Matematyka w Instytucie Akustyki. Maciej Radziejewski

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Matematyka w Instytucie Akustyki. Maciej Radziejewski"

Transkrypt

1 Matematyka w Instytucie Akustyki Maciej Radziejewski

2 Prowadzący: Dr Maciej Radziejewski Zakład Algebry i Teorii Liczb, Wydział Matematyki i Informatyki UAM p. B2-10 (ew. B2-46). WWW:

3 Wiadomości wstępne Podstawowe zbiory liczbowe: N liczby naturalne, tj. 1, 2, 3,... Z liczby całkowite Q liczby wymierne R liczby rzeczywiste C liczby zespolone 1. Konwencje W zbiorze R wyróżniamy szczególne podzbiory zwane przedziałami. Przedział otwarty: przedział domknięty: (a, b) = {x R : a < x < b}, [a, b] = {x R : a x b} i przedział lewo- lub prawo-stronnie domknięty: gdzie a, b R. Wprowadza się też symbole: [a, b) = {x R : a x < b}, (a, b] = {x R : a < x b}, + wielkość większa od każdej liczby rzeczywistej wielkość mniejsza od każdej liczby rzeczywistej Mamy więc np.: Spójniki logiczne: (, + ) = R, [, + ] = R {, + }. koniunkcja czyli i (czasami zastępowane też przecinkiem albo np. ciągiem równości) alternatywa czyli lub negacja czyli nieprawda, że... implikacja czyli jeżeli..., to... równoważność czyli... wtedy i tylko wtedy, gdy... (ozn. także iff ) Często w połączeniu ze zbiorami stosuje się tzw. kwantyfikatory:, dla każdego...,..., kwantyfikator ogólny,, istnieje takie..., że..., kwantyfikator szczegółowy. Np. zapis oznacza, że A B, natomiast że A B. a B a A a B, a A 3

4 3. FUNKCJE 4 2. Zbiory Zbiory oznaczamy zwykle dużymi literami: A, B, C, X, Y itp. Relacje: a A a należy do zbioru A A B zbiór A zawiera się (jest podzbiorem) zbioru B Operacje na zbiorach: A B przekrój, część wspólna A B suma A \ B różnica Zbiór pusty oznaczamy, a np. zbiór złożony z liczb 3, 5 i 7 to {3, 5, 7}. Stosujemy też specjalne oznaczenie na podzbiór innego zbioru zadany warunkiem, np. {a A : a / B} czytamy: zbiór takich a A, że a / B (w tym przypadku będzie to zbiór A \ B). Zbiór wszystkich par uporządkowanych (a, b), gdzie a należy do zadanego zbioru A, natomiast b do zadanego zbioru B, oznaczamy A B i nazywamy iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B. Podobnie, jeśli A 1,..., A n są zbiorami, to ich iloczyn kartezjański składa się z odpowiednich n-ek uporządkowanych: W szczególności oznaczamy A 1... A n = {(a 1,..., a n ) : a 1 A 1,..., a n A n }. A n = A A. }{{} n razy Np. R 2 to płaszczyzna dwuwymiarowa, R 3 przestrzeń trójwymiarowa. Ćwiczenie 1. W jakiej sytuacji mogą nam się przydać wektory z przestrzeni R 88200? Zapis 3. Funkcje f : A B oznacza, że f jest funkcją ze zbioru A do B. Dla określenia funkcji należy podać jej dziedzinę (tu: zbiór A), przeciwdziedzinę (tu: zbiór B) i dla każdego argumentu a A należy określić, dokładnie jedną, wartość f(a) B. Funkcje można określać pomiędzy dowolnymi zbiorami. Jeśli dziedzina i przeciwdziedzina są podzbiorami R, to funkcję nazywamy funkcją rzeczywistą. Dla takich funkcji możemy sporządzać wykresy. Dla wizualizacji (sporządzania wykresów) funkcji rzeczywistych polecam pakiet R: Wykres funkcji sinus tworzymy np. poleceniem: plot (sin, xlim=c(0, 6.5), ylim=c(-3.25, 3.25)) gdzie parametry xlim i ylim oznaczają końce przedziałów, który chcemy pokazać na wykresie. Nieco ładniejszy opis osi uzyskujemy wpisując: plot (sin, xlim=c(0, 6.5), ylim=c(-3.25, 3.25), xaxt="n") axis(1, at=c(0,pi,2*pi), labels=c("0","π","2π")) Wykres funkcji f : R R, f(x) = sin(3x) tworzymy poleceniami: f<-function(x){ sin (3*x) } plot (f, xlim=c(0, 6.5), ylim=c(-3.25, 3.25)) przy czym ostatnią linię można znów zastąpić przez:

5 3. FUNKCJE 5 sin (x) π 2π x Rysunek 1. Wykres funkcji sinus plot (f, xlim=c(0, 6.5), ylim=c(-3.25, 3.25), xaxt="n") axis(1, at=c(0,pi,2*pi), labels=c("0","π","2π")) Wykres funkcji g : R R, g(x) = 2x x 2 tworzymy poleceniami: g<-function(x){ 2*x-x*x } plot (g, xlim=c(-1, 3)) Można też uniknąć definiowania nowej funkcji pisząc: plot (function(x){2*x-x*x}, xlim=c(-1, 3)) Ćwiczenie 2. Zdefiniować w pakiecie R funkcję g jak wyżej i funkcję h : R R, h(x) = abs(x). Sporządzić wykresy złożeń h g i g h. Ćwiczenie 3. Obejrzeć powiększenie fragmentu wykresu funkcji h g w pobliżu punktu x = 2.5 zadając odpowiednio mały przedział w argumencie xlim. Wyniki można porównać z powiększeniem w pobliżu punktu x = 2. Ćwiczenie 4. Formuły

6 3. FUNKCJE 6 f (x) π 2π x Rysunek 2. Wykres funkcji sin(3x) s<-function(x){ x0<-x; x<-123*x*x+37*x+73*x*x*x+41*x*x*x*x; x<-x-floor(x)-0.5; x<-(2*x)^5*10; floor(x0)-floor(x) } plot (function(x){(x-s(x))^2*sin(exp(x*x+10*x))}, xlim=c(4,10), ylim=c(1,100), n= , cex=0.005, type="p") tworzą wykres, który nie wygląda jak wykres funkcji. Dlaczego? Jak będzie wyglądał mały fragment tego wykresu w powiększeniu?

7 3. FUNKCJE 7 Rysunek 3. Wykres, który nie wygląda jak wykres funkcji

8 ROZDZIAŁ 1 Liczby rzeczywiste Ten rozdział, podobnie jak część wiadomości wstępnych, nie został wprowadzony do tych notatek. 8

9 ROZDZIAŁ 2 Liczby zespolone 1. Wiadomości podstawowe Liczbami zespolonymi nazywamy wyrażenia postaci a + bi, gdzie a, b R, a symbol i oznacza tzw. jednostkę urojoną. Przyjmujemy przy tym i 2 = 1. Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczamy C. Dla a, b, c, d R mamy: a + bi = c + di a = c b = d. Tak więc liczba zespolona wyznaczona jest przez dwa parametry rzeczywiste. Jednostkę urojoną wprowadził do matematyki w XVI w. Rafael Bombelli, natomiast zapisu a + bi użył w 1831 r. Carl Friedrich Gauss Interpretacja geometryczna liczb zespolonych. Interpretację geometryczną liczb zespolonych podał Carl Friedrich Gauss. W interpretacji tej liczbe z = a + bi przypisuje się wektor (lub punkt) o współrzędnych (a, b) na płaszczyźnie. Osie OX i OY nazywamy odpowiednio osią rzeczywistą i urojoną Rysunek 1. Układ współrzędnych na płaszczyźnie zespolonej 9

10 1. WIADOMOŚCI PODSTAWOWE 10 a) b) Rysunek 2. Przykład dodawania liczb zespolonych W interpretacji W. Hamiltona liczbę z = a + bi utożsamiamy po prostu z parą uporządkowaną liczb rzeczywistych (a, b). Jeśli punkty na płaszczyźnie utożsamimy z takimi parami, to te dwie interpretacje będą identyczne. Definicja 1. Jeśli z = a + bi, a, b R, to liczbę a nazywamy częścią rzeczywistą liczby z i oznaczamy Re z. Liczbę b nazywamy częścią urojoną liczby z i oznaczamy Im z. Liczby zespolone postaci z = a + 0i, a R, utożsamiamy z liczbami rzeczywistymi: a + 0i = a. Liczby zespolone postaci z = 0 + bi, b R, nazywamy liczbami czysto urojonymi i zapisujemy po prostu jako bi Działania na liczbach zespolonych. Działania w zbiorze liczb zespolonych określone są tak, żeby były zgodne z: działaniami na liczbach rzeczywistych, prawami łączności i przemienności dodawania i mnożenia, prawem rozdzielności mnożenia względem dodawania oraz wzorem i 2 = 1. Tak więc: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i oraz (a + bi)(c + di) = = ac + (ad + bc)i + bdi 2 = (ac bd) + (ad + bc)i. Dodawanie liczb zespolonych odpowiada dodawaniu wektorów. Jest ono łączne i przemienne, a elementem neutralnym tego działania jest 0. Każdy element z C posiada element przeciwny. Dla z = a + bi elementem przeciwnym jest z = a bi. W ten sposób określamy w C odejmowanie (jako dodawanie elementu przeciwnego).

11 1. WIADOMOŚCI PODSTAWOWE 11 Rysunek 3. Interpretacja geometryczna mnożenia liczb zespolonych Mnożenie zespolone również ma interpretację geometryczną. Jest ono łączne i przemienne, a elementem neutralnym tego działania jest 1. Ćwiczenie 5. Jaka będzie długość wektora odpowiadającego iloczynowi zw dla zadanych liczb zespolonych z i w? Co można powiedzieć o kącie, jaki ten wektor tworzy z dodatnią częścią osi rzeczywistej? Odwrotność elementu a + bi, a + bi 0, obliczamy podobnie jak przy usuwaniu niewymierności kwadratowych z mianownika ułamka: 1 a + bi = a bi (a + bi)(a bi) = a bi a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 b a 2 + b 2 i. W ten sposób możemy też dzielić przez liczby zespolone (mnożąc przez odwrotność). Łatwo sprawdzić, że spełnione jest również prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania. Możemy więc krótko powiedzieć, że zbiór liczb zespolonych z działaniami dodawania i mnożenia jest ciałem Moduł i argument. Definicja 2. Niech z = a + bi, a, b R. Modułem liczby z nazywamy liczbę z = a 2 + b 2. Argumentem z 0 nazywamy każdą liczbę φ R taką, że cos φ = Re z z sin φ = Im z z. Argument jest funkcją wielowartościową, określoną z dokładnością do wielokrotności 2π. Oznaczamy go arg z. Jedyną wartość argumentu z przedziału ( π, π] nazywamy argumentem głównym liczby z i oznaczamy Arg z. Moduł liczby jest długością jej wektora, a argument to kąt, jaki wektor ten tworzy z dodatnią częścią osi rzeczywistej. Moduł różnicy z w jest równy odległości punktów z i w. Ćwiczenie 6. Narysować kilka przykładowych liczb na płaszczyźnie zespolonej i zaznaczyć na rysunku ich argumenty i moduły. Istnienie φ spełniającego warunki z powyższej definicji wynika stąd, że ( ) 2 ( ) 2 Re z Im z + = 1. z z

12 1. WIADOMOŚCI PODSTAWOWE 12 Z kolei jednoczesne określenie wartości cos φ i sin φ wyznacza φ jednoznacznie, z dokładnością do wielokrotności 2π. Ze względu na niejednoznaczność argumentu wygodnie będzie wprowadzić skrótowy zapis zwany kongruencją albo przystawaniem modulo : Definicja 3. Dla a, b, c R mówimy, że a b (mod c), jeśli istnieje k Z takie, że a = b + kc. Tak więc możemy napisać: arg(1 + i) π 4 (mod 2π), arg(1 + i) = π + 2kπ, k Z, 4 Arg(1 + i) π 4 (mod 2π) a także Arg(1 + i) = π 4. Możemy teraz wyraźnie sformułować wcześniejsze obserwacje dotyczące modułu i argumentu iloczynu liczb zespolonych. Stwierdzenie 1. Dla z, w C mamy Stwierdzenie 2. Dla z, w C \ {0} mamy zw = z w. arg zw arg z + arg w (mod 2π). Zatem mnożenie zespolone polega na dodawaniu argumentów i mnożeniu modułów. Jeśli ustalimy liczbę zespoloną w C, to przekształcenie f : C C, f(z) = wz (mnożenie przez ustaloną liczbę) będzie złożeniem obrotu o kąt arg w wokół 0 z jednokładnością o skali w i środku w punkcie Operacja sprzężenia. Definicja 4. Liczbą sprzężoną do liczby z = a + bi, a, b R, nazywamy liczbę z = a bi. Ćwiczenie 7. Jakim przekształceniem płaszczyzny zespolonej jest operacja sprzężenia? Stwierdzenie 3. Dla z C mamy Jeśli z 0, to z = z. arg z arg z (mod 2π). Stwierdzenie 4. Dla z C mamy: z + z = 2 Re z, z z = 2i Im z, z z = z 2, z = z. Stwierdzenie 5. Operacja sprzężenia jest zgodna z działaniami dodawania i mnożenia, tzn. dla z, w C mamy Mamy też 0 = 0, 1 = 1. z + w = z + w, zw = z w

13 2. POSTAĆ TRYGONOMETRYCZNA LICZBY ZESPOLONEJ 13 a) b) Rysunek 4. Sposób rysowania okręgu na papierze w kratkę za pomocą kilku liczb zespolonych o równych modułach Zauważmy, że wyprowadzając wcześniej wzór na odwrotność liczby zespolonej różnej od zera, pomnożyliśmy licznik i mianownik ułamka przez sprzężenie mianownika. Ostateczny wynik możemy też zapisać krócej za pomocą sprzężenia: Wynika stąd: 1 a + bi = a bi (a + bi)(a bi) = a bi a 2 + b 2 = Wniosek 1. Dla z C \ 0 mamy: 1 z = 1 z, ( ) 1 arg arg z z (mod 2π). z z Postać trygonometryczna liczby zespolonej Każdą liczbę zespoloną można wyrazić w postaci: z = r(cos φ + i sin φ), gdzie r 0, φ R. Jest to tzw. postać trygonometryczna liczby zespolonej. Istotnie, dla z = a + bi 0 (a, b R) niech r = z, φ arg z (mod 2π). Z definicji modułu i argumentu mamy: ( a r(cos φ + i sin φ) = z z + i b ) = a + bi. z Z kolei dla z = 0 wystarczy wziąć r = z = 0 i dowolne φ R.

14 3. PIERWIASTKI I POTĘGI W C 14 Twierdzenie 1. Dla każdej liczby zespolonej z C istnieją r 0 i φ R takie, że z = r(cos φ + i sin φ). Co więcej, jeśli powyższa równość jest spełniona dla pewnych r 0 i φ R, to r = z, a w przypadku z 0 również φ arg z (mod 2π). Z powyższego twierdzenia oraz z własności modułu i argumentu otrzymujemy prosty przepis na mnożenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej. Wniosek 2. Niech r 1, r 2 0, φ 1, φ 2 R. Wtedy: r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1 ) r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ) = r 1 r 2 (cos(φ 1 + φ 2 ) + i sin(φ 1 + φ 2 )) Wniosek 3 (Wzór de Moivre a). Niech r 0, φ R, n Z. Wtedy: (r(cos φ + i sin φ)) n = r n (cos(nφ) + i sin(nφ)) Ćwiczenie 8. (poza programem) Pewien student zaimplementował algorytm mający służyć obliczaniu argumentu zadanej liczby zespolonej z, różnej od zera. Algorytm polegał na wielokrotnym powtórzeniu dwóch czynności: sprawdzenie czy Im z 0 podstawienie z z 2 Wyniki wszystkich sprawdzeń zapisywano w tabeli. Na podstawie tych wyników obliczano argument początkowej wartości z. Jak mógł działać taki algorytm? Jaki problem wiąże się z takim podejściem? Dla jakich z algorytm prawdopodobnie poda niewłaściwą wartość argumentu? Jak można poprawić ten algorytm? Czy zamiast warunku Im z 0 lepiej byłoby użyć Im z > 0 czy trzeba dodać jeszcze inne sprawdzenia? Czy wartość modułu z ma znaczenie dla działania tego algorytmu? 3. Pierwiastki i potęgi w C 3.1. Algebraiczna domkniętość ciała C. Ten podrozdział, podobnie jak inne, w których nie wpisałem treści, został omówiony na wykładzie. Omówiliśmy tu własność algebraicznej domkniętości oraz wzory na pierwiastki równania drugiego stopnia i liczbę tych pierwiatsków w zależności od wartości wyróżnika Pierwiastki i pierwiastki z jedynki. Twierdzenie 2. Niech w C, w 0. Równanie z n = w posiada dokładnie n rozwiązań zespolonych. Są one postaci: z k = n ( ( arg w w cos n + 2kπ ) ( arg w + i sin n n + 2kπ )), k = 0,..., n 1. n Tak więc punkty z 0,..., z n 1 tworzą wierzchołki n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o środku w punkcie 0 i promieniu n w. Mamy więc n pierwiastków n-tego stopnia z każdej liczby zespolonej różnej od 0. W szczególności, pierwiastki n-tego stopnia z jedynki tworzą wierzchołki n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o środku w punkcie 0 i promieniu 1, którego jeden z wierzchołków jest w punkcie Potęga zespolona o podstawie dodatniej. Definicję potęgi o podstawie dodatniej możemy rozszerzyć na wykładniki zespolone. Rozpoczynamy od funkcji wykładniczej o podstawie e. Definicja 5. Dla z = a + bi, a, b R, niech Dla x > 0 i z jak wyżej niech e z = e a (cos b + i sin b). x z = e z ln x = e a ln x (cos(b ln x) + i sin(b ln x)). Łatwo sprawdzić, że jest to rzeczywiście rozszerzenie pojęcia potęgi, tzn. że tak określona potęga: jest zgodna z potęgą określoną wcześniej dla wykładników rzeczywistych, zachowuje wymienione wcześniej własności potęgi rzeczywistej (oprócz dodatniości).

15 5. MODUŁ JAKO ODLEGŁOŚĆ 15 Rysunek 5. Pierwiastki stopnia 3 z jedynki Istotnie, dla wszystkich x, y > 0, z, w C mamy: x z+w = x z x w, (x y ) z = x yz, (xy) z = x z y z. W odróżnieniu od potęgi rzeczywistej, wartości potęgi zespolonej nie muszą być dodatnie. Mogą mieć dowolny argument. Mamy jednak: x z 0 dla wszystkich x > 0, z C. Ćwiczenie 9. Niech z, w C, z = a + bi, w = c + di, a, b, c, d R. Proszę sprawdzić tożsamość: e z+w = e z e w Z jakimi tożsamościami trygonometrycznymi jest ona związana? 4. Okresowość funkcji wykładniczej 5. Moduł jako odległość Stwierdzenie 6. Dla każdego z C mamy z 0. Przy tym z = 0 z = 0. Stwierdzenie 7 (Nierówność trójkąta). Dla z, w C mamy Stwierdzenie 8. Dla z, w C mamy z + w z + w. z + w z w.

16 ZADANIE DOMOWE 16 Zadanie domowe Podać oznaczenie i wzór na: moduł, argument, część rzeczywistą, część urojoną i liczbę sprzężoną do liczby zespolonej z = x+yi dla x, y R, Dla wybranych pięciu z poniższych tożsamości zespolonych, poza pierwszą i dwoma ostatnimi, napisać (obok tożsamości) NIE, jeśli prawo nie zachodzi, TAK, jeśli prawo zachodzi dla wszystkich z 1, z 2 C, albo TAK, dla z 1, z 2 0, jeśli takie założenie jest potrzebne. Re(z 1 + z 2 ) = Re(z 1 ) + Re(z 2 ) Re(z 1 z 2 ) = Re(z 1 ) + Re(z 2 ) Re(z 1 + z 2 ) = Re(z 1 ) Re(z 2 ) Re(z 1 z 2 ) = Re(z 1 ) Re(z 2 ) Im(z 1 ) Im(z 2 ) z 1 z 2 = z 1 + z 2 z 1 + z 2 = z 1 + z 2 z 1 + z 2 z 1 + z 2 z 1 + z 2 z 1 + z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 arg z 1 z 2 arg z 1 arg z 2 (mod 2π) arg z 1 arg z 1 arg z 2 (mod 2π) z 2 Uwaga! Powyższe przykłady mają pokazać tylko formę pytania egzaminacyjnego, natomiast nie wyczerpują treści. Prawa, z których trzeba będzie skorzystać w tej części zadania, obejmują: własności Re, Im, modułu, argumentu, sprzężenia i odwrotności, a dokładniej związku tych funkcji z działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia oraz ich związków między sobą. Wiadomo, że niektóre operacje, np. dzielenie albo argument, określone są tylko dla niezerowych liczb zespolonych. Podane na wykładzie prawo arg z 1 z 2 arg z 1 + arg z 2 (mod 2π) jest prawdziwe dla wszystkich z 1, z 2 C \ {0}, należy więc przy nim wpisać TAK, dla z 1, z 2 0. Podobnie będzie z ostatnią z podanych wyżej przykładowych tożsamości (jej prawdziwość wynika z tego właśnie prawa oraz ze związków argumentu ze sprzężeniem i odwrotnością). W przedostatniej tożsamości możemy uprościć lewą stronę korzystając z tych właśnie praw. Otrzymamy arg z 1 arg z 2 (modulo 2π), co zwykle nie jest równe arg z 1 arg z 2, możemy więc wpisać NIE.

17 ZADANIE DOMOWE 17 Rysunek 6.

18 ZADANIE DOMOWE 18 Rysunek 7.

19 ZADANIE DOMOWE 19 Rysunek 8.

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

http://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/matwyz.html 1 Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wykształcenie u studentów podstaw języka matematycznego i opanowanie przez nich podstawowych pojęć dotyczących

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1 LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1,y 1 +x,y := x 1 +x,y 1 +y, 1 x 1,y 1 x,y := x 1 x y 1 y,x 1 y +x y 1 jest ciałem zob przykład 16, str 7; jest to tzw

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

Funkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)

Funkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Funkcje analityczne Wykład 2. Płaszczyzna zespolona Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać będziemy różne reprezentacje płaszczyzny zespolonej

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia całkowe. Wykład 1

Przekształcenia całkowe. Wykład 1 Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie

Bardziej szczegółowo

Dr Maciej Grzesiak, Instytut Matematyki

Dr Maciej Grzesiak, Instytut Matematyki liczbowe Dr Maciej Grzesiak, Instytut Matematyki liczbowe Dr Maciej Grzesiak, pok.724 E e-mail: maciej.grzesiak@put.poznan.pl http://www.maciej.grzesiak.pracownik.put.poznan.pl podręcznik: i algebra liniowa

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki Liczby zespolone

Wykłady z matematyki Liczby zespolone Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) 27 lutego 2007

Liczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego)  27 lutego 2007 Liczby zespolone P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 27 lutego 2007 Definicja C zbiór par liczb rzeczywistych w którym określono następujace działania:

Bardziej szczegółowo

Kolorowa płaszczyzna zespolona

Kolorowa płaszczyzna zespolona Kolorowa płaszczyzna zespolona Marta Szumańska MIMUW/IX LO w Warszawie Sielpia, 27 października 2018 p. 1 of 64 Liczby zespolone Przez i oznaczamy jednostkę urojoną. Jest to obiekt spełniający warunek

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone i

1. Liczby zespolone i Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych

Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych wykład 1 Gniewomir Sarbicki 15 lutego 2011 Struktura ciała Zbiór par liczb rzeczywistych wyposażamy w działania: { + : (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

Praca domowa - seria 2

Praca domowa - seria 2 Praca domowa - seria 0 listopada 01 Zadanie 1. Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej zbiór liczb spełniających nierówność: A = {z C : i z < Im(z)}. Rozwiązanie 1 Niech z = a + ib, gdzie a, b R. Wtedy z =

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki matematycznej

Elementy logiki matematycznej Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w

Bardziej szczegółowo

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę

Bardziej szczegółowo

Algebra abstrakcyjna

Algebra abstrakcyjna Algebra abstrakcyjna Przykłady 1. Sama liczba 0 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe dodawanie, również liczba 1 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe mnożenie.. Liczby 1 i 1 stanowią grupą

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z matematyki kl.i LO

Plan wynikowy z matematyki kl.i LO Literka.pl Plan wynikowy z matematyki kl.i LO Data dodania: 2006-09-23 09:27:55 Przedstawiam Państwu plan wynikowy z matematyki dla klasy pierwszej LO wg programu programu DKOS 4015-12/02 na rok szkolny

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

Zadania egzaminacyjne

Zadania egzaminacyjne Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie

Bardziej szczegółowo

1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3.

1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3. Logika (3h). Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( p q) 3. (p q) ( q p) 4. (p q) ( p q) 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 7. (p q) r (p r) (q r) 8. (p q) (q r) (p r). Sprawdź, czy wyrażenia:.

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,

ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y

Bardziej szczegółowo

Grupy, pierścienie i ciała

Grupy, pierścienie i ciała Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24 SPIS TREŚCI WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE 7 Wyrażenia algebraiczne 0 Równania i nierówności algebraiczne LICZBY RZECZYWISTE 4 Własności liczb całkowitych 8 Liczby rzeczywiste

Bardziej szczegółowo

Matematyka A kolokwium 26 kwietnia 2017 r., godz. 18:05 20:00. i = = i. +i sin ) = 1024(cos 5π+i sin 5π) =

Matematyka A kolokwium 26 kwietnia 2017 r., godz. 18:05 20:00. i = = i. +i sin ) = 1024(cos 5π+i sin 5π) = Matematyka A kolokwium 6 kwietnia 7 r., godz. 8:5 : Starałem się nie popełniać błędów, ale jeśli są, będę wdzięczny za wieści o nich Mam też nadzieję, że niektórzy studenci zechcą zrozumieć poniższy tekst,

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Katarzyna Grabowska. Uniwersytet Warszawski, Wydział Fizyki, Katedra Metod Matematycznych Fizyki. Letnia Szkoła Fizyki, Płock 2008

Liczby zespolone. Katarzyna Grabowska. Uniwersytet Warszawski, Wydział Fizyki, Katedra Metod Matematycznych Fizyki. Letnia Szkoła Fizyki, Płock 2008 Liczby zespolone Katarzyna Grabowska Uniwersytet Warszawski, Wydział Fizyki, Katedra Metod Matematycznych Fizyki Letnia Szkoła Fizyki, Płock 2008 Katarzyna Grabowska (KMMF) Liczby zespolone LSF2008 1 /

Bardziej szczegółowo

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań. Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Klasa pierwsza: I TE 1, I TE 2, 1 TG, 1 TH, I TRA, 1TI Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Liczby rzeczywiste

Klasa pierwsza: I TE 1, I TE 2, 1 TG, 1 TH, I TRA, 1TI Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Liczby rzeczywiste Klasa pierwsza: I TE 1, I TE 2, 1 TG, 1 TH, I TRA, 1TI Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 0 nr programu DKOS-5002-7/07 I. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne. 1 Wykonalność

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach. WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone

Bardziej szczegółowo

1 Logika. 1. Udowodnij prawa logiczne: 3. (p q) (p q) 2. (p q) ( q p) 2. Sprawdź, czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią.

1 Logika. 1. Udowodnij prawa logiczne: 3. (p q) (p q) 2. (p q) ( q p) 2. Sprawdź, czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią. Logika. Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( q p) 3. (p q) (p q). Sprawdź czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią. 3. Zad 3. Sprawdź czy zdanie: Jeżeli liczba a dzieli się przez i

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (36 h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013 Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne

Bardziej szczegółowo

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w

Bardziej szczegółowo

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu. ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006

FUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006 FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)

Bardziej szczegółowo

Sprawy organizacyjne. dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568

Sprawy organizacyjne. dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568 Sprawy organizacyjne Jak można się ze mna skontaktować dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568 barbara.przebieracz@us.edu.pl www.math.us.edu.pl/bp 10 wykładów, Zaliczenie wykładu: ocena z wykładu jest

Bardziej szczegółowo

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1

Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 1 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie

Bardziej szczegółowo

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

1. ZBIORY PORÓWNYWANIE ZBIORÓW. WYKŁAD 1

1. ZBIORY PORÓWNYWANIE ZBIORÓW. WYKŁAD 1 WYKŁAD 1 1 1. ZBIORY. Pojęcie ZBIORU i NALEŻENIA do niego są pojęciami pierwotnymi(niedefiniowalnymi) w matematyce, reszta matematyki jest zdefiniowana lub opisana za pomocą tych pojęć. Można by, opierając

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era

Bardziej szczegółowo

GAL 80 zadań z liczb zespolonych

GAL 80 zadań z liczb zespolonych GAL 80 zadań z liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej 1 Sprowadź wyrażenia do postaci algebraicznej: (a) ( + i)(3 i) + ( + 31)(3 + 41), (b) (4 + 3i)(5 i) ( 6i), (5 + i)(7 6i) (c), 3 +

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO

PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna)

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Szkoła: Liceum Ogólnokształcące Klasa: pierwsza Poziom nauczania: podstawowy Numer programu: DPN-5002-31/08 Podręcznik: MATEMATYKA Anna Jatczak, Monika Ciołkosz,

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa i geometria analityczna. Autorzy: Agnieszka Kowalik Michał Góra

Algebra liniowa i geometria analityczna. Autorzy: Agnieszka Kowalik Michał Góra Algebra liniowa i geometria analityczna Autorzy: Agnieszka Kowalik Michał Góra 9 Spis treści Liczby zespolone Postać algebraiczna liczby zespolonej Moduł i argument liczby zespolonej Postać trygonometryczna

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460

WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460 WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2016/17

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2016/17 41. Niech z = 5 + 4i. Dla podanych liczb m, n podać taką liczbę całkowitą k, aby 5 zachodziła równość z m z n =z k. Uwaga na sprzężenie w drugim czynniku po lewej stronie. a) m = 1, n = 1, k = 9 ; b) m

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca. Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której

Bardziej szczegółowo

Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp

Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp Katarzyna Kluzek i Adrian Silesian Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 58 33 adrian.silesian@amu.edu.pl katarzyna.kluzek@amu.edu.pl Pokój 1.117

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki (4 godz.)

Elementy logiki (4 godz.) Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Niech C = R 2. Zdefiniujmy dwa działania w C. Dodawanie + : C 2 C zdefiniowane jest przez

Liczby zespolone. Niech C = R 2. Zdefiniujmy dwa działania w C. Dodawanie + : C 2 C zdefiniowane jest przez Liczb zespolone Ciało liczb zespolonch Niech C = R. Zdefiniujm dwa działania w C. Dodawanie + : C C zdefiniowane jest przez (, ) + (, ) = ( +, + ). Ćwiczenie. Obliczm (, ) + (, 0) =.................................................

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe oznaczenia

1 Podstawowe oznaczenia Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.

Bardziej szczegółowo

Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych

Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych ZESPÓŁ SZKÓŁ HANDLOWO-EKONOMICZNYCH IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W BIAŁYMSTOKU Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych Mój przedmiot matematyka spis scenariuszy

Bardziej szczegółowo

Zajmijmy się najpierw pierwszym równaniem. Zapiszmy je w postaci trygonometrycznej, podstawiając z = r(cos ϕ + i sin ϕ).

Zajmijmy się najpierw pierwszym równaniem. Zapiszmy je w postaci trygonometrycznej, podstawiając z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Zad (0p) Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej wszystkie z C, które spełniają równanie ( iz 3 z z ) Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Szukane z C spełniają: iz 3 = z z Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Zajmijmy się najpierw pierwszym

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Warszawa 2019 LICZBY RZECZYWISTE stosować prawidłowo pojęcie zbioru, podzbioru, zbioru pustego; zapisywać zbiory w różnej postaci

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY

PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Copyright by Nowa Era Sp. z o.o. Warszawa 019 Liczba godzin TEMAT ZAJĘĆ EDUKACYJNYCH Język matematyki 1 Wzory skróconego mnożenia 3 Liczby pierwsze,

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach

Bardziej szczegółowo

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h) Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15

Bardziej szczegółowo

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"

Bardziej szczegółowo

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) 1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Metody Fizyki I Dr hab. inż. Mariusz Przybycień

Matematyczne Metody Fizyki I Dr hab. inż. Mariusz Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Dr hab. inż. Mariusz Przybycień Matematyka dla przyrodników i inżynierów, D.A. McQuarrie, PWN, Warszawa 005. Wybrane rozdziały matematycznych metod fizyki, A. Lenda, B. Spisak,

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność rozwiązywania

Bardziej szczegółowo