Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład. Wstęp dr hab.iż. Katarzya Zakrzewska, prof.agh Katedra Elektroiki, AGH e-mail: zak@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~zak Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład Literatura: D.C. Motgomery, G.C. Ruger, Applied Statistics ad Probability for Egieers, Third Editio, J. Wiley & Sos, 3 A. Plucińska, E. Pluciński, Probabilistyka, rachuek prawdopodobieństwa, statystyka matematycza, procesy stochastycze, WNT, J. Jakubowski, R. Sztecel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, SCRIPT, M. Sobczyk, Statystyka, Wydawictwo C.H. Beck, Warszawa A. Zięba, Aaliza daych w aukach ścisłych i techice, PWN, Warszawa 3, 4 Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład
Pla Przedmiot probabilistyki i statystyki Rys historyczy Paradoks kawalera de Méré Statystyka - typy daych i pojęcie zmieej losowej Graficza prezetacja daych Zaczeie rachuku prawdopodobieństwa i statystyki w auce i problemach iżyierskich Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 3 Czym zajmuje się probabilistyka i statystyka? Teoria prawdopodobieństwa (także rachuek prawdopodobieństwa lub probabilistyka) dział matematyki zajmujący się zdarzeiami losowymi. Zdarzeie losowe to wyik doświadczeia losowego. Doświadczeie losowe może być powtarzae dowolie wiele razy w warukach idetyczych lub bardzo zbliżoych a jego wyik ie daje się przewidzieć jedozaczie. Ll ozacza ile razy zaszło dae zdarzeie gdy doświadczeie powtarzao razy Prawidłowość statystycza przy coraz większej liczbie doświadczeń losowych częstość zdarzeia dąży do pewej stałej liczby Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4
Czym zajmuje się probabilistyka i statystyka? Rachuek prawdopodobieństwa zajmuje się badaiem abstrakcyjych pojęć matematyczych stworzoych do opisu zjawisk, które ie są determiistycze:. zmieych losowych w przypadku pojedyczych zdarzeń oraz. procesów stochastyczych w przypadku zdarzeń powtarzających się (w czasie). Jako matematyczy fudamet statystyki, teoria prawdopodobieństwa odgrywa istotą rolę w sytuacjach, w których koiecza jest aaliza dużych zbiorów daych. Jedym z ajwiększych osiągięć fizyki dwudziestego wieku było odkrycie probabilistyczej atury zjawisk fizyczych w skali mikroskopowej, co zaowocowało powstaiem mechaiki kwatowej. Statystyka zajmuje się metodami zbieraia iformacji (liczbowych) oraz ich aalizą i iterpretacją. Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 5 Czym zajmuje się probabilistyka i statystyka? Statystyka OPISOWA ANALIZA DANYCH (DESCRIPTIVE STATISTICS) Orgaizacja daych Podsumowaie daych Prezetacja daych DEDUKCYJNA MODELOWANIE STOCHASTYCZNE ( STATISTICAL INFERENCE) Podaje metody formułowaia wiosków dotyczące obiektu badań (populacji geeralej) w oparciu o miej liczy zbiór (próbę) GRAFICZNA NUMERYCZNA Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 6 3
Rys historyczy Matematycza teoria prawdopodobieństwa sięga swoimi korzeiami do aalizy gier losowych podjętej w siedemastym wieku przez Pierre de Fermata oraz Blaise Pascala. Z tego powodu, początkowo teoria prawdopodobieństwa zajmowała się iemal wyłączie zjawiskami dyskretymi i używała metod kombiatoryczych. Zmiee ciągłe zostały wprowadzoe do teorii prawdopodobieństwa zaczie późiej. Za początek stworzeia współczesej teorii prawdopodobieństwa powszechie uważa się jej aksjomatyzację, której w 933 dokoał Adriej Kołmogorow. Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 7 Hazard Zdecydowaa większość gier losowych opiera się a prawdopodobieństwie zdarzeia......ajprostszy, jak rzut moetą,......złożoy, jak rozdaie pokera......oraz może być pod tym kątem aalizowaa....całkowicie losowy jak ruletka... Prawdopodobieństwo trafieia oczka Ilość uikatowych rozdań w pokerze Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 8 4
5 Rys historyczy Blaise Pascal (6-66) XVII w., Paryż, Fracja Uieśmiertelił kawalera de Méré oraz jego paradoks hazardowy Trójkąt Pascala wykorzystyway przy potędze sumy Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 9 k k k b a k b a + ) ( dwumia Newtoa Trójkąt Pascala Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 6 6 6 5 6 5 4 6 3 6 5 6 6 6 6 6 5 5 5 4 5 3 5 5 5 5 5 5 4 4 4 3 4 6 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3! )! (! k k k Symbol
Trójkąt Pascala + 3 3 4 6 4 5 5 6 5 5 6 3 4 5 6 Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład Rys historyczy Pierre de Fermat (6-665) Początek XVII w., Touluse, Fracja Badał właściwości liczb pierwszych, teorię liczb, rówolegle opracował metodę współrzędych w geometrii. Razem z Pascalem stworzył podstawy pod współczesy rachuek prawdopodobieństwa. Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 6
Rys historyczy Siméo Deis Poisso (78-84) XVIII-XIX w., Paryż, Fracja Przyjaciel Lagrage'a, uczeń Laplace'a a sławej École Polytechique. Poza zagadieiami fizyczymi zajmował się teorią prawdopodobieństwa. Proces stochastyczy (podobie jak pr. Markowa), rozkład Poissoa - dystrybuata! Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 3 Rys historyczy Carl Frederich Gauss (777-855) XVIII-XIX w., Getyga, Niemcy Profesor Uiwersytetu w Getydze Geialy matematyk, który już w dzieciństwie wyprzedzał umiejętościami rówieśików. W szkole podstawowej jako jedyy rozwiązał zadaie auczyciela - zsumowaie liczb do 4 zauważając, że jest to (4+)* Rozkład ormaly, zway krzywą Gaussa Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 7
Paradoks kawalera de Méré Dwaj hazardziści S i S umawiają się, że zagrają pewą serię partii i że zwycięzcą będzie te, kto pierwszy wygra pięć partii. Co ależy zrobić, gdy trzeba będzie grę przedwcześie przerwać? Załóżmy, że S wygrywa cztery partie, a S tylko trzy. Jak sprawiedliwie podzielić stawki? Propozycja : podzielić stawki w stosuku 4:3 Propozycja : podzielić stawki w stosuku (5-3):(5-4): wg W.R. Fuchs, Matematyka populara, Wiedza Powszecha, Warszawa 97 Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 5 Paradoks kawalera de Méré Blaise Pascal rozwiązał zadaie rozumując bardzo prosto. Aby rozstrzygąć grę, ależy zagrać jeszcze ajwyżej dwie partie. Jeżeli pierwszą partię wygra S, to gra będzie rozstrzygięta od razu. Gdy pierwszą partię wygra S, to wygraie drugiej partii przez S przesądziłoby grę a jego korzyść. Jedak jeśli pozostałe dwie partie wygra S to o zostaie zwycięzcą. Zatem sprawiedliwy podział stawki to 3: Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 6 8
Statystyka - typy daych ILOŚCIOWE (QUANTITATIVE, NUMERICAL) JAKOŚCIOWE (QUALITATIVE, CATEGORIAL) Przykłady: Zbiór ludzi Wiek Wzrost Wysokość zarobków Przykłady: Płeć Sta cywily Obliczeia pewych parametrów, jak p. średia arytmetycza, mediaa, ekstrema, mają ses Moża przypisać różym cechom arbitrale wartości liczbowe. Obliczeia parametrów ie mają sesu, moża jedyie podawać p. udział procetowy Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 7 Pojęcie zmieej losowej Zmiea losowa jest to fukcja X, która przypisuje liczbę rzeczywistą daemu wyikowi eksperymetu losowego. Ω e, e, { K X : Ω R } X( e ) R i i Przykłady: ) Rzut moetą: zdarzeiu orzeł przypisujemy ; zdarzeiu reszka przypisujemy. ) Aalog. losowaie wyrobów: zdarzeiu brak (wadliwy) -, dobry 3) Rzut kostką wyrzuceie, itd 4) Odciek [a, b] a osi liczbowej wybór puktu o współrzędej przypisujemy p. wartość ; wartość si (3+7) itp. Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 8 9
Zmiea losowa dyskreta Gdy wartości zmieej losowej X są izolowaymi puktami a osi liczbowej (obejmują skończoy przedział wartości) Rzut moetą Błędy przy trasmisji Wadliwe układy a liii produkcyjej Ilość połączeń przychodzących w ciągu 5 miut ciągła Gdy wartości zmieej losowej staowią wszystkie pukty odcika (obejmują przedział liczb rzeczywistych) Natężeie prądu w przewodiku Temperatura Ciśieie Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 9 Graficza prezetacja daych Ilość wystąpień Częstotliwość 3 3/3,34 5 5/3,74 3 /3,4348 4 4 4/3,739 Dae statystycze moża prezetować a wiele sposobów, p. częstość występowaia daej cechy 5 /3,435 Razem: 3, Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład
Graficza prezetacja daych Wykres kołowy 3 4 5,343478,7393 7% 4% 3% 3,43 % 4,739 5,434786 44% graf Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład Graficza prezetacja daych Wykres kolumowy,343478,7393 3,43 4,739 5,434786,45,4,35,3,5,,5,,5 Serie 3 4 5 Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład
Dae ilościowe Wyiki 34 pomiarów (p. wielkość ziare w [m], temperatura w kolejych diach o godz. : w [deg. C], czas rozmów telefoiczych w [mi], itp. 3,6 3,,8 3,5 5, 4,8,3 9, 6,6 5,3,7 6, 9,4 6, 6, 5,3 8 8, 6, 6,3, 8,4 4,5 6,6 9,3 5,3 9, 6,5,4, 7, 6,,3 Tak podae wartości są mało czytele! Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 3 Histogram Sporządzeie wykresu (histogramu):. Uporządkować zbiór wg. rosących (lub malejących) wartości program Ecel ma taką opcję.. Wyiki próby (o liczebości ) staowią zbiór -liczb (iekoieczie różiących się od siebie). Celem ich ilustracji dzieli się je a klasy, tworząc tz. szereg rozdzielczy. 3. Szerokość poszczególych klas ie musi być taka sama, choć zwykle stosuje się klasy o tej samej szerokości 4. Ilość klas ie może być zbyt mała ai też zbyt licza. Najbardziej optymalą liczbę klas 'k' określa reguła Sturge'a. Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4
Histogram 3 klasy Częstość bezwględa 6 4 8 6 4 8 4 Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 5 Histogram klas 8 7 6 Częstość bezwzględa 5 4 3 3,5 5 6,5 8 9,5,5 4 5,5 7 8,5 Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 6 3
Histogram 35 klas 8 7 6 Częstość bezwzględa 5 4 3,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5,5,5,533,544,555,566,577,588,599,5 Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 7 Reguła Sturge'a k+3,3log Dla aszego przykładu: 34 k5.59 6 Liczebość próbki, Liczba klas, k < 5 5 7 5 7 9 5 9 5-5 3 5 5 3 7 5 < 7 Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 8 4
Histogram optymaly 6 klas (optymalie),3,5 Częstość względa,,5,,5 5 8 4 7 Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 9 Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka w auce i techice Statystyka umożliwia aalizę i modelowaie rozwoju chorób oraz pomaga zapobiegać epidemiom. Statystyka medycza, p. średia liczba zachorowań w regioie Statystyka społecza, p. gęstość zaludieia Statystyka gospodarcza, p. PKB, wydatki a opiekę zdrowotą Liczba zachorowań a świńską grypę w roku 9 w USA (Źródło: http://commos.wikimedia.org) Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 3 5
Meteorologia Modele pogodowe umożliwiające przewidywaie pogody oraz wykrywaie potecjalych kataklizmów, p. huragaów (Źródło:stormdebris.et/Math_Forecastig.html) Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 3 Jak rozwiązuje się problem iżyierski? Opis problemu Idetyfikacja ajważiejszych czyików Propozycja modelu Modyfikacja modelu Potwierdzeie rozwiązaia Przeprowadzeie eksperymetów Wioski i rekomedacje Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 3 6
Jak rozwiązuje się problem iżyierski? Opis problemu Przykład: Załóżmy, że iżyier projektuje przewód paliwowy, który ma zastosowaie w silikach samochodowych. Iżyier wybiera grubość ściay 3/3 cale ale ie jest pewy czy to jest wystarczające dla uzyskaia odpowiediej siły ciągu. Idetyfikacja ajważiejszych czyików Wyprodukowao osiem elemetów, dla których zmierzoo siły ciągu i otrzymao astępujące wartości (w futach):.6,.9, 3.4,.3, 3.6, 3.5,.6, 3.. Siła ciągu może być traktowaa jako zmiea losowa. Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 33 Jak rozwiązuje się problem iżyierski? Propozycja modelu Przyjmijmy model, w którym zmiea losowa X jest przedstawioa jako: Stała wartość Zaburzeie (błąd, szum) Stała µ ie zmieia się przy kolejych pomiarach. Małe zmiay w otoczeiu, układzie pomiarowym, różice obserwowae dla obiektu mierzoego wpływają a wartość zaburzeia ε. W świecie rzeczywistym zawsze istieją czyiki prowadzące do iezerowego zaburzeia. Musimy je opisać w sposób ilościowy i zaleźć sposób a ograiczeie ich wpływu a wyik pomiaru. Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 34 7
Jak rozwiązuje się problem iżyierski? Przeprowadzeie eksperymetów Rysuek - przedstawia uzyskae wyiki w postaci diagramu puktowego (dot diagram). Diagramy tego typu są użytecze dla małej ilości daych (do ok. obserwacji). Wykresy tego typu pozwalają oceić położeie (środek) i rozproszeie (rozrzut) Średia wartość siły ciągu wyosi 3. futów. Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 35 Jak rozwiązuje się problem iżyierski? Iżyier zmieia grubość ściay do /8 cali zakładając, że pomoże to zwiększyć siłę ciągu. Zowu zbudowao 8 prototypów, przeprowadzoo eksperymety i otrzymao wyiki siły ciągu:.9, 3.7,.8, 3.9, 4., 3., 3.5, 3.. Wyiki, w porówaiu z poprzedim eksperymetem, zestawioo a Rys. -3.. Modyfikacja (udoskoaleie) modelu Średia wartość siły ciągu wyosi 3.4 futy. Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 36 8
Jak rozwiązuje się problem iżyierski? Potwierdzeie rozwiązaia? Wykres stwarza wrażeie, że zwiększeie grubości ściay prowadzi do wzrostu siły ciągu. Jedak, pozostaje pytaie czy jest tak istotie? Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 37 Jak rozwiązuje się problem iżyierski? Wioski (rekomedacje?) Statystyka pomoże am udzielić odpowiedzi a pytaia: Skąd pewość, że ia próbka elemetów ie da iych wyików? Czy próbka 8-elemetowa jest wystarczająca aby dać wyiki, którym moża ufać? Jeżeli użyjemy wyików, które do tej pory otrzymaliśmy, aby sformułować wiosek (decyzja), że wzrost grubości ściay jest korzysty, jak oszacować ryzyko z tym związae? Czy jest możliwe, że pozory wzrost siły ciągu obserwoway dla grubszych elemetów ma charakter jedyie losowy? Może ie ma sesu zwiększaie grubości ścia (powiększaie kosztów produkcji)? Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 38 9
Rachuek iepewości pomiaru Międzyarodowa Norma Ocey Niepewości Pomiaru (Guide to Epressio of Ucertaity i Measuremets- Międzyarodowa Orgaizacja Normalizacyja ISO) http://physics.ist./gov/ucertaity Wyrażaie Niepewości Pomiaru. Przewodik. Warszawa, Główy Urząd Miar 999 H. Szydłowski, Pracowia fizycza, PWN Warszawa 999 A.Zięba, Postępy Fizyki, tom 5, zeszyt 5,, str.38-47 A.Zięba, Pracowia Fizycza WFiTJ, Skrypt Uczeliay SU 64, Kraków Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 39 POMIAR Pomiary w laboratorium moża podzielić a pomiary wielkości: prostych złożoych Przykład : Pomiar długości ici przymiarem metrowym, pomiar okresu drgań wahadła pomiary wielkości prostych pomiary bezpośredie Wyzaczaie przyspieszeia ziemskiego a podstawie wzoru - pomiar wielkości złożoej T π l g Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4
POMIAR W trakcie pomiaru uzyskujemy wartości różiące się od przewidywań teorii. Źródłem rozbieżości między teorią i eksperymetem są iedoskoałości: -osoby wykoującej pomiar, -przyrządów pomiarowych, -obiektów mierzoych Gdy doświadczeie staje się doskoalsze, rozbieżości te maleją. Malejebłąd pomiaru, iepewość pomiaru. Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4 Wyik pomiaru jest zawsze obarczoy błędem i po przeprowadzeiu odpowiediej aalizy błędów podajemy go w jedej z astępujących postaci: F (98 ± 3) C g 9,866(8)m /s Przykład : Załóżmy, że przy wyzaczaiu rówoważika elektrochemiczego pewego pierwiastka uzyskaliśmy astępujące liczby: Jak podać wyik? k,963 g/c Δk,347 g/c 3 cyfry zaczące cyfry iezaczące Odp. k (, ±,4) g/c lub k,(4) g/c Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 4
Niepewość a błąd pomiaru Błąd bezwzględy pojedyczego pomiaru: Δ i i wartość zmierzoa, wartość rzeczywista i () Błąd względy: δ Δ i () Uwaga: wartości rzeczywiście wielkości mierzoej zazwyczaj ie są zae Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 43 Niepewość pomiaru Wielkości określoe wzorami () i () są pojedyczą realizacją zmieej losowej i ie wchodzą do teorii iepewości. W praktyce ie zamy wartości rzeczywistych wielkości mierzoych i szacujemy iepewości pomiarowe wyikające ze statystyczych praw rozrzutu pomiarów. Niepewość pomiaru jest związaym z rezultatem pomiaru parametrem, charakteryzującym rozrzut wyików, który moża w uzasadioy sposób przypisać wartości mierzoej. Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 44
Niepewość u (ag. ucertaity) posiada wymiar, taki sam jak wielkość mierzoa Symbolika: u lub u() lub u(stężeie NaCl) Niepewość względa u r () to stosuek iepewości (bezwzględej) do wielkości mierzoej: u( ) u r ( ) Niepewość względa jest wielkością bezwymiarową i może być wyrażoa w % Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 45 Miary iepewości Istieją dwie miary iepewości pomiaru: iepewość stadardowa u() iepewość maksymala -Δ +Δ -u() +u() Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 46 3
Niepewość stadardowa Jest miarą dokładości pomiaru ajpowszechiej stosowaą i uzawaą obecie za podstawową.. Rezultat pomiaru jest zmieą losową i, której rozrzut wokół wartości średiej charakteryzuje parametr zway odchyleiem stadardowym ( i ) σ lim. Dokładej wartości odchyleia stadardowego ie zamy. Niepewość stadardowa jest jego iezbyt dokładym oszacowaiem (estymatorem, oceą). Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 47 Niepewość maksymala W tym przypadku staramy się określić przedział - < i < + w którym mieszczą się wszystkie wyiki pomiaru i, aktualie wykoae i przyszłe. Jest miarą determiistyczą, gdyż zakłada, że moża określić przedział wielkości mierzoej, w którym a pewo zajdzie się wielkość rzeczywista. Zaleca się obecie iepewość maksymalą specyfikowaą przez produceta zamieiać a iepewość stadardową wg wzoru: Δ u() 3 Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 48 4
Test 7.3.5. Wykoao 8 pomiarów masy pewej próbki i otrzymao astępujące wyiki k [kg]:, 9, 6, 8, 4, 8,9,,9,, 8, 9, 9,, 9,,,. a) Uporządkować wyiki rosąco b) Uzupełić tabelę, w której ależy zestawić róże wartości k pod podając liczbę k określającą, ile razy występuje daa wartość c) Obliczyć częstość występowaia daej wartości k d) Narysować histogram Róże wartości, k Krotości ich występowaia, k Częstości, w k Test 7.3.5. Dwaj hazardziści S i S umawiają się, że zagrają pewą serię partii i że zwycięzcą będzie te, kto pierwszy wygra sześć partii. W jakim stosuku ależy podzielić stawki, gdy trzeba będzie grę przedwcześie przerwać? Zakładamy, że S wygrywa cztery partie, a S tylko trzy. Ile partii trzeba rozważyć aby rozwiązać teoretyczie te problem? Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 5 5
Podział błędów Wyiki pomiarów podlegają pewym prawidłowościom, tzw. rozkładom typowym dla zmieej losowej. Z tego względu błędy dzielimy a: Błędy grube (pomyłki), które ależy elimiować Błędy systematycze, które moża ograiczyć udoskoalając pomiar Błędy przypadkowe, które podlegają prawom statystyki i rachuku prawdopodobieństwa, wyikają z wielu losowych przyczyków i ie dają się wyelimiować Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 5 Krzywe rozkładu błędu Φ() Φ() błąd systematyczy błąd przypadkowyrozkład Gaussa Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 5 6
Błędy grube Są wyikiem pomyłki eksperymetatora p. przy odczytywaiu wartości mierzoych, przy przeliczaiu jedostek etc., ieprawidłowego stosowaia przyrządu pomiarowego, poważego i ieuświadomioego uszkodzeia przyrządu pomiarowego, zastosowaia ieodpowiediej metody pomiaru lub iewłaściwych wzorów teoretyczych do opracowaia wyików. Fakt zaistieia błędu grubego ależy sobie jak ajszybciej uświadomić a wyik obarczoy takim błędem wykluczyć z dalszych aaliz. Jeśli to możliwe, pomiar powtórzyć. Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 53 Błędy systematycze Błędy systematycze zawsze w te sam sposób wpływają a wyiki pomiarów wykoaych za pomocą tej samej metody i aparatury pomiarowej. Miimala wartość błędu systematyczego jest określoa dokładością stosowaego przyrządu (lub klasą w przypadku aalogowych mierików elektryczych). Wprowadza się pojęcie działki elemetarej czyli wartość ajmiejszej działki (odległość między sąsiedimi kreskami a skali przyrządu lub ułamek tej odległości określoy klasą przyrządu), która określa dokładość odczytu. Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 54 7
Błędy systematycze Źródłem błędu systematyczego są: skale mierików (p. iewłaściwe ustawieie zera ), ieuświadomioy wpływ czyików zewętrzych (temperatura, wilgotość) a wartość wielkości mierzoej, iewłaściwy sposób odczytu (błąd paralaksy) lub pomiaru, przybliżoy charakter wzorów stosowaych do wyzaczeia wielkości złożoej. Błędy systematycze czasami moża ograiczyć wprowadzając poprawki, p. F 6πηv( + r,4 ) R Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 55 Błędy przypadkowe Występują zawsze w eksperymecie, lecz ujawiają się gdy wielokrotie dokoujemy pomiaru przyrządem, którego dokładość jest bardzo duża a błędy systematycze wyikające z iych przyczy są bardzo małe. Wyikają oe z własości obiektu mierzoego (p. wahaia średicy drutu a całej jego długości), własości przyrządu pomiarowego (p. wskazaia przyrządu zależą od przypadkowych drgań budyku, fluktuacji ciśieia czy temperatury, docisku dla suwmiarki), lub mają podłoże fizjologicze (refleks eksperymetatora, subiektywość ocey maksimum atężeia dźwięku czy rówomierości oświetleia poszczególych części pola widzeia) Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 56 8
Błędy przypadkowe Błędy przypadkowe zawsze towarzyszą eksperymetowi, awet jeśli ie błędy zostaą wyelimiowae. W przeciwieństwie do błędu systematyczego, ich wpływ a wyik ostateczy pomiaru moża ściśle określić. Dawiej uważao, że miarą błędu systematyczego może być tylko iepewość maksymala. Nowa Norma traktuje błąd systematyczy jako zjawisko przypadkowe, gdyż ie zamy a priori jego wielkości i zaku. Norma zaleca stosowaie iepewości stadardowej u. Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 57 Typy ocey iepewości wg owej Normy Typ A Metody wykorzystujące statystyczą aalizę serii pomiarów: wymaga odpowiedio dużej liczby powtórzeń pomiaru ma zastosowaie do błędów przypadkowych Typ B Opiera się a aukowym osądzie eksperymetatora wykorzystującym wszystkie iformacje o pomiarze i źródłach jego iepewości stosuje się gdy statystycza aaliza ie jest możliwa dla błędu systematyczego lub dla jedego wyiku pomiaru Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 58 9
TYP A Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 59 Przykład 3 : Seria wyików (próba),,. obarczoych iepewością przypadkową jest duża gdy 3<. W próbie takiej wyiki się powtarzają: k jest liczbą pomiarów, w których wystąpił wyik k, k / jest częstością występowaia wyiku k k k / 5,, 5,3, 5,4, 5,5 4,43 5,6 7,75 5,7,6 5,8 4,49 5,9 6,7 6, 3,38 6,,8 6, 6,64 6,3 4,43 6,4 3,3 6,5, Suma 94 Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 6 3
Opracowaie serii pomiarów bezpośredich dużej próby Średia arytmetycza i 5,9 Odchyleie stadardowe i ( ) i σ u( ) σ, Niepewość stadardowa średiej Histogram 6 k 4 8 6 4 5, 5,4 5,6 5,8 6, 6, 6,4 k Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 6 ( ) i u() ( ) Rozkład ormaly Gaussa Gęstość prawdopodobieństwa wystąpieia wielkości lub jej błędu Δ podlega rozkładowi Gaussa ( ) Φ ( ) ep σ π σ jest wartością ajbardziej prawdopodobą i może być ią średia arytmetycza, σ jest odchyleiem stadardowym, σ jest wariacją rozkładu Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 6 3
Rozkład ormaly Gaussa Φ() 68.% pow. σ 95.4 % 99.7 % W przedziale -σ < < +σ zawiera się 68. % (/3), w przedziale -σ < < +σ zawiera się 95.4 % w przedziale -3σ < < +3σ zawiera się 99.7 % wszystkich wyików Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 63 Rozkład ormaly Gaussa 3 Φ() 5 σ σ5 5 5 5 3 Pomiar o większym σ charakteryzuje się większym rozrzutem wyików wokół wartości średiej a zatem miejszą precyzją Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 64 3
TYP B Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 65 TYP B Dla ocey typu B wykorzystać moża m.i.: dae z pomiarów poprzedich, doświadczeie i wiedzę a temat przyrządów i obiektów mierzoych, iformacje produceta przyrządów, iepewości przypisae daym zaczerpiętym z literatury Gdy iformacja o pomiarze i źródle jego iepewości jest dobra, dokładość ocey typu B jest porówywala z dokładością ocey typu A. Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 66 33
TYP B Najczęściej ocea typu B dotyczy określeia iepewości wyikającej ze skończoej dokładości przyrządu. Przykład 4: Ocea iepewości typu B dla pomiaru długości wahadła. Długość wahadła mierzymy przymiarem milimetrowym uzyskując wartość L4 mm. Przyjmujemy iepewość rówą działce elemetarej (działka skali mm). A zatem u(l) mm, u r (L)u(L)/L/4, błąd procetowy,7% Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 67 NIEPEWNOŚĆ WIELKOŚCI ZŁOŻONEJ PRAWO PRZENOSZENIA BŁĘDU 4 y 8 6 u(y) fukcja y f() stycza dy/d dy u (y) u() d 4 u() 4 Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 68 34
35 Metoda różiczki zupełej Dla wielkości złożoej yf(,,... ) gdy iepewości maksymale Δ, Δ,... Δ są małe w porówaiu z wartościami zmieych,,... iepewość maksymalą wielkości y wyliczamy z praw rachuku różiczkowego: y y y y Δ + + Δ + Δ Δ... (3) Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 69 Prawo przeoszeia iepewości Niepewość stadardową wielkości złożoej yf(,,... ) obliczamy z tzw. prawa przeoszeia iepewości jako sumę geometryczą różiczek cząstkowych ) (... ) ( ) ( ) ( + + + c u y u y u y y u y y u y u c cr ) ( ) ( Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 7
Przykład W pewym eksperymecie wyzaczoo przyspieszeie ziemskie g mierząc okres T i długość L odpowiediego wahadła matematyczego. Wyzaczoa długość wahadła wyosi.35±.4 m. Niezależie określoa iepewość względa pomiaru okresu wahadła wyosi,6%, tj. u(t) u r (T) 6 T Obliczyć względą iepewość pomiarową przyspieszeia ziemskiego lub iepewość procetową zakładając, że iepewości pomiarowe L i T są iezależe i mają charakter przypadkowy. 4 Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 7 8 7 Zasady rysowaia wykresów Czy te wykres jest arysoway zgodie z zasadami?. Należy wyraźie zazaczyć pukty eksperymetale!!! 6 5 4 3 9 8 7 6 4 8 6 4 8 3 Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 7 36
. Trzeba aieść błąd pomiaru 8 7 6 5 4 3 9 8 7 6 4 8 6 4 8 3 Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 73 3. Dobrać zakresy osi współrzędych odpowiedio do zakresu zmieości daych pomiarowych!!! 8 7 6 5 4 3 9 8 7 6 4 8 6 4 8 3 Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 74 37
4. Właściwie opisać osie współrzędych i dobrać skalę, tak aby łatwo moża było odczytać wartości zmierzoe. 8 7 6 5 4 3 9 8 7 6 6 4 8 3 co jest a osiach??? Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 75 5. Nie łączyć puktów eksperymetalych liią łamaą!!! Jeśli zay jest przebieg teoretyczy to dokoać dopasowaia teorii do doświadczeia (przeprowadzić fitowaie) 8 5 ρ [μω cm] 9 6 6 4 8 3 T [K] Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 76 38
6. Zadbać o aspekt estetyczy wykresu (opis, zamkięcie ramką, itp.) 8 5 dae eksperymetale dopasowaie ρ [μω cm] 9 6 6 4 8 3 T [K] Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 77 8 5 Wykres Rezystywosc ρ probki Bi w fukcji temperatury T dae eksperymetale dopasowaie ρ [μω cm] 9 6 6 4 8 3 T [K] Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 78 39
Metoda ajmiejszych kwadratów Regresja liiowa y 6 4 f()a+b a3.3, b-.8 y i f( i ) 4 6 8 4 6 i S i [ y ( a b) ] mi + i i Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 79 PODSUMOWANIE. Każdy pomiar w laboratorium jest obarczoy iepewością pomiarową, którą eksperymetator musi określić zgodie z pewymi zasadami.. W pierwszej kolejości ależy przeaalizować źródła błędów, pamiętając, aby wyelimiować wyiki obarczoe błędem grubym. W laboratorium studeckim błędy systematycze z reguły przewyższają błędy przypadkowe. 3. Wielokrote powtarzaie pomiarów, gdy domiuje błąd systematyczy, ie ma sesu. W takim przypadku dokoujemy tylko 3-5 pomiarów w tych samych warukach w celu sprawdzeia powtarzalości. Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 8 4
PODSUMOWANIE 4. Gdy błąd przypadkowy domiuje w eksperymecie, ależy sprawdzić czy rozkład wyików może być opisay fukcją Gaussa czy też ależy spodziewać się iego rozkładu. W tym celu dokoujemy wielokrotego (p. razy) pomiaru w tych samych warukach, obliczamy średią i wariację rozkładu, rysujemy histogram, etc.) 5. Jako miarę iepewości stosujemy raczej iepewość stadardową, rzadziej iepewość maksymalą. 6. W przypadku wielkości złożoej, stosujemy prawo przeoszeia błędu. Staramy się przeprowadzić aalizę iepewości wielkości złożoej tak, aby uzyskać iformacje dotyczące wagi przyczyków, jakie woszą do całkowitej iepewości pomiary poszczególych wielkości prostych. W tym celu ależy aalizować iepewości względe. Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 8 PODSUMOWANIE 7. Ważym elemetem sprawozdaia z przebiegu eksperymetu (i to ie tylko w laboratorium studeckim) jest wykres. Wykresy sporządzamy zgodie z dobrymi zasadami, pamiętając o jedozaczym opisie. 8. Jeżeli zae są podstawy teoretycze badaego zjawiska, a wykresie zamieszczamy krzywą teoretyczą (liia ciągła) a tle wyraźych puktów eksperymetalych (dobieramy odpowiedie symbole i aosimy iepewości eksperymetale). Możemy wcześiej dokoać dopasowaia parametrów przebiegu teoretyczego w oparciu o zae metody fitowaia 9. Zawsze, gdy to możliwe, dokoujemy liearyzacji daych eksperymetalych, p. rysując y vs. l (), lub log y vs. log, lub y vs. / itp. Do tak przygotowaych daych moża zastosować metodę regresji liiowej. Wstęp do probabilistyki i statystyki. wykład 8 4