Prawdopodobie«stwo warunkowe, twierdzenie Bayesa, niezale»no± zdarze«.
|
|
- Paweł Małecki
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Prawdopodobie«stwo warunkowe, twierdzenie Bayesa, niezale»no± zdarze«. Alicja Czy» WFTiMS April 14, 2010
2 Spis tre±ci 1 Wprowadzenie Denicja prawdopodobie«stwa warunkowego Twierdzenie Bayesa Niezale»no± zdarze«zako«czenie
3 Wprowadzenie Poj cia pierwotne (Ω, F, P) - przestrze«probabilistyczna Ω - niepusty zbiór zdarze«elementarnych; ω Ω - zdarzenie elementarne; F - ustalone σ - ciaªo podzbiorów Ω; P - miara probabilistyczna na Ω.
4 Wprowadzenie Poj cia pierwotne (Ω, F, P) - przestrze«probabilistyczna Ω - niepusty zbiór zdarze«elementarnych; ω Ω - zdarzenie elementarne; F - ustalone σ - ciaªo podzbiorów Ω; P - miara probabilistyczna na Ω. Examples rzut monet symetryczn Ω = {0, 1} P(0) = P(1) = 1 2 rzut kostk sze±cienn Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} P(1) = P(2) =... = P(6) = 1 6
5 Wprowadzenie Poj cia pierwotne (Ω, F, P) - przestrze«probabilistyczna Ω - niepusty zbiór zdarze«elementarnych; ω Ω - zdarzenie elementarne; F - ustalone σ - ciaªo podzbiorów Ω; P - miara probabilistyczna na Ω. Examples rzut monet symetryczn Ω = {0, 1} P(0) = P(1) = 1 2 rzut kostk sze±cienn Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} P(1) = P(2) =... = P(6) = 1 6
6 Wprowadzenie Poj cia pierwotne (Ω, F, P) - przestrze«probabilistyczna Ω - niepusty zbiór zdarze«elementarnych; ω Ω - zdarzenie elementarne; F - ustalone σ - ciaªo podzbiorów Ω; P - miara probabilistyczna na Ω. Examples rzut monet symetryczn Ω = {0, 1} P(0) = P(1) = 1 2 rzut kostk sze±cienn Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} P(1) = P(2) =... = P(6) = 1 6
7 Denicja prawdopodobie«stwa warunkowego Rozpatrzmy dwa zdarzenia mierzalne A, B F. Zaªó»my,»e zaszªo zdarzenie B. Czy, i w jaki sposób mo»e wpªyn ta sytuacja na ocen prawdopodobie«stwa zdarzenia A?
8 Denicja prawdopodobie«stwa warunkowego Rozpatrzmy dwa zdarzenia mierzalne A, B F. Zaªó»my,»e zaszªo zdarzenie B. Czy, i w jaki sposób mo»e wpªyn ta sytuacja na ocen prawdopodobie«stwa zdarzenia A? Denicja 2 (prawdopodobie«stwo warunkowe) Niech (Ω, F, P) b dzie przestrzeni probabilistyczn, A, B F. Je»eli P(B) > 0, to prawdopodobie«stwem warunkowym zaj±cia zdarzenia A pod warunkiem,»e zaszªo zdarzenie B nazywamy P(A B) = P(A B) P(B) (1)
9 Denicja prawdopodobie«stwa warunkowego Examples Rzucamy trzema kostkami. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e na»adnej kostce nie wypadªa szóstka, je±li na ka»dej kostce wypadªa inna liczba oczek? A - zdarzenie,»e nie wypadªa szóstka, B - zdarzenie,»e na ka»dej kostce wypadªa inna liczba oczek. Obliczamy: Ω = 6 3 = 216 P(A B) = P(B) = P(A B) = = P(A B) P(B) = = = 1 2.
10 Denicja prawdopodobie«stwa warunkowego Examples Rzucamy trzema kostkami. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e na»adnej kostce nie wypadªa szóstka, je±li na ka»dej kostce wypadªa inna liczba oczek? A - zdarzenie,»e nie wypadªa szóstka, B - zdarzenie,»e na ka»dej kostce wypadªa inna liczba oczek. Obliczamy: Ω = 6 3 = 216 P(A B) = P(B) = P(A B) = = P(A B) P(B) = = = 1 2.
11 Denicja prawdopodobie«stwa warunkowego Examples Rzucamy trzema kostkami. Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e na»adnej kostce nie wypadªa szóstka, je±li na ka»dej kostce wypadªa inna liczba oczek? A - zdarzenie,»e nie wypadªa szóstka, B - zdarzenie,»e na ka»dej kostce wypadªa inna liczba oczek. Obliczamy: Ω = 6 3 = 216 P(A B) = P(B) = P(A B) = = P(A B) P(B) = = = 1 2.
12 Twierdzenie Bayesa Denicja 3 Niech (Ω, F ) b dzie przestrzeni mierzaln. Rozbiciem mierzalnym sko«czonym przestrzeni Ω nazywamy dowoln reprezentacj Ω = H1 H2... H n, gdzie H i H j = dla j i oraz H1, H2,..., H n F ; Rozbiciem mierzalnym przeliczalnym przestrzeni Ω nazywamy dowoln reprezentacj Ω = j=1 H j, gdzie H i H j = dla j i oraz H1, H2,... F ; Rozbiciem Ω na zbiory mierzalne nazywamy reprezentacj Ω = α A H α, gdzie Hα Hβ = dla α β oraz Hα F
13 Twierdzenie Bayesa Denicja 3 Niech (Ω, F ) b dzie przestrzeni mierzaln. Rozbiciem mierzalnym sko«czonym przestrzeni Ω nazywamy dowoln reprezentacj Ω = H1 H2... H n, gdzie H i H j = dla j i oraz H1, H2,..., H n F ; Rozbiciem mierzalnym przeliczalnym przestrzeni Ω nazywamy dowoln reprezentacj Ω = j=1 H j, gdzie H i H j = dla j i oraz H1, H2,... F ; Rozbiciem Ω na zbiory mierzalne nazywamy reprezentacj Ω = α A H α, gdzie Hα Hβ = dla α β oraz Hα F
14 Twierdzenie Bayesa Denicja 3 Niech (Ω, F ) b dzie przestrzeni mierzaln. Rozbiciem mierzalnym sko«czonym przestrzeni Ω nazywamy dowoln reprezentacj Ω = H1 H2... H n, gdzie H i H j = dla j i oraz H1, H2,..., H n F ; Rozbiciem mierzalnym przeliczalnym przestrzeni Ω nazywamy dowoln reprezentacj Ω = j=1 H j, gdzie H i H j = dla j i oraz H1, H2,... F ; Rozbiciem Ω na zbiory mierzalne nazywamy reprezentacj Ω = α A H α, gdzie Hα Hβ = dla α β oraz Hα F
15 Twierdzenie Bayesa Denicja 3 Niech (Ω, F ) b dzie przestrzeni mierzaln. Rozbiciem mierzalnym sko«czonym przestrzeni Ω nazywamy dowoln reprezentacj Ω = H1 H2... H n, gdzie H i H j = dla j i oraz H1, H2,..., H n F ; Rozbiciem mierzalnym przeliczalnym przestrzeni Ω nazywamy dowoln reprezentacj Ω = j=1 H j, gdzie H i H j = dla j i oraz H1, H2,... F ; Rozbiciem Ω na zbiory mierzalne nazywamy reprezentacj Ω = α A H α, gdzie Hα Hβ = dla α β oraz Hα F
16 Twierdzenie Bayesa Twierdzenie 2 (prawdopodobie«stwo caªkowite) Niech (Ω, F, P) - przestrze«probabilistyczna oraz H1, H2,... b dzie rozbiciem mierzalnym Ω (sko«czonym albo przeliczanym). Wówczas dla dowolnego zbioru A F mamy P(A) = j=1 P(A H j ). (2) Je»eli ponad to dla ka»dego j: P(H j ) > 0, to dla dowolnego A F mamy: P(A) = j=1 P(A H j )P(H j ). (3)
17 Twierdzenie Bayesa Twierdzenie 3 (wzór Bayes'a) Niech (Ω, F, P) b dzie przestrzeni probabilistyczn oraz H1, H2,... przeliczalne b d¹ sko«czone rozbicie przestrzeni Ω takie,»e dla ka»dego indeksu j: P(H j ) > 0. Je»eli A F takie,»e P(A) > 0, to wtedy dla ustalonego indeksu j0 mamy: P(H j0 A) = P(A H j0)p(h j0 ) j=1 P(A H j)p(h j ) (4)
18 Twierdzenie Bayesa Examples Przykªadowo wybrany z populacji 40 mln. ludzi czªowiek poddany jest testowi na HIV. W±ród tych ludzi 80 tys. to nosiciele. U»yty test potwierdza HIV w 100%, gdy czªowiek jest nosicielem, natomiast daje 0,3% faªszywych alarmów (czyli w 3 badanych, zdrowych ludzi test 1000 myli si ). Jakie jest prawdopodobie«stwo,»e badany czªowiek jest nosicielem wirusa, je»eli test daª wynik pozytywny?
19 Twierdzenie Bayesa Examples A zdarzenie,»e wynik testów jest pozytywny; H+ zdarzenie,»e badany czªowiek jest nosicielem; H zdarzenie,»e badany czªowiek jest zdrowy.
20 Twierdzenie Bayesa Examples A zdarzenie,»e wynik testów jest pozytywny; H+ zdarzenie,»e badany czªowiek jest nosicielem; H zdarzenie,»e badany czªowiek jest zdrowy.
21 Twierdzenie Bayesa Examples A zdarzenie,»e wynik testów jest pozytywny; H+ zdarzenie,»e badany czªowiek jest nosicielem; H zdarzenie,»e badany czªowiek jest zdrowy. H+ H = Ω, H+ H = P(H+) = = 2 = 0, P(H ) = 1 0, 002 = 0, 998 P(H+ A) = 1 0, , , 003 0, 998 0, 4
22 Niezale»no± zdarze«niech b d dane nast puj ce zdarzenia: A - w maju wyst pi mrozy (< 6 C ) B - cena jabªek w pa¹dzierniku wi ksza ni» 3 zª/kg C - Polka wygra konkurs pi kno±ci
23 Niezale»no± zdarze«niech b d dane nast puj ce zdarzenia: A - w maju wyst pi mrozy (< 6 C ) B - cena jabªek w pa¹dzierniku wi ksza ni» 3 zª/kg C - Polka wygra konkurs pi kno±ci
24 Niezale»no± zdarze«niech b d dane nast puj ce zdarzenia: A - w maju wyst pi mrozy (< 6 C ) B - cena jabªek w pa¹dzierniku wi ksza ni» 3 zª/kg C - Polka wygra konkurs pi kno±ci Denicja 4 (niezale»no± zdarze«) Niech (Ω, F, P) - przestrze«probabilistyczna. Mówimy,»e zdarzenia A, B F s niezale»ne wtedy i tylko wtedy, gdy P(A B) = P(A)P(B). (5)
25 Niezale»no± zdarze«denicja 4 ci g dalszy... Mówimy,»e sko«czony ukªad zdarze«a1, A2,..., A n F jest niezale»ny, gdy dla dowolnego podukªadu A i1, A i2,..., A ik (1 i1 < i2 <... < i k n) P(A i1... A ik ) = P(A i1 )P(A i2 )...P(A ik ). (6) Mówimy,»e zdarzenia {Aα} α A s niezale»ne, gdy dla dowolnego sko«czonego wyboru indeksów α 1, α 2,..., α j A (parami ró»nych) P(Aα 1... Aα k ) = P(Aα 1 )P(Aα 2 )...P(Aα k ). (7)
26 Niezale»no± zdarze«denicja 4 ci g dalszy... Mówimy,»e sko«czony ukªad zdarze«a1, A2,..., A n F jest niezale»ny, gdy dla dowolnego podukªadu A i1, A i2,..., A ik (1 i1 < i2 <... < i k n) P(A i1... A ik ) = P(A i1 )P(A i2 )...P(A ik ). (6) Mówimy,»e zdarzenia {Aα} α A s niezale»ne, gdy dla dowolnego sko«czonego wyboru indeksów α 1, α 2,..., α j A (parami ró»nych) P(Aα 1... Aα k ) = P(Aα 1 )P(Aα 2 )...P(Aα k ). (7)
27 Niezale»no± zdarze«denicja 5 Niech (Ω, F, P) b dzie przestrzeni probabilistyczn. Mówimy,»e zdarzenia A1, A2,..., A n ({Aα} α A ) s parami niezale»ne, gdy dla dowolnego wyboru indeksów 1 i < j n (α i α j ) P(A i A j ) = P(A i )P(A j ) (P(Aα i Aα j ) = P(Aα i )P(Aα j )). (8)
28 Niezale»no± zdarze«denicja 5 Niech (Ω, F, P) b dzie przestrzeni probabilistyczn. Mówimy,»e zdarzenia A1, A2,..., A n ({Aα} α A ) s parami niezale»ne, gdy dla dowolnego wyboru indeksów 1 i < j n (α i α j ) P(A i A j ) = P(A i )P(A j ) (P(Aα i Aα j ) = P(Aα i )P(Aα j )). (8) Twierdzenie 4 niezale»no± niezale»no± parami. niezale»no± niezale»no± parami.
29 Niezale»no± zdarze«denicja 5 Niech (Ω, F, P) b dzie przestrzeni probabilistyczn. Mówimy,»e zdarzenia A1, A2,..., A n ({Aα} α A ) s parami niezale»ne, gdy dla dowolnego wyboru indeksów 1 i < j n (α i α j ) P(A i A j ) = P(A i )P(A j ) (P(Aα i Aα j ) = P(Aα i )P(Aα j )). (8) Twierdzenie 4 niezale»no± niezale»no± parami. niezale»no± niezale»no± parami. Twierdzenie 5 Je»eli zdarzenia A i B s niezale»ne, tzn. P(A B) = P(A)P(B), to P(A B) = P(A).
30 Niezale»no± zdarze«examples Niech Ω = {ω : ω {1, 2, 3, 4}} A = {1, 2} B = {1, 3} C = {1, 4} A, B, C nie s niezale»ne: P(A B C) = = P(A)P(B)P(C) A, B, C s parami niezale»ne: P(A B) = 1 4 = P(A)P(B) P(A C) = 1 4 = P(A)P(C) P(B C) = 1 4 = P(B)P(C)
31 Zako«czenie Koniec Dzi kuj za uwag.
Elementarna statystyka
Elementarna statystyka Alexander Bendikov 26 marca 2017 Klasyczny model: eksperyment o jednakowo prawdopodobnych wynikach Zaªo»enia: 1 Przestrze«próbek S ma sko«czenie wiele wyników ω 1, ω 2,..., ω n,
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Bardziej szczegółowoEkstremalnie maªe zbiory
Maªe jest pi kne Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Nadarzyn, 27.08.2011 Zbiory silnie miary zero Przypomnienie Zbiór X [0, 1] jest miary Lebesgue'a zero, gdy dla ka»dego ε > 0 istnieje ci
Bardziej szczegółowoInformatyka. z przedmiotu RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA
Informatyka Zbiór przykªadowych prac kontrolnych oraz przykªadowych zada«egzaminacyjnych z przedmiotu RACHUNEK PRAWDOPODOBIE STWA Sprawdzian 1, M09-02 Zadanie 1 (1p) W rzucie dwiema kostkami obliczy prawdopodobie«stwo
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki dla informatyków
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykªad 1 Prawdopodobie«stwo
Spis tre±ci Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 1 Prawdopodobie«stwo Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 2 3 4 5 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 2 3 4
Bardziej szczegółowoELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoŸ1 Oznaczenia, poj cia wst pne
Ÿ1 Oznaczenia, poj cia wst pne Symbol sumy, j, k Z, j k: k x i = x j + x j+1 + + x k. i=j Przykªad 1.1. Oblicz 5 i=1 2i. Odpowied¹ 1.1. 5 i=1 2i = 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62.
Bardziej szczegółowoMaªgorzata Murat. Modele matematyczne.
WYKŠAD I Modele matematyczne Maªgorzata Murat Wiadomo±ci organizacyjne LITERATURA Lars Gårding "Spotkanie z matematyk " PWN 1993 http://moodle.cs.pollub.pl/ m.murat@pollub.pl Model matematyczny poj cia
Bardziej szczegółowoA = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Bardziej szczegółowo1.1 Rachunek prawdopodobieństwa
Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Rachunek prawdopodobieństwa.................. 1 1.2 Literatura.............................. 1 1.3 Podstawy.............................. 2 2 Miara prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoW poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków. Relacje równowa»no±ci. Zbiór (typ) ilorazowy. Klasy abstrakcji
W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków Rodzina indeksowana {A t } t T podzbiorów D to taka funkcja A : T P(D),»e A(t) = A t, dla dowolnego t T. Wykªad 3 20 pa¹dziernika 2011 Produkt
Bardziej szczegółowoPodstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn
Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku
Bardziej szczegółowoStrategia czy intuicja?
Strategia czy intuicja czyli o grach niesko«czonych Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 29 sierpnia 2009 Denicja gry Najprostszy przypadek: A - zbiór (na ogóª co najwy»ej przeliczalny),
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH)
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH) Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 1 / 24 Warunki zaliczenia 1 Do egzaminu dopuszczeni wszyscy, którzy uczęszczali na
Bardziej szczegółowoMierzalne liczby kardynalne
czyli o miarach mierz cych wszystko Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 26 stycznia 2007 Ogólny problem miary Pytanie Czy na pewnym zbiorze X istnieje σ-addytywna miara probabilistyczna,
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe i prawdopodobieństwo
Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne
Bardziej szczegółowoZdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Cz ± I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szyma«ski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Pozna«2007 2 Podstawowe zasady i prawa przeliczania
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne Prawdopodobieństwo warunkowe Jędrzej Potoniec Część I Podstawy interpretacji wyników badań medycznych Badanie raka Grupa kobiet w wieku 40 lat bierze udział w przesiewowej mammografi,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Przykład 1 Alicja wylosowała jedną kartę z
Bardziej szczegółowoJAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Przykład 1 Alicja
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoMetodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Bardziej szczegółowoTablice wzorów z probabilistyki
Akademia Górniczo - Hutnicza im. Stanisªawa Staszica Wydziaª Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i In»ynierii Biomedycznej Kierunek: Automatyka i robotyka Tablice wzorów z probabilistyki Prowadz cy:
Bardziej szczegółowoStatystyka Astronomiczna
Statystyka Astronomiczna czyli zastosowania statystyki w astronomii historycznie astronomowie mieli wkład w rozwój dyscypliny Rachunek prawdopodobieństwa - gałąź matematyki Statystyka - metoda oceny właściwości
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa dla informatyków
Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków Adam Roman Instytut Informatyki UJ Wykład 1 rys historyczny zdarzenia i ich prawdopodobieństwa aksjomaty i reguły prawdopodobieństwa prawdopodobieństwo warunkowe
Bardziej szczegółowoWybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.2. Niezależność zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Niezależność dwóch zdarzeń Intuicja Zdarzenia losowe
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń
Bardziej szczegółowo5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach ( Niezale»ne szkody maja rozkªady P (X i = k) = exp( 1)/k!, P (Y i = k) = 4+k ) k (1/3) 5 (/3) k, k = 0, 1,.... Niech S = X 1 +... + X 500 + Y 1 +... + Y 500. Skªadka
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki dla informatyków. Funkcje. Funkcje caªkowite i cz ±ciowe. Deniowanie funkcji. Wykªad pa¹dziernika 2012
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 3 Funkcje 18 pa¹dziernika 2012 Deniowanie funkcji Funkcje caªkowite i cz ±ciowe Denicja wprost: f (x) = x + y f = λx. x + y Denicja warunkowa: { n/2, je±li n
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.3 Rozkłady warunkowe i warunkowa wartość oczekiwana Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Prawdopodobieństwo wyraża postawę
Bardziej szczegółowoRelacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Bardziej szczegółowoMetoda tablic semantycznych. 1 Metoda tablic semantycznych
1 Zarówno metoda tablic semantycznych, jak i rezolucji, to dosy sprawny algorytm do badania speªnialni±ci formuª, a wi c i tautologii. Chodzi w niej o wskazanie, je±li istnieje, modelu dla formuªy. Opiera
Bardziej szczegółowoZbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowo3. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka
EGZAMIN MAGISTERSKI, 26.06.2017 Biomatematyka 1. (8 punktów) Rozwój wielko±ci pewnej populacji jest opisany równaniem: dn dt = rn(t) (1 + an(t), b gdzie N(t) jest wielko±ci populacji w chwili t, natomiast
Bardziej szczegółowo1.Kombinatoryka. elementom przyporz dkowujemy n elementów rozró»nialnych (ze zwracaniem), kolejno± nie jest istotna Cn k = ( n+k 1 ) = C k k
Statystyka - 1. rok Zarz dzanie i In»ynieria Produkcji, niestacjonarne 1. stopie«przykªadowe zadania na kolokwium nr 1 1.Kombinatoryka Denicja 1 ˆ Permutacje P n - n-elementów, wszystkie elementy wybrane,
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta
Bardziej szczegółowoMacierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja
Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoRozkªady i warto± oczekiwana
Rozkªady i warto± oczekiwana Piotr Wilkin Zmienne losowe i rozkªady. Wst p Zmienn losow nazywamy zmienn X przyjmuj c dowolne warto±ci z pewnego zbioru D, która speªnia wªasno± y D P (X = y) = (innymi sªowy
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
Bardziej szczegółowoWst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki
Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki 1 Zadania na wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki Zad. 1. Ile istnieje ró»nych liczb czterocyfrowych zakªadaj c,»e cyfry nie powtarzaj si a
Bardziej szczegółowoPrzeksztaªcenia liniowe
Przeksztaªcenia liniowe Przykªady Pokaza,»e przeksztaªcenie T : R 2 R 2, postaci T (x, y) = (x + y, x 6y) jest przeksztaªceniem liniowym Sprawdzimy najpierw addytywno± przeksztaªcenia T Niech v = (x, y
Bardziej szczegółowoSpl tanie i inne korelacje kwantowe w ukªadach zªo»onych
Spl tanie i inne korelacje kwantowe w ukªadach zªo»onych Lech Jakóbczyk Instytut Fizyki Teoretycznej Uniwersytet Wrocªawski 1 / 17 Spl tanie stanów czystych Formalna denicja spl tania Ukªad zªo»ony: Hilberta
Bardziej szczegółowoCOLT - Obliczeniowa teoria uczenia si
Hung Son Nguyen (UW) COLT - Obliczeniowa teoria uczenia si 2007 1 / 32 COLT - Obliczeniowa teoria uczenia si Hung Son Nguyen Institute of Mathematics, Warsaw University son@mimuw.edu.pl 2007 Hung Son Nguyen
Bardziej szczegółowo1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d
Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy
Bardziej szczegółowoZadania. 4 grudnia k=1
Zadania 4 grudnia 205 Zadanie. Poka»,»e dla dowolnych liczb zespolonych z,..., z n istnieje zbiór B {,..., n}, taki,»e n z k π z k. k B Zadanie 2. Jakie warunki musz speªnia ci gi a n i b n, aby istniaªy
Bardziej szczegółowoSemestr letni 2014/15
Wst p do arytmetyki modularnej zadania 1. Jaki dzie«tygodnia byª 17 stycznia 2003 roku, a jaki b dzie 23 sierpnia 2178 roku? 2. Jaki dzie«tygodnia byª 21 kwietnia 1952 roku? 3. W jaki dzie«odbyªa si bitwa
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
5 marca 2011 Zasady 10 wyk ladów; egzamin pisemny; Literatura 1 A. Lomnicki Wprowadzenie do statystyki dla przyrodników PWN 1999. 2 W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski Rachunek
Bardziej szczegółowoGeometria Algebraiczna
Geometria Algebraiczna Zadania domowe: seria 1 Zadania 1-11 to powtórzenie podstawowych poj z teorii kategorii. Zapewne rozwi zywali Pa«stwo te zadania wcze±niej, dlatego nie b d one omawiane na wiczeniach.
Bardziej szczegółowoElementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)
Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne
Bardziej szczegółowoPodstawy Teorii Prawdopodobieństwa
Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Podstawy Teorii Prawdopodobieństwa Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Choqueta o mierzalno±ci rzutów
Twierdzenie Choqueta o mierzalno±ci rzutów (Na podstawie wykªadu prof. Michaªa Morayne) Mateusz Kwa±nicki 12. grudnia 2004. 1 Wst p Ten tekst jest skróconym zapisem wykªadów dr M. Morayne, po±wi conych
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowoMacierze. Dziaªania na macierzach. 1. Niech b d dane macierze , D = , C = , B = 4 12 A = , F = , G = , H = E = a) Obliczy A + B, 2A 3B,
Macierze Dziaªania na macierzach Niech b d dane macierze A = E = [ 2 3 0 3 2 3 2 0 [ 0 8, B = 4 2, F = [ 2 3, C = 3 2 2 3 0 0 0 4 0 6 3 0, G =, D = 0 2 0 2 0 3 0 3 0 2 0 0 2 2 0 0 5 0 2,, H = 0 0 4 0 0
Bardziej szczegółowoMNRP r. 1 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa (wykład) Grzegorz Kowalczyk
MNRP 18.03.2019r. Grzegorz Kowalczyk 1 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa (wykład) Definicja (σ - ciało) Niech Ω - dowolny zbiór. Rodzinę F P (Ω), gdzie P (Ω) jest rodziną wszystkich podzbiorów
Bardziej szczegółowoWektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa Rozdział 2.3: Przykłady przestrzeni probabilistycznych. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoCiaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Bardziej szczegółowoRównania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Bayesa. Indukowane Reguły Decyzyjne Jakub Kuliński Nr albumu: 53623
Twierdzenie Bayesa Indukowane Reguły Decyzyjne Jakub Kuliński Nr albumu: 53623 Niniejszy skrypt ma na celu usystematyzowanie i uporządkowanie podstawowej wiedzy na temat twierdzenia Bayesa i jego zastosowaniu
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 5 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 5 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisªaw Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowa«Matematyki i Informatyki ul. Gª boka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoZadania. SiOD Cwiczenie 1 ;
1. Niech A będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 6 B zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 2 C będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 5 Wyznaczyć zbiory A B, A C, C B, A
Bardziej szczegółowoMaszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne. Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne
Maszyny Turinga Maszyna Turinga jest automatem ta±mowym, skª da si z ta±my (tablicy symboli) potencjalnie niesko«czonej w prawo, zakªadamy,»e w prawie wszystkich (tzn. wszystkich poza sko«czon liczb )
Bardziej szczegółowoWykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów
Wykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów 1 / 112 Literatura 1 W. Lipski; Kombinatoryka dla programistów. 2 T. Cormen, Ch. E. Leiserson, R. L. Rivest; Wprowadzenie do algorytmów. 3 K. A. Ross, Ch. R. B.
Bardziej szczegółowoRACHUNEK ZBIORÓW 2 A B = B A
RCHUNEK ZIORÓW 2 DZIŁNI N ZIORCH Sum (uni ) zbiorów i nazywamy zbiór, którego elementami s wszystkie elementy nale ce do zbioru lub do zbioru. = {x : x x } ZDNIE = = = Wyznacz sumy:,, C, D, E, D E dla
Bardziej szczegółowoPodstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia
Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu 1. Wprowadzenie 2. Hazard rate
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoRachunku prawdopodobieństwa: rys historyczny, aksjomatyka, prawdopodobieństwo warunkowe,
Rachunku prawdopodobieństwa: rys historyczny, aksjomatyka, prawdopodobieństwo warunkowe, niezależność zdarzeń dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Semestr letni
Bardziej szczegółowoistnienie elementu neutralnego dodawania (zera): 0 K a K a + 0 = a, istnienie elementu neutralnego mno»enia (jedynki): 1 K a K a 1 = a,
Ciaªo Denicja. Zbiór K z dziaªaniami dodawania + oraz mno»enia (których argumentami s dwa elementy z tego zbioru, a warto±ciami elementy z tego zbioru) nazywamy ciaªem, je±li zawiera co najmniej dwa elementy
Bardziej szczegółowoFunkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Bardziej szczegółowoPrzekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
Bardziej szczegółowoZadania do jawnej puli
Zadania do jawnej puli Mateusz Šeªyk, Bartosz Wcisªo, Piotr Wilkin 19 stycznia 2015 Przez rozwi», znajd¹ itp. mamy na my±li zapisanie odpowiedzi przy u»yciu sum, iloczynów, ilorazów, symboli Newtona, silni,
Bardziej szczegółowoWstęp. Kurs w skrócie
Mariola Zalewska Zakład Metod Matematycznych i Statystycznych Zarządzania Wydział Zarządzania Uniwersystet Warszawski I rok DSM Rachunek Prawdopodobieństwa Wstęp Kombinatoryka Niezależność zdarzeń, Twierdzenie
Bardziej szczegółowoSchematy i reguªy wnioskowania w logice rozmytej
Wybrane schematy i reguªy wnioskowania w logice rozmytej Uniwersytet l ski Letnia Szkoªa Instytutu Matematyki, Brenna, 24-28 wrze±nia 2018 w logice klasycznej Sylogizm hipotetyczny (A B) (B C) A C w logice
Bardziej szczegółowoIndeksowane rodziny zbiorów
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T
Bardziej szczegółowoMetody statystyczne w biologii - Wykªad 8. Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t
Metody statystyczne w biologii - Wykªad 8 Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Regresja logistyczna 1. Podstawy teoretyczne i przykªady zastosowania
Bardziej szczegółowoEstymacja parametru gªadko±ci przy u»yciu falek splajnowych
Estymacja parametru gªadko±ci przy u»yciu falek splajnowych Politechnika Gda«ska Wydziaª Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Wisªa, 3-7.12.2012 Przestrze«Biesowa Przestrze«Biesowa B s p,q, 1 p,
Bardziej szczegółowoUkªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski
Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski Pier±cie«przemienny P nazywamy dziedzin caªkowito±ci (lub po prostu dziedzin ) je±li nie posiada nietrywialnych dzielników zera. Pier±cie«z jedynk nazywamy pier±cieniem
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Bardziej szczegółowoEdward Kozłowski. Optymalne sterowanie dyskretnymi systemami stochastycznymi
Edward Kozłowski Optymalne sterowanie dyskretnymi systemami stochastycznymi Lublin 2018 Optymalne sterowanie dyskretnymi systemami stochastycznymi Monografie Politechnika Lubelska Politechnika Lubelska
Bardziej szczegółowoLogika matematyczna (16) (JiNoI I)
Logika matematyczna (16) (JiNoI I) Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 15/16 lutego 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika matematyczna (16) (JiNoI I) 15/16
Bardziej szczegółowoStatystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)
Statystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia) 1 Przestrzeń probabilistyczna Zadanie 1 Rzucamy dwiema kostkami do gry. Opisać przestrzeń zdarzeń
Bardziej szczegółowoMatematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie
Bardziej szczegółowo