MODELOWANE NŻYNERSKE SSN 896-77X 4, s. 229-236, Gwce 2 OBCĄŻENA DŁUGEGO, WOTKEGO PRĘTA PRZENOSZONEGO PRZEZ UKŁAD ROBOTÓW KRZYSZTOF LPŃSK Kateda Mechank Mechatonk, Potechnka Gdańska e-ma: kpnsk@pg.gda.p Stescene. W pac opsano układ manpuacj pemescając długe dekatne pedmot. Wkostano dwa neaeżne manpuato. Po uchwcenu ładunku układ staje sę dnamcne nadmobn. Powstają dodatkowe obcążena penosone pe ładunek. Mogą bć one ktcne, własca da penosonego pedmotu. Układ amodeowano jako weocłonow. Poscegóne ose manpuatoa steowane są autonomcne. Pepowadono badana numecne. Badano obcążena pojawające sę w centanm punkce pęta.. WSTĘP W pac opsano jawska wstępujące w układe manpuacj pemescającm długe, wotke dekatne pedmot. Gd opeuje sę a pomocą pojedncego obota, pecjne manpuowane staje sę kłopotwe. Z uwag na długość pęta pocjonowane jego końca wmaga dokładnej nfomacj o kące obotu kśc (nadgastk. Co węcej, uwag na bewładność pęta, pojawają sę nacne, dnamcne obcążena chwtaka jak nacne obcążena popedającej go kśc. Pe anaogę do pac espołu ud, ekomendowane jest kostane układu obotów (manpuatoów) (s.. W swojej najpostsej postac składa sę on dwóch manpuatoów, ustawonch p końcach manpuowanego pedmotu. Poneważ kascne manpuato to uądena pacujące autonomcne (wkonują adana ndwduane), ch możwośc współpac (wman nfomacj) są ogancone. Po uchwcenu ładunku, pommo powąań mechancnch, układ steowana poostają autonomcne (nepowąane). Utudna to manpuację. Co węcej, uskan układ jest dnamcne nadmobn, a adane tajektoe uchu (poa ustawenem końcowm pocątkowm) okaują sę nekompatbne ównanam węów. W efekce tajektoe ecwste ne oddają tajekto adanch (negodnośc węam mateanm ne są możwe). Powad to do powstana obcążeń wewnętne, w tm obcążeń penosonch pe ładunek. Mogą bć one ktcne, własca wted, gd pedmot manpuacj jest dług. Pubkacje dotcące wspónego penosena ładunku spotkane są spoadcne []. Cęścej spotka sę nfomacje o dnamce układów nadmobnch dnamcne [2-5]. Nestet, uwag na bak powąań pomęd układam steowana opsan tam agotm wnacana momentów napędowch ne może bć astosowan. Z uwag na wmagana dotcące pecj, jak na watość manpuowanego pedmotu, skostane kostownch manpuatoów jest neuasadnone. Anaę ogancono do
23 K. LPŃSK postego, tanego układu manpuacj. Manpuato wposażono w układ steowana tpu pont-to-pont (scegół opsujące tajektoe taktowane są jako dugoędne). Każda os steowana jest autonomcne. W aeżnośc od etapu uchu stosowane są odmenne agotm steowana. W położenach odegłch od fnanego stosowana jest popocjonana kontoa pędkość kątowej (obót w pegube). W położenach bskch fnanego stosowan jest steownk popocjonano-óżnckow kontoując pocję. Z modeu usunęto efekt wnkające stnena sł gawtacj. Zdecdowano sę na to, pagnąc weksponować efekt wnkające nadmobnośc dnamcnej. Peentowane wnk ogancono do opsu wbanego, eementanego uchu manpuatoa. kąt obotu węła 2 ϕ -.4 A ϕ A kąt obotu [ad] -.5 -.6 wkonan panowan -.7 3 5 7 Rs.. Układ manpuacj: ustawene pocątkowe (; ustawene końcowe (; tajektoa ałożona eaowana ( Pacę podeono na 5 odałów. Rodał pews wpowada w peentowaną tematkę. W odae dugm asowano eement stosowanej metod smuacj. Rodał tec pośwecono na peentację danch numecnch peentowanego modeu. W odae cwatm apeentowano uskane wnk smuacj. Rodał pąt penacono na podsumowane wnosk. 2. DYNAMKA UKŁADU WELOCZŁONOWEGO Układ budowano cłonów neodkstałcanch. Cłon łącone są a pomocą węłów (postępowch obotowch pa knematcnch o jednm stopnu swobod). Układ ma fomę amknętego łańcucha knematcnego. Rocnając pęte knematcne, konstuuje sę układ efeencjn - otwat układ o stuktue dewa. Ropocnając od neuchomego cłonu odnesena (numeowanego jako cłon eow), poostałe cłon numeowane są w koejnośc wstępowana w łańcuchu układu efeencjnego (s. 2a oa s. 3). W katejańskm układe cłonu odnesena wnacane są pędkośc pspesena śodków mas oa pędkośc pspesena kątowe. Są one kombnacjam nowm wektoów cąstkowch. Mnożnkam są pędkośc /ub pspesena współędnch łącowch. Kostając asad achunku maceowego, apsuje sę to w postac [5, 7]: ω = A 2, & ; & = A,,R x & ; ω & = A 2, && ω &,R ; & x = A, && & x, () gde: ω - pędkość kątowa cłonu ; x, 2, - położene jego śodka mas; A ; A - macee,r,r wektoów cąstkowch (ch eementam są wekto); & x ω & ; - wekto estkowe gupujące ważena neaeżne od pspeseń łącowch (pśpeseń w węłach).
OBCĄŻENA DŁUGEGO, WOTKEGO PRĘTA PRZENOSZONEGO PRZEZ UKŁAD ROBOTÓW 23 Na etape dnamk ocnane są wsstke węł, a w ch mejsce wpowadane są oddałwana (sł moment eakcj dnamcnch). Dnamkę oswobodonego cłonu opsują: asada dnamk Newtona (uch postępow) oa ównana Euea (obotow) [7]: ε β ( ω) & = tδc α fα β m & x C = f α α ; ω ω = δ =, (2) α = gde: & x & pspesene śodka mas; C f α - sła ewnętna; t δc - ewnętn moment sł, (wnacan wgędem śodka mas cłonu); α - wekto okeśając położene punktu płożena sł (meon wgędem śodka mas). 6 2 3 4 8 5 f = e f, e t, j j j t j j f h h x c = k 9 7 t x Rs.. Układ weocłonow: pkładowa numeacja (; obcążena cłonu (; wekto opsujące geometę ( Równana dnamk (2) łącone są ównanam knematk (). Gupując ważena popedające pspesena współędnch uogónonch, otmuje sę [5, 7]: B B, 2, && m & x && ω,r (, & ) = f, j {, } f j ;,R, j j j ( ω ) ω& (, & ) = t t f. j {, } j {, }, 2, Podobne jak w (), eementam mace B, B są wekto. Jako pewse wnacane są ównana dnamk końcowego cłonu łańcucha (bak następców). Koejne ównana dnamk uskuje sę dogą teacj stępującej. Wnacane są oddałwana w węźe popedającm. Następne usuwane są smboe oddałwań bepośednch następców. Po akońcenu otmuje sę [7]:,,, 2, 2, 2, f = C && D E ; t = C && D E, (4 gde: 2,,R, k = ; = m & x,,, 2,, 2, C B D ; E = f ; C = [ B ( ) B ] ; : : : : k: k (4,R k,r, k, = [ ( ) m ( ) & x 2, & 2, D ω ω ω ]; E = [ t ( ) f ]. : k: k : k: k Da danego węła tko jedna eakcj (4 (sła ub paa sł) jest aktwna. W ceu wnacena jej składowej aktwnej wnacan jest ocn skaan (ut) eakcj wesoa keunku pemescena. Gupując wnk w maceach, uskujem [5, 6, 7] k O k O k M ( ) & F ( &, ) Q ( &,, f e, t e, t) =, (5) gde: M - mace mas; F wekto poostałch efektów bewładnoścowch (odśodkowch, żoskopowch Coos; Q wekto oddałwań ewnętnch. (3)
232 K. LPŃSK Da układu węam, ównana (5) układu efeencjnego oseane są o wa epeentujące eakcje węów (ównań Lagange a odaju). Ponadto są one łącone agebacnm ównanam wążącm współędne położena (ównana węów). Efekt apswan jest w postac [6,7]: T M (, t) && F ( &, ) Q ( &,, f, t, ) J ( ) λ = ; h( ) =, (6) e e t gde: h- mace ównań węów; J - Jakoban mace h; λ - mace mnożnków Lagange a; - mace współędnch łącowch układu ocętego. Z uwag na ocęce węów cba współędnch łącowch jest węksa nż cba stopn swobod. Eement mace deone są na eement aeżne v oa neaeżne. Wekośc λ oa v są emnowane. Wkostwana jest metoda podału mennch [8]. Znajdwane jest numecne owąane nenowego ównana (6: v = h - (, t), gde = [, v ] T. (7) Równane (6 jest óżnckowane wnacane są eacje opsujące pędkośc pśpesena współędnch aeżnch v. Mają one postać [6, 7, 9]: v& = Jv J & v&& = Jv J && Jv [( J & ) & ]. (8) ; Emnując mnożnk λ oa współędne v eacj (6, otmuje sę M,t ) & F ( &, ) Q ( &,, f e, t e,t ) =, (9 ( gde: T T M = M Mv Jv J J ( Jv ) ( Mv Mvv Jv J ); T T F = F Mv Jv ( J ) & J ( Jv ) ( Fv Mvv Jv ( J & ) & ) T T Q = Q J ( J ) Q. v v & ; (9 3. PROPONOWANY UKŁAD WELOCZŁONOWY Użt mechanm (s. ) modeowan jest jako układ weocłonow (s. 3). Składa sę on 2 cłonów połąconch węłam. W położenu konstukcjnm ose węłów pokwają sę osam głównego katejańskego układu współędnch (układu wąanego cłonem odnesen. Układ węłów apeentowano na s. 3. Smbo R onaca węeł otacjn, a smbo T węeł tansacjn (oś ównoegła do -tej os głównego układu współędnch). W modeu wstępują amknęte łańcuch knematcne. Z uwag na specfkę użtch ównań węów (tpu cłon-ceń [6]) pęta ocnana jest w mejscu, gde koumna manpuatoa osadona jest na cłone odnesena. Ab unknąć numecnego upwejowana (pe umescene manpuatoa na końcu łańcucha knematcnego), pwołano współędne absoutne (pęt. Wpowadono pęć dodatkowch cłonów poonch. ch węł modeują współędne absoutne śodka penosonego pęta. Jest on modeowan a pomocą dwóch cłonów połąconch paą obotową. Paa ta jest uneuchomona a pomocą ównana węów. Mnożnk Lagange a odpowadające tej współędnej epeentują badaną składową obcążena pęta.
OBCĄŻENA DŁUGEGO, WOTKEGO PRĘTA PRZENOSZONEGO PRZEZ UKŁAD ROBOTÓW 233 Penoson pęt to pęt staow o śednc Φ p = 8 mm długośc = 6 m. Jest on penoson pe dwa manpuato, w położenu pocątkowm ustawone postopade do pęta. Odegłość męd manpuatoam wnos 2 = 4 m. Manpuato są dentcne (masowo geometcne). Masa cłonów modeującch pęt to m 6 = m 4 =,2 kg. ch moment bewładnośc wgędem os pęta to 6 = 4 x = 9,422-6 kg m 2. Da os postopadłch do os pęta x 6 6 4 4 = = = =,948 kg m 2. Koumna manpuatoa (wsokość h k = 7 cm) modeowana jest jako ua staowa o śednc Φ k = 6 cm gubośc ścank d k = cm. Jej masa to m k = 35 kg, a moment bewładnośc wgędem os koumn to k =,224 kg m 2. Ramona (o długośc =,5 m) modeowane są jak u staowe o śednc Φ = 8 cm gubośc ścank d = 6 mm. ch masa to m = 2 kg, a centan moment bewładnośc wgędem os amena to =,32 kg m 2, wgędem os postopadłch to = x = 3,766 kg m 2. Moment dewacjne są eowe. Chwtak modeowane są cłonam o c mase m c =,5 kg. ch centane moment bewładnośc to = c x = 2, 66-4 kg m 2 oa c =, 33-4 kg m 2. Punkt chwtu najduje sę o c = 8 cm od centanego punktu kśc chwtaka. 3 2 cn2 R 2 9 8 7 T 2 6 x 2 2 9 cn 8 R 2 T 2 7 6 5 4 5 4 R 2 3 T 3 2 T T 2 Rs. 3. Stuktua układu weocłonowego, schemat numeacj cłonów użtch pa knematcnch Tabea. Zastosowane, nomnane współcnnk steowana poscegónm osam Nume steownk pędkośc steownk położena os k pv akes k pp k vp 8/6 7 9% 2 3 9/7 7 9% 2 3 /8 7 9% 2 3 /9 4 9% 4 2/2 8 9% 5 5 3/2 9% 7 7 W testowanm manpuatoe każda os steowana jest autonomcne. Popocjonane steownk pędkośc połącono popocjonano-óżnckowm steownkam położena końcowego. Pędkość nomnana wnacana jest na podstawe adanego casu nomnanego.
234 K. LPŃSK Cas ten jest paametem odnesena (pomnęce casu pśpesena hamowan. Recwst cas uchu jest dłużs. Podchodąc dostatecne bsko położena końcowego (watość gancna adawana pe użtkownk, steownk pędkośc amenan jest na steownk położena końcowego. Współcnnk wmocnena umescono w tabe. 4. WYNK OBLCZEŃ Kostając opsanego modeu numecnego, badano wpłw wbanch paametów układu steowana na obcążena pęta. Badana awężono do ana jednego, eementanego uchu pęta (s. ). Podcas testu pęt obaca sę w płascźne ponowej. Pocja jego śodka mas ne uega mane. Jak pokaano na s. 4, nomnane watośc paametów pedstawone w tabe powaają na adowaające odwoowane adanego położena końcowego. Ruch w węłach wkonan jest adowaającą pecją (s. 4. P pebegach bżonch do nowch, uwag na nenowość geomet mechanmu, tajektoa uchu śodka mas pęta jest łożona (s. 4. O e chaaktestka opsująca manę oentacj pęta jest bska ocekwanej (s. 4, o te pocja śodka mas obacona jest nepożądanm, pejścowm wchenem pocj nomnanej (s. 4. Poneważ wchene take jest akceptowane pe użtkownka, apoponowan sposób steowana ostał aakceptowan (pjęt) do dasch oważań. Kąt obotu [ad] -.3 -.5 -.7 pemescene w węźe 9 -.9 2 4 pechene [ad].4.2 oentacja pęta 2 4 wsokość [m].63.62.6.6 położena śodka mas pęta.59 2 4 Rs. 4. Pemescena wbanch eementów układu: kąt obotu w węźe pedamena (; kąt pechena pęta (; położene śodka mas pęta ( składowa [Nm].3.2. moment w śodku pęta kpv(-3) = kpv(-3) = -. 2 3 4 5 składowa [Nm] - -2 moment w śodku pęta kpv(-3) = kpv(-3) = 4 kpv(-3) = 7 kpv(-3) = -3 2 3 4 5 x -3 pspesene [m/s 2 ] 7 5 3 pspesene węła 8 kpv(-3) = kpv(-3) = 4 kpv(-3) = 7 kpv(-3) = - 2 3 4 5 x -3 Rs. 5. Składowa popecna momentu penosona pe punkt centan pęta: pełn okes uchu (; pocątkow okes uchu (; pśpesene w węźe kśc ( Z uwag na własnośc penosonego eementu obcążenem newagcnm jest gnane. Wnacana jest składowa pooma (w okanm układe wąanm pętem) momentu w centanm punkce pęta. Otmane chaaktestk pedstawono na s. 5. Potwedają one (s. 5 neweką watość penosonego momentu (własca w poównanu momentam geneowanm w napędach s. 6). Neco wękse watośc obsewowane są w bado kótkm, pocątkowm okese uchu (s. 5. Obsewowane tu watośc aeżą od watośc współcnnków wmocnena wstępującch w układe steowana. W konsekwencj powąane są pśpesenam pojawającm sę w kśc manpuatoa (s. 5. Wnkają newekej bewładnośc pęta (wgędem własnej os). Osągnęte tu
OBCĄŻENA DŁUGEGO, WOTKEGO PRĘTA PRZENOSZONEGO PRZEZ UKŁAD ROBOTÓW 235 pśpesena są bado duże. Zmnejsene współcnnków ne jest możwe uwag na nne funkcje manpuatoów. Anaa penosonch momentów pokauje ważną oę momentu skęcającego (s. 7. Jest on dwudestokotne węks od momentu gnającego. Pepowadone badana poównawce wkaał, że wpłw współcnnków wmocnena układu steowana kścą jest tu mnejs. Koejne badana poównawce pokaują, jak ważną oę odgwa smeta współpacującch manpuatoów. Jej achwane, na pkład pe pjęce odmennch casów nomnanch (s. 7. ub odmennch współcnnków wmocnena układu steowana pegubem amena (s. 7, może nacąco wpłnąć na watość penosonch momentów. moment [Nm] 2 8 4-4 moment napędow obota węeł węeł 9-8 2 3 4 5 moment [Nm] 4 2 moment napędow obota węeł 2 węeł 2-2 2 3 4 5 moment [Nm] -.4 -.8 -.2 moment napędow węeł 8 kpv(-3) = kpv(-3) = 4 kpv(-3) = 7 kpv(-3) = -.6 2 3 4 5 x -3 Rs. 6. Moment napędające wbane węł manpuatoa (nomnane watośc współcnnków wmocnen: węeł pedamena (; węeł amena (: węeł kśc ( składowa x [Nm] 8 4 moment w śodku pęta kpv(-3) = kpv(-3) = 2 3 4 5 składowa [Nm].8.6.4.2 moment w śodku pęta tn2 = 2 s tn2 = 2.8s tn2 = 3.6s tn2 = 4.4s -.2 2 4 6 składowa [Nm] -. -.2 moment w śodku pęta kpv5/2 = 8 kpv5/2 = 8 kpv5/2 = 28 k pv5/2 = 38.2.4.6.8 Rs. 7. Atenatwne test numecne: składowa wdłużna momentu penosona pe punkt centan pęta(; nesmetcne, nomnane cas uchu (; nesmetcne współcnnk wmocnena steownka ( 4. PODSUMOWANE WNOSK KOŃCOWE Unając manpuato a uądena pacujące autonomcne (be wman nfomacj), auważa sę, że opeowane dwoma manpuatoam ustawonm p końcach pedmotu jest utudnone. Uskwan układ jest nadmobn dnamcne. Tajektoe uchu uskwane są kostem obcążeń wewnętnch penosonch pe ładunek. Obcążena te mogą okaać sę ktcne, własca p manpuacj długm dekatnm pedmotam. W anaowanm uchu (oboce w płascźne ponowej) newagcne obcążena gnające ne pjmują nacącch watośc. Wjątkem jest pocątkow okes uchu. O wee wękse watośc pjmują obcążena skęcające. Bado stotną oe odgwa smeta mechancna smeta steowana manpuatoam. Jej ank powad do stotnego węksena penosonch obcążeń. Pedstawone wnk stanową ważn wstęp do dasch badań. Naeż je poseć o anaę nnch uchów eementanch oa anaę wpłwu poostałch paametów pedmotu manpuatoów. Ważnm aspektem jest także wpłw podatnośc penosonego pedmotu.
236 K. LPŃSK LTERATURA. Zheng Y.F., Luh J.Y.S.: Optma oad dstbuton fo two ndusta obots handng a snge object. n: Poceedngs of the 988 EEE nte. Conf. on Robotcs and Autom., 988, p. 344-349. 2. Dasgupta B., Muthunjaa T.S.: Foce edundanc n paae manpuatos: theoetca and pactca ssues. Mech. Mach Theo 998, 33, p. 727-742. 3. Ebahm., Caeteo J.A., Boudeau R.: 3-PRRR edundant pana manp.: nvese dspacement, wokspace and snguat anases. Mech. Mach. Theo 27, 42, p. 7-6. 4. Zaho Y., Gao F.: Dnamc pefomance of the 8PSS edundant paae manpuato and ts non-edundant countepat the 6PSS paae manpuato. Mech. Mach. Theo 29, 44, p. 99-8. 5. Lpńsk K.: Tajecto tackng pobem fo a edundant actuated wakng obot. nt. J. of. Apped Mechancs and Engneeng 2, Vo. 5, No3, p.743-753. 6. Fsette P., Samn J.C.: Smboc modeng of mutbod sstem. Dodecht : Kuwe Academc Pubshes, 23. 7. Lpńsk K.: Mutbod and eectomechanca modeng n dnamc baancng of mechansms fo mechanca and eectomechanca sstems. Sod State Phenomena 29, 47-49, p. 339-344. 8. Haug E.J., Yen J.: Geneaed coodnate pattonng methods fo numeca ntegaton of dffeenta-agebac euatons of dnamcs. NATO AS Sees, Vo. F69, Spnge- Veag Ben, 99, p. 97-4. NTERNAL FORCES PRESENT N A LONG, FLABBY BAR CARRED BY A SET OF ROBOTS Summa. n the pape, a manpuaton set composed of a set of manpuatos (obots) s pesented. The set s devoted to ca a ong and decate eement. Two manpuatos ae used. When the eement s captued, the sstem convets to a dnamca ove-atcuated sstem. Some addtona ntena oads become pesent n the cued eement. Such oads can be ctca, especa fo the captued eement. The consdeed sstem s modeed as a mutbod sstem. Each of ts axes s contoed ndvdua (n an autonomc w. A set of numeca tests s pefomed to pedct the oad pesent n the centa pont of the cued eement.