LABORATORIUM SYGNAŁÓW I SYSTEMÓW. Ćwiczenie 1

Transkrypt

1 POLIECHNIKA WARSZAWSKA INSYU RADIOELEKRONIKI ZAKŁAD RADIOKOMUNIKACJI LABORAORIUM SYGNAŁÓW I SYSEMÓW Ćwiczenie ea: MODELE CZĘSOLIWOŚCIOWE SYGNAŁÓW Opracowała: gr inż. Kajeana Snope Warszawa

2 Cel ćwiczenia ilusracja związów iędzy opise w dziedzinie czasu i częsoliwości dla wybranych sygnałów ciągłych oresowych i ipulsowych syneza sygnału oresowego ilusracja wpływu uładu liniowego na wido sygnału badanie wida sygnału zodulowanego AM. Wprowadzenie eoreyczne.. Szereg rygonoeryczny Fouriera Rozważy sygnał rzeczywisy oresowy x(), R o oresie. Rozwinięcie ego sygnału względe funcji haronicznych sin(ω ), cos(ω ), =,,,... a posać rygonoerycznego szeregu Fouriera posaci: x() = a [ a cos(ω ) + b sin(ω ] + ) = gdzie a = x() d a = x()cos( ) d ω b = x()sin( ) d ω () oraz π ω =, f = jes częsoliwością podsawową sygnału. Apliudą -ej haronicznej nazyway d = a + b, naoias fazą -ej haronicznej nazyway b ψ =arcg. Wide apliudowy nazyway { d, d =,,,...}, naoias wide fazowy {ψ, =,,,...}. Jeżeli sygnał jes funcją parzysą, o współczynnii b =, naoias w przypadu sygnału nieparzysego a =.. Szereg wyładniczy Fouriera () Podsawiając do szeregu () znane wzory Eulera jα cos( α) = e + e jα sin( α) = e e j orzyujey szereg posaci x() = c + c = jα ( ) jα ( ) e jω jω + c e = gdzie c = (a jb ) oraz c = (a + jb ) Między współczynniai zachodzi oczywisa zależność c = c. W y przypadu -ą sładową haroniczną nazyway funcję (3)

3 jπf c e jπf + c e = c cos(πf + ϕ ) (4) Apliudą -ej sładowej haronicznej nazyway oduł c, naoias fazą -ej sładowej haronicznej arg(c )=ϕ. Szereg () daje się zapisać w sróconej posaci gdzie jπf c = x()e x() = c = e jπf d, zwanej wyładniczy szeregie Fouriera. W y przypadu wide apliudowy oreślay ciąg { c, =,!,!,...}, wide fazowy ciąg {ϕ : ϕ =arg(c ), =,!,!,...}, naoias wide ocy { c, =,,,...}. Zauważy, że w widie zespolony wysępują częsoliwości ujene, órych nie posiada wido wyznaczone za poocą rygonoerycznego szeregu Fouriera. Współczynnii c szeregu (4) oraz współczynnii a i b szeregu () powiązane są relacjai c = a + b = d oraz c = a (6) Przyłady. sygnał prosoąny o apliudzie = i współczynniu wypełnienia d a rozwinięcie w szereg Fouriera posaci 4 π x () = d + sin( π d)cos = π (7) sygnał rójąny o apliudzie = i współczynniu wypełnienia d a rozwinięcie w szereg Fouriera posaci π x () = sin( π d)sin (8) = π d( d) Współczynni wypełnienia d jes zdefiniowany jao iloraz d = (9) gdzie paraery oraz poazane są na poniższy rysunu (5) A -A

4 .3 Przeszałcenie Fouriera Przeszałcenie Fouriera (ransforacja Fouriera) znajduje zasosowanie w analizie widowej sygnałów nieoresowych (np. ipulsowych). Jes ono zdefiniowane w sposób nasępujący jω X( ω) = x( ) e d () jω x () = X( ω) e dω π () j ( ) gdzie X( ω) = a( ω) jb( ω) = X( ω) e ϕ ω b( ω) a( ω) = x( )cos( ω) d ϕ( ω) = arcg a( ω ) () b( ω) = x( )sin( ω) d X ( ω) = a ( ω) + b ( ω).4 Syneza sygnału Zadanie synezy polegające na reonsrucji sygnału na podsawie jego wida ożna efeywnie rozwiązać przy dosaecznie dużej liczbie sładowych haronicznych (eoreycznie przy =). Do oceny doładności przybliżenia szału danego przebiegu przez szereg Fouriera ogą służyć zależności energeyczne. Jao iarę przybliżenia przyjijy odchylenie średniowadraowe o posaci { x() x ()} d σ = (3) gdzie x() jes szeregie Fouriera oreślony wzore (), naoias x () szeregie zawierający ylo haronicznych. Można poazać, że błąd średniowadraowy jes równy suie ocy poinięych sładowych haronicznych, zn. c = +.5 Współczynni zawarości haronicznych d = + σ = = (4) Współczynniie zawarości haronicznych nazyway wielość.6 Modulacja AM z falą nośną c h = (5) = = c Przy odulacji apliudy z falą nośną funcja odulująca a posać γ ( ) = A( + x ()) (6) 3

5 gdzie jes sałą oreślającą głęboość odulacji. Przebieg zodulowany a zae posać analiyczną x AM gdzie F nazyway częsoliwością nośną. ( πf + ϕ ) = A( + x ()) cos( πf ϕ ) () = γ () cos + (7) Przyład. Sygnał odulujący a posać ( π ) x () = A cos f sygnał zodulowany ożna zapisać w posaci xam ( ) = Acos( πf ) + AA cos π( F + f) + AA cos π( F f) Korzysając z wzorów Eulera orzyujey posać xam () = ( Ae + Ae ) + AA 4 e + e + e + e jπf jπf j π( F f) j π( F+ f) j π( F f) j π( F+ f).7 Wpływ uładu liniowego na wido sygnału Rozważy liniowy uład ransisyjny o ransiancji H(s), zdefiniowanej jao sosune ransforay Laplace a sygnału wyjściowego do ransforay Laplace a sygnału wejściowego przy zerowych warunach począowych w chwili = y~ (s) H (s) = (8) x~ (s) Jeżeli w uładzie ransisyjny panuje san usalony przy pobudzeniu sinusoidalny o częsoliwości f, o zależność iędzy apliudai zespolonyi sygnału wejściowego X oraz sygnału wyjściowego Y dana jes wzore Y H( j π f ) = X (9) Charaerysyą apliudową uładu ransisyjnego nazyway funcję A(πf)= H( jπ f ), naoias charaerysyą fazową funcję ϕ ( πf ) = arg( H( jπf ). Jeżeli przez uład o ransiancji H(s) przechodzi sygnał oresowy x() o częsoliwości podsawowej f oraz widie {X, =,!,!,...}, o wido apliudowe sygnału wyjściowego daje się wyrazić wzore Y = H( jπ f ) X () Wido fazowe sygnału wyjściowego ożna wyznaczyć z zależności arg( Y ) = arg( H( jπ f )) + arg(x ) () Przyład. Niech liniowy ułade ransisyjny będzie filr RC o ransiancji H(s) = () + src 4

6 czyli H( jπf ) = + jπfrc (3) Charaerysya apliudowa filru RC wyraża się wzore H( jπf ) = (4) + ( πfrc) naoias charaerysya fazowa dana jes wzore. Zadania do wyonania w dou ( frc) ϕ( πf ) = ar cg π (5). Wyznaczyć na podsawie wzorów (7) i (8) wida apliudowe, fazowe i ocy nasępujących sygnałów oresowych o częsoliwości f =Hz, A= V (pierwszych prążów): a) przebiegu prosoąnego o współczynniach wypełnienia d=/, /3 b) przebiegu rójąnego o współczynniach wypełnienia d=,/ Obliczyć dla powyższych sygnałów współczynnii zawarości haronicznych oraz oc sygnału (z definicji).. Wyprowadzić wzór na ransforaę Fouriera a) ipulsu prosoąnego o czasie rwania w b) ipulsu rójąnego o czasie rwania w.3 Wyznaczyć i naszicować wida apliudowe i fazowe nasępujących sygnałów: a) sygnału AM zodulowanego sygnałe sinusoidalny o częsoliwości f = Hz i apliudzie A= V; przyjąć F = Hz, =.5 b) sygnału AM zodulowanego przebiegie prosoąny o apliudzie A= V, współczynniu wypełnienia d=/ i częsoliwości f = Hz; przyjąć F = Hz, =.5 W przypadach a) i b) obliczyć sosune ocy zawarej w prążach bocznych do całowiej ocy sygnału..4 Wyznaczyć wida apliudowe i fazowe sygnału po przejściu przez filr RC o paraerach R= Ω, C= nf i ransiancji H( s) =, na órego wejście + src podano: sygnał sinusoidalny o apliudzie A= V i częsoliwości f = Hz przebieg prosoąny o apliudzie A= V, wypełnieniu d=/ oraz częsoliwości Hz Naszicować charaerysyę apliudową i fazową filru o wyienionych paraerach..5 Wyznaczyć błąd średniowadraowy aprosyacji fali prosoąnej o apliudzie A=V i oresie =. w funcji liczby haronicznych szeregu Fouriera (=,,...). 5

7 3. Zadania do wyonania w laboraoriu Porzebne przyrządy: generaor sygnałowy G3 MHz oscylosop OX83 35MHz opuer z oprograowanie (progray analiza.p, four., synez.) 3. Badanie wida sygnałów oresowych Połączyć wyjście generaora sygnałowego MAIN OU przy poocy rójnia z oscylosope (anał CH lub CH) i opuere. Na generaorze usawić szał sygnału o zadanej apliudzie i częsoliwości (parz pun.). Obserwować na oscylosopie generowany sygnał dobierając właściwy współczynni wypełnienia. Przebiegi niesyeryczne (d /) orzyujey wcisając na generaorze przycis SYM. Po uzysaniu właściwego sygnału uruchoić progra analiza (pulpi). Na eranie oniora pojawia się ono z dwoa przycisai POMIAR i ANALIZA. Po naciśnięciu przycisu ANALIZA na wyresie górny rysowany jes generowany przebieg, naoias na wyresie dolny jego wido. Isnieje ożliwość powięszania wyresów, ziany ich sali id. przeanalizować wida apliudowe sygnałów wyienionych w puncie.. dla ażdego z sygnałów należy odczyać warości pierwszych prążów wida, nanieść je na wyres sporządzony w dou lub uieścić w abelce oraz porównać je z warościai obliczonyi eoreycznie. na podsawie odczyanych warości obliczyć współczynnii zawarości haronicznych dla ażdego z sygnałów na podsawie odczyanych warości wyznaczyć wido ocy badanych sygnałów obliczyć oc zawarą w pierwszych prążach wida dla ażdego z sygnałów soenować rozbieżności iędzy wyniai eoreycznyi a obliczonyi 3. Badanie wida sygnałów ipulsowych Wido sygnałów ipulsowych prosoąnych i rójąnych obserwowane jes przy poocy prograu four.. Korzysay z opcji ipuls, óra uożliwia analizę ransforay Fouriera sygnałów wyienionych w puncie 3.. Zaobserwować i opisać zachowanie się wida apliudowego i fazowego ipulsu prosoąnego oraz ipulsu rójąnego w funcji czasu rwania ipulsu Czy różni się wido apliudowe i wido ocy ipulsu prosoąnego od wida ipulsu rójąnego? 3.3 Badanie wida sygnału AM zodulowanego napięcie oresowy Opcja od.sygnałe uożliwia obserwację sygnału AM zodulowanego sygnałe sinusoidalny oraz przebiegie prosoąny o zadanych paraerach. Zaobserwować i opisać sposób, w jai zienia się sygnał zodulowany oraz jego wido, gdy zieniay apliudę i częsoliwość sygnału odulującego. Na podsawie przyładowych danych obliczyć oc zawarą w prążach bocznych w sosunu do całowiej ocy sygnału AM. 6

8 3.4 Badanie wida sygnału oresowego po przejściu przez filr RC Opcja pobudzenie w prograie four. uożliwia analizę charaerysy apliudowej i fazowej filru RC oraz obejrzenie wida apliudowego i fazowego sygnału po przejściu przez filr o zadanych paraerach. Zaobserwować wido sygnału sinusoidalnego oraz fali prosoąnej po przejściu przez filr RC W jai sposób filr RC wpływa na wido apliudowe i fazowe sygnału? 3.4 Syneza sygnału Uruchoić progra synez. (Malab), óry uożliwia wprowadzenie warości apliud i faz dziesięciu pierwszych wyrazów szeregu rygonoerycznego Fouriera i obserwację powsającego sygnału. doonać synezy sygnałów opisanych w puncie. orzysając z wyznaczonego w dou ich wida apliudowego i fazowego. Wprowadzając sopniowo olejne haroniczne opisać obserwowane efey (w szczególności efe Gibbsa) Soenować rozbieżności iędzy sygnałe aprosyowany i aprosyujący w przypadu fali prosoąnej i rójąnej. W óry przypadu aprosyacja przy użyciu haronicznych jes najlepsza? 4. Opis prograu four. Progra four. służy do obserwacji wida apliudowego, fazowego i ocy: wybranych przebiegów periodycznych wybranych sygnałów ipulsowych sygnałów zodulowanych AM sygnałów oresowych po przejściu przez uład liniowy (filr RC) Uruchaiany jes on w prograie MALAB oendą four, po órej wywołaniu na eranie pojawiają się rzy ona. Prawe ono służy do obserwacji wida wybranego sygnału. Lewe górne ono służy do wprowadzania danych, naoias w lewy dolny onie pojawia się analizowany sygnał.. Opis opcji lewego ona: przebieg generowanie wybranego przebiegu oresowego o współczynniu wypełnienia d. Paraery sygnału wprowadzane są z lawiaury po zaznaczeniu wybranego pola yszą. ZAKRES ZMIENNOŚCI SYGNAŁU oreśla przedział, w óry obserwujey sygnał. Na wejściu dane przyjują warości: A= V, f= Hz, w lewy dolny onie pojawia się wyres sygnału sinusoidalnego, naoias w prawy onie jego wido apliudowe. ipuls generowanie ipulsu o zadany czasie rwania w i apliudzie A= V. od.sygnałe odulacja sygnału sinusoidalnego o apliudzie równej i częsoliwości F inny sygnałe (sinusoidalny bądź falą prosoąną) o apliudzie A i częsoliwości f. Po zaznaczeniu ej opcji yszą w lewy części eranu pojawia się ono służące do wprowadzania paraerów sygnałów odulowanego i odulującego (ziana apliudy sygnału odulującego pociąga za sobą zianę współczynnia A ). Przycis KONIEC uożliwia powró do enu wyjściowego. 7

9 Pobudzenie obserwacja charaerysy apliudowej i fazowej filru RC o zadanych paraerach oraz wida apliudowego i fazowego sygnału na wyjściu filru. Sygnałe wejściowy jes bądź sygnał sinusoidalny, bądź fala prosoąna o apliudzie A i częsoliwości f. Po wywołaniu ej opcji pojawia się ono służące do wprowadzania paraerów filru (R, C, zares częsoliwości pracy filru f in...f ax ) oraz paraerów sygnału wejściowego. Klawisz KONIEC uożliwia wyjście z ego enu i powró do enu wyjściowego. We wszysich oienach lawisz ODCZY uożliwia odczyanie współrzędnych punów wyresu wida, óre po zaznaczeniu punu yszą na wyresie pojawiają się w lewy dolny rogu prawego ona. + Klawisze uieszczone przy osiach współrzędnych uożliwiają zianę sali odpowiedniej osi. Klawisze WIDMO AMPLIUDY, WIDMO FAZOWE i WIDMO MOCY uożliwiają narysowanie wyresów wida apliudowego, fazowego oraz wida ocy zadanego sygnału. Klawisz OK służy do zaacepowania zian wprowadzanych danych. Klawisz KONIEC powoduje całowie wyjście z prograu z równoczesny zanięcie wszysich owarych oiene. 5. Opis prograu synez. Progra synez. jes uruchaiany w MALAB oendą synez, po órej wywołaniu pojawiają się dwa ona. Lewe ono uożliwia wprowadzanie apliud i faz aprosyowanego sygnału. Wywołanie opcji przebieg w pasu główny uożliwia synezę wybranego sygnału prosoąnego lub rójąnego o zadany współczynniu wypełnienia d. Po wprowadzeniu danych i zaacepowaniu ich przycisie OK w prawy onie ożna zaobserwować wido apliudowe sygnału aprosyowanego oraz wyni aprosyacji. Klawisz KONIEC zapewnia wyjście z prograu i zanięcie wszysich owarych oiene. LIERAURA A. Papoulis, Obwody i ułady, WKiŁ, Warszawa 988 J. Szabain, Podsawy eorii sygnałów, WiŁ, Warszawa 99 Sygnały i sysey, Ćwiczenia laboraoryjne, praca zbiorowa pod redacją Jaca Wojciechowsiego, Warszawa 998 8