WRAŻLIWOŚĆ NA IMERFEKCJE PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH Z POŁĄCZENIAMI PODATNYMI

Transkrypt

1 Dr inż. Lezek CHODOR Dr inż. Roman BIJA Politechnika Świętokrzyka, atedra Budownictwa etalowego i eorii ontrukcji WRAŻLIWOŚĆ NA IRFCJ PRĘÓW CINOŚCINNCH Z POŁĄCZNIAI PODANI. Wprowadzenie Dominującą technologią budowy lekkich kontrukcji budowlanych jet calanie ich ze talowych prętów o przekroju cienkościennym za pomocą połączeń śrubowych. W niniejzej pracy przedtawimy teoretyczne podtawy analizy wrażliwości nośności takich kontrukcji na imperfekcje geometryczne: ) wtępne wygięcia i kręcenia prętów między węzłami, ) parametry modelu połączeń półztywnych prętów w węzłach, ) błędy montażowe połączeń prętów. W analizie przyjęto model nieliniowego geometrycznie elementu cienkościennego pręta o przekroju otwartym oraz nieliniowy model połączenia odkztałcalnego. Podatne połączenia prętów mają itotny wpływ na zachowanie kontrukcji talowych. Rozrzut wyników numerycznych oraz doświadczalnych badań podatności połączeń odkztałcalnych wkazuje, że ich analiza uwzględniająca tylko jeden parametr: wartość średnią jet niepełna i może prowadzić do błędnych wnioków. W literaturze [, i in.] wkazuje ię bowiem, że rozrzuty ztywności połączenia danego typu mogą dochodzić do 60%, a więc znacznie przekraczać zmienności innych parametrów kontrukcji. Przetawione elementy modelu teoretycznego mogą być podtawą budowy procedur i programów numerycznych obliczania wrażliwości. e z kolei mogą być zatoowane w procedurach obliczania niezawodności kontrukcji za pomocą Stochatycznej etody lementów Skończonych.

2 . odel elementów ytemu kontrukcyjnego z imperfekcjami. odel pręta cienkościennego z imperfekcjami W modelu pręta cienkościennego uwzględnijmy imperfekcje geometryczne oi pręta w funkcji względnej długości ξ ( x / l) [0,] : ( ξ ), ( ξ ), ( ξ )] [wtępne kręcenie przekroju [ wokół oi pręta x, wtępne wygięcia pręta na kierunku oi x, wygięcie na kierunku oi x ] (ry. ). Ry. Przyjmijmy natępujące założenia: ) Założenie geometryczne: a) małe odkztałcenia, duże przemiezczenia liniowe i kąty kręcenia, umiarkowane obroty przekroju od zginania (nieliniowości drugiego rzędu), b) hipotezę kinematyczną Bernoulliego dla zginania i Właowa dla paczenia. ) Założenie fizyczne: materiał prężyto-platyczny HH z izotropowym wzmocnieniem liniowym. ożna pokazać [5], że założenie geometryczne prowadzi do natępujących wzorów na kładowe tenora odkztałcenia Greena-Lagrange a dowolnego punktu P przekroju pręta (ry.): gdzie ( ) d ( ) x kˆ + x kˆ ωkˆ + k k ( ) 0 x + x γ ˆ, ε ε , rk0 ( + e ) dξ, ω - wpółrzędna wycinkowa, r odległość od linii środowej przekroju, + eu ε 0, + e ( ) + ( ) e, ( U ) + ( U ) (a,b) 0 0 e U u 0 + (a-c), U 0 i i + u0i k k ˆ 0i i 0 i (i,,), φ + φ + e k (a-c)

3 k φ, k +, (4a,b) 0 + U 0U 0 U 0U 0 k k 0 U 0 inφ U 0 coφ, k in co 0 U 0 coφ + U 0 inφ, k co + in, (5a,b). (6a,b) Analiza przeprowadzona w [6] wkazuje, że wrażliwość nośności kontrukcji należy zacować z uwzględnieniem platycznych właności materiału. Założenie platyczności można opiać tandardowymi zależnościami przyrotowymi pomiędzy przyrotem Ry. odkztałcenia ε { ε, γ } i naprężenia { σ, τ} σ [8]: ep σ ε, ep e p, (7a,b) e 0 p σ στg,, α σ H e + σ + 9τ G 0 G α στg 9τ G (8a-c) gdzie : σ σ + τ e, σ - całkowite naprężenie normalne oraz tyczne τ, H - parametr wzmocnienia. Wykre rozciągania materiału pozwala określić moduł ounga, parametr wzmocnienia H /( + ), a po uwzględnieniu odkztałcalności poprzecznej również moduł irchoffa G. W analizie należy również uwzględnić naprężenia reztkowe walcownicze w przekroju, np. według rozkładu pokazanego na ry.. ają one itotny wpływ na pracę prętów cienkościennych [7,8] w zakreie platycznym i ą naprężeniami wyjściowymi w iterowaniu warunku (7). [ u ] ( i) ( j) [,, V,, V,, B, N,, V,, V,, B ] Przemiezczenia węzłowe (, φ, u, φ, u, φ, Γ),( u, φ, u, φ, u, φ, Γ) a węzłów (i) oraz (j) pręta (p) (ry.) i iły f ( ) ( ) związane zależnością przyrotową N ( i) ( j) ą a f, (9) gdzie macierz ztywności tycznej elementu należy wyznaczać z wykorzytaniem zależności

4 Ry. geometrycznych () do (6) i z uwzględnieniem platyczności wyrażonej formułami (7),(8). Należy podkreślić, że konieczność uwzględnienia platyczności czyni problem bardziej złożonym, bowiem oprócz podziału kontrukcji na elementy po długości należy wprowadzić dodatkowe punkty całkowania po wyokości i zerokości przekroju. Poługiwanie ię typowymi charakterytyki geometrycznymi przekroju cienkościennego jet niewytarczające - wymagana jet pełna znajomość wymiarów liniowych przekroju.. odel połączenia podatnego z imperfekcjami Na ry. 4 pokazano model połączenia podatnego o czterech parametrach,, n opi- e p p, any zależnością Ramberda-Ogooda [,]: ( e p ) φ ( φ) + pφ (0) n φ n e p / + ( ) p Parametry połączenia (otoczone obwódką na ry. 4) należy wyznaczyć doświadczalnie lub numerycznie. Bahaari i Sherbourne [] przeprowadzili analizę numeryczną 8 typów połączeń doczołowych za pomocą programu ANSS, porównali wyniki z badaniami doświadczalnymi oraz formuło- Ry. 4 wali krzywe regreji parametrów modelu w zależności od wymiarów geometrycznych połączeń. Praca połączenia utalonego typu itotnie zależy od ztywności jego elementów: blach czołowych, średnicy i

5 roztawu śrub, żeberek, rozmiarów i typów łączonych profili. Przyjmiemy, że parametrami imperfekcji połączeń podatnych ą zmienne [ 4, 5, 6, 7 ] [ e, p, p, n]. Są to globalne parametry połączenia, z których każdy jet nieliniową funkcją wymiarów geometrycznych połączenia (Bahaari i Sherbourne [] wytypowali itotnych wymiarów geometrycznych dla połączenia czołowego z wyuniętą blachą czołową). odel połączenia uogólnijmy na przypadek kręcania i zginania w dwóch płazczyznach. Na ry. 5 pokazano topnie wobody połączenia wyrażone przez iły i przemiezczenia w węźle (i) oraz (j). Przy pominięciu wzajemnego Ry.5 przężenia ztywności w różnych kierunkach wektor przemiezczeń węzłowych połączenia () a [( φ, φ, φ) ( i),( φ, φ, φ) ( j) ] jet związany z iłami węzłowymi macierzą ztywności połączenia () jak natępuje: f [(,, ) ( i),(,, ) ( j) ] I I a f, gdzie I I 0 0 i I 0 0 (a-c) 0 0 Ze względu na tounkowo mały (w tounku do zginania) wpływ kręcania na wytężenie prętów przyjmiemy, że ztywność połączenia na kręcanie jet tała i równa prężytej ztywności początkowej e. Natomiat dla zginania wokół obu oi głównych przekroju przyjmiemy model (9) odpowiednio o parametrach (,,, n) (i, płazczyzny zginania). Przez zróżniczkowanie p p e i tego modelu względem φ, otrzymujemy giętną ztywność tyczną połączenia ( ei pi i n i + i ( ei pi ) φ + pi ) + ( n / n ) pi i (i,), Z przyjętego modelu wynika, że: ) połączenie ma zerową długość, ) pomija ię oiowe i poprzeczne odkztałcenia połączenia, a w rezultacie oba węzły połączenia ą kompatybilne. paczenie: W dwóch najczęściej potykanych przypadkach połączeń przyjmiemy natępujące warunki na ()

6 ) w połączenia rygla ze łupem (ry. 6a) zerowanie paczenia Γ j 0 (pełne ztywność żeberka przeciwko paczeniu Ry. 6a GI h Ry. 6b utwierdzenie ze względu na paczenie). ) w połączeniu belek (ry. 6b) do macierzy ztywności na topniu wobody paczenia węzła należy dodać, gdzie I - ztywność krętna przekroju żeberka, h wyokość belki. W przypadku żebra lub blachy czołowej o zerokości b i grubości t można przyjąć ztywność krętną I / bt.. Błędy montażowe Spoób wykontruowania połączeń czołowych na śruby wyokowytrzymałe zachęca wykonawców do likwidacji nieuniknionych odchyłek wykonawczych przez dokręcenie śrub. W wyniku tego kontrukcja może zotać wprowadzona w tan naprężenia dochodzący do kilkunatu procent jej prężytej nośności (Biegu (998)[]). Wady tyków przypizemy do elementów zakończonych elementami złącznymi. ogą one ob- ( jawiać ię na każdym topniu wobody m ) [ ] [ ],,,,, u, φ, u, φ, u, φ, Γ, 8, więc poprzez: krócenie (wydłużenie) elementu, kąt kręcenia, przeunięcia i kąty obrotu w dwóch płazczyznach oraz paczenie powierzchni przylgowej w przekrojach przywęzłowych elementu. Zakładamy, że obciążenie kontrukcji błędami montażowymi poprzedza wzytkie inne obciążenia oprócz ciężaru włanego. Stanowią więc one tan wyjściowy do dalzej analizy kontrukcji podobnie jak walcownicze naprężenia reztkowe w przekrojach. Błędy montażowe, podobnie jak wpływy termiczne lub przemiezczenia podpór uwzględnia ię w poób konwencjonalny: równoważnik węzłowy wywołany błędem montażowym na danym topniu wobody wynoi: f. ( m) ( m). odel ytemu kontrukcyjnego i wrażliwość nośności. Warunek równowagi ytemu kontrukcyjnego Związki przetawione w p. pozwalają zbudować warunek równowagi ytemu kontrukcyjnego złożonego z prętów cienkościennych z połączeniami odkztałcalnymi. Warunek ten po zlinearyzowaniu dotoowanym do iteracji metodą Newtona-Raphona można zapiać w potaci Styczna macierz ztywności ytemu ( a) δa ( λ + δλ) P f ( a), (e) () jet umą macierzy ztywności prętów (p) oraz

7 połączeń () ((e)(p)+()) i w przypadku nieliniowym zależy od wektora przemiezczeń węzłowych kontrukcji a; f jet wektorem ił wewnętrznych (ił przywęzłowych), P jet obciążeniem odnieienia (konfiguracją obciążenia) kalowanym mnożnikiemλ.. Wrażliwość nośności ytemu prętów cienkościennych Na ry. 7 grubą linią ciągłą oznaczono linię łączącą punkty graniczne PG oberwowane na ścieżkach równowagi kontrukcji wyznaczonych dla różnych wartości imperfekcji. Wrażliwość nośności kontrukcji λgr na zmiany wektora imperfekcji [,, ( m) ] Ry. 7 (imperfekcje prętów (p..), imperfekcje połączeń wynoi () (m) (p..) oraz błędy montażowe (p..)) wrażliwość nośności λ gr Różniczkując warunek równowagi przed linearyzacją G f ( a) λp po otrzymujemy (4) a λ G P + 0. nożąc lewotronnie powyżze równanie przez wektor włany Ψ macierzy f / a, (5) uwzględniając ymetrię macierzy ( Ψ) Ψ 0 oraz warunek punktu granicznego λ d 0, Ψ 0, d gr ( parametr ścieżki równowagi) otrzymujemy wyrażenie na wrażliwość nośności ytemu prętów cienkościennych ( G ) λ gr Ψ (6) Ψ P Wrażliwość nośności jet jedną z podtawowych informacji potrzebnych do wyznaczenia niezawodności kontrukcji [4]. 4. Uwagi i wnioki W pracy przedtawiono podtawy teoretyczne umożliwiające budowę algorytmów numerycznych do analizy ścieżek równowagi, wyznaczania nośności oraz badania wrażliwości nośności kontrukcji zbudowanych z prętów cienkościennych z połączeniami podatnymi obarczonych imperfekcjami

8 geometrycznymi oi prętów, imperfekcjami parametrów połączeń podatnych oraz błędami montażowymi w zakreie nieliniowym geometrycznie oraz fizycznie. Zaproponowany element pręta cienkościennego w poób jawny zawiera parametry imperfekcji geometrycznych wygięć oi oraz wtępnych kręceń, co umożliwia zatoowanie metody bezpośredniego różniczkowania do wyznaczania wrażliwości nośności. odel połączenia podatnego potraktowano w poób zgodny z filozofią metody elementów kończonych, co pozwala na prote modyfikacje tandardowych procedur numerycznych. w pracach [4,5]. Literatura Przykłady analizy kontrukcji z wykorzytaniem przedtawionego algorytmu ą zamiezczane [] Bahaari,.R., Sherbourne, A.N., Finite element prediction of end plate bolted connection behavior. I: Analytic formulation, J. Struct.ngng., ASC, () (997), pp [] Biegu A., Nośność graniczna śrubowych tyków doczołowych z imperfekcjami geometrycznymi, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławkiej, Wrocław 998, [] Blandford G.., hin-walled pace frame analyi with geometric and flexible connection nonlinearitie, J. Comput. & Structure, 5(5) (990), pp [4] Chodor L.: Reliability of thin-walled imperfect frame with emi-rigid connection, J.Comput.&Structure (w przygotowaniu) [5] Bijak R, Chodor L.: hin-walled imperfect frame with geometric and material nonlinearitie, Archiwum Inżynierii Lądowej (w przygotowaniu) [6] Chodor L., Bijak R., ołodziej G. (997)., Wrażliwość nośności kontrukcji nieliniowych, ateriały XLIII onf. Nauk ILiW i N PAN, om I: eoria ontrukcji, Poznań-rynica, 997, [7] ing, W.S., Chen W.F., Practical econd-order inelatic analyi of emi-rigid frame, J. Struct. ngng., ASC, 0(7) (994), pp [8] Valentino J, Pi.-L., rahair N.S., Inelatic Buckling of Steel Beam with Central orional Retrain, Journal of Structural ngineering, September 997, pp SNSIIVI ANALSIS OF NONLINAR HIN-WALLD BARS WIH SI-RIGID CONNCIONS Summary Senitivity analyi of -D frame conit with thin-walled rod and emi-rigid connection are developed. Rod model incorporate geometric imperfection and material nonlinear i formulated. he nonlinear connection behavior i modeled uing Ramberg-Ogood moment-rotation relationhip. An efficient algorithm that may be ued to determine enitivity of load capacity of repect connection parameter i hown.