Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych. Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza

Transkrypt

1 Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza

2 Po co zajęcia w I Pracowni Fizycznej? 1. Obserwacja zjawisk i efektów fizycznych. Samodzielne WYKONYWANIE DOŚWIADCZEŃ.. Nauka obsługi prostych i trochę bardziej skomplikowanych urządzeń pomiarowych. WYKONYWANIE POMIARÓW. 3. Nauka podstaw opracowania wyników pomiarów: poprawnego wyznaczania wielkości fizycznych, pomiaru zależności fizycznych i ich opisu, poprawnej prezentacji wyników. Niniejszy wykład stanowi wstęp do trzeciego punktu.

3 Pomiar bezpośredni Rodzaje pomiarów Pomiar, w którym konkretna wielkość fizyczna mierzona jest bezpośrednio przy pomocy określonego przyrządu Przykłady: Pomiar długości linijką Pomiar czasu stoperem

4 Pomiar pośredni Rodzaje pomiarów Pomiar, w którym dana wielkość fizyczna mierzona jest pośrednio poprzez pomiar innych wielkości fizycznych Przykład: Pomiar prędkości poprzez pomiar drogi (linijka) i czasu (stoper) v s t

5 Jak dokładne są nasze pomiary? Niepewności i błędy Żaden pomiar (nawet najstaranniejszy) nie jest doskonały, ma skończoną dokładność!!! obarczony jest niepewnością pomiarową a może i błędem! Wynik pomiaru bez podania dokładności doświadczenia (niepewności pomiarowej) jest bezwartościowy. Wynik pomiaru= (wartość wielkości mierzonej, niepewność pomiarowa) jednostka Konwencja zapisu wyników pomiarowych podaje się najwyżej dwie cyfry znaczące niepewności, a jeżeli zaokrąglenie do jednej cyfry nie zmieni wartości więcej niż o 10% to podaje się tylko jedną cyfrę wynik pomiaru obliczamy o jedno miejsce dziesiętne dalej niż miejsce dziesiętne niepewności, a następnie zaokrąglamy wg. normalnych reguł do tego samego miejsca dziesiętnego, do którego zaokrąglono niepewność pomiarową. m = ( ± 0.01) g

6 Zapis niepewności prezentacja Wyniki pomiarów i obliczeń najlepiej podawać w jednostkach, dla których wartość liczbowa zawarta jest przedziale od 0,01 do Można używać: przedrostków (m, m, M, G itd.) lub notacji potęgowej (10-6, 10-3, 10 6, 10 9 ) I= A ± A I=(31.1 ± 0.1) m A I=(31.1 ± 0.1) 10-6 [A]

7 Jak dokładne są nasze pomiary? Niepewności i błędy Niepewność pomiaru 1. Niepewności przypadkowe - powodowane przez skończoną dokładność przyrządów pomiarowych. Niepewności systematyczne powodowane przez systematyczny błąd urządzenia mierzącego. źle wyskalowana (wytarowana) waga stoper, który spieszy Błąd pomiarowy wynika z błędu popełnionego w czasie pomiaru lub odczytu. Błąd może być popełniony przez urządzenie (np. awaria) lub przez odczytującego (np. zła skala na linijce: cale zamiast cm) Rodzaje błędów: 1. Błędy grube - np zły odczyt. Błędy przybliżenia popełniono błąd tworząc przybliżony model

8 Jak dokładne są nasze pomiary? Przykład niepewności pomiarowych wyniki pomiarów długości przedmiotu linijką A podziałka 1mm: 30, 31, 9, 3, 31, 8, 30, wyniki pomiarów długości przedmiotu linijką B podziałka 1mm: 33, 31, 34, 35, 3, 34, 33, Oba pomiary są obarczone niepewnością przypadkową rozrzut wyników wokół określonej wartości Serie pomiarów różnią się: jedna z linijek jest źle wyskalowana wprowadzając niepewność systematyczną Niepewności systematyczne mogą być trudne do wykrycia, interpretacji i eliminacji. gf

9 Niepewności przypadkowe pomiarów bezpośrednich Przykład: pomiar okresu drgań wahadła Dokładny stoper (0.01s) Czas reakcji człowieka jest rzędu 0.s

10 i-ty T pomiar i [s] Wyniki kolejnych pomiarów okresu Naszym zadaniem jest podanie wyniku i jego niepewności

11 Wynik pomiaru średnia arytmetyczna wielkością najbardziej zbliżoną do wartości rzeczywistej jest wartość średnia pomiarów wartość oczekiwana [estymator wartości oczekiwanej]

12 Niepewność pojedynczego pomiaru Wielkością najlepiej opisującą niepewność pojedynczego pomiaru jest rozrzut pomiarów wokół wartości średniej odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru [estymator odchylenia standartowego]

13 Niepewność wyniku niepewność średniej arytmetycznej Wielkością najlepiej opisującą niepewność wyniku jest odchylenie standardowe średniej arytmetycznej można zmniejszać zwiększając liczbę pomiarów n

14 Zwiększanie statystyki - zmniejszanie niepewności Niepewności przypadkowe możemy zmniejszyć wykonując wielokrotne pomiary danej wielkości budujemy statystykę Definicje wartość oczekiwana (wartość średnia) odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru odchylenie standardowe wartości średniej n S 1 S ( n n( n 1) S i1 1 n 1 n ( n 1 i1 i i n i1 i ) ) i i Σ i =181 30, d i = i - -0, 0,8-1, 1,8 0,8 -, Σd i =0 d i =( i -) 0,04 0,64 1,44 3,4 0,64 4,84 Σd i =10,84 d 1,8 S = 1,5 S = 0,6

15 Rozkład Gaussa Dla niepewności przypadkowych rozkład wielkości mierzonych wokół wartości prawdziwej dany jest rozkładem Gaussa (, S ) 1 ( ) / S ( ) e S Prawdziwa wartość mierzonej wielkości utożsamiana z wartością oczekiwaną W przedziale [-S,+S ] mieści się 68,3% wszystkich wyników W przedziale [-3S,+3S ] mieści się 99,8% wszystkich wyników UWAGA!!! Przy skończonej liczbie pomiarów parametry rozkładu można tylko estymować (przybliżać)

16 Rozkład Gaussa cd. Dla niepewności przypadkowych rozkład wielkości mierzonych wokół wartości prawdziwej dany jest rozkładem Gaussa (, S ) 1 ( ) / S ( ) e S UWAGA!!! Często odchylenie standardowe wielkości średniej (wyniku) oznaczane jest jako σ a wartość średnia (wartość oczekiwana, wynik) jako 0

17 Małe serie pomiarów Dla małej liczby pomiarów: daje zaniżoną wartość niepewności Współczynnik Studenta Liczba pomiarów Poziom ufności n a0.688 a0.95 a Poziom ufności prawdopodobieństwo z jakim wyznaczony przedział zawiera wartość rzeczywistą mierzonej wielkości.

18 Zapis niepewności zaokrąglanie Podaje się tylko dwie cyfry znaczące estymatora niepewności. Liczymy co najmniej trzy i zaokrąglamy zawsze do góry. Wynik pomiaru obliczamy o co najmniej jedno miejsce dziesiętne dalej niż miejsce dziesiętne, na którym zaokrąglono błąd, a następnie zaokrąglamy wg. normalnych reguł do tego samego miejsca dziesiętnego, do którego zaokrąglono błąd. notatki sprawozdanie Bez sensu

19 Zapis niepewności prezentacja Z użyciem odchylenia standardowego [poziom ufności 68%] lub

20 Zapis niepewności prezentacja Z użyciem symbolu ± Uwaga! symbol ± zarezerwowany jest dla niepewności rozszerzonej [maksymalnej]. Z grubsza: dla poziomu ufności co najmniej 95% -wtedy należy użyć dwa [trzy] razy szerszego przedziału (lub innego współczynnika Studenta). Symbol ± najczęściej używany jest w medycynie, przemyśle, instrukcjach.

21 Czynniki wpływające na wzrost niepewności pomiaru W pomiarach zazwyczaj pojawiają się niepewności związane z przyrządem, przy pomocy którego wykonujemy pomiar. Na przykład: niepewność skali Δ d związana z odległością między działkami na skali miernika Zazwyczaj przyjmujemy odległość między dwoma kolejnymi działkami, choć gdy te są daleko można przyjąć połowę albo nawet 1/3 tej odległości niepewność klasy przyrządu Δ k k klasa zakres 100 Uwaga!!! Przyrządy cyfrowe zazwyczaj mają zaniedbywalnie małe niepewności w stosunku do niepewności przypadkowej

22 Niepewność w pomiarach pośrednich (propagacja odchylenia standardowego i niepewności maksymalnej) n f z,... 1, n f z,... 1, n n z S f S f S f S W pomiarach pośrednich istnieją związki funkcyjne pomiędzy poszukiwaną wielkością a wielkościami mierzonymi: Wartość oczekiwana tej wielkości jest funkcją z wartości oczekiwanych jej poszczególnych zmiennych: Odchylenie standardowe tej poszukiwanej wielkości jest funkcją odchyleń wielkości mierzonych t l v np. t l v np. 1 t l v S t l S t S np. n n z S f S f S f S W wielu przypadkach można stosować przybliżony wzór (metoda różniczki zupełnej t l v S t l S t S 1 np.

23 Teoria Pochodne Pochodna funkcji potęgowej Przykłady f f f ( ) f ( ) n A Aln B ( ) f1( ) f( ) f Pochodna funkcji logarytmicznej f f f AB Pochodna sumy i różnicy funkcji f1 n An B B ( ) Ae f ( ) f1( f( )) f ABe 1 Pochodna funkcji wykładniczej 1 f f f f f /3 f ( ) 3 3 f ( ) 3 f ( ) Pochodna funkcji złożonej e 3.8 ln 3 f ( ) 1/ 1 f ( ) ln 3 1/ f 3. 8 f f f 5,7e / 1

24 Propagacja niepewności - przykłady l l l 1 l l 1 l v l t 1 l v l t t t t At t At gt 1 1 a a gt t gt t s l l 1 s l l1 l1 l R R e 0 A/ T R R T 0 A e A/ T T

25 Graficzne przedstawianie wyników - wykresy Wyniki eksperymentu wygodnie przedstawić przy pomocy wykresu Wizualne (oglądowe) przedstawienie wyników Graficzne przedstawienie zależności wyników pozwala na wyznaczenie pewnych zależności s vt U RI Na wykresie łatwiej wychwycić pewne empiryczne relacje między wielkościami.

26 Graficzne przedstawianie wyników - wykresy czy ten wykres jest dobry?

27 Graficzne przedstawianie wyników - wykresy czy ten wykres jest już dobry?

34 Graficzne przedstawianie wyników - wykresy źle dobrze

35 Zalecana literatura [1] J. R. Taylor, Wstęp do analizy błędu pomiarowego, Wydawnictwo Naukowe PWN, W-wa [] A. Zięba, Analiza danych w naukach ścisłych i technice, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 013. [3] [4] H. Szydłowski, Pracownia fizyczna, PWN, Warszawa [5] G. L. Squires, Praktyczna fizyka, PWN, Warszawa 199. [6] A. Zięba, Postępy Fizyki, tom 5, zeszyt 5, 001, str I Pracownia Fizyczna IF UJ

36 Literatura J. R. Taylor, Wstęp do analizy błędu pomiarowego, Wydawnictwo Naukowe PWN, W-wa niedanychpomiarowych.pdf H. Szydłowski, Pracownia fizyczna, PWN, Warszawa A. Zięba, Postępy Fizyki, tom 5, zeszyt 5, 001, str A. Magiera red., I Pracownia fizyczna, OWI Kraków 006.