc sumą dwóch oin prosoąnych oraz [-a, a] oraz sumy dwóch dl Diraca o ampliudach, usyuowanych w punach - i. Mamy Arc, a Arc, a δ δ * [ Arc, a Arc, a]*[ δ δ ] [ Arc, a Arc, a]* δ [ Arc, a Arc, a]* δ Arc, a * δ Arc, a* δ Arc, a δ Arc, a δ 5
8--3 Splo unci z dysrybucą dla Diraca IV C Mamy Arc, a Arc, a δ δ * Arc, a * δ Arc, a * δ Arc, a δ Arc, a δ Arc, a Arc, a Arc, a Splo unci z ciągim dysrybuci dla Diraca δ δ * δ τ δ τ dτ δ * δ * δ 6
8--3 Splo unci z ciągim dysrybuci dla Diraca * δ * δ arzędzi budowania sygnału orsowgo - umożliwiaąc zwary i wygodny w analizi zwłaszcza w analizi widmow zapis ormalny sygnału!!!! np. orsowy przbig prosoąny s splom ciągu dl Diraca o orsi równym orsowi go przbigu i podynczgo ona prosoąngo o odpowidnich paramrach ampliuda, czas rwania. Liczby zspolon 7
8--3 Liczby zspolon Liczba zspolona para uporządowana x,y liczb rzczywisych x, y R zx,y x - część rzczywisa z, y - część uroona z Działania arymyczn na liczbach zspolonych zx,y, wu,v : Dodawani z w x, y u, v x u, y v Odmowani z w x, y u, v x u, y v Mnożni z w x, y u, v xu yv, xv yu Dzilni z x, y xu yv xv yu, w u, v u v u v Liczby zspolon Liczba zspolona x,- liczba rzczywisa x Liczba zspolona, - dnosa uroona czasm i poniważ dnosa uroona :,,, poniważ o z x, y x,, y x,,, y z x, y x y część rzczywisa: część uroona: R z Im z x y 8
8--3 Liczby zspolon Liczba sprzężona z liczbą z : * z x, y x y Inn zalżności z w x y u v xu yv xv yu * z z x, y x, y x y x y x y z w * z w x y u v xu yv xv yu xu yv xv yu * w w u v u v u v u v u v Liczby zspolon Inrpraca graiczna: Każdmu punowi Px,y płaszczyzny Oxy odpowiada liczba zspolona xy i odwroni. Oxy płaszczyzna zspolona Liczbom zspolonym o części uroon równ odpowiada oś Ox, Imz, oś rzczywisa. Liczbom zspolonym o części rzczywis równ odpowiada oś Oy, Rz, oś uroona. 9
8--3 Liczby zspolon moduł liczby zspolon: Inrpraca gomryczna moduł s miarą długości prominia wodzącgo punu x,y, inacz odlgłości go punu od począu uładu. argumn liczby zspolon zxy<> x cosϕ z x x y ażda liczba zspolona ma nisończni wil argumnów, argumn nalżący do przdziału -π, π] nazywamy argumnm głównym i oznaczamy arg z. Zbiór argumnów Argz{argzπ}. y sinϕ z z x y x y Inrpraca gomryczna cd argumn s miarą ąa, ai worzy wor wodzący punu x,y z osią Rz. y Liczby zspolon Zalżności Jśli z, z Z i z, o: z z z z Arg zz Arg z Arg z z z z z z Arg Arg z Arg z z * zz z 3
8--3 Liczby zspolon Posać rygonomryczna liczby zspolon: z x y cosϕ sinϕ rcosϕ sinϕ iloczyn i iloraz dwóch liczb zspolonych w zapisi rygonomrycznym: z r cosϕ sinϕ z r cosϕ sinϕ z r z z rr [cos ϕ ϕ sin ϕ ϕ] [cos ϕ ϕ sin ϕ ϕ] z r n n wzór d Moivr a: [ rcosϕ sinϕ] r cosnϕ sin nϕ Liczby zspolon Posać wyładnicza liczby zspolon: z x y r r ϕ ϕ arg z * z r ϕ iloczyn i iloraz dwóch liczb zspolonych w zapisi wyładniczym: z r ϕ z r ϕ ϕ ϕ z z rr ϕϕ z r z r wzór d Moivr a: n n z r nϕ z r n n arg z π n 3
8--3 Func zspolon Funca zspolona zminn rzczywis Funca przymuąca warości zspolon, argumn rzczywisy x R, xuxvxrzx Imzx Funca zspolona zminn zspolon Funca przymuąca warości zspolon, argumn zspolony x,y R, zxy xyuzvzuxyvxyr[z] Im[z] Funca zspolona zminn zspolon Przyłady: H s sc RC s R s sc RC s σ C H RC R C RC H arg H arcg 3
8--3 33 Funca zspolona zminn zspolon Przyład Przdsawini unci w posaci modułu i azy xp H ] arg[ xp H H H Funca zspolona zminn zspolon Przyład cd xp xp H xp s o suma sończongo szrgu gomryczngo wyrazów o ilorazi - xp
8--3 34 Funca zspolona zminn zspolon Przyład xp H ]] sin [cos sin [cos xp Funca zspolona zminn zspolon Przyład xp H ] xparg[ sin sin sin sin ]] sin cos sin [cos H H H sin sin H arg H
8--3 Funca zspolona zminn zspolon Przyład H sin xp H sin s o suma sończongo szrgu gomryczngo o ilorazi - 4 modul H H xparg[ H sin ] sin 4 6 aza sin H sin - 4 6 arg H arg H 35