Matematyczne Metody Fizyki I

Transkrypt

1

2 Matematyczne Metody Fizyki I Dr hab. inż.. Mariusz Przybycień Matematyka dla przyrodników i inżynierów, D.A. McQuarrie, PWN, Warszawa 005. Wybrane rozdziały matematycznych metod fizyki, A. Lenda, B. Spisak, Wydawnictwo AGH, Kraków 006. Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej, F.W. Byron, R.W. Fuller, PWN, Warszawa 974. ematical Methods for Physics and Engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge Univ. Press, 006. Algebra liniowa, T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, GiS, Wrocław 00. Matematyka dla studiów inżynierskich, S. Białas, A. Ćmiel, A. Fitzke, Wydawnictwo AGH, Kraków 973. Algebra i geometria analityczna w zadaniach, H. Arodź, K. Rościszewski, ZNAK, Kraków 005. Zbiór zadań z algebry, L. Jeśmianowicz, J. Łoś, PWN,Warszawa 975. Algebra i wielowymiarowa geometria analityczna w zadaniach, S. Przybyło, A. Szlachtowski, WNT, Warszawa Wykład -

3 Wiadomości wstępne Funkcje trygonometryczne: wybrane wartości funkcji trygonometrycznych: θ (stopnie θ (radiany tożsamości trygonometryczne dla pojedynczego kąta: sin α tan α sin α + cos α tan α sin α cos α cot α cos α + tan α + tan α Wykład -3

4 Tożsamo samości trygonometryczne Tożsamości trygonometryczne dla dwóch kątów: Wyprowadzenie wzorów na sinus i cosinus sumy kątów: współrzędne punktu P: w Oy: (cos(α+β, sin(α+β oraz w O y : (cosβ, sinβ współrzędne punktu R: w Oy: (0, sin(α+β cos β TN+NP MR+NP OR sinα + RP cosα sin(α+β sin α + cos(α+β cos α sin β y OM-TM OM-NR OR cosα + RP sinα sin(α+β cos α - cos(α+β sin α mnożąc pierwsze z powyższych równań przez sinα a drugie przez cosα otrzymujemy: sin(α+β sinα cosβ + cosα sinβ - y M T y R N P β α o podobnie znajdujemy: cos(α+β cosα cosβ sinα sinβ Wykład -4

5 Tożsamo samości trygonometryczne Podstawiając β zamiast β w powyższych wzorach, znajdujemy wyrażenia na sinus i cosinus różnicy kątów. W rezultacie mamy: sin α ± β sin α cos β ± cos α sin β tan α ± tan β tan( α ± β cos α ± β cos α cos β sin α sin β tan α tan β Ważne przypadki szczególne: tan α sin α sin α cos α tan α tan α sin( α ± β cos α cos α sin α tan α ± tan β cos α cos β Dodając stronami wzory na sin(α±β a następnie stosując podstawienia α+β γ oraz α β δ znajdujemy wyrażenie na sinγ + sinδ. Postępując analogicznie można znaleźć pozostałe z poniższych wzorów: γ + δ γ δ γ + δ γ δ sin γ + sin δ sin cos cos γ + cos δ cos cos γ + δ γ δ γ + δ γ δ sin γ sin δ cos sin cos γ cos δ sin sin Wykład -5

6 Funkcje hiperboliczne Odwrotne funkcje trygonometryczne (funkcje arcus: Definicja: Funkcje hiperboliczne zdefiniowane są w następujący sposób: sinh ( e e cosh ( e + e Własności: sinh( sinh cosh ( cosh cosh sinh sinh sinh sinh cosh cosh + sinh cosh tanh cosh sinh ± y sinh cosh y ± cosh sinh y tanh tanh tanh( y ± ± y cosh α ± β cosh cosh y ± sinh sinh y ± tanh tanh y Wykład -6

7 Wykresy funkcji hiperbolicznych Funkcje hiperboliczne: Odwrotne funkcje hiperboliczne (funkcje arcus: Wykład -7

8 Symbole sumy (Σ( i iloczynu (Π( sumę oraz iloczyn wyrazów ciągu liczb a p, a p+, a p+,, a n-, a n, gdzie p<n zapisujemy w sposób skrócony w następujący sposób: n a a + a a a a a... a i p p+ n i p p+ n i p i p Przykład: Suma wyrazów ciągu arytmetycznego a 0, a 0 +d, a 0 +d, a 0 +nd dana jest n 0 0 k 0 n wzorem: ( a + kd ( n + ( a + nd Przykład: Suma wyrazów ciągu geometrycznego a 0, a 0 q, a 0 q, a 0 q n, gdzie q, dana jest wzorem: n k 0 a q a k 0 0 n+ q q sumy mogą przebiegać po dowolnej liczbie wskaźników, np: n m m n a a + a a + a a a +... a a ij pr p + r nr p r + n r + pm nm ij i p j r j r i p jeżeli zakres zmienności indeksów jest taki sam stosuje się zapis: n n n a ij i j i, j a ij Wykład -8

9 Metody dowodzenia twierdzeń Zasada indukcji matematycznej: Jeżeli twierdzenie w którym jest mowa o liczbach naturalnych ( jest prawdziwe dla określonej liczby naturalnej n 0, i ( jeśli z prawdziwości tego twierdzenia dla liczby naturalnej n wynika jego prawdziwość dla liczby następnej n+, to twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnej liczby naturalnej n r n 0. Przykład: Pokaż, że Q(n n 4 +n 3 +n +n jest podzielne przez 6 dla wszystkich n>0. ( sprawdzamy prawdziwość twierdzenia dla n 0 : Q(/6 6/6 ( Q(n+ (n+ 4 + (n+ 3 + (n+ + (n+ (n 4 + 4n 3 + 6n + 4n + + (n 3 + 3n + 3n + + (n + n + + (n+ (n 4 + n 3 + n +n + (4n 3 + n + 4n +6 Musimy teraz sprawdzić czy 4n 3 +4n jest podzielne przez 6, czyli czy R(n n 3 +7n jest podzielne przez 3, przeprowadzając dodatkowy dowód przez indukcję: ( dla n 0 : R(/3 9/3 3 ( R(n+ (n (n+ (n 3 +3n +3n+ + 7(n+ (n 3 +7n + 3(n +n+3 R(n jest więc podzielne przez 3, co oznacza, że ostatecznie Q(n jest podzielne przez 6. Wykład -9

10 Metody dowodzenia twierdzeń Dowód przez zaprzeczenie: zakładamy prawdziwość hipotezy oraz logicznego zaprzeczenia rezultatu który chcemy udowodnić (tzn. jeśli dowodzimy jeśli P to Q to zakładamy prawdziwość P i nie Q, stosując znane twierdzenia i własności dochodzimy do sprzeczności (tzn. konkluzji sprzecznej z naszymi założeniami lub jakiegoś w oczywisty sposób nieprawdziwego twierdzenia, np. 0 Przykład: Udowodnić, że nie jest liczbą wymierną. załóżmy, że jest liczbą wymierną, tzn. że daje się zapisać w postaci gdzie a i b nie mają wspólnych dzielników. a a b b co oznacza, że a jest liczbą parzystą, a w konsekwencji samo a jest parzyste, ponieważ iloczyn liczb nieparzystych jest liczbą nieparzystą. a więc można napisać a c fi c b fi b jest parzyste. oznacza to że a i b oba są parzyste, a więc mają wspólny dzielnik sprzeczność! Przykład: Tw: Jest nieskończenie wiele liczb pierwszych. (dowód q p p p 3 p n + a b Wykład -0 0

11 Dwumian Newtona Symbol Newtona: ( n n! k n n k k n k dla 0 k!( n k! oraz k 0 dla < 0 > n n n n n n k s n k k n k k k + k k k + Własności: Przykład: Dowód metodą indukcji matematycznej trzeciej z powyższych własności: k k + L P k k + n k + s k + s k + n n + k n + k n + k + k + + s k k k + k k + ( sprawdzamy prawdziwość twierdzenia dla n 0 : ( n s 0 0 Dwumian Newtona (rozwinięcie dwumianowe: ( n + Przykład: Wychodząc z (+y p (+y q ª (+y p+q oraz porównując wsp. przy p+q-r y r mamy: p q p q p + q y y s t r s + t r t t r p q r s p s t q t s 0 t 0 t 0 s 0 n n k n k y y k k 0 Wykład -

12 Pierwiastki równania r kwadratowego a + b + c 0 b ± b 4ac, a y 3,, ± 4 + ± 4 3 y +,,, ± 4 4 ± 0 y + 3,, ± 4 ± 8 ±? ± Jednostka urojona:, ± i i Wykład -

13 liczba rzeczywista. liczba (czysto urojona. Fundamentalne twierdzenie algebry stwierdza, że jeśli f(z jest dowolnym 3 + 4i Liczby urojone bi 4i ± i Liczby zespolone Liczby zespolone ( to liczby zawierające jednostkę urojoną i (L.Euler. Postać algebraiczna liczb zespolonych to z a+bi, gdzie a, b œ. a Re(z część rzeczywista liczby z, b Im(z część urojona liczby z Jeśli b 0 oraz a 0, mamy a+0i lub a. Jeśli b 0 oraz a 0, mamy 0+bi lub ib wielomianem stopnia n, to równanie f(z 0 ma dokładnie n rozwiązań (w. πi i Liczby zespolone z a + bi + i 3 π 4i Liczby rzeczywiste a (wymierne i niewymierne 3 + 0i 00 ( / 5 i / 8 6.4e Wykład -3 3

14 Własności liczb zespolonych Dwie liczby zespolone są sobie równe wtedy i tylko wtedy gdy ich części rzeczywiste i urojone są niezależnie sobie równe: z z Re{z }Re{z } i Im{z }Im{z } W zbiorze liczb zespolonych nie jest określona relacja uporządkowania (tzn., że nie ma sensu wyrażenie np. 9+6i > 3+i Liczbą sprzężoną do liczby z a + bi nazywamy wielkość z* a bi Liczba zespolona jest czysto rzeczywista wtedy i tylko wtedy gdy z z* Liczba zespolona jest czysto urojona wtedy i tylko wtedy gdy z -z* Re z Re z* z + z* Im z Im z* ( z z* i Modułem liczby z a+bi nazywamy wielkość: z zz * a + b Uwaga: zachodzą następujące relacje z z* oraz z + z b z +z Przykład: Znajdź liczbę sprzężoną i moduł liczby zespolonej z a + i - 3bi z a + ( 3b i z* a ( 3b i z zz * a + ( 3b Wykład -4 4

15 Im(z b Płaszczyzna zespolona i argument Każdą liczbę zespoloną z a+ib można przedstawić jako punkt o współrzędnych kartezjańskich (a, b na tzw. płaszczyźnie zespolonej: wektor wodzący tego punktu ma początek w punkcie (0,0 i koniec w (a,b jego długość jest równa modułowi liczby zespolonej kąt zawarty między osią Re(z i wektorem wodzącym punktu (a,b nazywamy fazą lub argumentem liczby zespolonej i oznaczamy ϕ arg(z. Liczba z 0 może mieć dowolną fazę. W pozostałych przypadkach faza dana jest przez: a b cos ϕ sin ϕ z a+ib a + b a + b z ϕ a Re(z Diagram Arganda Danej liczbie zespolonej można przyporządkować nieskończenie wiele faz: ϕ + kπ, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą. Argumentem głównym (ozn. Arg(z nazywamy fazę z przedziału -πbϕ<π. Im(z z z z +iy Wykład -5 5 Re(z z* iy

16 Dodawanie liczb zespolonych Dodawanie (odejmowanie liczb zespolonych (z a +ib oraz z a +ib : a a i ( b b z ± z a + ib ± a + ib ± + ± Dodawanie l.z. jest przemienne i łączne: z + z z + z z + z + z z + z + z 3 Sprzężenie zespolone sumy (różnicy l.z. ( z ± z * z * ± z* Przykład: Wykonaj działanie z +z -z 3 gdzie z +i, z 3-4i, z 3 -+i z + z z3 ( + i + ( 3 4i ( + i ( + 3 ( + i ( 4 6 3i Im(z b +b Re z ± z Re z ± Re z Im z ± z Im z ± Im z b b z a a z z + z z a +a Re(z (, (, ( +, + z + z a b + a b a + a b + b Wykład -6 6

17 Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych (z a +ib oraz z a +ib : ( + ( + zz zz i oraz ( ( zz z3 z ( zz3 + + aa + bb + i ( ba ab + + z z a ib a ib a a b b + i a b + b a z a ib a ib a ib z a ib a ib a ib a ib aa + bb ba ab + i z 0 z a + b a + b z Przykład: Wykonaj działania z z oraz z /z gdzie z 3+i, z --4i. z z 3 + i 4i 3 i i 8i 5 4i z ( 3 + i( + 4i + 0i 0 + i z ( 4i( + 4i * z z z z * zz * z * z* zz z z z z * z z Własności sprzężenia zespolonego i modułu: z* z Wykład -7 7

18 Zbiór r liczb zespolonych Przykład: Sprawdź czy w zbiorze liczb zespolonych zachodzi rozdzielność mnożenia względem dodawania. ( (, (, (, (, (, ( a ( a a b( b b, a ( b b b( a a (( aa bb ( aa bb,( ab ba ( ab ba ( aa bb, ab ba ( aa bb, ab ba ( a, b( a, b ( a, b( a, b zz zz z z + z a b a b + a b a b a + a b + b Przykład: Znajdź fazę i moduł liczby zespolonej z -3i z Uwaga: przy wyborze kąta zawsze trzeba zwrócić uwagę w której ćwiartce znajduje się badana liczba zespolona. zz * + ( 3 3 y 3 arg arctan arctan. z 0988 rad Wykład -8 8

19 Postać trygonometryczna liczb zespolonych Każdą liczbę zespolona za+bi można przedstawić w postaci trygonometrycznej: a b z a bi z i + + z ϕ + i ϕ z z ( cos sin Mnożenie i dzielenie l.z. w postaci trygonometycznej: z z z z cos ϕ + i sin ϕ cos ϕ + i sin ϕ Im(z ϕ cos cos sin sin ( sin cos sin cos ( cos sin ( cos ϕ + i sin ϕ z ( cos( i sin ( ( cos ϕ + i sin ϕ z z ϕ ϕ ϕ ϕ + i ϕ ϕ + ϕ ϕ z z ϕ + ϕ + i ϕ + ϕ z z ϕ ϕ + ϕ ϕ z z z Wnioski: można tak dobrać wartości argumentów, aby były spełnione relacje: arg(z z arg(z + arg(z oraz arg(z /z arg(z - arg(z Twierdzenie de Moivre a: (cosϕ+isinϕ n cos(nϕ + isin(nϕ b z z a+ib a Re(z Wykład -9 9

20 Zastosowanie twierdzenia de Moivre a Przykład: Wyraź cos3θ i sin3θ poprzez kombinacje potęg cosθ i sinθ. Stosujemy twierdzenie de Moivre a: 3 3 ( 3 cos3 θ + i sin3 θ cos θ + i sin θ cos θ 3cos θ sin θ + i 3sin θ cos θ sin θ Porównując, oddzielnie, części rzeczywiste i urojone, dostajemy: 3 3 cos3 θ cos θ 3cos θ sin θ 4cos θ 3cos θ 3 3 sin3 θ 3sin θ cos θ sin θ 3sin θ 4sin θ Przykład: Wyraź cos 4 θ poprzez kombinacje cosinusów wielokrotności kąta. n n n n z + z ( cos θ + i sin θ + ( cos θ + i sin θ z z + cos θ cos n θ + i sin n θ + cos( n θ + i sin( n θ cos( n θ cos z z z θ z z z 4 z z cos4 θ + cos θ z 4 z Podobnie znajdujemy, że: n n z z i sin( n θ z z i sin θ Wykład -0

21 Postać biegunowa liczb zespolonych Z analizy matematycznej wiemy, że: k y y 0 d z z z z e e e + e e α α e α e z... d k! 6 d dϕ ponieważ ( cos ϕ + i sin ϕ sin ϕ + i cos ϕ i ( cos ϕ + i sin ϕ więc można napisać inaczej cos ϕ + i sin ϕ e iϕ k 0 ( ϕ ( ϕ ( ϕ ( ϕ iϕ iϕ iϕ iϕ iϕ e + i ϕ ! 3! 4! 5! ϕ ϕ ϕ ϕ i ϕ +... cos ϕ + i sin ϕ! 4! 3! 5! Każdą liczbę zespoloną za+bi można przedstawić w postaci biegunowej: ( cos sin ep z a + bi z ϕ + i ϕ z i ϕ Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci biegunowej: iϕ i ϕ i i z z e z ϕ zz z e z e z z e e iϕ z z e z ( ϕ +ϕ i( ϕ ϕ Wykład -