MES1pr 02 Konstrukcje szkieletowe 2. Belki

Transkrypt

1 MES1pr 02 Kontrukcje zkieletowe 2. Belki Kiedy używamy modeli belkowe? Elementy kontrukcyjne, w których jeden z wymiarów jet wielokrotnie (> 4 razy) więkzy od innych i zginanie lub kręcanie ma wpływ na rozkład naprężeń. Brak zginania/kręcania pręt. Brak źródeł koncentracji naprężeń (chyba, że jet możliwość ich uwzględnienia). Obciążenie nie jet przyłożone zbyt gęto (np. odległość pomiędzy iłami kupionymi mniej niż 2 zerokości belki) albo zmienia woją amplitudę zbyt gwałtownie. Modelowanie elementów kontrukcyjnych, wytrzymałość których albo nie jet zagrożona, albo nie ma dużego wpływu na wytrzymałość całej kontrukcji. Nie wzytko belkowate jet belką Belka Nie belka (a) (b) 1. W przypadku (b) jeden z wymiarów obiektu (grubość materiału) jet wyraźnie mniejzy od pozotałych. To podpada pod definicję powłoki. 2. W przypadku (b) prawie każde obciążenie wywoła zmianę kztałtu przekroju i wyboczenie zamiat zginania Połączenia belek Lita warunków, które muzą zadowalać połączenia belek (zczególnie cienkościennych) jet długa. Najważniejze z nich: belki muzą mieć jednakową wyokość, przecinać ię pod katem protym, leżeć w jednej płazczyźnie. Więkzość realnych kontrukcji nie pełnia tych warunków.

2 Teorii belek: teoria Eulera-Bernoulliego [18 tulecie] 1. Najtarza i najprotza teoria. Zakłada, że przekrój belki jet zawze protopadły do oi neutralnej 2. Wyznacza ugięcie belki tylko z momentu gnącego. Nie uwzględnia wpływu na ugięcie iły poprzecznej (odkztałceń tycznych) 3. Teoria wewnętrznie przeczna: Pozwala wyznaczyć rozkład naprężeń tycznych, ale nie uwzględnia ich wpływu ani na ugięcie belki, ani na wykrzywienie przekroju. Realnie prawdza ię dla 1/5 a/b 5, L/ max(a,b) > 10 [1] a L b Teorii belek: teoria Timohenki [pocz. 20 tulecia] x Ugięcie wg. teorii Eulera-Bernoulliego u EB x 3 Dodatek wg. teorii Timohenki u T x 1. Najbardziej znana z nowoczenych teorii. Zakłada, że przekrój belki nie mui być protopadły do oi neutralnej 2. Zakłada tały poziom naprężeń tycznych na części powierzchni przekroju (jeżeli A jet polem przekroju, to naka, gdzie k < 1). Wzory dla przekroju (k 1 ) i kołowego (k 2 ): k 1 = 5 6 k 1 = 10(1+ν) 12+11ν k2 = 6(1+ν) 7+6ν Brak jedynej uniweralnej metody na wyznaczanie k dla dowolnego przekroju. Dla przekrojów wypełnionych tałej wielkości czaem zaleca ię wybierać k = 1. Dobre programy MES (np. Natran) mają elementy belkowe oparte o teorię Timozenki. Gdzie to wzytko w ADINA? W okienkach Shear Area Factor podajemy wartości k dla odpowiednich kierunków. Pozotawienie domyślnych wartości zerowych oznacza teorię Eulera-Bernulliego. Kiedy i jaką teorię toować? I.Rokach,

3 Różnica pomiędzy ugięciami: (teoria T)/(teoria E-B) Różnica pomiędzy teoriami, % nw W Względna długość belki n Teoria Timohenki zawze pozwala otrzymać więkze wartości ugięcia, niż teoria Eulera- Bernulliego. Ale różnica dla belki wpornikowej o względnej długości 4 jet poniżej 5%. Szkoła im. Chucka Norria reakcji Siła wypadkowa F 1/4 1/2 1/4 1/3F 1/3F 1/3F Źle 1/4F 1/2F 1/4F Lepiej 3/16F 10/16F 3/16F Dokładnie Droga lub trajektoria obciążenia (ang. load path) jet tandardowym tematem dla pierwzych rozdziałów wielu zachodnich podręczników wytrzymałości. Ten konkretny przykład pochodzi z kiążki Jenkin C.H.M, Khanna S.K., Mechanic of Material, Elevier, Szkoła im. Chucka Norria naprężenia normalne 40kN 10kN 40kN Zakładamy, że naprężenia normalne działają tylko w półkach a ścianka teownika jet nieobciążona 2. W takim przypadku iły wypadkowe w pólkach będą400/100 = 4 razy więkze od iły przyłożonej na końcu belki. 3. Zakładając równomierny rozkład naprężeń normalnych w przekrojach półek otrzymujemyσ n 40000/(10 50) = 80N/mm 2. Wartość dokładnaσ max = 81.3N/mm 2, różnica < 2%. 4. Metoda działa również dla, Szkoła im. Chucka Norria naprężenia tyczne Wzory wytrzymałości dla naprężeń tycznych (wzór Żurawkiego) ą w miarę dokładne dla, przy czym tylko dla ale nie dla I.Rokach,

4 Naprężenia tyczne mają znikomy wpływ na zginanie belek o względnej długości > 10. W niektórych kontrukcji (np. krzydła amolotów) dominują krótkie belki obciążone przez ścinanie. τ = Q/A Q Przybliżony (nierealny) Dokładny, τ max = 3 /2τ r Przybliżony,τ max = 2τ r R-,S-,T-wpółrzędne Wzytkie parametry elementów belkowych definiowane ą w lokalnym układzie r,,t aux r t Oś r zawze kierowana jet wzdłuż linii, która modeluje oś belki. Jej kierunek jet zgodny z kierunkiem linii Ośjet protopadła dor. W zagadnieniach 2D płazczyznar mui leżeć w jednej z płazczyzn XY, YZ(najlepiej) lub XZ. Płazczyzna r wyznaczana jet przez oś belki i dodatkowy (aux) punkt. Ośtjet protopadła do płazczyznyr 1 Elementy belkowe w MES Elementy trukturalne (tructural) i fizyczne (olid) Elementy fizyczne (2D, 3D) naśladują kztałtem rzeczywite obiekty. Wzytkie wyniki (np. przemiezczenia, odkztałcenia, naprężenia) w takich elementach obliczane ą za pomocą MES. Stopnie wobody tylko przemiezczenia. Elementy trukturalne (np. prętowe, belkowe, powłokowe, itp.) mają nierealne kztałty i powtają w wyniku krzyżowania MES i metod analitycznych. Wyniki w nich ą częściowo obliczane przez MES (np. przemiezczenia, momenty i iły w elementach belkowych), a częściowo ze wzorów analitycznych (w przypadku belek - ze wzorów wytrzymałości materiałów). Mogą mieć dodatkowe topnie wobody (obroty) Dlaczego topni wobody elementów belkowych zawierają obroty? A jak inaczej zamodelować np. kręcanie belki, czyli kręcanie jej oi (pojedynczej linii)? Dodatkowe topnie wobody a zamocowanie y x Brak: x-, y-dipl, z-rot Brak: y-dipl I.Rokach,

5 2 Dokładność elementów belkowych Siły i momenty zatępcze, węzłowe W elementach belkowych (tradycyjne dla MES) obciążenie rozłożone zatępujemy iłami i momentami kupionymi w węzłach Ryunek pochodzi z Theory and Modeling Guide (tmg-a_88.pdf), rozdział wynika z niego, że w zczególnym przypadku równomiernie rozłożonego obciążenia q 1 = q 2 = q i jednakowych elementów w każdym węźle wewnętrznym będzie dwa momenty kupionych o jednakowej amplitudzie ql 2 /12, ale różnych znakach. Dlatego na chemacie wyżej tylko w otatnim węźle mamy przyłożony moment kupiony. Równanie oi neutralnej i niektóre jego rozwiązania q(x) rozwiązanie 0 wielomian 3 topnia tała wielomian 4 topnia f-cja liniowa wielomian 5 topnia EJ d4 u dx 4 = q(x) Dobra nowina Funkcje kztałtu zwykłego elementu belkowego (beam w ADINA) ą wielomianami 3 topnia, czyli w nich zazyto dokładne rozwiązanie zagadnienia dla modelu obciążonego tylko kupionymi iłami i/lub momentami. Przy rozciąganiu/ścikaniu element belkowy zachowuje ię jak liniowy element prętowy. W złączach elementów belkowych pozotają ciągłymi przemiezczenia oraz ich 1 i 2 pochodne. Wnioki praktyczne 1. Jeżeli na kontrukcję działa obciążenie, które można zatąpić iłami/momentami kupionymi, to rozwiązanie MES dla odpowiedniego modelu belkowego będzie identyczne z dokładnym rozwiązaniem z wytrzymałości i nie ma możliwości polepzenia go przez zagęzczanie iatki I.Rokach,

6 2. Jeżeli na kontrukcję działa rozłożone obciążenie, to rozwiązanie MES w tej trefie dokładnym nie będzie, ale poprzez zagęzczanie iatki da ię go polepzyć. Alternatywną metodą na wprowadzenie korekty do obciążeń kupionych jet ręczne dodanie do polecenia MASTER w in-pliku opcji FEFCORR=YES 3. Jak dla prętów, w modelach belkowych wytępuję joint hell. Skoki naprężeń nie koniecznie pozwalają na ocenę dokładności rozwiązania. Jakie elementy belkowe ą dotępne w ADINA? Dwa typa elementów belkowych Beam Najbardziej ogólny element, tylko 2 węzły, funkcje kztałtu wielomian Hermita. Elementy 3D mają 6 topnie wobody (r,,t-tranlation i r,,t-rotation), elementy płakie 3 topni wobody (r,-tranlation,t-rotation). Iobeam Element belkowy kompatybilny z pozotałymi elementami 2D i 3D. 2-(liniowy), 3-(kwadratowy) lub 4-(wielomian 3 topnia). Dopiero 4-węzłowy element (wielomian 3 topnia) daje wyniki porównywalne do 2-węzłowego elementu Hermita. Ma tylko r,,t-tranlation. Używany do kontaktu ze światem elementów 2D i 3D (u nich również brak rotation). Różnicy pomiędzy belkowymi elementami beam iobeam Przekrój,,,,, Kztałt proty wykrzywiony Wyniki Momenty i iły Momenty i iły albo naprężenia i odkztałcenia Uwagi 2D: tylko w YZ brak aux.node Trik Można jednak wyciągnąć naprężenia i odkztałcenia z elementów typu beam, jeżeli zamiat prężytego użyć najprotzego materiału prężyto-platycznego (platic-bilinear). Ale ten trik działa tylko dla przekroju. ADINA wyprowadza tylko normalne naprężenia dla górnej powierzchni (dla = 1). Dlatego dla zamiat σ r wyprowadzamy max_hear_tre Obliczenie naprężeń poza ADINA Jak wyznaczyć naprężenia w elemencie belkowym? Metoda nr 1. Ze wzorów wytrzymałości (dla tałego przekroju) Makymalne normalne(zginanie): σ b = M max /W bn, gdzie M b max makymalny moment gnący (bending),w bn wkaźnik wytrzymałości na zginanie (W bn = bh 2 /6 dla przekroju ) Normalne (rozciąganie/ścikanie):σ n = N/A, gdzie N iła oiowa, A pole przekroju Makymalne tyczne(zginanie): τ max = Q max /W bt, gdzie Q max makymalna iła tnąca, W bt wkaźnik wytrzymałości na zginanie z udziałem iły poprzecznej (W bt = 2 /3A dla ) Makymalne tyczne(kręcanie):τ t max = M t max/w t, gdziem b max makymalny moment kręcający (torion),w t wkaźnik wytrzymałości na kręcanie. Problemy 1) Zbyt łatwo ię pomylić. 2) Gdzie jet makymalne naprężenie? I.Rokach,

7 To wzytko nie jet takie prote r 1 Moment (iła) dla której belki wyznaczany jet w węźle 1? r Tu muimy wyciągać wyniki z lokalnych węzłów dla każdego elementu (zczegóły r w intrukcji) Rozwiązanie połowiczne Przeprowadzić obliczenia w pliku *.PLO!!! Wymiary w mm, iła w N, moment w N mm, naprężenia w N/mm^2 (MPa) Wyokość przekroju, mm contant b 10 Szerokość przekroju, mm contant h 20!! moment niezerowy tylko dla 3D alia m nodal_moment alia mt nodal_moment t reultant normal_tre (ab(m)/(b h 2/6) + ab(mt)/(h b 2/6)) reultant axial_tre <nodal_force r>/(b h) reultant hear_tre 1.5 <nodal_force >/(b h) krecanie ( tylko w 3D) alia mr nodal_moment r!!! wzór dla h>b contant hb 2 reultant torional_tre mr/(min( qrt(hb), e 04 hb) h b 2)!!! wzór dla b>h contant bh 2 reultant torional_tre mr/(min( qrt(bh), e 04 bh) b h 2) Możliwości dodatkowe Wzytko taje ię bardziej komplikowane w przypadku zginania ukośnego (wprowadzamy OFFSETy) Od werji 8.4 itnieje możliwość modelowania ztywnych końcówek belek z złączach Jet możliwość modelowania dowolnej belki poprzez zadanie jej ztywności (relacji M/(EI)) Modelowanie przegubów, złączy, łożyk (jet odpowiednia intrukcja) Literatura [1] Bucalem,M.L., Bathe, K-J. The Mechanic of Solid and Structure Hierarchical Modeling and the Finite Element Solution, Springer, I.Rokach,