Dyskretyzacja niektórych modeli fizycznych: od podejścia standardowego do dyskretyzacji geometrycznej

Transkrypt

1 UNIWERSYTET IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU WYDZIAŁ FIZYKI R O Z P R A W A D O K T O R S K A Dysetyzacja ietóych modeli fizyczych: od odejścia stadadowego do dysetyzacji geometyczej mg Bogusław Ratiewicz Paca wyoaa od ieuiem da hab. Jaa L. Cieślińsiego of. UwB Pozań

2

3 Pagę odzięować d hab. Jaowi Cieslińsiemu za cee wsazówi wsółacę i omoc w tacie isaia acy. Dzięuję taże of. d hab. Heyowi Szydłowsiemu i of. d hab. Wojciechowi Nawociowi za zachętę i życzliwość oazaą mi w czasie twaia studiów dotoacich.

4

5 Sis teści WSTĘP... 9 NAJWAŻNIEJSZE WYNIKI BADAŃ SYMULACJA RÓWNANIA KLASYCZNEGO OSCYLATORA HARMONICZNEGO PRZY POMOCY RÓWNAŃ RÓŻNICOWYCH Wowadzeie 3 3. Najostsze dysetyzacje oscylatoa hamoiczego Dołada dysetyzacja ówaia wzostu wyładiczego Dysetyzacja oscylatoa hamoiczego: ozwiązaie dołade Tłumioy oscylato hamoiczy i jego dysetyzacje Dołada dysetyzacja ówaia tłumioego oscylatoa hamoiczego Podsumowaie 36 4 CAŁKOWALNE DYSKRETYZACJE RÓWNANIA WAHADŁA MATEMATYCZNEGO Wowadzeie Symletycze dysetyzacje ówań Newtoa Niecałowale dysetyzacje symletycze Dysetyzacja stadadowa Schemat Stömea-eleta lea-fog Symletycze schematy Eulea Metoda utu śodowego imlicit midoit ule Metody zutowaia a owiezchię stałej eegii Metoda zutowaia stadadowego Metoda zutowaia symetyczego Dysetyzacje całowale Symletycze dysetyzacje Suisa Metoda dysetego gadietu Poawa zachowująca oes małych dgań Eseymety umeycze Oesowość i stabilość modeli dysetych Dlaczego oes i amlituda oscylują w badzo egulay sosób? 55

6 4. Numeycze szacowaie amlitudy i oesu Śedia amlituda Śedi oes Iteesujące zyadi szczególe Kzywe fazowe Wydajość badaych dysetyzacji Numeycze modyfiowaie badaych dysetyzacji Podsumowaie 8 5 LOKALNIE DOKŁADNE MODYFIKACJE METODY DYSKRETNEGO GRADIENTU W PRZYPADKU JEDNOWYMIAROWYM Wowadzeie Zmodyfioway schemat dysetego gadietu Metoda loalie doładego dysetego gadietu i jej symetycza modyfiacja Rząd ozatywaych metod Eseymety umeycze Loalie dołady edyto Rozwiązaia iteacyje ówań uwiłaych Względe odchyleie od oesu teoetyczego Blisie otoczeie seaatysy i tajetoii ytyczej Podsumowaie 6 DYSKRETYZACJE RÓWNAŃ LOTKI-OLTERRY ZACHOWUJĄCE TRAJEKTORIE Wowadzeie 6. Metoda dysetego gadietu 6.3 Schematy umeycze zachowujące tajetoie Metoda loalie doładego dysetego gadietu Eseymet umeyczy Podsumowaie 6

7 7 ALGORYTMY DYSKRETNEGO GRADIENTU WYŻSZYCH RZĘDÓW DLA JEDNOWYMIAROWYCH UKŁADÓW HAMILTONOWSKICH Schematy dysetego gadietu N-tego zędu 7. Stadadowe metody N-tego zędu Eseymety umeycze Błąd globaly Stabilość oscylacji i błąd względy oesu Sąsiedztwo seaatysy Podsumowaie 3 8 DOKŁADNA DYSKRETYZACJA JEDNOWYMIAROWEGO OSCYLATORA ANHARMONICZNEGO Ścisłe ozwiązaie oscylatoa ahamoiczego Pzyade α > i β > Pzyade α > i β < Dysetyzacja dołada dla zyadu β < Dysetyzacja dołada dla zyadu β > Dysetyzacja Hioty Klasa dysetyzacji zachowujących tajetoie Eseymet umeyczy Podsumowaie 35 9 GEOMETRYCZNE DYSKRETYZACJE PROBLEMU KEPLERA Wowadzeie Stadadowe schematy geometycze Pzyład zachowawczej dysetyzacji oblemu Kelea Dysetyzacja doładie zachowująca obity eleowsie Tasfomacja Kustaaheimo-Stiefela i zachowawcze dysetyzacje uchu eleowsiego Wowadzeie Elemetaa ezetacja tasfomacji KS Dołada dysetyzacja ówań oscylatoa hamoiczego Dołada dysetyzacja czasu

8 9.5.5 Kozyści łyące z otacji zesoloej Odwota tasfomacja KS Testy umeycze Podsumowaie 58 MODELE DYSKRETNE JEDNOWYMIAROWEGO RÓWNANIA FALOWEGO...6. Szężoe oscylatoy hamoicze jao osty model uchu falowego6. Związi dysesyje dla iesończoego ośoda dysetego 6.3 Związi dysesyje dla sończoego ośoda dysetego 64.4 Numeycze własości sieci szężoych oscylatoów Dgaia włase Rówaie falowe a dołada dysetyzacja oscylatoa hamoiczego7.6 Dysetyzacje ówaia falowego eseymet umeyczy 73.7 Podsumowaie 79 DODATKI...8. Liiowe ówaia óżicowe ze stałymi wsółczyiami 8. Metody umeycze dla ówań óżiczowych zwyczajych 8.3 Uwagi a temat eseymetów umeyczych Wowadzeie Pzegląd wybaych metod umeyczego ozwiązywaia ówań ieliiowych Poówaie działaia metod utu stałego Newtoa i ołowieia zedziału Podsumowaie...94 BIBLIOGRAFIA

9 Wstę Pzedmiotem badań odjętych w tej acy jest oblem dysetyzacji ietóych modeli fizyczych tóe a ogół są jedowymiaowymi uładami hamiltoowsimi. Kostuowaie schematów dysetych symulujących modele ciągłe tego tyu jest siłą zeczy bliso związae z umeyczym całowaiem odowiedich ówań óżiczowych zwyczajych. W iiejszej acy ocetujemy się a dysetyzacji geometyczej czyli a taich ówaiach óżicowych tóych własości w możliwie dużym stoiu zyomiają własości odowiediego ówaia óżiczowego. Piewota motywacja odjęcia tej tematyi wiązała się z westiami dydatyczymi. Pojęcia óżiczowe taie ja ędość czy zysieszeie defiiuje się i wyjaśia zy omocy odowiediów dysetych taich ja iloaz óżicowy tóe są badziej atuale i łatwiejsze do zozumieia. Co więcej w liteatuze fizyczej jest stale obecy ut zajmujący się umeyczym odejściem do całowaia ówań óżiczowych zy czym obo ac zaawasowaych ja a zyład [ ] ubliowae są ace stosuowo elemetae ja [ ]. Pzyładem taiej elemetaej acy jest taże iewsza ubliacja związaa z tematyą tej ozawy [] tóej wyii zawate są w ozdziale 3. Jeda otyuacja aszych badań doowadziła do uzysaia ta wielu owych wyiów że ieue ac uległ zmiaie co zalazło odbicie w zaooowaym tytule i zaesie ozawy a ślad motywacji dydatyczej jest ledwie widoczy i to tylo w ietóych ozdziałach. ozdziały 3 i. Początowa część acy a zwłaszcza ozdziały 3 i 4 oświęcoa jest stadadowym metodom umeyczym z acisiem a metody dobze odtwazające jaościowe i geometycze cechy badaych ówań. Metody te zostały oówae od ątem jaościowego i ilościowego zachowaia się dla długich i badzo ótich zebiegów czasowych. Cetalą część acy staowi ozwiięcie i udosoaleie metody dysetego gadietu ozdziały tóa jest jedą z ważiejszych metod geometyczego całowaia umeyczego [ ]. Tzecim wątiem obecym w wielu miejscach iiejszego oacowaia są dysetyzacje dołade wybaych modeli fizyczych w szczególości: lasyczego oscylatoa hamoiczego i ahamoiczego ozdziały 3 i 8 czy oblemu Kelea ozdział 9. Całowaie geometycze olega a oszuiwaiu taich metod umeyczych tóe ściśle zachowują ewe fizycze lub matematycze własości ówań. Chodzi tu o taie ich cechy ja całi iewsze symetie

10 objętość zestzei fazowej czy stutua symletycza [64]. Zastosowaia tych metod w fizyce są ajozmaitsze i ozciągają się od aceleatoów cząste [3 94] zez dyamię moleulaą [6 78] mechaię watową [] mechaię ieba [58 5 4] aż do aalizy uładów złożoych [] i uładów z wieloma salami czasowymi [5]. Jest wiele owodów szybiego ozwoju całowaia geometyczego tóe ojawiło się atyczie we wszystich gałęziach aalizy umeyczej. Poszuuje się metod szybszych ostszych badziej stabilych i doładiejszych od schematów tadycyjych. Szua się metod taich tóe dają lesze zachowaie jaościowe awet jeśli ie udało się z ich omocą zmiejszyć błędów umeyczych. Oczeuje się że schematy zachowujące stutuę ówań mogą ozwolić a zeowadzeie obliczeń wcześiej uważaych za iemożliwe. całowaie uładów hamiltoowsich w badzo długim oesie czasu [64]. Tadycyje odejście do umeyczego ozwiązywaia ówań óżiczowych olega a obliczaiu ozwiązaia zy zadaych wauach oczątowych w oeśloej chwili czasu i z założoym błędem ta efetywie ja to tylo jest możliwe. Ta sfomułowae zadaie wauuje wybó odzaju metody jej zędu i wielości ou czasowego. W zeciwieństwie do owyższego używaie itegatoów zachowujących stutuę ówań często olega a wybaiu dość dużego ou czasowego i obliczaiu obit w badzo długim oesie czasu. Tyową sytuacją w zyadu metod geometyczych jest dość duży błąd globaly otzymywaych obit zy jedoczesym zachowaiu awidłowego zachowaia jaościowego. Obaz tajetoii uładu w zestzei fazowej może być blisi obazowi właściwemu dla ówaia wyjściowego co daje wiaygodą ifomację o ewolucji uładu. Możemy się czasem sotać z zasaującym aadosem: globaly błąd ietóych metod geometyczych może... osąć waz ze zmiejszaiem się ou czasowego. Paados te wystęuje zede wszystim w zyadu dysetyzacji doładych. Jedyym źódłem błędu są tam zaoągleia dooywae w ażdym ou obliczeiowym. Im miej tych oów tym miejszy błąd. Stadadowe schematy umeycze stały się utem wyjścia do wielu uleszeń i ozwiięcia owych metod od czasu odycia ich właściwości geometyczych. Wymieimy tu tzy oulae schematy geometycze oaz ietóe ich cechy będące zedmiotem ówież aszego zaiteesowaia. Metoda Stömea-eleta zwaa też metodą żabiego sou lea-fog [48] zastosowaa do ówań Newtoa & & ma ostać

11 / h h / h / gdzie h ozacza o czasowy zaś. mogą być wetoami. Metoda ta jest ta atuala że była odywaa co ajmiej ila azy a doszuać się jej moża już w acach samego Newtoa [4]. Jede o tej metody może być ziteetoway jao uch jedostajie zysieszoy zy czym siła wywołująca to zysieszeie jest ówa zeczywistej sile obliczoej w śodowym momecie twaia tego uchu Lea-fog jest metodą otwatą jawą dugiego zędu wymagającą tylo jedego obliczeia watości siły w ażdym ou czasowym. Metoda ta jest symletycza i odwacala w czasie. Nie zachowuje wawdzie eegii ale błąd eegii ie ośie w czasie. Zachowuje eiodyczość obit w zestzei fazowej dla dostateczie małych oów czasowych. Metoda ta zachowuje ówież ęd i momet ędu. Niestety staje się iestabila jeśli o czasowy jest zbyt duży. Metoda ta oazała się zasaująco doba ja a swą ostotę co w główej mieze jest efetem jej symletyczości i odwacalości w czasie. Dugim zyładem jest metoda utu śodowego imlicit midoit ule tóa dla uładów iewszego zędu ostaci & f Ñ jest daa zez hf.. Metoda ta jest zamięta iejawa czyli badziej osztowa umeyczie w ażdym ou obliczeiowym tzeba ozwiązać algebaicze ówaie w ostaci uwiłaej metodą iteacyją ale odobie ja lea-fog jest symletycza i odwacala w czasie. Nie zachowuje wawdzie ędu i mometu ędu o ile wielości te mają zastosowaie do badaego uładu ale w zamia zachowuje dowole wadatowe całi iewsze uładu. Jest też liiowo stabila dla wszystich oów czasowych. Należy jeda amiętać o tym że w atyce żada metoda oócz dysetyzacji doładych ie może zachowywać eegii i być jedocześie symletycza [34 4]. Tzeci zyład to metoda dysetego gadietu zwaa też zmodyfiowaą metodą utu śodowego modified midoit ule [ ]. W zyadu jedowymiaowych ówań Newtoa ta iejawa metoda jest zadaa ówaiami

12 h h.3 Badzo ważą cecha tej metody jest dołade zachowaie całi eegii. Zasada zachowaia eegii może być łatwo wyazaa ozez omożeie stoami obu ówań ta aby zyost zmieej uległ sóceiu. Schemat te ie jest symletyczy. Pzewagę geometyczych metod umeyczych ad tadycyjymi metodami awet wysoiego zędu zilustujemy a zyładzie wahadła matematyczego tóego otecjał zaday jest wzoem cos. Wyes. oazuje działaie tzech dysetyzacji tego uładu: schematu Tayloa 5-ego zędu TAY-5 metody Rugego-Kutty zędu 4-ego RK-4 i metody symletyczej 4-ego zędu SP-4 szczegóły w ozdziale 7. Wyes.. Eegia jao fucja czasu t Nh dla tzech dysetyzacji wahadła matematyczego.8 h.5 E e.6. Fucjoowaie modeli RK-4 i TAY-5 wyjaśiają wyesy. i.3 zedstawiające ewolucję czasową geeowaych zez ie zywych fazowych a ażdym z tych ysuów mamy fagmety jedej tylo dysetej zywej fazowej. W zyadu wyesu. jest to zywa siala o malejącym omieiu dążącym do zea. Widzimy więc że metoda RK-4 modeluje aczej wahadło tłumioe. Niewielie umeycze tłumieie zmiejsza

13 systematyczie eegię dgań i ostateczie uład asymtotyczie dąży do stau soczyu w ucie ówowagi twałej. Wyes.. Ewolucja czasowa zywej fazowej metody RK-4. Od zewątz: t {; 5 4 ; 5 ; 5 5 }.8 h.5. Wyes.3. Ewolucja czasowa zywej fazowej metody TAY-5. Od wewątz: t {; 5 4 ; 5 ; 5 }.8 h.5 ołożeia w uchu otacyjym modulo π. Z olei metoda TAY-5 systematyczie i coaz szybciej dodaje uładowi eegii co ończy się zejściem od uchu oscylacyjego < do otacyjego o osącej ędości obiegu. Kzywa fazowa jest dysetą sialą 3

14 o wzastającym omieiu. Obie metody oduują więc ozwiązaia umeycze o złych cechach jaościowych. W zeciwieństwie do owyższych wyesów obaz zywych fazowych metody SP4 ozostaje iezmiey i badzo odoby do obazu zeczywistego w badzo długim oesie czasu. Podobą stabilość mają też ie metody symletycze a taże metody zachowujące eegię w tym wszystie tzy metody wymieioe wyżej czyli...3. Badaia w dziedziie całowaia geometyczego ocetują się a astęujących ieuach [64]: oszuiwaia owych tyów schematów umeyczych i schematów zachowujących owe stutuy ówań oawiaia wydajości i doładości schematów umeyczych ozez zajdowaie metod wyższych zędów o miejszych błędach loalych lub douszczających więszy o czasowy 3 wyszuiwaie metod dostosowaych do wybaych szczególych las uładów ówań 4 badaie zachowaia óżych dysetyzacji w długim oesie czasu oaz stoia w jaim zachowują obaz fazowy ówań wyjściowych. Paca iiejsza wisuje się we wszystie wymieioe tu ieui badań. Zuełie owym ja się wydaje tyem schematów umeyczych ozważaych w tej acy są schematy loalie dołade zaooowae zez omotoa a o az iewszy badae i testowae w iiejszej acy ozdz. 5 6 i związaych z ią ubliacjach. Udało się zaleźć dość osty sosób a dowole zwięszaie zędu schematu dysetego gadietu ozdz. 7. Metody loalie dołade taże mają ieco wyższy ząd i douszczają duże oi czasowe. 3 Zalezioe zostały owe dysetyzacje dołade w tym dysetyzacja dołada dla oscylatoa ahamoiczego ozdz. 8 owa dysetyzacja oblemu Kelea zachowująca tajetoie i całi uchu ozdz. 9 oaz owa dysetyzacja ówaia falowego z doładą ewolucją czasową ozdz.. 4 Szczegółowo zebadae zostało zachowaie się óżych dysetyzacji w badzo długich zedziałach czasu oaz zachowaie óżych cech jaościowych atyczie wszystie ozdziały ale zwłaszcza ozdz. 4. 4

15 Stutua acy częściowo zasugeowaa zez tytuł ozawy jest w dużej mieze choologicza. Rozdziały oate są a oubliowaych acach:. J.L.Cieślińsi B.Ratiewicz: O simulatios of the classical hamoic oscillato equatio by diffeece equatios Advaces i Diffeece Equatios J.L.Cieślińsi B.Ratiewicz: Log-time behaviou of discetizatios of the simle edulum equatio Joual of Physics A: Mathematical ad Theoetical J.L.Cieślińsi B.Ratiewicz: Imovig the accuacy of the discete gadiet method i the oe-dimesioal case Physical Review E Wyii ozdziału 7 zalazły się w wysłaym do ubliacji eicie: 4. J.L.Cieślińsi B.Ratiewicz: Discete gadiet algoithms of high ode fo oe-dimesioal systems eit axiv: [hysics.com-h]. Kolejy eit jest zeglądem ważiejszych wyiów i ozszezeiem ietóych wątów z ozdziałów 5 6 i 7: 5. J.L.Cieślińsi B.Ratiewicz: Eegy-esevig umeical schemes of high accuacy fo oe-dimesioal Hamiltoia systems eit axiv: [cs.na]. Zawaty tam mateiał był tematem mojego wystąieia a ofeecji BIT 5. Teds i Numeical Mathematics Lud Razem z omotoem laujemy aisaie i ubliację olejych ac zawieających ezultaty ozdziałów i. Wszystie omawiae w tej acy schematy zostały zetestowae umeyczie. Wyii tych eseymetów umeyczych będące ważym elemetem tej acy zostały omówioe w ońcowej części oszczególych ozdziałów. Licze szczegóły dotyczące atyczych westii umeyczych umieszczoe zostały w dodatowym ozdziale.3. Końcowy eta badań związaych z aisaiem tej ozawy dotosiej dostał wsacie fiasowe z Miistestwa Naui i Szolictwa Wyższego w amach gatu omotosiego N N N

16

17 Najważiejsze wyii badań W ozdziale tym zedstawioo w sócie ajważiejsze ezultaty uzysae w tacie ac badawczych. Pozwoli to czyteliowi a szybie ich ogaięcie i ułatwi awigację wśód ozostałych ozdziałów acy zawieających szczegóły teoetycze i eseymetale tóe mogą czasem zaciemiać istotę zeczy. Wszelie badaia auowe mają swoją choologię a óże ocecje mają źódło we wcześiejszych wyiach. Często oczątowe ace ie ozwalają od azu dostzec zyszłych imliacji ale zawate w ich wyii ważą a óźiejszych ezultatach. Dobym zyładem jest dysetyzacja dołada ówaia oscylatoa hamoiczego wyowadzoa w ozdziale 3. Rozatywao w im ówaie & γ& ω. tóego ozwiązaie jest dobze zae i oszuiwao schematu umeyczego odtwazającego to ozwiązaie doładie a dysetej siatce utów. Schemat tai udało się zaleźć w ostaci ówaia γ γ e cos hω e. gdzie h ozacza o czasowy a ω. Pzedstawioo w te sosób ω : γ oety zyład ogóliejszej elacji omiędzy ówaiami óżiczowymi i óżicowymi olegającej a tym że ażdemu liiowemu ówaiu óżiczowemu ze stałymi wsółczyiami odowiada ówaie óżicowe tóe jest jego dysetyzacją doładą ozacza to że t h. Chociaż sam te omysł ie jest owy [ 83] jeda związae z im wyii zostały włączoe do ozawy ozdział 3 aisay a bazie atyułu [] gdyż oazały się być badzo użytecze w dalszych badaiach. Jedym z celów tej acy było szczegółowe zetestowaie i oówaie ze sobą ozmaitych schematów umeyczych. Wyii związae z tym tematem zajdują się w ozdziale 4 a modelem a tóym zostały zeowadzoe eseymety umeycze było tam wahadło matematycze. Do testów ówież w badzo długich oesach czasu wybao szeoie setum metod od symletyczych oczyając lea-fog imlicit midoit ozez metody zutowae lea-fog zutoway a owiezchię stałej eegii metodę Rugego-Kutty ończąc a ajostszych wesjach metod gadietowych. Wyii testów umeyczych ozdział 4 ozdział.3 a taże atyuł [] są zbyt obszee aby je tu omawiać. Najważiejsze jest to że zy oazji tych testów o az iewszy ojawił się omysł lieayzacji ówań stadadowego

18 dysetego gadietu woół utu ówowagi twałej w tóym otecjał wahadła - cos osiada loale miimum. Moża wówczas zybliżyć małe oscylacje woół utu ówowagi zez ówaie oisywaego wyżej lasyczego oscylatoa hamoiczego. Pozwoliło to a zaooowaie zmodyfiowaej metody dysetego gadietu w ostaci gdzie δ δ δ.3 ω δ ta atomiast ω. Wzoy owyższe moża ω stosować do dowolego otecjału mającego ołożeie ówowagi twałej w ucie. Dysetyzacja ta ozaczaa sótem MOD-GR zaomicie sisuje się w zyadu małych dgań woół ołożeia ówowagi dając względy błąd oesu o zyajmiej 4 zędy wielości miejszy iż tóaolwie z ozostałych testowaych metod. Kocecja wyozystaa w dysetyzacji.3 została ozwiięta w ozdziale 5 oatym a atyule []. Zamiast ogaiczać się do lieayzacji oblemu ieliiowego woół ołożeia ówowagi twałej dooujemy lieayzacji woół iego wybaego utu. W tym zyadu ewolucja czasowa wótce wyzuca as oza otoczeie tego utu zatem chcąc otyuować musimy w olejych oach zmieiać ut woół tóego lieayzujemy. Zatem aamet δ ie będzie już stały ale zmiey co czasem odeślamy dodatowym idesem isząc δ. W ozdziale 5 ozatujemy więc uład ówań ostaci & &.4 dla tóego zaoooway został astęujący schemat umeyczy zway loalie doładą modyfiacją metody dysetego gadietu czyli GR-LEX: δ δ gdzie δ jest fucją zdefiiowaą wzoami ω δ ta jeżeli > ω.5 δ jeżeli.6 8

19 ω δ tah jeżeli < ω zy czym ozacza o czasowy oaz ω. Postać fucji δ wyzaczoo żądając aby zmodyfioway schemat.5 był loalie dołady. Żądaie to ozacza że zlieayzowaa woół utu dysetyzacja.5 jest zgoda z doładą dysetyzacją zlieayzowaego woół utu uładu ówań.4. Wybieając zamiast utu śode odcia między a otzymaliśmy symetyczą modyfiację tej metody zwaą w sócie GR-SLEX. Testy umeycze zeowadzoe a zyładzie wahadła matematyczego i otecjału Mose a oazały że loalie dołada metoda dysetego gadietu GR-LEX i jej symetycza modyfiacja GR-SLEX zewyższają doładością stadadową metodę dysetego gadietu o ila zędów wielości ie tacąc zy tym stabilości i dosoałego jaościowego zachowaia w długim oesie czasu. Wato dodać że wszystie omawiae metody gadietowe zachowują doładie tajetoie modelowaego uładu w zestzei fazowej. Omówioe owyżej schematy loalie dołade wyozystao do sostuowaia las dysetyzacji zachowujących tajetoie -wymiaowego modelu Loti-oltey oświęcoo temu zagadieiu osoby ozdział 6 zadaego ówaiami & A By.7 y& Cy Dy gdzie t R y yt R atomiast A B C D są stałymi. Testy umeycze ozwoliły wyeślić tyowe dołade tajetoie dla tego modelu i ustalić oes dgań z doładością -3. Wyi te jest iteesujący gdyż do tej oy model Loti-oltey był modeloway główie zy omocy schematów symletyczych [ ] zy czym udawało się odtwozyć tylo ogóle cechy jaościowe tajetoii. W ozdziale 7 sostuowae zostały badzo stabile i dosoale sawujące się w długich oesach czasu schematy umeycze wysoiego zędu GR-N zewyższające zdecydowaie doładością ezetowae wcześiej metody GR-LEX i GR-SLEX zwłaszcza dla dużych oów czasowych. Schematy te ie są symletycze ie zachowują objętości w zestzei fazowej ie są też odwacale w czasie. Swoje świete cechy jaościowe i ilościowe otwiedzoe w liczych symulacjach omuteowych zawdzięczają jedyie zachowywaiu eegii i wysoiemu zędowi. Wyii te a azie oubliowae iedawo w fomie eitów [3 4] mogą się zyczyić do ożywieia 9

20 zaiteesowaia dysetyzacjami całowalymi zachowującymi całi uchu. Obecie bowiem dosoale są ozacowae metody odwyższaia zędu dla schematów symletyczych [ ] atomiast dość zadie są óby oawiaia doładości schematów całowalych a otzymae wyii są somliowae [78]. W zyadu metody dysetego gadietu asze wyii są ja się wydaje iewszymi ezultatami w tym ieuu. W ozdziale 8 zedstawiliśmy zaówo ścisłe ozwiązaie oscylatoa ahamoiczego ja też sosób ostucji jego dysetyzacji doładej. Podaa została też duża odzia schematów umeyczych zachowujących tajetoie uładu w zestzei fazowej. W testach dooao oówaia dysetyzacji doładej z dysetyzacją odaą zez Hiotę [45 7] oaz metodami wowadzoymi we wcześiejszych ozdziałach acy. Oazało się że dysetyzację doładą cechuje dość szybi zyost błędu globalego sowodoway iedoładością obliczeń. Testy oazały że dysetyzacja zaooowaa zez Hiotę choć ieco miej dołada od stadadowej metody dysetego gadietu jest badzo stabila i zdola do symulowaia uładu w szeoim zaesie aametów oczątowych i oów czasowych. Potwiedziła się też stabilość i badzo wysoa doładość metod gadietowych wyższych zędów sostuowaych w ozdziale 7. Rozdział 9 oświęcoy jest ważemu zagadieiu mechaii lasyczej jaim jest oblem Kelea. Poazao w im działaie ilu stadadowych metod umeyczych oaz dwóch schematów zachowujących całi uchu i tajetoie [6 5]. Nowym wyiiem uzysaym w tej acy jest modyfiacja wyiów acy [6] w tai sosób aby całi uchu zachowywae były doładie schemat sostuoway w acy [6] zachowywał wszystie całi uchu ale ich watości ieco óżiły się od watości dla zyadu ciągłego. Jeśli chodzi o dugą z tych metod badzo zaawasowaą matematyczie to w acy zalazło się szczegółowe omówieie jej teoetyczych asetów do tóych zaliczyć moża zastosowaie 4- wymiaowego jedoodego oscylatoa hamoiczego i tasfomacji Kustaaheimo-Stiefela. Testy umeycze oazały że obydwa zachowawcze schematy wyazują oówywalą umulację błędów umeyczych z iewielą zewagą iewszej z tych metod dla długich czasów. W iewszej części ozdziału oddao aalizie teoetyczej i eseymetalej osty model uchu falowego w ostaci szężoych oscylatoów hamoiczych tóy oazał się zuełie oawie symulować wiele zjawis falowych. W dugiej jego części oazao w jai sosób

21 dołada dysetyzacja ówaia oscylatoa hamoiczego ozwala a otzymaie doładej dysetyzacji jedowymiaowego ówaia falowego w ostaci c u t u.8 Pomysł olega a ozatzeiu ewolucji czasowej modu odowiadającego liczbie falowej daego zez ówaia.8 otzymujemy wzó ˆ u ˆ i t u t e [7]. Po odstawieiu do d u c uˆ ω uˆ.9 dt w tóym ozozajemy ówaie oscylatoa hamoiczego. Na odstawie owyższego sfomułowao astęujący schemat umeyczy: dla zadaych wauów oczątowych u i u& zajdujemy waui oczątowe dla ich tasfomat Fouiea uˆ u e π uˆ & u& e π i i d. d.. Doładą ewolucję czasową dla ówaia.9 obliczamy wyozystując dysetyzację doładą oscylatoa hamoiczego ˆ u cosω uˆ uˆ.. W ostatim ou wyoujemy tasfomatę odwotą u t uˆ t e π i d.3 aby odtwozyć zebieg u t. Algoytm te został z owodzeiem zetestoway umeyczie. Wyii umieszczoo w dugiej części ozdziału. Zawatość zeglądowej acy [4] sugeuje że ezetoway tu algoytm mimo swojej ostoty ie jest zay secjalistom od geometyczych metod umeyczych.

22

23 3 Symulacja ówaia lasyczego oscylatoa hamoiczego zy omocy ówań óżicowych 3. Wowadzeie W ozdziale tym oazae zostaie ja iewielie i zdawać by się mogło iezbyt waże zmiay wowadzae w dysetyzacjach ówaia óżiczowego owadzą do ówań óżicowych o całowicie odmieych właściwościach. Pzez dysetyzację ozumiaa będzie symulacja ówaia óżiczowego ozez ówaie óżicowe [44]. Zaezetowae tu zostaą oceduy dysetyzacji ostego modelu fizyczego tóe same w sobie ie są zbyt waże bo model te jest ściśle ozwiązywaly jeda osłużą do zedstawieia ewych dość ogólych idei i wyiów tóe mogą i będą ja się óźiej oaże wyozystae do ostuowaia leszych dysetyzacji iych ówań óżiczowych. Rozważmy tłumioy oscylato hamoiczy oisay ówaiem & γ& ω 3. gdzie t a oa ozacza ochodą o czasie. Jest to ówaie liiowe tóego ogóle ozwiązaie jest zae. Najbadziej atuala dysetyzacja olega a zastąieiu zez & zez iloaz óżicowy - / & & zez iloaz óżicowy iloazów óżicowych czyli & 3. itd. jest to metoda Eulea. Rówie dobze możemy zastąić. zez & zez iloaz óżicowy - - / lub & & zez - - /. Ostati wzó ozez swoją symetię wydaje się być zesztą badziej atualy iż 3. i zeczywiście acuje leiej zob. ozdz. 3.. W ażdym zyadu żądamy aby gaica ciągła olegająca a zastąieiu zez t t i wyzaczeiu sąsiedich watości z ozwiięcia w szeeg Tayloa fucji t w ucie t t zastosowaa do daej dysetyzacji ówaia óżiczowego dawała w wyiu wyjściowe ówaie óżiczowe. Czyli w ozważaym ówaiu óżicowym odstawiamy t t 3.3 t t & t & t

24 Pozostawiając tylo wiodące wyazy owiiśmy otzymać ozważae ówaie óżiczowe. Mówimy wtedy że schemat umeyczy odowiadający tej dysetyzacji jest zgody [83]. W dalszej części tego ozdziału oówae zostaą óże dysetyzacje tłumioego i ietłumioego oscylatoa hamoiczego włączając w to dysetyzacje dołade. Mówimy że dysetyzacja jest dołada jeśli ówość t ma miejsce dla dowolej watości a ie tylo w gaicy ciagłej Najostsze dysetyzacje oscylatoa hamoiczego Rozważmy astęujące tzy ówaia dysete: gdzie jest stałą. W gaicy ciągłej 3.3 ażde z ich owadzi do ówaia oscylatoa hamoiczego & &. 3.8 Dla ustaleia uwagi będziemy ozatywali tylo ozwiązaia odowiadające wauom oczątowym &. Dae oczątowe dla tych dysetyzacji wybieamy ta aby uty i leżały a wyesie ozwiązaia doładego. Dla małych t i małych ażde z tzech ozwiązań dysetych aosymuje odowiedie ozwiązaie ciągłe zuełie dobze wyes 3.. Jedaże globale zachowaia tych ozwiązań awet dla badzo małych są zuełie óże wyes 3.. Rozwiązaie 3.5 dla t zaia odczas gdy 3.7 wyouje oscylacje z gwałtowie osącą amlitudą a wyesie 3. ie zmieścił się już żade ut odowiadający temu ozwiązaiu. Jaościowo tylo ozwiązaie 3.6 zyomia zyade ciągły oscylacje o stałej amlitudzie jeda i oo dla dużych czasów coaz badziej óżi się od ozwiązaia doładego. Powstaje ytaie: ja zaleźć ajleszą dysetyzację zachowującą globale własości ozwiązaia teoetyczego? W dalszej części tego ozdziału zostaie oazae ja zaleźć doładą dysetyzację tłumioego oscylatoa hamoiczego. W szczególości 4

25 zaezetowaa zostaie też dysetyzacja ówaia 3. tóa jest lesza od 3.6 i wydaje się ajleszą z możliwych. Zacziemy jeda od badzo ostego zyładu ilustującego odstawowe idee wyozystywae w tym ozdziale. Wyes 3.. Najostsze dysetyzacje oscylatoa hamoiczego dla małych czasów i.. Romby czae ozwiązaie 3.5 omby szae ozwiązaie 3.7 białe óła ozwiązaie 3.6 liia ciągła dołade ozwiązaie teoetycze. Wyes 3.. Najostsze dysetyzacje oscylatoa hamoiczego dla dużych czasów i.. Romby czae ozwiązaie 3.5 omby szae ozwiązaie 3.7 białe óła ozwiązaie 3.6 liia ciągła dołade ozwiązaie teoetycze. 5

26 3.3 Dołada dysetyzacja ówaia wzostu wyładiczego Rozważmy dysetyzację ówaia &. Jego ogóle ozwiązaie ma ostać t t e 3.9 a ajostsza jego dysetyzacja jest daa zez. 3. To ówaie dysete moża ozwiązać bezośedio gdyż sowadza się oo do ówaia a ciąg geometyczy. Zatem:. 3. Aby oówać to z ozwiązaiem ciągłym zeiszmy w fomie e l e κt 3. gdzie t oaz κ - l. Wówczas ozwiązaie 3. moża zeisać jao κt e. 3.3 Widzimy zatem że dla κ ozwiązaie ciągłe 3.9 wyzaczoe w ucie t e t t 3.4 óżi się od odowiadającego mu ozwiązaia dysetego 3.3. Łatwo moża sawdzić że < κ <. Tylo w gaicy mamy κ. Jaolwie jaościowe zachowaie aiwej dysetyzacji 3. dobze zgadza się z ozwiązaiem ciągłym wzost esoecjaly w obu zyadach to jeda względe óżice ilościowe zy t są badzo duże z owodu óżych wyładiów. Dysetyzacja 3. może być łatwo oawioa. Wystaczy miaowicie zastąić we wzoze 3. zez e aby uzysać zgodość z ozwiązaiem doładym 3.4. Taa dołada dysetyzacja daa jest wzoem 3.5 e lub o ostu e. Zauważmy że e dla i właśie to zybliżeie owadzi do wzou 3.. 6

27 3.4 Dysetyzacja oscylatoa hamoiczego: ozwiązaie dołade Ogóle ozwiązaie ówaia oscylatoa hamoiczego 3.8 ma ostać t cos t & si t. 3.6 W odozdziale 3. zostało oo oówae z tzema ajostszymi symulacjami dysetymi Poiżej zaezetowae zostaą dołade ozwiązaia tych ówań dysetych. Poieważ ozwiązaia dysete są zazwyczaj miej zae iż ciągłe zyomijmy że ajostsze odejście olega szuaiu ozwiązań w fomie Λ aalogiczej do założeia ostaci ozwiązaia t eλt w zyadu ciągłym szczegóły w ozdziale.. W ezultacie otzymujemy ówaie chaateystycze a Λ. Podejście to zostaie zilustowae a zyładzie ówaia 3.5 wyiającego z metody Eulea. Podstawiając Λ otzymujemy astęujące ówaie chaateystycze: Λ λ 3.7 z ozwiązaiami Λ i Λ - i. Ogóle ozwiązaie ówaia 3.5 ma ostać cλ cλ. 3.8 Wyażając c i c zez waui oczątowe i otzymujemy Ozaczając gdzie i i i i i i. 3.9 i i i ρe iα 3. oaz α acta o elemetaych zeształceiach ρ otzymujemy ρ cos α si α. 3. Wygode będzie wowadzeie ozaczeń κ acta ρ e t κ : l ω : 3. wówczas t ρ κ cos ωt si ωt

28 Moża sawdzić że κ > i ω < dla dowolej watości >. Pzy mamy κ i ω. Dlatego ozwiązaie dysete 3.3 chaateyzuje się wyładiczym wzostem amlitudy obwiedi i miejszą częstotliwością dgań iż odowiadające mu ozwiązaie ciągłe 3.6. Z odobą sytuacją mamy do czyieia w zyadu dysetyzacji 3.7 z jedą ale badzo ważą óżicą: zamiast wzostu mamy wyładiczy zai. Wzoy 3. i 3.3 wymagają tylo jedej zmiay aby być słuszymi ówież w tym zyadu. Wystaczy zmieić κ a -κ. Tzecia z omawiaych dysetyzacji 3.6 chaateyzuje się watością ρ dlatego w jej zyadu amlituda oscylacji jest stała zyade te zostaie doładiej omówioy dalej. Powyższe wyii są w dosoałej zgodości z zachowaiem ozwiązań dysetych ezetowaych a wyesach 3. i 3.. Rozważmy teaz astęującą odzię ówać dysetych aametyzowaych zeczywistymi i q: q q. 3.4 Gaica ciągła 3.3 zastosowaa do 3.4 owadzi do ówaia oscylatoa hamoiczego 3.8 dla dowolych watości i q. Rodzia 3.4 obejmuje tzy dysetyzacje z ozdziału 3. ja ówież dla q ¼ ówaie wyiające z zastosowaia metody Gaussa-Legede a-rugego-kutty atz ozdział.: Podstawiając Λ do 3.4 otzymujemy astęujące ówaie chaateystycze: q Λ q Λ q. 3.6 Moża sfomułować astęujący oblem: zaleźć dysete ówaie ależące do odziy 3.4 tóego zachowaie globale będzie możliwie ja ajbadziej odobe do zyadu ciągłego. Aby uzysać dobą dysetyzację atuale wydaje się żądaie sełieia zyajmiej dwóch wauów: ozwiązaie ma oscylować i amlituda owia być stała tz. ρ κ. Waui te mogą być łatwo wyażoe zez iewiasti ówaia wadatowego 3.6. Po iewsze muszą oe być uojoe < o dugie ich moduł owiie być ówy a zatem: Λ e iα Λ e -iα. Stąd wyia że q czyli q. W taim zyadu wyóżi ówaia wadatowego 3.6 day jest zez:

29 Mamy tu dwie możliwości jeśli ¼ wówczas < dla dowolego jeśli atomiast < ¼ wówczas < dla dostateczie małego miaowicie < W ażdym z tych zyadów wymagaia ie są zbyt estycyje i ozwalają a uzysaie odziy dobych dysetyzacji oscylatoa hamoiczego aametyzowaej zeczywistym. Jeśli Λ e iα i Λ e -iα to ozwiązaie 3.4 ma ostać: cosα cos tω si t ω 3.8 siα gdzie αω atomiast ω / 4 acta. 3.9 / Zauważmy że wzó 3.8 jest iezmieiczy względem tasfomacji α -α co ozacza że jao Λ moża wybać dowoly z dwóch iewiastów ówaia 3.6. Rówaie 3.6 jest szczególym zyadiem 3.4 dla q. W odozdziale 3. zeoaliśmy się że dla małych dysetyzacja ta symuluje zachowaie oscylatoa hamoiczego dużo leiej iż 3.5 i 3.7. Jeda zy dostateczie dużych miaowicie > jej właściwości adyalie się zmieiają i otzymujemy wzost wyładiczy bez oscylacji. Rozwijając 3.9 w szeeg MacLauia względem otzymujemy ω Dlatego ajlesza aosymacja ówaia 3.8 ależąca do odziy 3.4 chaateyzuje się watością /: i wtedy ω 4 /48 co jest ajbliższe watości doładej ω. Stadadowe metody umeycze dają watości odobe atz ozdział.. Dysetyzacja dugiej ochodej zazwyczaj jest symetycza taa ja we wzoze 3.6. Rówaia dysete odowiadające tym schematom umeyczym modelują ówaie oscylatoa 3.8 odobie lub iewiele leiej ja dysetyzacje oisae w ozdziale 3.. 9

30 Wyes 3.3. Dobe dysetyzacje oscylatoa hamoiczego ω dla małych czasów i.4. Puty czae dysetyzacja dołada 3.49 oła białe ówaie 3.36 oła szae metoda Rugego-Kutty liia ciągła ozwiązaie dołade. Wyes 3.4. Dobe dysetyzacje oscylatoa hamoiczego ω dla dużych czasów i.. Puty czae dysetyzacja dołada 3.49 oła białe ówaie 3.36 oła szae metoda Rugego-Kutty liia ciągła ozwiązaie dołade. 3

31 3.5 Tłumioy oscylato hamoiczy i jego dysetyzacje Pzechodzimy teaz do ówaia tłumioego oscylatoa hamoiczego 3.. Jego ozwiązaie ogóle może być wyażoe zez iewiasti λ λ ówaia chaateystyczego λ γλ ω i dae oczątowe & : & λ λ t λ λt t e e λ λ & λ λ. 3.3 Jeśli tłumieie jest słabe ω > γ > to λ -γ iω oaz λ -γ - iω gdzie ω ω γ. Wówczas γt γt t e cosωt ω & γ e siωt Aby otzymać oste dysetyzacje ówaia 3. możemy zastąić iewszą i dugą ochodą zez ich dysete odowiedii. Wyii odozdziału dugiego sugeują że ajleszym sosobem dysetyzacji dugiej ochodej jest wybó wesji symetyczej odobie ja to miało miejsce we wzoze 3.6. Z dugiej stoy mamy zyajmiej 3 możliwości dysetyzacji iewszej ochodej co owadzi do astęujących dysetych symulacji tłumioego oscylatoa hamoiczego: γ ω γ ω γ ω Moża oczeiwać że ajlesze wyii da ajbadziej symetycze ówaie czyli 3.35 co fatyczie ma miejsce wyes Dołada dysetyzacja ówaia tłumioego oscylatoa hamoiczego W celu zalezieia doładej dysetyzacji 3. ozważmy liiowe ówaie dysete dugiego zędu: A B

32 Wyes 3.5. Najostsze dysetyzacje tłumioego oscylatoa hamoiczego ω γ. dla małych czasów i.4. Puty czae ówaie 3.34 białe ówaie 3.35 szae ówaie 3.36 liia oowaa dołade ozwiązaie ciągłe. Ogóle ozwiązaie 3.37 ma astęującą ostać szczegóły w ozdziale.: ΛΛ Λ Λ Λ Λ 3.38 Λ Λ gdzie Λ Λ są iewiastami ówaia chaateystyczego Λ AΛ B to jest Λ A A B Λ A A B Wzó 3.38 jest słuszy dla Λ Λ co jest ówoważe wauowi A B. Jeśli watości włase są ówe Λ Λ B -A mamy Λ A oaz Λ Λ. 3.4 Czy możliwe jest utożsamieie daego 3.38 z t gdzie t dae jest wzoem 3.3? Oazuje się że ta. Wystaczy wyazić we właściwy sosób λ i λ zez Λ i Λ oaz waui oczątowe & zez. Jest zy tym całiem zasaujące że owyższe utożsamieie może być wyoae dla dowolej watości. Kluczowym będzie astęujące owiązaie odowiadających sobie watości własych ówań chaateystyczych Λ e l Λ e t λ 3.4 3

33 gdzie ja zwyle t :. Ozacza to że λ : l 3.4 Λ dla zesoloych Λ czyli Wówczas 3.38 zyjmuje ostać i Λ ρ e α zyjmujemy lλ lρ iα. λ λ e λ t e λ t e e λ λ λ λ e e e e Poówując 3.38 z 3.3 otzymujemy t od wauiem że λ λ λ e λ λ & λ λ e e λ e Pzyade zdegeeoway Λ Λ tóy odowiada zyadowi λ λ może byś ozatyway aalogiczie oówaj ozdział.. Wzó 3.4 został otzymay z 3.38 w gaicy Λ Λ. Dlatego wszystie wyażeia dla zyadu zdegeeowaego mogą być wyowadzoe ozez zastosowaie zejścia gaiczego λ λ. Zatem mamy bijecję omiędzy ówaiami óżiczowymi dugiego zędu ze stałymi wsółczyiami oaz ówaiami dysetymi dugiego zędu ze stałymi wsółczyiami. Ta elacja odowiadająca doładej dysetyzacji wyia ze związu 3.4 omiędzy watościami własymi odowiedich ówań chaateystyczych. Tłumioy oscylato hamoiczy 3. odowiada ówaiu dysetemu 3.37 w tai sosób że γ γ ω γ ω γ A e e e B e W zyadu słabo tłumioego oscylatoa hamoiczego ω > γ > dysetyzacja dołada daa jest zez e γ γ A e cos ω B 3.46 gdzie ω : ω γ. Iymi słowy dołada dysetyzacja 3. ma ostać γ γ e cos ω e Waui oczątowe owiązae są ja astęuje atz 3.44: & ωe γ γ si ω ω cos ω si ω si ω si ω & γ cos ω e ω ω γ

34 Wyes 3.6. Dobe dysetyzacje tłumioego oscylatoa hamoiczego ω γ. dla małych czasów i.. Puty czae dysetyzacja dołada białe schemat Rugego-Kutty szae ówaie 3.35 liia ciągła ozwiązaie dołade. Wyes 3.7. Dobe dysetyzacje tłumioego oscylatoa hamoiczego ω γ. dla dużych czasów i.. Puty czae dysetyzacja dołada białe schemat Rugego-Kutty szae ówaie 3.35 liia ciągła ozwiązaie dołade. 34

35 Wyesy 3.6 i 3.7 oówują dysetyzację doładą z dwiema iymi dobymi dysetyzacjami słabo tłumioego oscylatoa hamoiczego. Dysetyzacja dołada jest zeczywiście dołada czyli uty tajetoii dysetej ależą do wyesu doładego ozwiązaia ciągłego dla dowolego oaz. Podobie ja w zyadu ietłumioym w ełi symetycza dysetyzacja 3.35 jest lesza iż dysetyzacja wyiająca z metody GLRK. Dołada dysetyzacja ówaia oscylatoa hamoiczego & & jest zyadiem szczególym wzou 3.47 i daa jest zez cos Moża łatwo sawdzić że wzó 3.49 moża zeisać w ostaci si / 3.5 zyomiającej symetyczą wesję dysetyzacji wyiającej z metody Eulea atz 3. i 3.6 w tóej ojawiający się w dysetyzacji dugiej ochodej zamieioy został zez si/. Dla małych mamy si/. Rozwiązaie zagadieia watości oczątowej dla 3.49 dae jest zez cos cos si 3.5 si oówaj z W te sosób dysetym aalogiem jest o ostu odczas gdy aalogiem ędości oczątowej & jest v cos/si. Poówaie dysetyzacji doładej 3.49 z tzema iymi ówaiami dysetymi symulującymi oscylato hamoiczy zajdziemy a wyesach 3.3 i 3.4. Zwóćmy uwagę że ozważae dysetyzacje są badzo dobe awet dla dużych czasów jeda ie mogą być lesze od dysetyzacji doładej. Dysetyzacja 3.3 wyada ówież świetie. Wsółczyi zy wyazie - we wzoze ! 4! aosymuje cos z doładością do wyazów 4-go zędu. Jeśli zastosowalibyśmy aamety z wyesu 3.4 a wyesie 3.3 to dysetyzacja 3.3 byłaby ie do odóżieia od doładej. 35

36 3.7 Podsumowaie W ozdziale tym oatym a acy [] oazae zostało że dla liiowych ówań óżiczowych dugiego zędu ze stałymi wsółczyiami istieją ówaia dysete tóe awidłowo modelują wszystie cechy ówaia óżiczowego. Rozwiązaia tych ówań dysetych są zgode z ozwiązaiami ówań óżiczowych w węzłach siati dysetej. Tego tyu dołade dysetyzacje mogą być zalezioe dla dowolej stałej sieci. W omawiaym zyadu istieje elacja jede-do-jedego omiędzy ówaiami óżiczowymi i óżicowymi: ażdemu liiowemu ówaiu óżiczowemu ze stałymi wsółczyiami odowiada ówaie óżicowe tóe azywamy dysetyzacją doładą azywaą ówież ajleszą []. Aalogicze ozważaia mogą być zeowadzoe dla ówań óżiczowych zwyczajych ze stałymi wsółczyiami dowolego zędu [ ]. Wielowymiaowe uogólieia oscylatoa hamoiczego zostały ostatio zedysutowae w acy [7]. Należy zaacetować fat że uzysaie dysetyzacji ezetowaych w tym ozdziale wymagało założeia istotych ich zależości od ozważaych ówań co zdecydowaie otastuje ze stadadowym odejściem umeyczym do ówań óżiczowych zwyczajych w tóym ie zyjmuje się atyczie żadych założeń i ostuuje się uiwesale metody asujące do dowolego ówaia. W ozdziale tym mamy do czyieia z sytuacją estemalą: zastosowaa metoda asuje do badzo wąsiej lasy ówań ale w wyiu otzymao dysetyzację zasaująco dobą węcz doładą. Tedecja w tym ieuu jest zesztą coaz badziej zauważala wśód secjalistów od metod umeyczych. Tadycyjie ocetowao się a stabilości i doładości schematów óżicowych dla ótich zedziałów czasowych. Wsółczese badaia zesuwają acet w ieuu zachowaia iezmieiów i awidłowego odtwazaia cech jaościowych [48 8]. Wymaga to jeda staaego doasowaia schematu umeyczego do ozważaego ówaia óżiczowego. 36

37 4 Całowale dysetyzacje ówaia wahadła matematyczego 4. Wowadzeie W ozdziale tym zedstawioe zostaą wyii eseymetów oówujących doładość i wydajość szeegu stadadowych i geometyczych dysetyzacji a zyładzie ówaia wahadła matematyczego. Więszość ezetowaego mateiału została oubliowaa w acy []. Rówaie wahadła matematyczego jest badzo dobze zae jeda jego odowiedii dysete oazują wiele cieawych i zasaujących cech ja choćby ojawiaie się zachowań chaotyczych dla dużych oów czasowych [3 4]. Zachowaie taie ie wystęuje w zyadu dysetyzacji całowalych atomiast ie są wole od iego dysetyzacje symletycze. Główa uwaga oświęcoa zostaie stabilości dysetyzacji oaz zależości ich oesu i amlitudy od watości ou czasowego. Zostaą też oisae i wyjaśioe iewielie oscylacje wymieioych aametów uchu woół ich watości śedich. Sośód mogości możliwych schematów umeyczych do badań zostały wybae tylo dysetyzacje symletycze lub całowale czyli zachowujące całę eegii. Stabilość metod symletyczych w oteście zachowaia eegii uładów fizyczych jest dobze zaa i od oczątu lat dziewięćdziesiątych dwudziestego wieu była z owodzeiem wyozystywaa do badaia ewolucji uładu słoeczego w długiej esetywie czasowej [5 4]. Główą zyczyą obsewowaej stabilości jest to że schemat symletyczy -tego zędu wawdzie ie zachowuje doładie całi eegii [34] ale daje dla dużych czasów błąd hamiltoiaiu zędu O gdzie jest stałym oiem czasowym całowaia [6 4 6]. Algoytmy symletycze mają zatem od samego oczątu wielą zewagę we wszelich aalizach oówawczych zachowaia się uładów fizyczych w długiej esetywie czasowej. Do tej ategoii metod umeyczych ależą dobze zae schematy taie ja lasyczy lea-fog oaz metoda utu śodowego imlicit midoit ule badzo sutecze mimo swej ostoty tóe zostaą oówae z iloma też zaymi metodami geometyczymi zachowującymi całę eegii. Zaooowaa zostaie też jeda owa dysetyzacja będąca modyfiacją metody dysetego gadietu tóa jest badzo dołada w zyadu małych dgań awet dla badzo dużych oów czasowych i zachowuje zy tym ajlesze cechy swojej metody źódłowej ja choćby ecyzję oisu uchu

38 w obliżu seaatysy. Wszystie ie ozważae w tym ozdziale dysetyzacje są zae. W olejych ozdziałach wowadzimy całą seię jeszcze leszych zuełie owych algoytmów tóe są osewecją ozwiięcia i uogólieia omysłu zaezetowaego w ozdziale Symletycze dysetyzacje ówań Newtoa Wahadło matematycze jest szczególym zyadiem jedowymiaowego ówaia Newtoa z siłą iezależą od czasu: & f 4. masę zyjęliśmy ówą jedości tóe może być zaisae jao uład ówań iewszego zędu & & f. 4. Dobze wiadomo że ówaia te mają całę uchu eegię całowitą dla dowolej fucji f. Zasada zachowaia eegii daa jest wzoem: d & E f 4.3 d gdzie E cost. Iymi słowy uład ówań 4. osiada hamiltoia H q q. 4.4 Jao zyład do testowaia ilościowego óżych metod umeyczych użyte zostaie ówaie wahadła matematyczego & si. 4.5 W tym zyadu zasada zachowaia eegii ma ostać cos E. 4.6 Stała ie jest istota i może zostać wyelimiowaa ozez zmiaę zmieej t dlatego we wszystich obliczeiach umeyczych będziemy załadali że. Dysetyzacją ówaia 4. azywać będziemy odzię ówań óżicowych dugiego zędu aametyzowaych oiem czasowym tóe w gaicy owadzą do ówaia 4.. Waue oczątowy owiie mieć ówież ostać dysetą co ozacza istieie odwzoowaia a oaz & a. 38

39 39 Wygodie jest dysetyzować uład ówań iewszego zędu 4. co automatyczie daje ówież dysetyzację. Mamy wtedy zależe od odwzoowaie a. Odwzoowaie a. azywamy symletyczym jeśli dla dowolego zachodzi d d d d. 4.7 Poiższe dwa lematy umożliwiają szybie sawdzeie symletyczości dość dużych las odwzoowań i są dogode do atyczych zastosowań. Lemat. Odwzoowaie a zdefiiowae w sosób uwiłay ozez uład ówań R P 4.8 gdzie P i R są fucjami óżiczowalymi jest symletycze wtedy i tylo wtedy gdy R P R P. 4.9 Pzeowadzimy dowód wost. Różiczując miaowicie ówaia 4.8 otzymujemy: d R d R d d d P d P d d 4. zecie ozacza óżiczowaie cząstowe. Wówczas d R P R P d R P R R d d R P P P d R P R P d 4. co wymaga aby P R waue te ozacza że odwzoowaie zdefiiowae zez P R jest iezdegeeowae. Stąd otzymujemy d d R P R P d d. 4. Widzimy zatem że odwzoowaie jest symletycze jeśli P R P R co ończy dowód.

40 Lemat. Odwzoowaie a zdefiiowae ozez uład ówań A µ B 4.3 jest symletycze dla dowolych óżiczowalych fucji A B. Aby udowodić lemat obliczamy d µ d TB d µ TA d µ d TB d 4.4 gdzie im ozacza óżiczowaie względem iewszej zmieej a T oeato zesuięcia czyli TB B. Stąd otzymujemy: d d µ d d. 4.5 Z dugiej stoy jeda d d µ d d co ończy dowód. 4.3 Niecałowale dysetyzacje symletycze W odozdziale tym zaezetowaych zostaie ila zaych dysetyzacji zachowujących stutuę symletyczą ówań Newtoa oówaj [4] s ale ie zachowujących żadych całe uchu. Zatem będą to iecałowale dysetyzacje symletycze. Tzeba zazaczyć że używając w tej acy temiu całowalość mamy a myśli istieie całi uchu odobie ja czyi to auto acy [4] i ie ma to bezośediego związu z teoią uładów całowalych solitoowych Dysetyzacja stadadowa Dysetyzacją stadadową ówaia 4. azywamy schemat w tóym dugą ochodą dysetyzujemy w sosób symetyczy czyli - - / atomiast awą stoę obliczamy w ucie [4]. Dysetyzacja stadadowa ówaia wahadła matematyczego si 4.6 jest iecałowala [4]. Otzymujemy ją ozez zastosowaie schematu Stömea-eleta lub symletyczej metody Eulea atz odozdział W ażdym tych zyadów otzymujemy to samo ówaie dysete 4.6 lecz coaz to ią zależość od i oówaj [54] [85]: c si 4.7 4

41 4 gdzie c ½. Na mocy lematu dysetyzacje stadadowe są symletycze dla dowolej watości c Schemat Stömea-eleta lea-fog Wsomiaa już we wstęie metoda Stömea-eleta lea-fog LF zadaa jest astęującymi wzoami oówaj. [4]: f f 4.8 Elimiując możemy łatwo zeształcić te schemat do zwyłej ostaci jedooowej:. f f f f 4.9 Moża go ówież zedstawić w fomie uładu ówań f 4.. f 4. W zyadu wahadła matematyczego f si ozozajemy w ich dysetyzację atualą czyli wzoy: 4.6 oaz 4.7 z c ½ Symletycze schematy Eulea Uład ówań 4. jest zyładem ogóliejszej lasy uładów ówań ostaci h g & &. 4. gdzie g h są zadaymi fucjami dwóch zmieych. Uład 4. moża oddać dysetyzacji a jede z dwóch sosobów: h g 4.3. h g 4.4

42 Obie te dysetyzacje azywae są albo symletyczymi metodami Eulea [4] lub metodami odziału symletyczego [66]. Dysetyzując w te sosób ówaie 4. otzymujemy odowiedio f 4.5 f. 4.6 Obydwa owyższe ułady ówań owadzą do ówaia 4. lecz zamiast 4. otzymujemy odowiedio f lub 4.7 co w zyadu wahadła matematyczego daje dysetyzację stadadową z c lub c Metoda utu śodowego imlicit midoit ule Dowole ówaie óżiczowe iewszego zędu & F może zostać zdysetyzowae zy omocy iejawej metody utu śodowego imlicit midoit MID tóa w tym zyadu sowadza się do metody iewszego zędu Gaussa-Legede a-ruge-kutty oówaj [4]. Piewszą ochodą zamieiamy w iej a iloaz óżicowy a awa stoa jest obliczaa w ucie śodowym. Metoda ta w zyadu ajostszego uładu ówań Hamiltoa 4. daje: f. W szczególym zyadu wahadła matematyczego dostajemy: si si si Metoda utu śodowego ma zuełie dobe właściwości: jest symletyczą symetyczą odwacalą w czasie metodą zędu dugiego. Jej symletyczość wyia bezośedio z Lematu gdyż wzoy 4.8 dają P P oaz R R. Wzoy te są też jawie odwacale w czasie symetycze. Miaowicie zamiaa miejscami idesów i waz z jedoczesą zmiaą zau zmieych i ie zmieia wzoów

43 4.4 Metody zutowaia a owiezchię stałej eegii Dysetyzacje iecałowale mogą być modyfiowae ta aby zachowywały całę eegii a siłę czyli ozez zutowaie wyiu ażdego ou a owiezchię stałej eegii. Zatem dla dowolej metody jedooowej moża sostuować odowiadającą jej metodę zutowaia. Działaie zutowaia zademostowae zostaie a zyładzie dysetyzacji atualej czyli dla schematu Stömea-eleta Metoda zutowaia stadadowego Niech & F R będzie ówaiem óżiczowym iewszego zędu Φ - dowolą jedooową dysetyzacją tego ówaia zaś g ówaiem defiiującym więzy w tym zyadu: owiezchię zauzoą w R 3 tóe chcemy zachować. Pezetowaa metoda PROJ olega a obliczeiu utu ~ : Φ a astęie wyzaczeiu jego zutu ostoadłego a owiezchię g atz [4] tóy ozaczymy ozez. Defiiuje to oceduę uzysaia astęego ou:. Iymi słowy ~ λ g ~ 4.3 zy czym λ wybieamy ta aby g. Stosując to odejście do wahadła matematyczego wygodie będzie zdefiiować jao & ω gdzie ω 4.3. Dzięi owyższej defiicji sładowe są bezwymiaowe. Jeśli co załadamy w tym ozdziale wówczas defiicja ta oywa się odaym wcześiej wzoem 4.. Z 4.6 wyia że fucja wystęująca w ówaiu więzów g ma ostać g cos h 4.3 gdzie h E/ω. Z 4.3 dostajemy wówczas ~ λ si ~ λ ~ 4.33 zy czym aamet λ obliczay jest z ówaia ~ λ cos ~ si ~ λ h

44 Możemy osłużyć się tu iteacją Newtoa λ i λ j - λ j gdzie λ ~ ~ ~ cos λ si h λ j ~ ~ 4.35 si zy czym wystaczający i zaazem wygody jest wybó λ. Gaica lim j λ j daje am zybliżoe ozwiązaie Metoda zutowaia symetyczego Algoytm jedooowy Φ azyway jest symetyczym lub odwacalym w czasie jeśli Φ Φ. Odwacale w czasie są ówaia mechaii lasyczej dlatego zachowaie tej własości jest wygode i z zasady oawia wyii umeycze. Sośód wymieioych wcześiej metod ieodwacale w czasie są obie symletycze metody Eulea oaz metoda zutowaia stadadowego atomiast odwacale są schematy Stömea-eleta oaz utu śodowego. Metoda zutowaia symetyczego SYM-PROJ jest modyfiacją zutowaia stadadowego mającą a celu zachowaie odwacalości w czasie. Stosujemy ją zy odobych założeiach ja w zutowaiu stadadowym ale żądamy dodatowo symetii fucji Φ. Metoda ta sowadza się do wyoaia astęujących oów [4 38]: ˆ λ g ~ ˆ Φ 4.36 ~ λ g ~ zy czym załadamy że g i obliczamy aamet λ z wauu g. 4.5 Dysetyzacje całowale Pzyomijmy że w acy tej całowalość schematu umeyczego ozacza że istieją w im całi uchu. Rówaie Newtoa 4. osiada całę eegii więc jego dysetyzację azywamy całowalą o ile osiada całę tóą możemy tatować jao dysetą aalogię eegii. Wymagamy aby w gaicy ciągłej ta dyseta cała zechodziła w zwyłą całą eegii ówaia Newtoa. 44

45 Symletycze dysetyzacje Suisa Dysetyzacje odobe do stadadowej stadad-lie są defiiowae ozez ówaia [4]: F 4.37 zy czym F musi sełiać zależość F f. Dla daej fucji f istieje iesończeie wiele fucji F sełiających te waue. Wszystie dysetyzacje tej ostaci są symletycze co moża sawdzić stosując Lemat i zauważając że P R. Podobie ja w zyadu iecałowalych dysetyzacji symletyczych z ówań 4.37 otzymujemy:. F F 4.5- Iteesują as zyadi dysetyzacji całowalych to jest taich tóe zachowują całę eegii. Dwie dysetyzacje wahadła matematyczego odowiadające temu wauowi zalazł Suis Su Su [3 4]: cos si acta 4.38 cos 4 si 4acta Wyoując bezośedie obliczeia moża sawdzić że ówaie 4.38 ma całę uchu daą wzoem cos cos si E 4.4 tóą moża wyazić zy omocy oaz : cos cos cos E. 4.4 Z olei dysetyzacja 4.39 osiada całę uchu cos 4 4si E 4.4 tóa wyażoa ozez i zyjmuje ostać:

46 46 cos cos 4 E Wato zauważyć że hamiltoia day wzoem 4.4 ie jest zachowyway zez te dysetyzacje czyli H ie jest całą uchu. Jedyie dla całi uchu dae wzoami 4.4 i 4.43 są w zybliżeiu ówe H Metoda dysetego gadietu Metoda dysetego gadietu GR [ ] jest ogólą i badzo silą metodą budowaia schematów umeyczych zachowujących dowolą liczbę całe uchu oaz szeeg iych własości ówań Hamiltoa oisujących uład fizyczy [65]. Jeda metoda ta ie jest symletycza. W zyadu jedowymiaowych uładów hamiltoowsich z hamiltoiaem iezależym od czasu czyli ówań H H & & 4.44 metoda dysetego gadietu eduuje się do astęującego ostego schematu. Lewe stoy fomuł 4.44 oddajemy dysetyzacji w ajostszy sosób stosując iloazy óżicowe odczas gdy awe stoy zastęujemy ozez ta zwae dysete lub śedie gadiety: H H Dysety gadiet H H H óżiczowaej fucji H z defiicji atz [66] sełia waue H H H H Oeśleie to jest iejedozacze. Istieją óże defiicje dysetego gadietu sełiające owyższy waue. Najostszą z tych defiicji jest [3]: H H H H H H czyli w ażdym z dwóch wzoów mamy zyost hamiltoiau względem iej zmieej. Ie możliwe defiicje są zedstawioe. w acach [66] i [35].

47 47 Wszystie te defiicje dają te sam wyi gdy zastosujemy je do zyadu ozatywaego w aszej acy czyli H T. Wówczas T H gdzie T T T Zatem Powyższy schemat umeyczy może być ówież otzymay jao zyade szczególy zmodyfiowaej metody utu śodowego modified midoit ule [54]. Uład ówań 4.49 może być zeisay w ostaci ówaia dugiego stoia a oaz ówaia defiiującego :. 4.5 Podstawiając -cos otzymujemy dysetyzację wahadła matematyczego. Możąc ówaia 4.49 stoami moża łatwo udowodić że uład ówań 4.5 osiada całę iewszą uchu E 4.5 tóa jest doładie ówa watości hamiltoiau 4.4 w ucie. Całi uchu 4.4 i 4.43 osiągają tę zgodość tylo w gaicy. 4.6 Poawa zachowująca oes małych dgań Rówaie lasyczego oscylatoa hamoiczego ω & & osiada dysetyzację doładą [] oówaj taże [ 89] to jest taą tóa w - tym ou zyjmuje taą samą watość ja ozwiązaie tego ówaia t w ucie dla dowolych oaz :. cos si cos ω ω ω ω 4.5

48 48 Bezośedim achuiem moża łatwo sawdzić że eegia jest ówież doładie zachowaa co ozacza że watość wyażeia E ω 4.53 ie zależy od. Istieie doładej dysetyzacji ówaia oscylatoa hamoiczego zostało ostatio wyozystae do otzymaia dysetyzacji zagadieia Kelea zachowującej wszystie całi uchu i tajetoię [6]. Rozważmy ówaia Newtoa ostaci 4.. Ogaiczymy się do ówań tóe oisują ułady będące w staie ówowagi twałej w ucie f <. Wówczas otecjał osiada loale miimum w ucie co ozacza że f. Ozaczmy ω 4.54 wtedy... ω 4.55 i małe oscylacje względem utu ówowagi mogą być zybliżae ozez ówaie lasyczego oscylatoa hamoiczego z ω ω. Czy istieje dysetyzacja tóe w gaicy jest ustaloe staje się dołada? Zae dysetyzacje włączając zedstawioe wcześiej w tym ozdziale ie osiadają taiej własości. Moża ją jeda otzymać ozez modyfiację metody dysetego gadietu. Oazuje się że wystaczy zastąić zez ewą fucję δ δ we wzoach 4.5. Postać tej fucji otzymaa zostaie ozez oówaie z ówaiem oscylatoa hamoiczego w gaicy. Lieayzujemy ówaie 4.5 z zastąioym zez δ woół bioąc od uwagę Dostajemy wówczas 4 4 δ ω δ ω δ 4.56 co jest ówoważe δ ω δ ω δ δ ω δ ω δ ω 4.57 Poówując ułady ówań 4.5 oaz 4.56 stwiedzamy że są oe zgode wtedy i tylo wtedy gdy zachodzą ówości

49 4 ω δ 4 ω δ cosω 4 ω 4δ δ ω. siω Rozwiązując te uład ówań otzymujemy 4.58 ω ω ω δ ta ω Moża zatem zaooować astęującą ową dysetyzację ówaia Newtoa zmodyfiowaą metodę dysetego gadietu MOD-GR: δ δ δ 4.6 gdzie δ jest zdefiiowaa ozez 4.59 a ω jest daa wzoem Dysetyzacja ta staje się dołada dla małych dgań zy dowolej stałej watości. Ozacza to że dla oes i amlituda ozwiązaia zybliżoego owiy być badzo blisie watościom doładym awet dla dużych. 4.7 Eseymety umeycze Pzeowadzoo szeeg eseymetów umeyczych z zastosowaiem schematów zaezetowaych w ozedich odozdziałach. Paametem wszystich doświadczeń była ędość oczątowa ołożeie oczątowe było zawsze to samo: j. W zyadu ciągłym 4.5 mamy 3 możliwości: uch dgający < uch obotowy > oaz uch wzdłuż seaatysy ± od j do asymtotyczie j ±. Teoetycza amlituda oscylacji może być łatwo wyzaczoa z zasady zachowaia eegii 4.6 gdzie tj. cos A : th A si th. 4.6 W szczególości wyoao wiele obliczeń umeyczych dla astęujących daych oczątowych:. wówczas A th mała amlituda.8 wówczas A th badzo duża amlituda. Do estymacji amlitudy daej dysetyzacji wyozystao astęującą oceduę: jeżeli j m jest loalym masimum tajetoii dysetej tj. j m > j m- 49

50 i j m > j m wówczas utożsamialiśmy masimum aosymowaej fucji z masimum aaboli doasowaej do astęujących 5 utów: j m- j m- j m j m j m. Aalogiczą oceduę stosowao w zyadu loalych miimów wyozystyway był wówczas moduł otzymaego miimum. W te sosób otzymywao ciągi A N amlitud. Ides N jest wsóly dla wszystich estemów miimów i masimów i a ietóych wyesach ozaczay jest zez N / liczba ołówe oesu dla odóżieia od N liczby oesów. Każdy baday schemat umeyczy geeował tajetoię dysetą z atyczie stałą amlitudą. W zeczywistości amlitudy oscylowały w badzo egulay sosób woół ewej watości śediej: A α 4.6 N A N gdzie zaówo śedia amlituda A ja i bezwymiaowy wsółczyi względych oscylacji mogą zależeć od watości ou czasowego oaz ędości oczątowej tz. A A i α N α N. Oczywiście fucje te są óże dla óżych schematów umeyczych. W odoby sosób oeślao oes uchu dysetego. Dołada oesowość j j dla ewych jest zjawisiem zadim tóe oczywiście ie zostało zaobsewowae. Aby zdefiiować zybliżoy oes możemy doasować zywą ciągłą do wyesu dysetego wyzaczyć miejsca zeowe tej fucji i obliczyć odległości omiędzy sąsiedimi utami. Pzyuśćmy że j m j m < dla ewego m. Ozacza to że jedo z miejsc zeowych owiedzmy z N leży omiędzy j m i j m. Jego ołożeie zybliżamy za omocą miejsca zeowego wielomiau iteolacyjego tzeciego stoia zbudowaego w oaciu o uty j m- j m j m j m ia atuala możliwość to ołączeie odciiem j m i j m. Jeśli ozaczymy oleje wyzaczoe w owyższy sosób miejsca zeowe zez z N N 3 ustalając zy tym że z j możemy zdefiiować wielość T 4.63 N zn zn tóą zyjmiemy za zybliżoą watość oesu loalego w ucie N. Eseymety umeycze oazały że T N ie jest doładie stały lecz oscyluje ze stosuowo małą amlitudą. Śedia watość T N jest stała z dużą doładością dlatego odobie ja w zyadu amlitudy możemy aisać TN T τ N 4.64 gdzie zaówo śedi oes T ja i bezwymiaowy wsółczyi jego względych oscylacji τ N mogą zależeć od watości ou czasowego oaz ędości oczątowej tz. T T i τ N τ N. Tutaj ówież fucje te w sosób istoty zależą od ozatywaej dysetyzacji. Amlituda tych małych oscylacji defiiowaa jest w sosób atualy 5

51 τ : maτ α : maα N N N N Poieważ τ N i α N oscylują jao fucje N z iewielą amlitudą w sosób badzo egulay możemy wyzaczać τ i α ozważając seie owiedzmy 4 loalych estemów τ N i α N i bioąc watość śedią. 4.8 Oesowość i stabilość modeli dysetych Tajetoie dysete geeowae zez schematy symletycze lub całowale ozważae w tym ozdziale są badzo stabile jeśli o czasowy zyjmuje ozsąde watości dla badzo dużych watości moża zaobsewować zachowaia chaotycze [3 4]. W eseymetach umeyczych dotyczących amlitud o czasowy był ogaiczay do.5 atomiast w zyadu oesów stosowao awet. dla <.5. W obszaze tym uch dysety jest badzo stabily a śedi oes T i amlituda A są dobze zdefiiowae. Śedia amlituda była defiiowaa o ostu jao A 4.66 M avg N M A N j M j zy czym zyjmowao zwyle M 5. Defiicja śediego oesu jest odoba. W wielu zyadach używao wzou Tavg N M z N M z N 4.67 M w tóym omiięto gwoli zwięzłości zależość badzo istotą od i. Zauważmy że T N T avg N. Obliczając T avg ależy zyjąć abitalie watość M zazwyczaj stosowao M. Czasami stosowao ozaczeie N N aby zazaczyć że uśediaie zebiega o idesach więszych od N. W sytuacjach gdy zedmiotem zaiteesowaia był tylo śedi oes oczątowy lub o uływie wielu tysięcy oesów i ależało go uwolić od wływu oisywaych wcześiej małych egulaych oscylacji stosowao ią jego defiicję. Uśediao miaowicie T avg N M o ewym zaesie aametu M K < M L: T avg L N K L T N M L K avg M K Zazwyczaj wybieao K L co w wystaczającym stoiu elimiowało oscylacje T avg N M. Wszystie dysetyzacje ozważae w tym ozdziale chaateyzują się badzo wysoą stabilością oesu i amlitudy iezależą od sosobu 5

52 uśediaia. Tudo dostzec jaąolwie zależość A avg i T avg i tym badziej T avg od N awet zy badzo dużych N taich ja 3 5 czy 6. Jao tyowy zyład ezetujemy zachowaie schematu Su dla badzo długich czasów wyesy 4. i 4. gdzie użyto defiicji 4.67 z M. Zależość czasowa ta zdefiiowaego śediego oesu daje iteesujący oesowy wzó geometyczy moża z iej wyodębić óże zywe dysete. Pochodzeie tego tyu wzoów zostaie wyjaśioe w astęym odozdziale. Cieawy jest efet związay ze zmiaą M. Otóż dla óżych watości M otzymujemy badzo odobe wzoy a wyesach z malejącą amlitudą towazyszącą wzostowi M oówajmy wyes 4.3 gdzie M z 4. gdzie M. Tabela 4. oazuje ja stabile są oesy oscylacji. Masymaly T N jest zdefiioway jao ma J<N J T N dla J lub J.8 6. Miimale watości i śedia jest wyzaczaa w tym samym zedziale. Poieważ odchyleie stadadowe śediej jest zędu zy błędzie masymalym ooło -7 zatem śedi oes jest atyczie stały dla wszystich badaych dysetyzacji. Szczególie wielą stabilością wyóżia się schemat Su. W jego zyadu wszelie zmiay watości oesu mieszczą się całowicie w gaicach błędu i ie zaobsewowao jaiejolwie zależości T avg N M od N. Bioąc od uwagę obsewowaą stabilość oesów zyjmiemy w dalszej części tego ozdziału ozaczeie T T avg. Wyes 4.. T avg N dla dysetyzacji Su N < T th T

53 Wyes 4.. T avg N dla dysetyzacji Su dla badzo dużych N..95 T th T Wyes 4.3. T N dla dysetyzacji Su dla badzo dużych N..95 T th T

54 Tabela 4.. Stabilość oesu. Miimala masymala i śedia T avg N watość T N..95. T th Początowy N < Końcowy Oes LF Su Su GR Masymaly Śedi Miimaly Masymaly Śedi N.8 6 Miimaly Obsewowaa stabilość oesu dysetyzacji symletyczych i całowalych osto otastuje z wyiami otzymywaymi za omocą metod stadadowych iesymletyczych i iecałowalych. Pzyładowo badzo oulaa jawa metoda 4-go zędu Rugego-Kutty daje oes wyaźie malejący w czasie wyes 4.4. Pzy małych watościach N dostajemy dobe zybliżeie oesu iteolacja zywej dysetej daje T.646 dla N co jest blisie teoetyczej watości T th Wśód iych badaych dysetyzacji tylo dwa schematy gadietowe mogły z tą doładością ouować a awet być ieco lesze metoda dysetego gadietu daje T Niestety zy osących N schemat Rugego- Kutty coaz gozej zybliża oes dgań w zeczywistości otzymujemy wyładicze choć badzo owole jego zmiejszaie odczas gdy obydwie metody gadietowe acują ze stałym oesem zez badzo długi oes czasu tabela 4.. W zyadu aametów zastosowaych a owyższych wyesach.95;. błąd metody Rugego-Kutty staje się więszy od błędów wszystich ezetowaych metod oczyając od N. 54

55 Wyes 4.4. T avg N dla metody 4-go zędu Rugego-Kutty..95 T th Eseymety umeycze oazują że oscylacje oesu i amlitudy są badzo małe. W gaicy otzymujemy τ z doładością do błędu zaoągleia. Najwięsze watości τ otzymao dla dwóch metod ojecyjych zy dużych i małych były oe zędu.. Wszystie ie dysetyzacje dają oscylacje miejsze o jede lub dwa zędy wielości awet dla dużych. Tyowy obaz zebiegu fucji τ ezetoway jest a wyesie 4.5 dla Dlaczego oes i amlituda oscylują w badzo egulay sosób? W szeoim zaesie aametów oscylacje τ N są badzo egulae i ich amlituda jest więsza iż błędy umeycze o ila zędów wielości. Zjawiso to oazało się systematyczym uboczym efetem umeyczym. 55

56 Wyes 4.5. Względe amlitudy oscylacji oesów τ dla.8. Su i LF zybieają awie taie same watości odobie jest z dysetyzacjami MID GR i MOD-GR szczególie dla. < <.3. Wyjaśieie jest związae z zedstawioą wcześiej oceduą estymowaia miejsc zeowych dysetyzacji. W ogólości oes T T avg i są iewsółmiee dlatego też względa ozycja z N omiędzy j m i j m zależy od N. Oesowe oscylacje tóe moża obsewować a wyesach od 4.6 do 4. są związae z własościami liczby zeczywistej T/ a oetie z aosymacją liczb T/ i T/ zy omocy liczb wymieych. Rozocziemy od ilu ostych defiicji. Dla daych T R T > > i K N zdefiiujmy KT KT µ K : M K ν K : LK 4.69 taie że -.5 < µ K < ν K.5 oaz M K K K N. Iymi słowy dla daego K zyjmujemy M K taie że M K /K jest ajleszym wymieym zybliżeiem zy daym miaowiu K liczby zeczywistej T/ i L K /K jest ajleszym zybliżeiem wymieym zy miaowiu K T/. Dla daych T K fomuły 4.69 defiiują jedozaczie µ K ν K M K L K. Z owyższych defiicji wyia bezośedio astęujący lemat. 56

57 Wyes 4.6. T N dla metody LF.5.8 T Wyes 4.7. A N dla metody LF.5.8 T Lemat 3. Pzyuśćmy że T > > wówczas:. Jeżeli µ K µ J <.5 wówczas M KJ M K M J i µ KJ µ K µ J.. Jeżeli ν K ν J <.5 wówczas L KJ L K L J i ν KJ ν K ν J. 3. Jeżeli ν K <.5 wówczas M K L i ν K ν K. 4. Jeżeli K jest azyste to M K/ L K i µ K/ ν K. 57

58 Wyes 4.8. T N dla metody LF..5 T Wyes 4.9. A N dla metody LF..5 T Wiose. Jeżeli ν K to µ K i dla azystych K ówież µ K/. Jeżeli µ K wówczas ofiguacja z N j m j m w atyce owtaza się o ażdych K oesach. Dlatego atualym jest oczeiwaie ewych cyliczych zdazeń z oesem KT. W szczególości τ NK τ N dla dowolego N. 58

59 Wyes 4.. T N dla metody Su..5 T Wyes 4.. A N dla metody Su..5 T Aby otzymać dobą aosymację zazwyczaj żądamy zyajmiej µ K <.. Czasami szczególie dla małych K tj. K 5 cieawe efety mogą wystąić ówież dla więszych µ K ale w ażdym azie µ K <.: wyes fucji N T N ajwyaźiej ozszczeia się a K zywych dysetych T N i T M ależą do tej samej zywej jeżeli N M mod K. 59

60 Podobe ozważaia moża zeowadzić dla oscylacji α N amlitudy. W tym zyadu oes wyosi T/ i doba aosymacja odowiada ν K. Pzyład schemat LF.5.8 T Obliczamy T/ i sawdzamy że µ.7 µ µ 6.58 µ -.5 µ Wyes 4.6 otwiedza istieie chaateystyczych wzoów oscylacji o oesach i 8. Oes odowiada zejściom między dwiema zywymi odobymi do siusoidy. Miaowicie T N ależy do iewszej siusoidy dla ieazystego N i do dugiej siusoidy dla azystego N. Obie zywe dysete zmieiają się cyliczie z oesem. Właściwe cały wyes wydaje się mieć symetię względem zesuięć o 6. Różica omiędzy T N6 a T N jest jeda duża w tym sesie 6 ie jest oesem jeda T N leży omiędzy T N59 a T N6. Nastęy oes 8 jest tudiejszy do zaobsewowaia i odowiada subteliejszym efetom taim ja ofiguacje utów w obliżu zecięcia dwóch siusoid tóe owtazają się w zybliżeiu co tzy ółoesy siusoidy. Podobie obliczamy ν 4.7 ν ν 8.34 ν Na wyesie 4.7 widzimy cztey zywe dysete owtazające się z oesem 4. Cały wyes ma oes 6 lecz zyatując się bliżej ewym detalom. obszaom w obliżu zecięć możemy zauważyć ofiguacje owtazające się z oesem 8. Na oiec odeślmy że sełioe są wszystie ówości sugeowae w lemacie 3 tj. µ 6 µ µ 59 ν 4 ν 59 ν 8 µ 4 ν itd. Pzyład schemat LF..5 T T/ i sawdzamy że µ 5.78 µ -.9 µ 7.9 µ µ µ Wyes 4.8 ie sawia ważeia ówie egulaego ja 4.6. Zwóćmy uwagę że µ K są stosuowo duże iewszy µ K miejszy iż. ma ides K 65 a astęy K 3. Bliższa aaliza ujawia odobe cechy a obu wyesach. Zajdujemy odobe do siusoid zywe owtazające się z oesem 65. Odstę między imi wyosi 3 jeda óżica omiędzy T N3 a T N jest duża. Zwóćmy uwagę że oes więc w atyce uty tylo co ósmej siusoidy się owtazają. Ie oesy K 7 38 mogą być wyowadzoe ze 3 i 65. Miaowicie Moża je dostzec a wyesie 4.8. Pzyładowo ajiższe uty T N omiędzy i mają N ; odstęy między imi są dae zez N zauważmy że

61 Aby wyjaśić egulaości wyesu 9 obliczamy ν 5.39 ν -.9 ν 7.93 ν ν ν ν 3.78 oaz ν W tym zyadu stutua wzou jest dość somliowaa oieważ mamy ilu adydatów a oes. Kilu z ich ozwala a jasą iteetację. Łącząc co iąty ut otzymamy ięć siusoidalych zywych z oesem 3. Dystas omiędzy sąsiadującymi siusoidami wyosi 6 co jest badzo blisie oesowi 7. Późiejsze miima wyadają w utach N dlatego N zauważmy że ν jest ówież stosuowo małe. Pzyglądając się utom w obliżu ażdego miimum możemy zauważyć cyliczość z oesem 3. Pzyład 3 schemat Su..5 T W tym zyadu zebieg oscylacji oesu ezetoway a wyesie 4. jest wyjątowo osty ojedycza zywa dyseta. Może być o wyjaśioy zez ba jaicholwie ótich oesów. Najótszy z ich wyaźie widoczy a wyesie 4. wyosi 36. Poówajmy to z watościami µ µ µ Oes 8 jest awet badziej dołady iż 36 µ 8 jest zaczie miejsze od µ 36. Dlatego co ięć bazowych oesów cyliczość zywej się oawia. Wyes 4. słada się z dwóch zeciających się zywych dysetych oesowych z oesem 7 gdyż ν -.8 jest stosuowo małe i ν Istote jest że ν 3.46 jest dużo więsze iż ν. Zauważmy że µ -.55 ówież ie jest zbyt duże ale µ jest tego samego zędu. Cała stutua ma oes 36 ale odobie ja w zyładzie óżica omiędzy A N36 a A N jest całiem duża; A N jest blisie A N35 i A N36 ν 35.7 ν Co więcej mamy całiem dołady oes 8 ν Tę oesowość moża zauważyć obsewując miima lub uty gdzie zywe dysete się zeciają. Podobe uwagi dotyczą wyesu 4.3 gdzie T oaz µ µ µ Wzó zedstawioy a tym wyesie słada się z dziewięciu zywych dysetych i owtaza się cyliczie z oesem blisim 457. Zachowaie oisae a owyższych zyładach jest tyowe. Podobe efety oesowe moża obsewować dla iych dysetyzacji i iych wyboów aametów z wyjątiem badzo małych watości.. gdy systematycze oscylacje stają się oówywale lub miejsze od błędów zaoągleia co sawia że stają się chaotycze. 6

62 4. Numeycze szacowaie amlitudy i oesu Wszystie dysetyzacje aalizowae w tym ozdziale chaateyzują się badzo wysoą stabilością tajetoii. Dzięi temu wielości taie ja śedi oes i śedia amlituda w zyadu uchu oscylacyjego są dobze zdefiiowae dla ażdej dysetyzacji załadając że ozważamy tajetoie wystaczająco oddaloe od seaatysy i ie jest zbyt duże wystaczy zyjąć że Śedia amlituda Względe odchyleia śedich amlitud od teoii zajdują się w tabeli 4. dla. i.5. Zostały oe obliczoe jao óżice omiędzy watościami umeyczymi i amlitudami teoetyczymi wyiającymi z wauów oczątowych uchu. Tabela 4.. Względe odchyleie śediej amlitudy od teoii A A avg 5. LF Su Su GR MOD-GR PROJ SYM- PROJ 5 5E-5 5E-4 E-4-86E-8-87E-8-68E-8-7E-8-89E-8 5E-5 5E-4 999E-5-85E-8-84E-8 -E-8 -E-8-6E-8 3 5E-5 48E-4 99E-5-74E-8-68E-8 458E-8 59E-8-395E-7 5 5E-5 46E-4 979E-5-55E-8-56E-8 69E-8-859E-9-8E-6 8 5E-5 39E-4 947E-5-93E-9-837E-9-46E-7-5E-7-84E-6 53E-5 6E-4 886E-5-385E-9-388E-9-455E-9 8E-9-7E E-5 8E-4 84E-5 7E-9 68E-9 54E- 33E-8-53E E-5 E-4 848E-5 47E-9 396E-9 456E-9 4E-9-49E E- 85E- 558E- -634E-3-687E-3-35E- -36E- -635E-3 55E- 85E- 557E- -63E-3-68E-3-35E- -34E- -634E E- 846E- 556E- -67E-3-659E-3-55E- -76E- -67E E- 834E- 554E- -57E-3-63E-3-44E- -3E- -63E-3 8 8E- 85E- 546E- -458E-3-5E-3 886E-3-554E-3-6E-3 37E- 74E- 53E- -44E-3-69E-3 34E- 95E- -654E E- 65E- 59E- 8E-4 46E-4 93E-3 76E- -9E E- 64E- 546E- E-3 3E-3 556E-3 57E-3-36E- MID Widzimy od azu że w obu zyadach ajlesze wyii dają obydwa schematy gadietowe a ajgosze Su i Su. Względy błąd dysetyzacji LF i metod Suisa atyczie ie zależy od. Doładość metod gadietowych wzasta dla dużych zaówo dla. ja i.5. Pzy małych watościach.. ówież schematy zutowae dają badzo małe odchyleia zędu -8 lub -9 odobe do metod gadietowych zy czym ich doładość zależy od. Pzy ietóych watościach..6 6

63 ich doładość jest badzo duża odczas gdy zy iych..8 wyaźie miejsza. Wyes 4.. T jao fucja dla. T th avg T avg Su i GR dają atyczie te same ezultaty MOD-GR jest badzo blisi teoii. Wyes 4.3. A avg A avg 5 jao fucja dla.8 A th GR daje atyczie te same watości co MOD-GR odobie jest w zyadu dwóch metod zutowaych. 63

64 Schemat imlicit midoit jest oówywaly z metodami gadietowymi jeda tylo zy małych watościach <.. Pzy dużych watościach >.6 dysetyzacje LF obie Suisa i imlicit midoit dają zaczie więsze odchyleia awet cztey zędy wielości zy małych watościach. Dla więszych..5 óżice omiędzy badaymi metodami są zaczie miejsze óżią się ajwyżej o dwa zędy wielości. Regułą ozostaje ajwyższa doładość metod gadietowych. Imlicit midoit doówuje im w doładości dla <. odczas gdy metody zutowae są awie zawsze zaczie gosze z wyjątiem wybaych watości..8. LF i obie metody Suisa mają więsze względe odchyleie od teoii w całym zaesie zmieości. Wato zazaczyć jedaże że awet te duże odchyleia ie zeaczają ilu ocet z wyjątiem sytuacji gdy zbliża się do wówczas dysetyzacje te ie są w staie odtwozyć teoii awet jaościowo. Wyes 4.3 ilustuje zależość śediej amlitudy od dla.8. Metody gadietowe i zwłaszcza dla <.3 metody ojecyje są ajdoładiejsze. 4.. Śedi oes Względe odchyleia od teoii śediego oesu są zedstawioe w tabeli 4.3 dla. i.5. Pzy <.5 wszystie dysetyzacje z wyjątiem modyfiowaego dysetego gadietu mają odobe błędy względe Su jest ajgoszy wśód ich. Modyfioway gadiet jest zaczie leszy dla daje odchyleia miejsze o co ajmiej cztey zędy wielości oówajmy wyesy 4.. i Pzy więszych watościach wszystie dysetyzacje mają zbliżoą doładość z dwoma iteesującymi wyjątami: schematy LF oaz imlicit midoit wydają się osiadać ezoasowe watości zy tóych ich doładość jest zaczie lesza od doładości wszystich iych metod. Wyes 4.5 oazuje ja dołady jest schemat LF zy. dla atyczie wszystich watości. Poazae tam są ówież dwie ie dysetyzacje: imlicit midoit i zmodyfioway dysety gadiet oleje ajlesze zy tej watości zaczie gosze iż LF. Odchyleia ozostałych dysetyzacji są jeszcze więsze. Imlicit midoit osiada aalogiczą ezoasową watość.6. Wato tu odeślić dość zasaujący fat że zutowaie zastosowae do metody LF wływa egatywie a doładość odwzoowaia śediego oesu w zedziale.8 < <.8 zwłaszcza dla więszych watości

65 Tabela 4.3. Względe odchyleie oesu od teoii T. avg T avg LF Su Su GR MOD-GR PROJ SYM- PROJ -67E-5 833E-5 333E-5 333E-5-334E-9-66E-5-66E-5 333E E-5 833E-5 333E-5 333E-5-8E-8-64E-5-65E-5 333E-5-66E-5 83E-5 333E-5 33E-5-834E-8-56E-5-59E-5 33E E-5 88E-5 33E-5 36E-5-75E-7-674E-6 -E-5 34E E-5 79E-5 33E-5 3E-5 -E-6 E-5 7E-6 37E-5 8-8E-5 78E-5 3E-5 79E-5-545E-6 558E-5 36E-5 63E-5-699E-6 67E-5 3E-5 47E-5-863E-6 986E-5 65E-5 E-5-48E-6 65E-5 95E-5 7E-5-7E-5 53E-4 98E-5 6E E-6 537E-5 33E-5 56E-5-77E-5 E-4 46E-4 83E-6 6 E-5 49E-5 35E-5 93E-6-4E-5 35E-4 7E-4-363E E-5 59E-5 577E-5 99E-7-34E-5 48E-4 87E-4-75E E-4 9E-4 3E-4-99E-6-44E-5 499E-4 37E-4-5E E-4 85E-4 873E-4-5E-5-483E-5 59E-4 48E-4-457E-4-3 7E-3 76E-3 79E-3-95E-5-59E-5 54E-4 46E-4-34E E- 96E- 96E- -E-5-556E-5 55E-4 434E-4-4E E-5-558E-5 499E-4 44E-4-3E- -6-8E-5-569E-5 494E-4 443E-4-3E E-5-9E-5 49E-4 446E-4-38E E-4 5E-4 488E-4 448E-4-383E- -9-6E-3 8E-3 486E-4 45E-4-443E E- -45E- -45E- -56E-5-43E-6 8E-4 33E E- -344E- -344E- -59E-5-66E-5 6E-4 35E E- -54E- -54E- -9E-5-644E-5 3E-4 94E E- -43E- -43E- -45E-5-574E-5 94E-4 67E-4-46E- -47E- -47E- -E-5-555E-5 893E-5 76E-4 338E- -668E-3-673E-3-67E-3-96E-5-59E-5 6E-4 69E-4 349E E-4-78E-4-6E-4-4E-5-447E-5-347E-6 57E-4 4E-4-46E-4-74E-4-6E-4-95E-6-46E-5-39E-5 3E-4 66E-5-95E-5-3E-4-3E-4-7E-6-44E-5-7E-5 4E-4 4E E-5-697E-5-634E-5-4E-6-375E-5-8E-4 677E-5 54E E-5-58E-5-48E-5-44E-6-358E-5-8E-4 48E-5 4E E-5-383E-5-37E-5-76E-7-34E-5-43E-4 46E-5 75E-5-34E-5-345E-5-34E-5-7E-7-335E-5-4E-4 953E-6 69E-5 5-6E- 56E- 5E- 4E- -5E-5-986E-3-3E- 4E- 3 -E- 497E- 3E- E- -453E-4-39E-3-754E-3 99E- 5-97E-3 48E- 98E- 93E- -7E-3 E- -69E-3 89E- 8-67E-3 44E- 89E- 73E- -33E-3 443E- 4E- 64E- -43E-3 4E- 83E- 53E- -55E-3 785E- 3E- 38E- -45E-4 358E- 79E- 9E- -774E-3 4E- 555E- 3E- 4 53E-3 3E- 83E- 98E-3-9E- 84E- 94E- 556E-3 6 4E- 374E- 38E- 857E-3-3E- 4E- 4E- -9E E- 37E- 38E- 64E-4-3E- 35E- 9E- -56E E- 86E- 56E- -57E-3-68E- 86E- 36E- -594E E-3-36E- 3E- 33E- -54E- -3-4E- -336E- 59E- 33E- -3E- -4-4E- -353E- 9E- 36E- -448E- -5-5E- -365E- 99E- 3E- -536E- MID 65

66 LF Su Su GR MOD-GR PROJ SYM- PROJ MID -6-6E- -373E- 76E- 39E- -6E E- -38E- 587E- 37E- -649E E- -386E- 446E- 36E- -688E E- -386E- 355E- 34E- -78E E- -7E- -73E- -7E- -385E- -568E- 4E E- -688E- -689E- -67E- -38E- -56E- 35E E- -645E- -646E- -6E- -373E- -553E- 6E E- -587E- -589E- -5E- -365E- -54E- 5E- -5E- -58E- -5E- -4E- -353E- -57E- 96E- -397E- -393E- -396E- -4E- -336E- -436E- 8E- 5-7E- -9E- -9E- -7E-3-83E- -4E- 4E- 9E- -8E- -844E- -88E- -586E-3-69E- -48E- 98E- 46E- -557E- -595E- -577E- -445E-3-55E- -44E- 88E- 7E E- -387E- -377E- -68E-3-37E- -53E- 549E- 64E- 3-96E- -96E- -95E- -57E-3-5E- -55E- 334E- 34E- 5-68E- -3E- -5E- -54E-4-4E- -554E- 43E-3 9E- -59E- -57E- -58E- -8E-4-3E- -39E- -3E- 68E- Wyes 4.4. Zmodyfiowaa metoda dysetego gadietu. Względe odchyleie od oesu teoetyczego jao fucja dla. T th T T avg 3. Gdy zbliża się do wówczas obie metody gadietowe stają się doładiejsze od iych badaych schematów jedyie dla małych metody ojecyje są lesze. Dla badzo blisich tej watości gaiczej doładość wszystich metod gwałtowie się ogasza a schematy LF i obie metody Suisa dają uch otacyjy zamiast oscylacji tabela 4.3. Zachowaie 66

67 dysetyzacji w ajbliższym otoczeiu seaatysy jest dysutowae dalej. W tym miejscu zauważmy jedyie że dla ieco więszych od metoda imlicit midoit ie odtwaza otacji lecz dalej oscyluje wyazując się złym zachowaiem jaościowym. Wyes 4.5. Względe odchyleie od oesu teoetyczego jao fucja dla. T th T T. avg W zyadu uchu otacyjego względe odchyleie śediego oesu od teoii jest odobe dla wszystich badaych dysetyzacji z wyjątiem metody dysetego gadietu tóa jest lesza o jede lub dwa zędy wielości. 4. Iteesujące zyadi szczególe W tym odozdziale zostaą óto omówioe ewe zagadieia tóe wato by było oddać w zyszłości doładiejszej aalizie. Estaolacja Dla wszystich badaych dysetyzacji oczeujemy że limt Tth lim A Ath. 4.7 gdzie T th A th ie zależą od dysetyzacji i są ówe teoetyczej watości wyzaczoej ze wzoów aalityczych wyażoej ozez fucje elitycze; oówajmy wyesy 4. i

68 Poddajmy aalizie ilościowej zyade oazay a wyesie 4. dołady oes T th Fitując wielomia tzeciego stoia w zeczywistości badzo blisi aaboli a utach dostajemy T Su T Su 4.7 T LF Ostatie wyazy estymują zuełie dobze dołady oes. Pzyjmując za jedostę -7 wyzaczoo ich bezwzględe błędy odowiedio jao 9.. i.9. Są oe oówywale z odchyleiami od teoii dla. wyoszącymi odowiedio i -.6. Odchyleia od teoii zy. wyoszące odowiedio i 6.6 są więsze o dwa zędy wielości. Zmodyfiowaa metoda dysetego gadietu z oawą δ bije ozostałe dysetyzacje a głowę: jej odchyleie zy. wyosi tylo.3 w tych samych jedostach. Zachowaie w obliżu seaatysy Seaatysa jest gaicą omiędzy uchem oscylacyjym i otacyjym. Tablica 4.3 ezetuje watości oesu dla uchu w obliżu seaatysy to zaczy dla. Jest to zaes aametów ajtudiejszy dla doładych symulacji umeyczych. Schematy gadietowe i zutowae dają zyzwoite wyii zwłaszcza dla małych i są zaczie lesze od wszystich ozostałych metod. Dla uchu otacyjego w obliżu seaatysy awet metody zutowae stają się miej dołade i tylo schematy gadietowe dają stosuowo dobe wyii ilościowe tablica 4.3. Pozostałe dysetyzacje mogą geeować złe wyii ie tylo ilościowe ale awet jaościowe. Pzyładowo LF i oba schematy Suisa zaczyają symulować uch otacyjy zy ewych < dla dostateczie dużych. dla.99 od.5 a dla od.. W tym samym czasie metoda imlicit midoit geeuje oscylacje dla ewych >. dla. od. a dla. od.5. Dla ewych wauów oczątowych metoda LF geeuje tajetoie chaotycze. Nawet w zyadu dobego zachowaia jaościowego metody te dają badzo duże błędy względe zwłaszcza dla więszych dla.5 i -. schematy LF imlicit midoit i oba Suisa osiągają błędy względe zędu 3% - 7% i więcej. Jeśli wówczas w zyadu ciągłym mamy uch wzdłuż seaatysy to zaczy π dla t. Pzy więszych oczyając od 68

69 . zachowaie to ie jest odtwazae zez żadą z badaych dysetyzacji. Wyes 4.6. dla... Oes ozwiązaia doładego T th śedi oes zmodyfiowaego dysetego gadietu: T Wyes 4.7. dla. błąd zaoągleia

70 Cieawe wyii dają oba schematy gadietowe wyes 4.7. Stadadowy dysety gadiet geeuje oscylacje ale wcześiej wyoał dwie wstecze otacje. Podobie zachowuje się zmodyfioway dysety gadiet a obaz ich uchu zależy od oaz wybou błędu zaoągleia. W ażdym zyadu dla obu schematów gadietowych mamy ewą liczbę wyglądających chaotyczie zesoów omiędzy oscylacjami i otacjami w obu ieuach. Jaościowo taie zachowaie ależy uzać za awidłowe. Odzwieciedla oo fat że sta ówowagi w ucie π jest ietwały. W tym samym czasie dysetyzacje zutowae zuełie dobze jaościowo oisujące uch w obliżu seaatysy geeują stosuowo owoly uch otacyjy odobie ja stadadowa metoda LF i obydwa schematy Suisa. Jedaże dla badzo małych tj..5 metoda zutowaia symetyczego wydaje się geeować właściwe zachowaie jaościowe i jest o wiele lesza iż ie ozatywae schematy umeycze wyes 4.8. Wyes 4.8. dla.5 błąd zaoągleia -8. 7

71 Kozyści wyiające z owej metody dysetyzacji Metoda dysetego gadietu soygowaa wsółczyiiem δ oazała się być badzo wydaja zy umeyczej estymacji oesu dla stosuowo małych amlitud. Zaes tych małych amlitud jest całiem duży sięgający do π/4 co odowiada <.8. Obejmuje zatem ówież zyadi tóe ie mogą być zybliżae dgaiami liiowymi. Nawet dla.8 owa metoda jest ila azy lesza iż ajlesze z ozatywaych schematów a dla miejszych staje się lesza awet o cztey zędy wielości. dla. względe odchyleie iych dysetyzacji jest więsze o czyi zyajmiej.5 4 tabela 4.3. Wyes 4.. oazuje ja dołady jest oes dgań tej metody w oówaiu z oesami iych schematów umeyczych. Podobie wyes 4.4 ezetuje względe odchyleie od teoii dla. i szeoiego zaesu zmieości. Widzimy że awet dla względe odchyleie wyosi tylo -5! Pzy małych watościach odchyleie to osiąga -9 i miej. Metoda ta acuje ówież badzo dobze zy dużych amlitudach jeda dla więszych iż.4 leszy jest zwyły dysety gadiet a dla. i.6 ie do obicia są odowiedio schematy LF i imlicit midoit dla tóych są to amlitudy ezoasowe. W zyadu > oawa δ ma egatywy wływ a doładość dysetyzacji gadietowej ajleszej dla uchu obotowego jeda utzymuje się oa a oziomie ozostałych badaych schematów umeyczych. W blisim otoczeiu seaatysy zmodyfiowaa metoda dysetego gadietu zachowuje się odobie ja zwyły dysety gadiet i dosoale odwzoowuje jaościowe cechy uchu. Co więcej ówież jej wyii ilościowe są badzo dobe tabela 4.3. Wyes 4.6 oówuje zachowaie tej metody ze schematami LF i imlicit midoit dla.. Puty geeowae zez zmodyfiowaą metodę dysetego gadietu atyczie oywają się z ozwiązaiem doładym względy błąd oesu wyosi.59% awie ta dobze ja w zyadu dysetego gadietu względy błąd.5%. Widzimy a im że metoda LF daje dobe zachowaie jaościowe ale z oesem dwuotie miejszym od teoetyczego. Imlicit midoit daje iewłaściwe zachowaie jaościowe: oscylacje zamiast otacji. 7

72 4. Kzywe fazowe Pzedstawimy tu wybae wyesy fazowe uzysae z omocą dysetyzacji LF i metody dysetego gadietu. Oba schematy dają odoby obaz zestzei fazowej z tą óżicą że dysety gadiet działa zasadiczo zy dowolym ędzie oczątowym i ou czasowym zaś LF taci stabilość w obliżu seaatysy i zy więszych. Ilustują to wyesy 4.9 i 4.. Wyes 4.9. Rodzia zywych fazowych dysetyzacji LF w obszaze iestabilości.75 t {.;.5;.9;.3;.6;.9;.;.;.4; 3.; 4.} modulo π dla uchu otacyjego. Wyes 4.. Rodzia zywych fazowych stadadowego dysetego gadietu.75 t {.;.5;.9;.3;.6;.9;.;.;.4; 3.; 4.} modulo π dla uchu otacyjego. 7

73 Chociaż LF jest metodą symletyczą a dysety gadiet ie wyesy 4. i 4. oazują że w obu zyadach obaz zestzei fazowej jest ówie stabily w czasie. Wyes 4.. Rodzia zywych fazowych dysetyzacji LF. t 6 {.;.5;.9;.3;.6;.9;.99; ;.;.4; 3.; 4.} modulo π dla uchu otacyjego. Wyes 4.. Rodzia zywych fazowych stadadowego dysetego gadietu. t 6 {.;.5;.9;.3;.6;.9;.99; ;.;.;.4; 3.; 4.} modulo π dla uchu otacyjego. 73

74 4.3 Wydajość badaych dysetyzacji Jest oczywiste że dysetyzacje gadietowe zutowae i imlicit midoit wymagają więszego aładu acy iż eszta badaych schematów. Dodatowo często moża je ealizować zy omocy óżiących się szybością algoytmów. Pzyładowo jeśli ioytetem jest szybość działaia leiej do ozwiązywaia ówań wyozystać metodę Newtoa. Doświadczeie oazuje jeda że wowadza oa ewie dyf wyiów w dłuższym oesie czasu. Dlatego gdy zależy am a doładości leiej jest wyozystać. woliej działającą metodę bisecji. Pzeowadzoo omiay czasów wyoaia stosowych ocedu dla wszystich omawiaych schematów umeyczych aametyzując je czasem ewolucji uładu i wyozystując w imlemetacjach metodę Newtoa. Wyes 4.3 ozwala oceić względą acochłoość wszystich metod jao fucję dla zyładowej watości. Wyes 4.3. Względe czasy wyoaia badaych dysetyzacji dla. LF. Obie metody Suisa o ówej w zasadzie acochłoości są -3% woliejsze od schematu LF imlicit midoit działa od 5 do azy woliej metody gadietowe i zutowaa stadadowo mają czasy wyoaia od 3 do 6 azy dłuższe a ońcu jest metoda atuala zutowaa symetyczie tóa daje czasy od 5 do awet 35 azy dłuższe zy małych ędościach oczątowych i dużych. Chaateystycza jest zależość szybości działaia wszystich badziej złożoych metod od. 74

75 Gdyby wyoaie ażdego ou twało zawsze tyle samo co z dość dużą doładością zachodzi w zyadu metod dających się wyazić jawie za omocą fomuły matematyczej czasy działaia dysetyzacji t owiy zachowywać się ja fucje ostaci t b a gdzie b. Wówczas b odwotość tej fucji ostaci t może defiiować wydajość a dysetyzacji wyażoą w abitalych jedostach a jej zebieg owiie być zbliżoy do liii ostej. Rzeczywiste zebiegi fucji t - zedstawioo a wyesie 4.4. Wyes 4.4. Poówaie wydajości badaych dysetyzacji dla. LF. Wsółczyii fucji otęgowych ostaci β t α doasowaych do wybaych zywych z wyesu 4.4 zamieszczoe w tabeli 4.4 oazują że w odchyleia wsółczyia β od jedości dla więszości dysetyzacji są iewielie. Dotyczy to zwłaszcza metody LF ale taże Su i Su. Wsółczyi β ajbadziej odbiega od jedości w metodzie zutowaia symetyczego tóa chaateyzuje się ajwięszą złożoością obliczeiową. Czas wyoaia jedego ou w tej metodzie zdecydowaie ie jest stały i zależy zy zadaej doładości od taich globalych aametów ja i ale taże chwilowych watości ołożeia i ędu. 75

76 β Tabela 4.4. Wsółczyii doasowaia fucji otęgowych ostaci t α do zywych wydajości dla wybaych dysetyzacji ; t 3 Dysetyzacja α α β β LF Su MOD-GR PROJ Omówioe omiay wydajości badaych schematów umeyczych wystaczają aby ostawić i odowiedzieć a ytaie czy oszty uzysaia leszego odwzoowaia amlitudy lub oesu dgań zy daej watości ou czasowego zy omocy zaawasowaych metod ie są zbyt wysoie. Być może badziej eoomicze jest zastosowaie dysetyzacji ajostszej i ajszybszej LF z odowiedio małym oiem czasowym? Odowiedź zajdziemy w tabeli 4.5 tóa zawiea oówaie efetywości metody LF szybiej i dobej dla ozsądych aametów wyjściowych z wowadzoą w tym ozdziale metodą zmodyfiowaego dysetego gadietu. Za miaę doładości zyjęto względe odchyleie od oesu teoetyczego. W tzech iewszych olumach są dae dysetyzacji LF: o czasowy odowiadające mu względe odchyleie oesu T / T oaz czas wyoaia odowiediej oceduy. W czteech dalszych olumach mamy względe odchyleie T / T oesu metody ouecyjej zy ou o czasowy > zy tóym metoda ouecyja osiąga doładość metody LF czas acy tej metody t zy owym ou i a ońcu watość ułama t /t im miejszy tym leiej dla metody ouującej. Nietudo sawdzić że dysetyzacja LF w szeoim zaesie ędości oczątowych od 5 do 5 ewetuale bai doładości adabia szybością działaia. Po dodze zytafia się jej ezoasowe o watości leżącej w obliżu. zy tóej dodatowo osiąga ajleszą doładość odwzoowaia oesu. Jeda w obszaze < 5 zmodyfioway dysety gadiet swoją doładością zaczya omesować miejszą szybość działaia. Efet te otęguje się zy malejących zmodyfioway dysety gadiet staje się o oad ząd wielości badziej efetywy iż LF. W obliżu ędości 6 ajbadziej efetywa jest metoda imlicit midoit a dla wyższych ędości oowie LF oaz obie metody Suisa ie dotyczy to obszau w obliżu seaatysy w tóym metody te dają złe wyii. 76

77 Tabela 4.5. Poówaie efetywości czasów wyoaia wybaych schematów umeyczych z efetywością dysetyzacji atualej a zyładzie odchyleń śedich oczątowych oesów od teoii dla małych ędości oczątowych LF MOD-GR T / T t T / T t t /t 67E-5 58E-6 5E E LF MOD-GR T / T t T / T t t /t 66E-5 573E-6 34E E-7 83 LF MOD-GR T / T t T / T t t /t 66E-5 576E-6 9E E E-4 663E-7 58E E E-4 39E-7 38E E LF MOD-GR T / T t T / T t t /t 59E-5 56E-6 745E E E-5 65E-7 47E E E E-7 E E E-4 395E-7 89E E E-4 58E-7 49E E E-3 54E-7 756E E LF MOD-GR T / T t T / T t t /t 45E-5 595E-6 3E E E-5 679E-7 3E E E-4 389E-7 335E-5 473E E-4 3E-7 53E E E-4 53E E E-3 53E E-7 88 Jeśli chodzi o dysetyzacje zutowae to ie są oe w staie zbliżyć się do efetywości iych metod mimo że w obliżu α& 5 dysetyzacja LF zutowaa symetyczie ma ezoasową watość i jest ajdoładiejsza. 77

78 4.4 Numeycze modyfiowaie badaych dysetyzacji Oazuje się że z omocą ażdej z badaych dysetyzacji działającą zy ozsądych wauach oczątowych moża badzo doładie odwzoować zebieg teoetyczy ozez zastosowaie do iej ieco zmieioej watości w i zesalowaia osi czasu z omocą owego ou czasowego w zy omocy ay wsółczyiów w. Za w zyład iech osłuży dysetyzacja Su tóej zebiegi zed i o modyfiacji zaezetowao a wyesach 4.5 i 4.6. Wyes 4.5. Pzebieg dysetyzacji Su.;.3 Wsółczyi w służy do zmodyfiowaia amlitudy dgań atomiast w do zmodyfiowaia ich oesu. Do utwozeia owej zmodyfiowaej dysetyzacji o zaczie więszej od iewowzou doładości działaia otzeba jest zajomość dwóch fucji w i w. Moża je wyzaczyć eseymetalie stablicować dla ozsądych aametów uchu i wyozystywać óźiej osiłując się iteolacją. Wyesy i 4.3 zedstawiają wyzaczoe umeyczie odziy fucji w i w aametyzowae watością dla dysetyzacji Su i zmodyfiowaej metody dysetego gadietu miimalizowao sumę wadatów odchyleń od teoii w zedziale [ 3]. 78

79 Wyes 4.6. Pzebieg zmodyfiowaej dysetyzacji Su w α.798; w.996.;.3. Oczeujemy że w i w gdy iezależie od co obsewujemy a wyesach. Poieważ ogaiczoo się do ozsądych watości aametów i zebiegi w i w ie óżią się od jedości o więcej iż ila ocet. Widać też że oawiaie umeycze dysetyzacji Su chaateyzującej się wyjątowo dużą stabilością acy jest tudiejsze ze względu a badziej złożoą ostać zedstawioych a wyesach 4.9 i 4.3 fucji. 79

80 Wyes 4.7. Pzebiegi fucji w dla metody modyfiowaego dysetego gadietu dla {.;.5;.;.3;.5;.8;.;.;.4;.6;.8;.9} Więsze watości wsółczyia odowiadają więszym. Wyes 4.8. Rodzia zywych w dla metody modyfiowaego dysetego gadietu dla {.;.5;.;.3;.5;.8;.;.;.4;.6;.8;.9}. Więsze watości wsółczyia odowiadają więszym. 8

81 Wyes 4.9. Pzebiegi fucji w dla metody Su dla {.;.5;.;.3;.5;.8;.;.;.4;.6;.8;.9}. Więsze watości wsółczyia odowiadają więszym. Wyes 4.3. Pzebiegi fucji w dla metody Su dla {.;.5;.;.3;.5;.8;.;.;.4;.6;.8;.9}. Więsze watości wsółczyia odowiadają więszym. 8

82 4.5 Podsumowaie Wszystie metody ozatywae w tym ozdziale chaateyzują się badzo wysoą stabilością geeowaego uchu oesowego załadając że ie jest zbyt wielie. Są oe zaczie badziej stabile iż. iesymletycza metoda Rugego-Kutty awet wysoiego zędu. Śedi oes jest atyczie stały w badzo długim zedziale czasu z doładością zyajmiej -7 testowao dla ilu milioów oesów. Oes i amlituda jao fucje czasu wyazują egulae małe oscylacje więsze dla metod ojecyjych. Efet te został wyjaśioy ozez aalizę wymieych zybliżeń z możliwie małymi miaowiami liczb zeczywistych T/ i T/ odozdział 9. Główym celem tego ozdziału było oówaie ilu schematów umeyczych. Poiżej wyliczoo ich ajbadziej istote cechy. Stabilość wszystie ozatywae metody ajsłabsze są tu metody zutowae dają badzo stabile watości oesu i amlitudy metody zutowae dają oesy i amlitudy stabile o uśedieiu jeda z dużymi oscylacjami woół śediej zy więszych watościach wyes 4.5. Doładość oesu Poza ajbliższym otoczeiem seaatysy tabela 4.3: wszystie metody z iewielimi wyjątami mają względe odchyleia tego samego zędu zależe od dla małych zmodyfiowaa metoda dysetego gadietu jest lesza o cztey zędy wielości od iych metod w uchu otacyjym metoda dysetego gadietu jest geealie ajlesza zwłaszcza dla dużych i zewyższając ie metody awet do dwóch zędów wielości. W obliżu seaatysy tabela 4.3: obydwie metody gadietowe dają ajlesze ezultaty obydwie metody zutowae dają dobe wyii dla < ajleszą symulację uchu wzdłuż seaatysy daje metoda zutowaia symetyczego dla badzo małych ; atz wyes 4.8 LF imlicit midoit i obydwie metody Suisa dają złe ezultaty Doładość amlitudy Dla więszych wszystie metody mają doładość tego samego zędu tabela 4.. Metody gadietowe są ieco lesze odczas gdy LF i obie metody Suisa są gosze od iych schematów. 8

83 Dla miejszych możemy odzielić metody a dwie guy: miej dołade LF i obie metody Suisa i doładiejsze schematy gadietowe i zutowae lesze o tzy zędy wielości. Imlicit midoit ależy do iewszej guy zy więszych watościach i do dugiej zy małych. Stadadowa metoda LF choć iecałowala jest zuełie doba w oówaiu z iymi badziej wyszuaymi dysetyzacjami. Jej doładość może zostać oawioa ozez użycie metod ojecyjych tóe wymuszają zachowaie całi eegii. Rzutowaie acuje badzo dobze dla małych watości ou czasowego zy dużych atomiast geeuje zacze flutuacje oesu i amlitudy. W ażdym zyadu zutowaie ozwala uzysać zaczie więszą doładość odwzoowaia śediej amlitudy. Śedi oes jest odoby do watości geeowaych zez stadadowy LF: ieco leszy w zyadu uchu oscylacyjego ale tochę goszy w uchu obotowym. Stwiedzoo zasaujące ezoase dla. dla metody LF i.6 dla metody imlicit midoit. W obliżu tych utów obie metody osiągają wyjątowo dużą doładość odwzoowaia oesu atyczie dla dowolego zaczie leszą iż wszystie ie metody. Iteesujące byłoby wyjaśieie tego efetu. Dysetyzacje zalezioe zez Suisa [5] są badzo stabile lecz geeują stosuowo duże odchyleia w oówaiu z iymi metodami. Jest to zasaujące gdyż ażda z ich jest całowala i symletycza. Pawdoodobie duże odchyleia od ozwiązaia doładego mają chaate systematyczy. Możliwe że uda się je ta zmodyfiować aby oawić ich doładość ie sując stabilości. Metoda dysetego gadietu ależy dla dowolych i do ajdoładiejszych metod. W ozdziale tym zaooowao jej modyfiację tóa oazała się sutecza zwłaszcza dla uchu oscylacyjego. Metoda ta jest wyjątowo efetywa w zyadu małych dgań. Względe błąd oesu otzymay z jej omocą jest o zyajmiej cztey zędy wielości miejszy iż osiągay z omocą iych ozatywaych tu schematów umeyczych. 83

84

85 5 Loalie dołade modyfiacje metody dysetego gadietu w zyadu jedowymiaowym 5. Wowadzeie Metoda dysetego gadietu została wowadzoa a oczątu lat 7-tych ubiegłego wieu w celu umeyczego całowaia ówań uchu uładów N ciał w mechaice lasyczej z możliwością zastosowaia w dyamice moleulaej i mechaice ieba [37 54]. W óźiejszych latach badaia w tym ieuu były otyuowae [ ] ale zaczie więszą oulaość zdobyły ówolegle ozwijae metody symletycze [ ] zwłaszcza że były wśód ich schematy otwate jawe a oza tym dość szybo zalezioo sosoby a zaczą oawę doładości schematów symletyczych bez utaty ich własości geometyczych [5 ]. W ozdziale tym oisay zostaie owy schemat umeyczy tóy azway został loalie doładą metodą dysetego gadietu w sócie: GR-LEX a taże symetycza odwacala w czasie modyfiacja tego schematu GR-SLEX. Główa idea ezetowaego tu odejścia olega a zmodyfiowaiu daego schematu umeyczego zazwyczaj ozez zamiaę ou czasowego a ewą fucję zależącą od i iych zmieych iezależych w celu uzysaia schematu loalie doładego to jest taiego tóy dla ówań zlieayzowaych staje się dysetyzacją doładą [9]. Sawą wieliej wagi jest zachowaie dobych własości wyjściowego schematu umeyczego odczas taiej modyfiacji. W zyadu dysetego gadietu jego loalie dołada modyfiacja ezetowaa w tym ozdziale zachowuje całę eegii. W efecie uzysay został schemat cechujący się wysoą stabilością i badzo dobym zachowaiem jaościowym zy jedoczesym zdecydowaym wzoście doładości. W ozdziale tym ogaiczamy się do zyadu jedowymiaowego: & & 5. gdzie jest otecjałem a oa i im ozaczają odowiedio óżiczowaie o t oaz. W taim zyadu metoda dysetego gadietu eduuje się do ta zwaej zmodyfiowaej metody utu śodowego [54]: 5.

86 zy czym ozacza o czasowy. Moża łatwo sawdzić że owyższy schemat zachowuje eegię całowitą: E cost. 5.3 Wystaczy tylo omożyć zez siebie oba ówaia 5. zamieiając uzedio stoy jedego z ówań. Otzymamy wtedy o jedej stoie óżicę eegii ietyczych a o dugiej óżicę eegii otecjalych. Zmodyfiowaa metoda utu śodowego w atualy sosób ozszeza się a zyade tójwymiaowy i a ułady cząste. Zachowuje oa doładie eegię całowitą oaz ędu i mometu ędu uładu [ ]. W ostatim czasie metoda dysetego gadietu została ozwiięta i ozszezoa w oteście całowaia geometyczego [ ]. W szczególości Quisel ze wsółacowiami sostuowali schematy umeycze zachowujące całi uchu uładów ówań óżiczowych zwyczajych [ ]. Ogólie moża stwiedzić że schematy umeycze zachowujące całi uchu badzo dobze odtwazają jaościowe cechy ówań óżiczowych do symulacji tóych są stosowae jeda ie jest łatwo oawić ich doładość. Pzedstawioe iżej wyii wsazują owe sosoby a istote oawieie doładości metody dysetego gadietu tóa ie jest symletycza bez utaty jej badzo dobych cech jaościowych. 5. Zmodyfioway schemat dysetego gadietu W ozdziale 4 oówao szeeg dysetyzacji ówaia wahadła matematyczego cos ze szczególym acisiem a ich zachowaie w długim oesie czasu. Dysety gadiet zalazł się wśód ajleszych metod zwłaszcza dla dużych eegii uch otacyjy i w obliżu seaatysy. Zaooowaliśmy tam modyfiację schematu 5.. Otóż zy założeiu że ówowaga twała wystęuje w ucie zamieioo a fucję δ δ : ω δ ta 5.4 ω gdzie ω. Modyfiacja ta azwaa MOD-GR stosowaa była do wyzaczaia olejych utów dysetyzacji jej o czasowy ozostał ówy. Uzasadieiem dla tej zmiay była chęć zachowywaia zez dysetyzację awie doładie małych oscylacji woół gdzie wahadło może być tatowae ja oscylato hamoiczy. A w tym zyadu istieje ta zwaa 86

87 dołada dysetyzacja ozdział 3. Zmodyfiowaa metoda dysetego gadietu ozwoliła uzysać doładość o 4 zędy wielości leszą od iych ozważaych schematów w zyadu małych oscylacji i zachowała oówywalą ze stadadowym dysetym gadietem doładość w zyadu iych wauów oczątowych obie metody są zędu dugiego. Schemat MOD-GR ojawił się u as w wyiu czysto fizyczej motywacji wyozystaie oscylatoa hamoiczego [] iezależie od istiejących odejść umeyczych. Aalogiczy lub awet idetyczy wyi moża było osiągąć stosując zyajmiej tzy ie odejścia: iestadadowe schematy óżicowe Micesa [66 67] metody tygoometycze Gautschiego [33 4] oaz itegatoy wyładicze eoetial itegatos [7]. Modyfiacja 5. zyomia odejście Micesa w tóym taże ma miejsce zastęowaie ewą fucją δ jeda wybó fucji δ dooyway jest u as w iy sosób badziej ecyzyjy i miej ituicyjy. Co więcej Mices ozważa wyłączie stałe fucje δ. W iiejszej acy oczyając od tego ozdziału wowadzamy zaczie ogóliejszą lasę fucji douszczając w zasadzie dowolą zależość fucji δ od zmieych i aametów. 5.3 Metoda loalie doładego dysetego gadietu i jej symetycza modyfiacja Główym wyiiem tego ozdziału jest jeszcze ia dużo lesza modyfiacja stadadowego dysetego gadietu [ 4] tóa została azwaa loalie doładym dysetym gadietem GR-LEX: δ δ gdzie δ jest fucją zdefiiowaą wzoami ω δ ta jeżeli > ω 5.5 δ jeżeli 5.6 ω δ tah jeżeli < ω zy czym ozacza o czasowy oaz 87

88 ω. 5.7 Wzoy 5.6 aładają ogaiczeie a o czasowy miaowicie ω < π. Waue te ie jest badzo estycyjy zyładowo dla wahadła matematyczego mamy ω ω i tym samym < T T jest oesem małych dgań względem ołożeia ówowagi. W celu wyowadzeia loalie doładego schematu umeyczego 5.5 użyjemy doładej dysetyzacji lasyczego oscylatoa hamoiczego ze stałą siłą wymuszającą & ξ ω ξ a & ξ 5.8 gdzie ω > i a jest stałą. Rówaie to osiada odobie ja wszystie ułady oisae ówaiami óżiczowymi zwyczajymi [ 8] astęującą dysetyzację doładą [7]: ω ξ cosωξ ξ si a ω ω a ω ξ ξ cosω ta siω ω tóą moża zaisać w ostaci schematu jedooowego ξ siω a ω ξ cosω si ω ω a cosω ξ ω siω siω. ω Dysetyzacja 5. osi azwę doładej gdyż ξ ξ gdzie ξ t t sełiają uład ówań 5.8 w szczególości ξ ξ. Pzyade ω może być otatoway aalogiczie a zyład dla ω < możemy fomalie ołożyć ojawią się wówczas fucje hiebolicze. ω ω i i zamiast fucji tygoometyczych Aby uzysać schemat 5.5 zastąimy we wzoze 5. zez zmieą δ zależą ie tylo od ale ówież od. Postać fucji δ wyzaczymy żądając aby zmodyfioway schemat 5.5 był loalie dołady. Mówiąc o loalej doładości będziemy mieli a myśli że lieayzacja schematu 5.5 woół utu czyli 88

89 δ δ 5. jest zgoda z doładą dysetyzacją zlieayzowaego woół uładu ówań 5. tóy zyjmie ostać d dξ ξ 5. dt dt zy czym ξ i jest ustaloe jest tatowae jao stała. Poówując 5. z 5.8 dostajemy ω a. 5.3 Co więcej mamy też ξ i ξ. Dla ustaleia uwagi ogaiczymy się do zyadu ω >. Wówczas ówaia 5. zyjmują ostać siω a ω si ω ω a cosω siω. ω 5.4 Zatem dołada dysetyzacja 5. daa jest zez 5.4 z ω oaz a zdefiiowaymi ówaiami 5.3. Aby oówać 5. z zeiszmy 5. ja astęuje: δ δ δ δ δ 4 δ δ δ 4 4 Z oówaia ostatich człoów 5.5 z dostajemy bezośedio ω ω δ ta. Stąd wyia że δ 4 ta i łatwo sawdzić że ω wówczas 5.5 staje się idetycze z 5.4. W te sosób otzymujemy iewsze z ówań 5.6. Pozostałe zyadi moża wyowadzić od odstaw w aalogiczy sosób. Wygodiej jeda zauważyć iż tzeci zyade jest osewecją fomalego odstawieia uojoego ω atomiast zyade dugi moża otzymać ozez zejście gaicze. 89

90 Należy odeślić że δ jest fucją atyczie stałą δ O 3 jeda oazuje się że te badzo małe zmiay mają zasaująco sily ozysty wływ a doładość otzymaego schematu umeyczego. Podstawieie δ acuje badzo dobze w zyadu uładu ówań iewszego zędu 5.5. Stosując to odstawieie w ówaiu dysetym dugiego stoia a ówaie 4.5 w ozdziale 4 otzymamy schemat óżicowy tóy jest tylo ieco leszy od tego ze stałą watością δ δ i jest jedocześie zaczie goszy od schematu 5.5. Zazaczmy że ówaie dugiego stoia wyiające ze schematu 5.5 ma ostać δ δ δ δ 5.6 gdzie :. To ówaie zawiea zaówo δ ja i δ - zatem ie może być otzymae z ówaia 4.5 ozez oste odstawieie δ. Jeda dla mamy δ δ - i doieo w tej gaicy ówaia 5.6 i 4.5 stają się idetycze.. Uład ówań 5. jest oczywiście symetyczy odwacaly w czasie ale jego loalie dołada dysetyzacja symetycza ie jest. Zmieiając ieco defiicję ω miaowicie ładąc we wzoach ω 5.7 otzymujemy schemat umeyczy. tóy jest odwacaly w czasie. Nazwiemy go symetyczą modyfiacją loalie doładego dysetego gadietu w sócie GR-SLEX. Wydawałoby się że owiie o być leszy od GR-LEX ale ta ie jest. Eseymety umeycze wsazują a odobą doładość obu tych metod. W zależości od wybou aametów iewielą zewagę osiąga az jeda az duga. 5.4 Rząd ozatywaych metod N Rząd schematu umeyczego jest ówy N jeśli t O zy założeiu że t gdzie t jest ozwiązaie doładym. W aszym zyadu wetoem jest. Uład ówań 5.5 gdzie i są dae a δ δ jest małym aametem w sosób iejawy defiiuje i. Z tego względu stosując wzó a ochodą fucji uwiłaej możemy otzymać jawe wyażeie a i w ostaci odowiediego szeegu Tayloa: 9

91 3 4 5 δ δ δ 3 δ O δ δ δ 3 δ δ O δ Natomiast ozystając z ówań óżiczowych 5. i ich óżiczowych osewecji możemy ozwiąć w szeeg Tayloa t i t : t O t O Ostatim oiem jest odstawieie odowiediego δ δ odowiadającego metodzie tóej ząd badamy a ściślej ozwiięcia tej fucji w szeeg względem do wzou 5.8 i oówaie wyiu z szeegiem 5.9. Metoda dysetego gadietu GR odowiada fucji δ. W taim zyadu 3 4 t O 3 4 t O. 5. Zatem metoda dysetego gadietu jest zędu dugiego dla. Natomiast w zyadu otecjał zależący liiowo od schemat te jest dołady czyli moża owiedzieć że jego ząd jest iesończoy. Iteetacja fizycza doładości tego schematu dla otecjału liiowego wyia z ostych szolych własości uchu ze stałym zysieszeiem. Piewsze z ówań 5. ilustuje zay fat iż ędość śedia w taim uchu jest ówa śediej aytmetyczej ędości oczątowej i ońcowej. Dugie ówaie stwiedza o ostu że zysieszeie śedie a dowolym odciu jest w taim uchu stałe. Szeeg Tayloa dla δ daego wzoami 5.6 wyaża się astęującym wyażeiem taim samym w ażdym z tzech odzyadów: δ O 5. dlatego w zyadu schematu GR-LEX wzoy 5.8 mają astęujące ozwiięcie w szeeg względem aametu : 9

92 Stąd t O t O O. 4 5 O co ozwala stwiedzić że metoda GR-LEX jest tzeciego zędu W zyadu schematu MOD-GR aamet δ zależy tylo od i jest day wzoem 5.4 tóy moża łatwo ozwiąć w szeeg: δ O 5.4 gdzie. W tym zyadu 5.8 zyjmuje ostać: O O co daje w ońcu 3 t 3 t 4 O 4 O Stąd wyia że zmodyfiowaa metoda dysetego gadietu MOD-GR jest zędu dugiego. Na zaończeie ozatzymy schemat GR-SLEX dla tóego ω daa jest wzoem 5.7. W tym zyadu mamy: δ O oaz t O 5 a taże t O 5. Oazuje się zatem że schemat umeyczy GR-SLEX zaday ówaiami i 5.7 jest zędu czwatego. 9

93 5.5 Eseymety umeycze Doładość ezetowaych wyżej schematów umeyczych MOD-GR GR- LEX GR-SLEX została zetestowaa a zyładzie wahadła matematyczego cos oaz a otecjale Mose a α α e e. Nasze owe schematy oówaliśmy ze stadadowym schematem Stömea-eleta oaz z metodą dysetego gadietu. Ruch wahadła matematyczego jest zawsze eiodyczy odobie ja iteesujące z atyczego utu widzeia zyadi uchu w otecjale Mose a dlatego też suiliśmy uwagę a a uchach oesowych badając stałość ich umeyczego oesu. Sosób obliczaia tego oesu został zedstawioy w ozdziale 4. Podobie ja tam załadamy tu dla uoszczeia że zawsze. Doświadczeia umeycze otwiedziły iż metoda dysetego gadietu jest badzo stabila. Tzy modyfiacje tej metody MOD-GR GR-LEX i GR- SLEX taże odziedziczyły o iej tę cechę. Co więcej w obu zyadach zae jest ozwiązaie ścisłe dlatego możliwe było obliczeie względego odchyleia od teoii oesu dgań jai miały badae dysetyzacje. W obliczeiach zyjęliśmy że wszystie stałe wystęujące w ówaiach uchu są ówe jedości m α. Ścisłe ozwiązaie ówaia wahadła matematyczego z wauiem oczątowym dae jest zez si s t t dla < oaz si s dla > gdzie su ozacza jedą z fucji elityczych Jacobiego oówaj a zyład [8]. W zyadu gaiczym mamy si tah t. Jeszcze leszą sytuację mamy w zyadu otecjału Mose a gdzie wszystie ozwiązaia wyażają się zez fucje elemetae. Ruch eiodyczy < oisay jest wzoem t cosωt siωt l ω zy czym dostajemy ω. Gdy > wówczas defiiując ω 93

94 cosωt siωt t l. ω Tajetoia ytycza czyli uch wzdłuż seaatysy zadaa jest zez t l t t Loalie dołady edyto W atyczej imlemetacji schemat 5.5 używay był jao oeto odczas gdy jao edyto służyły astęujące ówaia: si ω ω cos ω ω [ ] sih ω cosh ω ω ω [ [ > ] < ]. 5.8 Aby otzymać zależości 5.8 ależy wyelimiować z uładu 5.5 i ozwiąć wyi w szeeg Tayloa względem - ozostawiając tylo wyazy liiowe. Uład 5.8 jest tego samego tzeciego zędu co 5.5 a oadto obydwa schematy óżicowe są loalie dołade. Tai sosób otzymywaia schematów umeyczych został zaoooway już iladziesiąt lat temu [8] a obecie jest ozwijay od azwą schematy wyładicze [7]. Rówaia 5.8 są badzo dobym edytoem dla małych i ótich czasów w zyadu dłuższych odciów czasowych są iewłaściwe i dają ozwiązaia o złym zachowaiu jaościowym Rozwiązaia iteacyje ówań uwiłaych Schemat umeyczy dysetego gadietu i wszystie jego odmiay dają ozwiązaia w ostaci iejawej. Do ich ozwiązywaia zastosowao dwie metody: utu stałego i Newtoa. W obu zyadach wauiem zaończeia iteacji było osiągięcie doładości a oziomie -6. W ewych utach więcej szczegółów w ozdziale 4 ależących do obszaów gdzie fucja t jest badzo słaszczoa ieozyste waui oczątowe sawiały że osiągala doładość oceduy iteacyjej oówaj ozdział stawała się ieco więsza iż -6. W efecie ojawiały się chaotycze oscylacje ogaiczoe omieiem zbieżości iteacji zędu -5. W taich zyadach 94

95 obliczeia były zatzymywae o wyoaiu iteacji w metodzie utu stałego lub 5 iteacji w metodzie Newtoa. Śedia liczba iteacji zyadająca a jede o dysetyzacji silie zależy od i wyazuje też ewą zależość od ędu oczątowego. Pzy małych.. załadaa doładość jest osiągaa już o oach w metodzie Newtoa i o 5 w metodzie Baacha. Liczba iteacji ośie waz z oiem czasowym i wyosi odowiedio 3 i -3 zy. oaz 3-4 i -4 zy.5 dołada śedia liczba iteacji zależy od. Oazało się że metoda Newtoa otzebuje o. 3.3 aza więcej czasu a jede o iż metoda utu stałego. Z tej zyczyy obie metody acowały w aszym zyadu ze zbliżoą szybością. Pzy małych oach czasowych <. oszt obliczeń dla obu metod był atyczie tai sam i zewyższał 6- azy aalogiczy oszt dla schematu lea-fog. Dla ajmiejszych watości. metoda utu stałego oazywała się ieco szybsza od metody Newtoa a dla ajwięszych.9 dwuotie od iej woliejsza Względe odchyleie od oesu teoetyczego Doładość ezetowaych w tym ozdziale schematów umeyczych jest zasaująco wysoa zwłaszcza dla małych ale ie oieczie badzo małych oów czasowych. Jao zyład zeezetoway zostaie zyade. wyesy 5. i 5.. Wyes 5.. Wahadło matematycze. Względe odchyleie od oesu teoetyczego jao fucja dla.. 95

96 Wyes 5.. Potecjał Mose a. Względe odchyleie od oesu teoetyczego jao fucja dla.. Wstęe oówaie wyesów ozwala stwiedzić duże odobieństwo zebiegu zywych uzysaych dla obszau oscylacyjego wahadła i otecjału Mose a oaz o o. dwa zędy wielości miejszą doładość odwzoowaia oesu zez wowadzoe w tym ozdziale schematy całowaia w zyadu dugiego z badaych otecjałów. Pzy małych oscylacjach. doładość loalie doładego dysetego gadietu jest o 5 zędów wielości w zyadu wahadła i o 4 zędy wielości w zyadu otecjału Mose a więsza iż osiągaa zez zmodyfioway dysety gadiet. Jedocześie schemat te osiąga doładość o 9 wahadło i 7 Mose zędów wielości więszą iż metody lea-fog i zwyły dysety gadiet. Z wyesów 5. i 5. widzimy że loalie dołady dysety gadiet i jego symetycza modyfiacja są zaczie doładiejsze od ażdej z ozatywaych metod zy dowolych wauach oczątowych zauważmy że sala a osi ioowej jest logaytmicza. W zyadu uchu otacyjego wahadła metody zaooowae w tym ozdziale są lesze od ozostałych uwzględioych w oówaiach o ooło 4 zędy wielości. Symetycza modyfiacja loalie doładego dysetego gadietu góuje ad wszystimi ozostałymi metodami w obszaze dużych eegii > w zyadu wahadła. 96

97 Wyes 5.3. Wahadło matematycze. Względe odchyleie od oesu teoetyczego jao fucja dla.99 oes teoetyczy T th Wyes 5.4. Potecjał Mose a. Względe odchyleie od oesu teoetyczego jao fucja dla.99 oes teoetyczy T th

98 Na wyesach 5.3 i 5.4 zaezetowao zależość względego odchyleia oesu badaych schematów umeyczych od teoii dla dużych dgań.99 dla wahadła i.99 dla otecjału Mose a. Loalie dołady dysety gadiet jest oowie ajleszy. Obsewujemy też ieco miejszą doładość jego symetyczej modyfiacji chociaż w zyadu otecjału Mose a zy dużych sytuacja się odwaca. Stadadowy dysety gadiet od względem doładości ozostaje daleo w tyle i jedyie w zyadu dużych oów czasowych zbliża się do dwóch ezetowaych w tym ozdziale metod. Odotujmy też ogaiczoą stosowalość schematu lea-fog tóy zy stosuowo małych watościach zestaje awet jaościowo odtwazać oscylacje. Bioąc od uwagę oszt obliczeiowy metod tóy w atyce eduuje się do wybieaia miejszego ou czasowego dla schematu lea-fog stwiedzamy że o soygowaiu metoda ta daje odobe ezultaty ja zwyły dysety gadiet jeda dwie wowadzoe w tym ozdziale metody są adal zaczie lesze. Tylo w ewych szczególych wauach. ezoasowa watość. dla wahadła ozdział 4 soygoway schemat lea-fog może być z imi oówywaly Blisie otoczeie seaatysy i tajetoii ytyczej Najtudiejszym obszaem do symulacji umeyczej jest sąsiedztwo seaatysy wyes 5.5 dla wahadła i tajetoii ytyczej wyes 5.6 dla otecjału Mose a. Obydwa wyesy oazują że stadadowy dysety gadiet stosuowo dobze zachowuje się w tym obszaze ozdział 4 co szczególie dobze jest widocze a wyesie dla otecjału Mose a gdzie ie zbliża się ta badzo do tajetoii ytyczej ja w zyadu wahadła. Loalie dołady dysety gadiet waz z symetyczą modyfiacją dają atyczie taie same wyii a wyesie 5.6 dodatowo oywające się awie z dysetym gadietem. Podeślmy że chociaż w zyadu wahadła tajetoia jest badzo blisa seaatysie i jest badzo duży to ezetowae tu metody symulują badzo doładie jego uch. Puty dysete leżą atyczie a zywej ciągłej eezetującej ozwiązaie dołade. Pozostałe dwie metody gadietowe ówież dają dobe wyii zyajmiej jaościowo odczas gdy schemat lea-fog a wyesie 5.5 zuełie ie odtwaza teoii a a wyesie 5.6 badzo się z ią ozmija. 98

99 Wyes 5.5. Wahadło matematycze. jao fucja badzo bliso seaatysy dla schematów gadietowych i. dla schematu lea-fog. oes teoetyczy T th Liia ciągła odowiada ozwiązaiu teoetyczemu. Wyes 5.6. Potecjał Mose a. jao fucja badzo bliso tajetoii ytyczej dla schematów gadietowych i. dla schematu lea-fog oes teoetyczy T th Liia ciągła odowiada ozwiązaiu teoetyczemu. 99

100 Koszt obliczeiowy ezetowaych tu owych iejawych schematów gadietowych jest więszy od osztu schematów jawych. Szacuowo w zyadu daych z wyesów 5.5 i 5.6 oszt jedego ou dysetyzacji dla metod gadietowych iteacja Newtoa jest o. 3 azy więszy iż dla schematu lea-fog w iteacji metodą utu stałego te wsółczyi jest blisi 9. Oazuje się jeda że dla omawiaych tu wauów oczątowych uchu schemat lea-fog ie może być istotie oawioy awet ozez zdecydowae zmiejszeie ou czasowego. Zwóćmy uwagę że a wyesie 5.5 i 5.6 o czasowy metody lea-fog jest odowiedio 9 i 9 azy miejszy iż w zyadu ozostałych metod co sawia że jej oszt obliczeiowy staje się badzo wysoi w oówaiu ze schematem dysetego gadietu oaz jego modyfiacjami. 5.6 Podsumowaie Zaooowae w tym ozdziale schematy umeycze GR-LEX i GR- SLEX zadae wzoami 5.5 i 5.6 loalie dołady dysety gadiet i jego symetycza modyfiacja odowiadające odowiedio ówaiom 5.7 i 5.7 wyazały się wieloma zaletami: i doładym zachowaiem całi eegii ówaie 5.3 ii wyższym zędem odowiedio tzecim i czwatym w oówaiu z metodą dysetego gadietu ząd dugi iii wysoą stabilością i doładością iv badzo dobym zachowaiem jaosciowym ozwiązaia umeyczego w długim oesie czasu. Zatem modyfiacje te w istoty sosób oawiają metodę dysetego gadietu zachowując zy tym wszystie zalety tej metody. W acy tej ozatujemy doładie tylo zyade jedowymiaowy. Pzyade wielowymiaowy wychodzi oza zaes acy ale aalogicze algoytmy loalie dołade istieją i w tym zyadu [9]. Podeślmy jeda że schematy GR-LEX i GR-SLEX odobie ja wszystie metody gadietowe ie są symletycze ai też ie zachowują objętości zestzei fazowej. Co więcej metoda GR-LEX ie jest odwacala w czasie. Symetycza odwacala w czasie metoda GR-SLEX mimo iż ma wyższy ząd czwaty ie wyazuje się więszą ecyzją iż metoda GR-LEX w uchu oscylacyjym jest zwyle awet miej dołada. Może to sugeować że loala doładość ma istote zalety i wato ją stosować awet osztem złamaia symetii schematu umeyczego. Niewątliwie westia ta zasługuje a dalsze badaia.

101 6 Dysetyzacje ówań Loti-oltey zachowujące tajetoie 6. Wowadzeie W ozdziale tym będzie ozważay ajostszy wymiaowy model Loti- oltey zaday ówaiami & A By 6. y& Cy Dy gdzie t R y yt R atomiast A B C D są stałymi. W latach - tych ubiegłego wieu Alfed Lota zastosował te model do oisu iwazji asożytów a ito oltea ziteetował zy jego omocy dae o staie zaybieia Moza Adiatyciego [4]. Model te jao stosuowo osty uład ieliiowy dość często ojawia się w biologii i eologii. do oisu wsółistieia dwóch gatuów: daieżiów i ich ofia a taże fizyce i chemii. zy oisie zebiegu czasowego eacji chemiczych. Wiele badań [ ] oświęcoo symletyczym dysetyzacjom ówań Loti-oltey tóe dają awidłowe jaościowe zachowaie ozwiązań. Zaczie miej uwagi oświęcoo schematom umeyczym zachowującym eegię. Schemat tego tyu iy od dysetyzacji zedstawioych w iiejszej acy moża zaleźć w moogafii []. Celem tego ozdziału jest oazaie a zyładzie modelu 6. zewagi jaą mają odowiedio zmodyfiowae ale zachowujące eegię metody dysetego gadietu ad schematami symletyczymi. Pzedstawioe zostaą dysetyzacje tóe ie tylo zachowują doładie z doładością do błędów umeyczych wszystie tajetoie ale odtwazają też z badzo dużą doładością ewolucję czasową uładu. 6. Metoda dysetego gadietu Uład 6. osiada iezmiei całę eegii day wzoem H y Al y By C l D 6. i moża go zaisać w tzw. ieaoiczej ostaci hamiltoowsiej zwaej też uładem Poissoa: d dt y y y H y 6.3

102 gdzie T y H H y H a maciez ozedzająca gadiet hamiltoiau azywa się maciezą Poissoa atz. [ 4]. Bezośedim achuiem moża sawdzić że uład 6.3 jest idetyczy z 6.. Maciez Poissoa musi być atysymetycza oaz sełiać dodatowe waui wyiające z tożsamości Jacobiego dla awiasu Poissoa. Wato jeda zazaczyć że metoda dysetego gadietu [65 66] ie wymaga założeia hamiltoowsości i sełieia tych dodatowych wauów. Wystaczy aby maciez stojąca w miejscu maciezy Poissoa była atysymetycza. W zyadu y T y H stadadowa metoda dysetego gadietu owadzi do ówań. y y y y y y T y T y 6.4 Podstawiając By y A y T l i D C l odowiadające ówaiom Loti-oltey otzymujemy. l l C D y y y y y y y A B y 6.5 Eseymety umeycze zostały zeowadzoe dla uładu y y y & & 6.6 czyli A - B C D - tóy był stadadowym zyładem ozważaym w moogafii [4]. W tym zyadu: y y y H l l. 6.7

103 3 6.3 Schematy umeycze zachowujące tajetoie Rozważmy astęującą lasę schematów umeyczych y y y y y y T y T y δ δ 6.8 gdzie δ jest dowolą fucją od y y sełiającą waue lim δ y y 6.9 tóy gwaatuje że schemat te jest zgody. Twiedzeie. Dowola dysetyzacja ależąca do lasy 6.8 zachowuje doładie z doładością do błędów zaoągleń wszystie tajetoie uładu ówań 6.. Dowód: Po odwóceiu olejości w jedym z ówań możymy oba ówaia 6.8 stoami. W wyiu otzymujemy że H y cost czyli eegia uładu jest ściśle zachowaa. W zyadu jedowymiaowym oziomica eegii czyli zywa H y cost jest toem uchu. Zatem uty dysete ależą do tego tou uchu o ile tylo ależy do iego ut oczątowy. Twiedzeie to może być łatwo uogólioe a dowoly uład jedowymiaowy douszczający sfomułowaie w ostaci Poissoa. Dowód jest idetyczy. Schemat dysetego gadietu i jego δ-modyfiacje ściśle zachowują wszystie tajetoie w zestzei fazowej. Twiedzeie. Niech y H y f y f y dt d 6. gdzie T y H H y H. Wówczas schemat umeyczy H y f y y y y H y f δ δ 6. gdzie

104 H H H y H y 6. zachowuje doładie wszystie tajetoie w zestzei y uładu 6.. I w tym zyadu δ może zależeć w dowoly sosób od y y ówież ozez fucję f jeśli to oiecze o ile tylo sełia waue 6.4. W zyadu ozważaego zez as hamiltoiau seaowalego H y T y dysetyzacja 6. sowadza się do y δ y δ f f y y T y y T y y. 6.3 Wstęe testy oazały że własości umeycze schematu 6.5 ie są zbyt dobe. Kluczem do sucesu oazuje się zamiaa zmieych owadząca do ówoważego uładu cechującego się zaczie leszymi własościami umeyczymi. Podstawiamy e y e q tasfomując w te sosób 6. do ostaci q& A Be & C De q. 6.4 Jest to aoiczy uład hamiltoowsi gdyż H q& H & q gdzie H q q A Be Cq De. 6.5 A C Jeśli < i < wówczas uład 6.4 ma ut ówowagi dla B D A C l q l. 6.6 B D Zauważmy że H q T q gdzie T A q i q Cq De. Schemat dysetego gadietu zaday jest teaz ówaiami. q q T q q T q q Be 6.7 a o odstawieiu T A Be i q q Cq De otzymujemy: 4

105 5. q q q q e e D C e e B A q q Metoda loalie doładego dysetego gadietu Loalie dołade schematy umeycze dla ówań Loti-oltey otzymujemy ta samo ja w ozdziale 5. Dla ówań 6. wyiiem jest schemat umeyczy ostaci y f y y y y y y T y T y f y δ δ 6.9 gdzie ta y T ω ω ω δ 6. a oetie dla ówań 6.5 y AC ω. 6. Podobie ja w ozdziale 5 mamy dwa atuale sosoby wybou i y. Piewszy to y y owadzący do schematu GR-LEX zaś dugi jest jego symetyczą modyfiacją y y y dającą w wyiu schemat GR-SLEX. W zmieych q i tóe oazały się być badziej odowiedie do zastosowań umeyczych lasa loalie doładych schematów dysetego gadietu ma ostać q q q q e e D C e e B A q q δ δ 6. gdzie ta q T ω ω ω δ. 6.3

106 Kładąc q q i dostajemy schemat GR-LEX gdzie e q ω BD 6.4 zyjmując z olei symetycza modyfiacja czyli GR-SLEX q q q i otzymujemy q q ω BD e Eseymet umeyczy W doświadczeiu zyjęto A - B C D - i badao tajetoie taiego uładu oaz zebiegi czasowe oesy dgań wyozystując ówaia 6.7 i 6.. Wszystie testowae dysetyzacje a mocy twiedzeń z ozdziału 6.3 ściśle zachowują dołade tajetoie. Ich zyładowy obaz umieszczoo a wyesie 6.. Wyes 6.. Tyowe dołade tajetoie w badaym modelu Loti-oltey metoda dysetego gadietu 3. y {.; 3.; 3.5; 4.5; 5.}.. 6

107 Zajomość doładego ształtu zywych y ie daje ifomacji o ewolucji czasowej uładu t i yt. Moża z góy założyć że metoda dysetego gadietu odtwaza dobze zachowaie uładu tylo jaościowo. Wyes 6.. Tyowy obaz oscylacji czasowych w badaym modelu Loti-oltey metoda dysetego gadietu 3.5 y... Koleje tzy wyesy oazują doładość działaia metody dysetego gadietu loalie doładego dysetego gadietu i jego symetyczej modyfiacji a zyładzie śediego oesu dgań. Wyes 6.3. Śedi oes dgań modelu w fucji. Romby dysety gadiet; wadaty loalie dołady dysety gadiet; tójąty jego symetycza modyfiacja; 3. y.5. 7

108 Wyes 6.4. Śedi oes dgań modelu w fucji. Kwadaty loalie dołady dysety gadiet; tójąty jego symetycza modyfiacja; 3. y.5. Wyes 6.5. Śedi oes dgań modelu w fucji. Kwadaty loalie dołady dysety gadiet; tójąty jego symetycza modyfiacja; 3. y.5. Wyesy 6.3 do 6.5 oazują dobe asymtotycze zachowaie badaych dysetyzacji i jedocześie ogomą zewagę w doładości odtwazaia zebiegu czasowego wyazywaą zez zmodyfiowae wesje dysetego gadietu. Stadadowy dysety gadiet zbiega waz ze zmiejszaiem do tej samej watości oesu dgań jeda zaczie woliej tabela 6.. 8

109 Tabela 6.. Śedi oes dgań badaych dysetyzacji w gaicy małych 3. y.5. gad gzd gzds Na odstawie daych z tabeli 6. możemy zyjąć że zamy oes dgań uładu z doładością a oziomie -3. Posługując się tą watością w zastęstwie oesu fatyczego tóy jest iezay wyzaczoo względe odchyleia od oesu teoetyczego w owyższym sesie. Pzyładowe wyii zajdziemy a wyesie 6.6. Wyes 6.6. Względe odchyleie oesu badaych dysetyzacji od teoii jao fucja. Romby dysety gadiet; wadaty loalie dołady dysety gadiet; tójąty jego symetycza modyfiacja; 3. y.. Loalie dołada modyfiacja metody dysetego gadietu zewyższa ją o 6-7 zędów wielości zy małych watościach i o zędy wielości zy dużych. Sytuacja jest odoba dla iych wauów oczątowych. 9

110 6.6 Podsumowaie W ozdziale tym zajęliśmy się -wymiaowym modelem Loti-oltey a tóym zetestowao 3 dysetyzacje: stadadową metodę dysetego gadietu oaz dwie owe metody wowadzoe w ozdziale 5 schemat loalie doładego dysetego gadietu i jego symetyczą modyfiację. Wszystie zedstawioe itegatoy zachowują tajetoie ówań Loti- oltey w zestzei fazowej a obie metody loalie dołade GR-LEX i GR-SLEX ozwalają a badzo dołade obliczaie ewolucji czasowej. Stwiedzoo że dla celów eseymetalych ozysta jest zamiaa zmieych oeśloa wzoami 6.4 tóa zdecydowaie oawia stabilość ozwiązań umeyczych. Testy ozwoliły a badzo dołade wyeśleie zależości czasowych oaz tyowych tajetoii uładu w zestzei fazowej. Oazało się że schematy loalie dołade ozwalają bez tudu wyzaczać oes oscylacji z doładością -3.

111 7 Algoytmy dysetego gadietu wyższych zędów dla jedowymiaowych uładów hamiltoowsich W ozdziale tym zostaą wowadzoe metody dysetego gadietu wyższych zędów. Schematy dysetego gadietu są użytecze w całowaiu umeyczym dyamiczych uładów wielu ciał [35] [4] [49] [54] [98]. Zachowują doładie zaówo całowitą eegię ja i momet ędu. Ostatio metody dysetego gadietu zostały ozwiięte w oteście umeyczego całowaia geometyczego [64]. Quisel ze wsółacowiami sostuowali itegatoy zachowujące wszystie całi uchu dowolego uładu ówań óżiczowych zwyczajych [65] [66] [85] [87]. Podobe idee zostały wyozystae w dziedziie dyamii moleulaej i cieczy siowych. Ogólie geometycze itegatoy umeycze badzo dobze zachowują jaościowe cechy symulowaych ówań óżiczowych lecz ie jest łatwo zwięszyć ich doładość ie tacąc własości geometyczych. Algoytmy symletycze mogą być oawiae ozez odowiedie metody odziału [9] [3] [63] [78] [79] [6] [3] oazuje się że metodę dysetego gadietu iesymletyczą ówież moża oawić ie tacąc jej ceych własości jaościowych ozdział 5. W tym miejscu zajmiemy się dalszym istotym uleszeiem omawiaej metody ozez sostuowaie schematów dysetego gadietu dowolego zędu N dla jedowymiaowego uładu Hamiltoowsiego w ostaci & & 7. gdzie jest otecjałem a oa i im ozaczają odowiedio óżiczowaie o t oaz. W taim zyadu metoda dysetego gadietu eduuje się do ta zwaej zmodyfiowaej metody utu śodowego: h h 7. zy czym h ozacza o czasowy. Zmodyfiowaa metoda utu śodowego została w sosób atualy ozszezoa do zyadu tzech wymiaów i uładów cząste doładie zachowując całowitą eegię ęd i momet ędu uładu [54].

112 7. Schematy dysetego gadietu N-tego zędu Rozatujemy astęującą odzię iestadadowych schematów umeyczych aametyzowaych zez fucję δ: δ δ 7.3 zy czym δ może zależeć od dowolych zmieych i aametów włączając w to h. Moża łatwo sawdzić że ażdy schemat z tej odziy zachowuje eegię całowitą: E cost. 7.4 W ozdziale 5 ozatywaa była δ w ostaci hω δ ta ω 7.5 ω gdzie mogło zależeć od ale zwyle ie zależało od h. Bioąc zy dostajemy zmodyfiowaą metodę dysetego gadietu MOD-GR. Kładąc i dostajemy schemat loalie doładego loalego gadietu GR-LEX i jego symetyczą modyfiację GR-SLEX ozdział 5. Te tzy schematy umeycze są odowiedio zędu dugiego tzeciego i czwatego. Poażemy że odzia itegatoów umeyczych 7.3 zawiea w sobie schematy umeycze dowolego zędu. Ich jawe ostacie zostaą odae do zędu włączie. Uład ówań 7.3 gdzie są dae a δ δ jest małym aametem w sosób ośedi defiiuje i. Dlatego też stosując óżiczowaie iejawe możemy zaisać odowiedie ozwiięcia w szeeg Tayloa: 3 δ δ δ δ δ 3 δ δ 5 O δ. 4 δ 5 O δ 7.6 Założymy teaz że i są zgode z ozwiązaiem doładym aż do wyazów zędu N to zaczy że ich ozwiięcia w szeeg Tayloa mają co

113 ajmiej N iewszych wyazów idetyczych ja w szeegu Tayloa 7.. Obliczymy iewszych N sładiów ozwiięcia Tayloa fucji δ używając iewszego z ówań 7.3 tj. δ. 7.7 Wielomia wyiowy N-tego stoia ozaczymy zez δ N a jego wsółczyii zez a : N δ δ h a h h a h 7.8 N N gdzie a h a oaz a dla 3 są wielomiaami ze względu a ze wsółczyiami zależymi od ozez ochode. Ozaczając zez a z idesem dolym óżiczowaie względem i używając sótów tyu 4 zedstawimy ewą liczbę wsółczyiów a w ostaci jawej: a 3 a N 3 a a a 7 a7 a7 a a a a a a8 a83 a a9 a9 a94 a a a3 a5 a a a a4 a a zy czym wsółczyii a j a jm zależą od ozez ochode astęująco: a a a a a a

114 a a a a a a a a a a a a a Schemat umeyczy 7.3 gdzie δ δ N jest zdefiiowaa zez 7.8 będzie ozaczay zez GR-N. Metoda GR-N jest co ajmiej zędu N. Wato zauważyć że metody GR- i GR- są zgode ze stadadowym dysetym gadietem GR daym zez 7. w szczególości GR- jest zędu. Poadto jeśli otecjał jest liiowy względem wówczas dowola metoda GR-N jest dołada jej ząd staje się iesończoy. 7. Stadadowe metody N-tego zędu Wyowadzimy teaz jawe schematy umeycze dowolego zędu osługując się ozwiięciem w szeeg Tayloa t h i t h: N N h d t h d t t h t h 7.9! dt! dt 4

115 gdzie wszystie ochode mogą być zastąioe fucjami ozez zastosowaie ówaia 7. i jego ochodych. & &. Dostajemy wówczas 3 t h h h h h t h h h h h 4 O h 5. 4 O h Dlatego też ozwiięcie Tayloa może być zedstawioe w fomie 5 7. h h t h b t h c 7.!! d gdzie b dt d c dt a ochode te obliczamy stosując 7.. Na zyład b b & i b & &. Ogólie b Z olei d dt b & & imliuje b b b b &. 7. d c. b b 7.3 dt Wsółczyii b obliczoe euecyjie z 7. mają ostać b b b b b b b b b b

116 b b Zatem dla dowolego N otzymaliśmy astęujący zaday w sosób jawy schemat umeyczy ozaczay zez TAY-N schemat Tayloa N-tego zędu: N N h h b c 7.9!! gdzie b i c są zdefiiowae zez oaz w szczególych zyadach zez i 7.8. Jawe itegatoy TAY-N zostaą użyte do oówań z metodami dysetego gadietu wyższych zędów. Co więcej są oe dobymi adydatami a edytoy gdy metody gadietowe 7.3 są używae w chaateze oetoów. 7.3 Eseymety umeycze W ozedich ozdziałach tej acy oówaliśmy szeeg dysetyzacji a zyładzie otecjału wahadła matematyczego cos oaz α α otecjału Mose a e e. Najlesze oazały się schematy loalie doładego dysetego gadietu GR-LEX i GR-SLEX. W ietóych testach ich doładość zewyższała o wiele zędów wielości osiągaą zez schematy stadadowe taie ja lea-fog metodę iejawego utu śodowego imlicit midoit czy też zwyły dysety gadiet GR. 6

117 Poówamy teaz schemat GR-LEX GR-SLEX daje badzo zbliżoe ezultaty z algoytmami wyższych zędów wowadzoych w tym ozdziale tj. GR-N oaz TAY-N wyozystując te same otecjały w obu zyadach zae są ozwiązaia dołade. Dla uoszczeia zawsze załadamy ołożeie oczątowe w ucie ówowagi twałej. Szczegóły techicze obliczaia oesu zostały wyjaśioe w ozdziale 4.8 a szczegóły ocedu iteacyjych w ozdziale.3. Wato zazaczyć że δ N zadaa zez 7.8 zależy od lecz ie zależy od co ozacza że aamet te jest obliczay tylo az w ażdym ou Błąd globaly Wyesy 7. i 7. oazują zależość błędu globalego ozwiązaia umeyczego w zależości od ou czasowego liczoego o uływie T th. Schemat GR-3 daje atyczie taie same wyii ja GR-LEX. Są oe lesze od stadadowej metody GR o ila zędów wielości zwłaszcza dla miejszych h. Widzimy też że GR-N dla N 5 są doładiejsze od GR-LEX o ila zędów wielości i zachowują ecyzję działaia ówież w zyadu dużych watości ou czasowego. Dodatowo dla małych oów czasowych h. doładość GR-7 i GR- atyczie ie zależy od ich watości a awet ieco maleje. Wyes 7.. Błąd globaly o uływie t T th jao fucja ou czasowego h dla wahadła matematyczego.8 T th

118 Wyes 7.. Błąd globaly o uływie t T th jao fucja ou czasowego h dla otecjału Mose a.8 T th Schemat TAY- doówuje doładością algoytmom GR-7 i GR- zy małych watościach h. Pzedział jego ouecyjości ośie waz z zesuwaiem się do obszau dgań blisich hamoiczym zmiejszaiem. Wyes 7.3. Błąd eegii jao fucja czasu t Nh h.5 dla wahadła matematyczego.8 E e.6. 8

119 Teoetyczie wszystie schematy gadietowe 7.3 doładie zachowują eegię jeda błędy umeycze wowadzają w sosób ieuiioy iewielie ale aastające odchyleie od watości teoetyczej wyes 7.3. Pzyost te jest z gubsza liiowy i osiąga E - dla t Stabilość oscylacji i błąd względy oesu Wszystie schematy gadietowe mają stały oes dgań w badzo długim oesie czasu. Stabilość oesu stadadowej metody dysetego gadietu była testowaa szczegółowo w ozdziale 4.8. Wyii tam zedstawioe odoszą się ówież do ozostałych metod ależących do tej odziy. Na wyesie 7.4 oówao śedie oesy ściśle T avg N oówaj ozdział 4.8 ozwiązań umeyczych otzymaych zy omocy GR-7 i TAY-. Dla czasów tóe ie są badzo duże w obydwu zyadach śedi oes oscyluje woół watości teoetyczej T th. Jeda doładość schematu TAY- owoli ale systematyczie maleje odczas gdy schemat gadietowy oscyluje w te sam sosób zez badzo długi czas milioy oesów oówaj wyes 7.5. Wyes 7.4. Śedi oes jao fucja czasu N jest liczbą ółoesów dla wahadła matematyczego.8 T th Czae uty GR-7 jase uty TAY- ozioma liia oes teoetyczy. 9

120 Wyes 7.5. Śedi oes jao fucja czasu N jest liczbą ółoesów dla wahadła matematyczego.8 h.5 T th schemat GR-. Liia ozioma oes teoetyczy. Wyesy 7.6 i 7.7 zedstawiają względy błąd oesu doładiej wielości T avg odobie ja w ozdziałach 4.8 i 5.5. W zaysie chodzi o ewie odzaj uśediaia dotyczący iewszych oesów i oówaie wyiu z oesem doładym T th. Wyes 7.6. Względy błąd oesu wahadła matematyczego jao fucja h dla.95 T th

121 Wyes 7.6 ezetuje zależość względego błędu oesu od ou czasowego h. Widać że GR-7 daje świete wyii zewyższając swą doładością o 3-4 zędy wielości metodę GR-LEX. Doładości GR- i TAY- są dla.95 i h <.3 zasadiczo taie same jeda ecyzja działaia dugiej z ich sada wyaźie waz ze wzostem h. Wyes 7.7. Względy błąd oesu wahadła matematyczego jao fucja dla h. T th Zwięszaie zędu GR-N zy małych watościach h wyes 7.7 zwięsza doładość tylo do ewego mometu. Widzimy że GR-7 daje atyczie taie same wyii ja GR- i TAY- tj. -3 dla oscylacji i - w zyadu uchu otacyjego. Wyjątiem jest wąsi obsza gdzie doładość jest miejsza dla ażdego schematu umeyczego. Pzy < oscylacje GR-7 zewyższa doładością GR o 7-9 zędów wielości. GR-LEX i TAY-5 ówież osiągają oówywalą doładość lecz tylo dla małych watości. Pzy > schemat GR-LEX daje taie same wyii ja GR-3 tóe są w zybliżeiu o ząd wielości gosze od uzysiwaych zez TAY-5 i o dwa zędy od GR-7 GR- i TAY- tóe a wyesie 7.7 w wielu utach się oywają. Należy amiętać że waz z uływem czasu błędy geeowae zez schematy TAY-N będą systematyczie osły co ie dotyczy w atyce wyesy schematów gadietowych.

122 7.3.3 Sąsiedztwo seaatysy Najtudiejsze do umeyczej symulacji jest sąsiedztwo seaatysy dla wahadła matematyczego. Stadadowa metoda dysetego gadietu oazuje się stosuowo doba w tym egioie ozdział 4. a schematy loalie dołade ozdział 5.5 acują iemal efecyjie. W tym miejscu wybao do oówań ówież GR-3 GR-7 GR- oaz TAY-5 i TAY-. Schematy tayloowsie oazały się ajgosze: TAY- ie jest w staie odtwozyć awet zachowaia jaościowego wyes 7.8. Zwyła dysetyzacja gadietowa GR daje dobe zachowaie jaościowe i jest zdecydowaie doładiejsza od TAY- acującego z oiem o ołowę miejszym. Widzimy że w iewszym oesie GR-3 GR-7 i GR-LEX dają odobe wyii. Podeślmy że ozwiązaie dołade jest badzo blisie seaatysy i o czasowy jest badzo duży mimo to wszystie uleszoe schematy gadietowe symulują badzo doładie uch wahadła. Wyes 7.8. jao fucja czasu t h badzo bliso seaatysy h.9 dla TAY-5 h.45 dla TAY- h.9 dla ozostałych dysetyzacji. Liia ciągła odowiada ozwiązaiu dołademu T th Wyes 7.9 oazuje tę samą sytuację o uływie zaczie dłuższego czasu t >. Zwóćmy uwagę że o czasowy dla TAY- h.9 jest dużo miejszy iż o z jaim acują ozostałe dysetyzacje h.9.

123 Mimo to TAY- jest tylo miimalie lesza od GR-7 i zdecydowaie gosza od GR-. GR-7 oazuje się doładiejsza od GR-LEX. Wyes 7.9. jao fucja czasu t h badzo bliso seaatysy h.9 dla TAY- i h.9 dla ozostałych dysetyzacji. Liia ciągła odowiada ozwiązaiu dołademu T th Podsumowaie Pzedstawioe tu itegatoy umeycze GR-N mają odobe zalety ja metody GR-LEX i GR-SLEX oisae w ozdziale 5: zachowują doładie całę eegii są badzo stabile i dosoale sawdzają się w długich oesach czasu. Moża je ostuować dla dowolego zadaego N. Posiadając zalety wcześiej wowadzoych schematów jedocześie istotie oawiają doładość metod dysetego gadietu zyajmiej w zyadu jedowymiaowym. Itegatoy GR-N N 7 są zaczie lesze od GR-LEX w więszości testowaych zyadów. Jedyie w obszaze małych schematy loalie dołade są oówywale z metodami gadietowymi wysoich zędów. Tzeba zazaczyć że schematy 7.3 odobie ja wszystie metody gadietowe ie są symletycze ai też ie zachowują objętości w zestzei fazowej. Co więcej itegatoy GR-N ie są odwacale w czasie. Dlatego wydaje się że zachowywaie eegii i wysoi ząd są wystaczające do zaewieia ich ezetowaych wyżej dosoałych cech jaościowych i ilościowych. 3

124

125 8 Dołada dysetyzacja jedowymiaowego oscylatoa ahamoiczego 8. Ścisłe ozwiązaie oscylatoa ahamoiczego Rozważmy uch zaday astęującym ówaiem Newtoa 3 & α β 8. gdzie α β - stałe. Zasada zachowaia eegii daa jest zez 4 α β E 8. 4 zy czym &. W ozdziale tym suimy się a uchu oscylacyjym. 8.. Pzyade α > i β > Pzy zadaej eegii uładu E i wauu oczątowym E sawdzimy że doładym ozwiązaiem ówaia 8. jest As ωt; 8.3 gdzie s jest siusem elityczym Jacobiego zaś stałe A ω wyażają się w odowiedi sosób zez α β E zauważmy że waue oczątowy jest sełioy automatyczie. Sozystamy z ilu tożsamości sełiaych zez fucje elitycze Jacobiego [5 8 95]: d s u c u d u s u s u c u d u 8.4 du z tóych bezośedio wyia wzó d du s u Z ostulatu s u s u. As u gdzie u ω t mamy 8.5 & A ω s u s u A ω. 8.6 A A Z dugiej stoy z wyjściowego ówaia 8. wyia 4 & β α E. 8.7 Poówaie dwóch ostatich wzoów owadzi do związów βa ω α ω E A ω. 8.8

126 Rówaia te ozwalają a wyzaczeie aametów ozwiązaia A ω ozez stałe oisujące otecjał i eegię: 4βE E α α α 4βE A ω βe βe α α α Zatem teoetycze ozwiązaie ówaia 8. jest omlete wystaczy odstawić 8.9 do 8.3. Zauważmy że zalezioe ozwiązaie jest fucją tylo jedego aametu E lub E. Pzyade gaiczy seaatysa odowiada eegii α E lub 4β α. Wówczas ozwiązaie wyaża się zez fucje elemetae: β α α t tah t. β Pzyade α > i β < Poszuamy doładego ozwiązaia ówaia 8. zy zadaej eegii uładu E i wauu oczątowym E w ostaci Ac µ t; 8. ocząte uchu w ucie ajwięszego wychyleia. Wowadzając ozaczeia s s u c c u d d u 8. możemy óto zaisać związi omiędzy fucjami elityczymi s c d s 8.3 oaz wyiające z ich tożsamości d c d c s c s. 8.4 Wzoy a ochode fucji elityczych: s cd c sd d sc. 8.5 Podosząc ochode do wadatu i wyozystując 8.3 otzymujemy s c d s c d d s c

127 7 Kozystając z dugiego z ówań 8.6 w ostaci 4 c c c c c 8.7 oaz odstawiając c /A a mocy ówaia 8. otzymujemy: 4 4 A A A c A µ µ & 8.8 czyli. 4 4 µ µ µ A A & 8.9 Poówujemy to z 8.9 i dostajemy:. E A A µ α µ β µ 8. Wzoy saje dają: E A E β β µ 8. Zatem. 4 E E E A β α β µ β 8. Naszym zadaiem jest obliczeie A µ oaz mając dae α β E. Łatwo sawdzić że. Zatem istieje z iewszej ćwiati bo wobec α > musi być > :. si cos 8.3 Wobec tego łącząc 8.3 z ostatim z ówań 8.. ta α β E 8.4 Zamy ówież ta cos. Z iewszego z ówań 8.3 mamy bo :. ta cos 8.5 Zatem wstawiając 8.4 otzymujemy β α α β α β β α α β α E E E E E 8.6

128 Poadto jao oste osewecje owyższych wzoów możemy wyisać związi: si A β µ cos β cos. α α µ cos α E ta β 8.7 Pzedstawioe ozwiązaie załada waue oczątowy A. Jeśli chcemy aby ja ozedio waue oczątowy miał ostać to ależy ozważać ieco badziej ogóle ozwiązaie t cµt t. Wówczas wtedy gdy cµ t czyli a zyład µt K K cała elitycza zueła. Waue te sełiają też watości t óżiące się od owyższej o wielootość ołowy oesu. Podstawieie tego ogóliejszego ozwiązaia w miejsce 8. ie zmieia zeowadzoych tu achuów. 8. Dysetyzacja dołada dla zyadu β < Wyozystując ozwiązaie dołade 8. zesuięte o t zajdziemy ówaie sełioe zez dysetyzację doładą zadaą wzoem X t. Mamy więc X Ac µ t t X ± Ac µ t ± h t 8.8 gdzie tym azem o czasowy ozaczoy jest zez h. Kozystamy z tożsamości zob. [8]: u c u c vm s u d u s v d v c u c vm s u d u s v d v c ± v 8.9 s u s v d v c u s v oaz wzou a ochodą aby obliczyć ęd: c u s u d u 8.3 i obliczamy Ac µ t t c µ h X X 8.3 d µ h c µ t t s µ h X c µ h X X. 8.3 d µ h X s µ h A Nastęie: As µ t t d µ t t s µ hd µ h X X 8.33 d µ h c µ t t s µ h 8

129 X X µ d P s µ hd µ h µ h A Wyażając wszysto zez aamet γ :cµh otzymujemy: X s µ h γx X X γ γ X A Wygodie jest wowadzić jeszcze dwa aamety oówaj 8.7: γ γ cos δ : 8.36 µ α oaz s µ h θ µ d µ h Wówczas z 8.34 bioąc od uwagę 8.7 mamy: P X X β θ X θ Dla małych h mamy δ h θ h a doładiej δ h µ h... θ h µ h Wyoując elemetae zeształceia możemy otzymać jeszcze ią ówoważą ostać dysetyzacji 8.35: X X δ X ακ X β κ X X X 8.4 gdzie cos αδ 4cos κ 8.4 cos αδ αδ cos 4cos αδ 4cos κ. 8.4 cos αδ αδ cos 4cos Zauważmy że aamety owyższe zależą od h i dla h dążą do. Podobie ze wzou a P moża wyelimiować X - dodając stoami 8.35 i Wówczas: 9

130 3 3 X P X X X β θ θ κ β δ κ 8.43 gdzie αδ αδ αδ κ 4cos cos cos cos jest tzecim aametem o własościach odobych do κ i κ. 8.3 Dysetyzacja dołada dla zyadu β > Wyozystujemy zajomość ścisłego ozwiązaia oscylacyjego 8.3: As t ω 8.45 amiętając że zachodzą wzoy 8.9. Postulujemy s h t A X ω ω ± ± gdzie h jest oiem czasowym dysetyzacji. Wyozystujemy teaz tożsamość h t t h t h h t h t ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω s s d s c d c s s ± ± 8.46 i dodajemy X do X - : h X A X h h h t h h t A X X ω ω ω ω ω ω ω ω s d c s s d c s Jest to oszuiwaa dysetyzacja dołada. Rachui aalogicze do zeowadzoych dla zyadu β < ozwalają zaisać ją w ostaci: θ βθ αδ θ β θ α δ X X X X X P X X X X X X X 8.48 gdzie ; s ; d ; c Ω Ω Ω Ω Ω α β α α β α β θ α δ E E E h h h 8.49

131 3 Eegia uładu wyosi 4 4 X X P E β α 8.5 i sełia w zyadu uchu oscylacyjego waue β α 4 < < E Dysetyzacja Hioty Rygo Hiota odał astęującą dysetyzację oscylatoa ahamoiczego [45 7]. h X X P X X X X h X X X β α 8.5 Po wyelimiowaiu X - otzymujemy wzó a ut statowy tej dysetyzacji. hp X h h X X β α 8.53 Poówaie tego wzou z dysetyzacją doładą 8.48 w gaicy h sugeuje astęującą modyfiację tego wzou:. X h hp h X X β α 8.54 Godą uwagi cechą tej dysetyzacji jest osiadaie ścisłych ozwiązań. W acy [7] moża zaleźć ścisłe ozwiązaie ówań dysetych 8.5 ozez fucje elitycze. Oczywiście ie są to ozwiązaia idące o tajetoiach uładu ciągłego. Istieie związu omiędzy dysetyzacją Hioty a dysetyzacją doładą ozostaje jeda oblemem otwatym.

132 8.5 Klasa dysetyzacji zachowujących tajetoie Rozatzmy astęującą lasę schematów umeyczych δ δ α β gdzie δ jest dowolą fucją h sełiającą waue δ lim h h 8.55 h 8.56 Zaewiający ja zwyle zgodość ażdego z tych schematów. Twiedzeie. Dowola dysetyzacja ależąca do lasy 8.55 zachowuje doładie z doładością do błędów zaoągleń wszystie tajetoie uładu 8. w zestzei fazowej. W szczególości gdy δ h otzymujemy stadadową metodę dysetego gadietu. Schemat loalie doładego dysetego gadietu otzymamy wybieając ωh δ ta ω ω W aszym zyadu ω α β Mamy dwa atuale wyboy dla iewszy to dugi symetycza modyfiacja to. Moża ówież stosować wzoy z ozdziału 7 otzymując gadietowe dysetyzacje wysoich zędów w tym GR Eseymet umeyczy W doświadczeiu zyjęto astęujące watości stałych oisujących otecjał: α β.5. Wybó te gwaatuje że dla uchu oscylacyjego mamy < odobie ja w zyadu często wyozystywaego w tej acy do testów otecjału wahadła matematyczego -cos. W zyadu oscylatoa ahamoiczego zetestowae zostały omawiae we wcześiejszych ozdziałach dysetyzacje lea-fog stadadowa metoda dysetego gadietu GR loalie dołade schematy dysetego gadietu 3

133 GR-LEX GR-SLEX schematy dysetego gadietu wyższych zędów do włączie a taże dysetyzacja Hioty oaz wyowadzoa wyżej dysetyzacja dołada. Na użyte testów zaogamowao obliczaie fucji elityczych dla ozsądych aametów z doładością leszą iż -4. Wyes 8.. jao fucja czasu t h T th.633 h.5. Liia ciągła odowiada ozwiązaiu teoetyczemu. Wyes 8.. jao fucja czasu t h.9999 T th h.. Liia ciągła odowiada ozwiązaiu teoetyczemu. 33

134 Wyesy 8. i 8. zedstawiają oówaie działaia wybaych schematów umeyczych a tle dysetyzacji doładej i ozwiązaia ciągłego. Dysetyzacja Hioty choć iezbyt dołada działa badzo stabilie w szeoim zaesie aametów oczątowych i oów czasowych sawując się tylo ieco gozej iż stadadowy schemat dysetego gadietu wyes 8.. Dysetyzacja dołada ie wydaje się być umeyczie lesza od schematu dysetego gadietu zędu GR- atz ozdział 7 zwłaszcza dla małych oów czasowych. Doieo zwięszeie ou czasowego co aadosalie zmiejsza umulację globalego błędu w zyadu dysetyzacji doładej ujawia leą zewagę dysetyzacji doładej wyes 8.. Wyes 8.3 oazuje temo aastaia błędu globalego dla wybaych dysetyzacji. Sala ioowa jest logaytmicza zatem badae dysetyzacje óżią się doładością o ila zędów wielości. Wyes 8.3. Błąd globaly w fucji czasu t h dla dysetyzacji doładej Hioty i GR-.999 T th h.5. Oazuje się że dysetyzacja dołada acuje a gaicy stosowaej w eseymecie doładości obliczeiowej -4-5 tylo zez iewszych ilaaście oów. Dalej obsewujemy systematyczy wzost odchyleia od teoii. Śedie temo zyostu błędu w wielości 5-5 a o świadczy o tym że atua tego zyostu jest czysto umeycza. Wato atomiast zwócić uwagę a stabilość błędu globalego dysetyzacji Hioty. Rodzia schematów 8.55 ozwala a łatwe wyeślaie doładych tajetoii uładu w zestzei fazowej. Wyes 8.4 ezetuje taie tajetoie wygeeowae zez schemat GR-LEX. 34

135 Wyes 8.4. Dołade tajetoie oscylatoa ahamoiczego schemat GR-LEX h.5 {.;.5;.9;.3;.6;.9;.999}. 8.7 Podsumowaie W ozdziale tym zedstawioo ścisłe ozwiązaie oscylatoa ahamoiczego oaz zedstawioo sosób ostucji jego dysetyzacji doładej. Podao też ostać lasy dysetyzacji zachowującej tajetoie uładu. Testy oazały że dysetyzacja dołada chaateyzuje się dość szybim zyostem błędu globalego sowodowaym iedoładością obliczeń. Podiesieie tej doładości zmiejszy oocjoalie umulację błędu. Dysetyzacja zaooowaa zez Hiotę oazała się ieco miej dołada od stadadowego dysetego gadietu ale badzo stabila i zdola do symulowaia uładu w szeoim zaesie aametów oczątowych i oów czasowych. Jest to schemat zaday w sosób jawy co zełada się a szybość działaia. Potwiedziła się też stabilość i wysoa doładość sostuowaych w ozdziale 7 metod gadietowych wyższych zędów. 35

136

137 9 Geometycze dysetyzacje oblemu Kelea 9. Wowadzeie W ozdziale tym zajmiemy się ważym i szeoo omawiaym zagadieiem mechaii lasyczej jaim jest zagadieie Kelea [ 5 75]. Pzeaalizujemy działaie ilu badzo dobych geometyczych dysetyzacji do tóych ależą symletycza metoda Eulea [4] schemat Stömea-eleta lea-fog [4] i zmodyfiowaej metody utu śodowego [37 54] schemat dysetego gadietu zachowujący eegię oaz dwie dysetyzacje zachowujące tajetoie i wszystie całi uchu [6 5] z tym że iewsza z tych dysetyzacji została w istoty sosób zmodyfiowaa i udosoaloa w iiejszej acy. Całowaie geometycze olega a zajdywaiu umeyczych ozwiązań ówań óżiczowych zy jedoczesym zachowaiu ewych fizyczych lub matematyczych ich własości w sosób dołady []. Dla oblemu Kelea zalezioo w ostatich latach szeeg dysetyzacji zachowujących całi uchu i tajetoie [ ]. Zaezetujemy tu schemat zaoooway w acy [6] tóy udało się zmodyfiować w tai sosób aby odtwazał doładie ształt obit teoetyczych. Dugą tego odzaju metodą jest dołada dysetyzacja zalezioa zez Kozlova [5] tóy zastosował tasfomację Kustaaheimo-Stiefela [53]. Ta zaawasowaa matematyczie tasfomacja zostaie taże omówioa w tym ozdziale ale w sosób stosuowo elemetay oaty a atyule [8]. Eseymet umeyczy objął wszystie wymieioe dysetyzacje w iewszej części tego ozdziału ocetując się a metodach stadadowych a w dugiej a oówaiu oacowaej zez as metody ze schematem Kozlova. 9. Stadadowe schematy geometycze Rozatujemy lasyczy oblem Kelea zaday ówaiami d d f m m cost dt dt Pzyomijmy że momet ędu L aegia całowita E oaz weto Rugego- Leza A wsazujący a eyhelium obity dae wzoami

138 38 m L A m E L 9. są całami uchu dla ówań 9. [5 93]. Dołade ozwiązaie t z wyjątiem zyadów szczególych taich ja obita ołowa ie jest zae jeda moża wyzaczyć ściśle obity tóe we wsółzędych bieguowych oisae są wzoami [93]: cos m EL e m L e 9.3 gdzie L L i są stałymi wyzaczoymi zez waui oczątowe. Schemat Eulea EU otzymujemy bezośedio z ówań 9. zastęując ochode odowiedimi iloazami óżiowymi: 3 h m h h 9.4 gdzie h cost jest sończoym zyostem siati czasowej. Ściślej mówiąc jest to jede z symletyczych schematów Eulea oówaj wzó 4.3. Ogóla ostać metody Stömea-eleta lea-fog w sócie: LF [4] zastosowaej do ówaia 9. jest astęująca:. hf m h hf 9.5 Tzecią z omawiaych tu metod umeyczych zmodyfiowaą metodę utu śodowego metoda dysetego gadietu [37 54] zastosowaą do oblemu Kelea defiiują wzoy:. h m h 9.6

139 39 Rówaia 9.6 ozwiązujemy iteacyjie ~ ~ ~ ~ h m h 9.7 zy czym do wyzaczaia utu statowego możemy zastosować jao edyto. metodę lea-fog. W zyadu oblemu Kelea owyższe wzoy ieco się uaszczają. Rówaia 9.6 zyjmują ostać: h m h 9.8 atomiast 9.7 sowadza się do:. ~ ~ h m h 9.9 Na otzeby eseymetu umeyczego zyjmiemy waui oczątowe uchu taie ja a ysuu 9. zaś jao zyład liczbowy ozważymy ituicyjy uch satelity Ziemi tóy w chwili t zajduje się a wysoości m ad jej owiezchią. Pzyjmijmy że M i G Rysue 9.. Waui oczątowe uchu. Wyesy 9. i 9. oazują odchyleie od teoii jaie dają tzy zedstawioe w tym odozdziale dysetyzacje w czasie iewszego obiegu dla obity ołowej i elityczej. A O B F P y

140 Wyes 9.. Dysetyzacje stadadowe. Względe odchyleie od teoetyczej obity ołowej w czasie jej iewszego obiegu h.7 N 494 oów/obieg Lewa oś ioowa odowiada schematom EU i LF awa GR. Wyes 9.. Dysetyzacje stadadowe. Względe odchyleie od teoetyczej obity elityczej w czasie jej iewszego obiegu h 5. N 5 oów/obieg tma Z wyesu 9. widzimy że obitę ołową awie 4 azy doładiej od dwóch ozostałych schematów odtwaza metoda dysetego gadietu. W zyjętych wauach jej ajmiejsza doładość względa wyosząca o. 5 - odowiada to o..33 w liczbach bezwzględych jest z gubsza ówa ajwięszej doładości ouete wystęującej a oczątu i ońcu 4

141 iewszego obiegu w ich zyadu masymale odchyleie bezwzględe wyosi o. 5. Stwiedzamy że oczątowe zachowaia omawiaych itegatoów są udezająco óże. Pzewaga metody dysetego gadietu zdecydowaie maleje w zyadu obity elityczej wyes 9.. Masymale względe odchyleia od teoii o. 9-6 są tu w jej zyadu tylo 3-4 azy miejsze iż ouete w liczbach bezwzględych o. 3 a miimale odchyleia o. - wszystich tzech dysetyzacji stają się atyczie ówe. Kzywe a tym wyesie óżią się zdecydowaie ale ie ta dastyczie ja a 9.. Cieawe jest to że waz z uływem czasu zebiegi odchyleń od teoii tzech omawiaych dysetyzacji uodabiają się do siebie wyes 9.4. Jest to efet obotu elis dysetych woół utu leżącego w obliżu miejsca statowego eygeum tóy to obót masuje subteliejsze efety umeycze. Wyes 9.3. Dysetyzacje stadadowe. Względe odchyleie od teoetyczej obity elityczej w czasie tzech oczątowych obiegów h 5. N 5 oów/obieg tma Dysetyzacje stadadowe działają często sesowie awet zy dużych watościach ou czasowego a ich wsólą cechą jest szyba oawa doładości towazysząca zmiejszaiu h. Wyes 9.4 oazuje wływ watości ou czasowego a masymale odchyleie od teoii tzech badaych dysetyzacji w zyadu obity elityczej tylo iewszy obieg. 4

142 Wyes 9.4. Względe masymale odchyleie od obity elityczej w iewszym obiegu jao fucja ou czasowego tma Do ażdej dysetyzacji z wyesu 9.4 badzo dobze asuje wielomia stoia dugiego zy czym wsółczyii zy mają watości.49-6 EU. -6 LF i GR. Pozostałe wsółczyii wielomiau są o dwa zędy wielości miejsze. Obity badaych dysetyzacji ie tylo odbiegają od ształtu elityczego ale dość szybo zmieiają swoje ołożeie. Ilustuje to wyes 9.5. Wyes 9.5. Toy uchu dysetyzacji stadadowych o uływie obiegów a tle ozwiązaia doładego EX h 5. N 5 oów/obieg tma

143 Najszybszy obót mimo ajmiejszych odchyleń w iewszym obiegu daje zmodyfiowaa metoda utu śodowego. Nieco woliej i awie jedaowo obacają się obity uzysae z omocą metody Eulea i lea-fog ajwoliejszy obót. Mimo że metoda dysetego gadietu oazała się o 4 zędy wielości lesza od dwóch ozostałych schematów w zyadu obity ołowej i 3-4 azy lesza w zyadu obity elityczej. Moża sądzić że jej zewaga wyia z zachowywaia eegii uładu. Niestety dotyczy to tylo oczątowych obiegów obity. Waz z uływem czasu dysety gadiet taci swoją zewagę co ilustuje wyes 9.6 oazujący ewolucje wybaej zywej w zestzei fazowej. Wyes 9.6. Dysete zywe fazowe badaych schematów umeyczych o uływie 5 obiegów a tle ozwiązaia doładego EX h 48.8 N 54 oów/obieg Pzewaga dysetyzacji gadietowej a wyesie 9.6 jest słabo widocza co więcej ajmiejsze zieształceie geometycze wydaje się dawać metoda lea-fog. 9.3 Pzyład zachowawczej dysetyzacji oblemu Kelea Sośód ilu zachowawczych dysetyzacji 3-wymiaowego oblemu Kelea zalezioych w ostatim czasie zedstawimy schemat zaoooway zez omotoa [6]. Dyseta ewolucja zada jest wzoami m 9. t α cosδ t 43

144 44 gdzie m są stałymi t t t zy czym dysetyzację chaateyzuje dodatowo stały aamet α. Schemat acuje ze zmieym oiem czasowym wybaym ta że ąt omiędzy i day zez δ δ cost ie zależy od. Kąt te wyaża się zez dae oczątowe i t astęująco: cos t t m m t m δ. 9. Gaica ciągła odowiada wauowi t. Wówczas δ a ówaia 9. dążą w gaicy do 9. zy założeiu że α jest to więc waue zgodości dla tego schematu umeyczego. Dysetyzację 9. moża zaisać w ostaci tzech jawych ówań dysetych:. cos cos cos δ α δ δ α m t t t t m t 9. Bezośedi achue oazuje że osiada oa astęujące całi uchu: R R m L A R m E R L α α 9.3 gdzie cos : : R R R δ 9.4 a ażda dyseta obita saametyzowaa zez L i E L L : i E E : odowiada obicie geeowaej zez ciągły oblemu Kelea 9. oeśloej zez L i E sełiających waui. cos si cos cos δ α δ α δ δ α L m E E L L 9.5 W gaicy ciągłej: L L i E E.

145 9.4 Dysetyzacja doładie zachowująca obity eleowsie Pzestawioa w ozedim ozdziale dysetyzacja 9. zachowuje szeeg wielości będących dysetymi aalogami całe uchu ciągłego oblemu Kelea 9.. Jeda odowiediość między działaiem modelu dysetego i ciągłego ie idzie tu w aze z doładym odtwozeiem liczbowym zeczywistych aametów fizyczych uchu ciągłego zy czym ie omaga istieie aametu α. Na wyesie 9.7 zamieszczoo zyład działaia modelu 9. w zyadu obity ołowej. Wyes 9.7. Względe odchyleie modelu 9. od obity teoetyczej w czasie iewszego obiegu w fucji α. δ Widzimy że ozwiązaie dysete óżi się istotie od teoii. Naszym celem jest taa modyfiacja dysetyzacji 9. aby odtwazała doładie ciągłe obity eleowsie. Oazuje się że jest to możliwe. Stałe uchu zyadu ciągłego mogą być wyażoe zez waui oczątowe L siθ E 9.6 m gdzie θ jest ątem omiędzy i. Jeżeli statujemy z eyhelium lub eygeum wówczas siθ ta jest w aszym zyadu. 45

146 46 Dysete aalogi mometu ędu i eegii L E są owiązae ze swoimi ciągłymi odowiediami wzoami 9.5 ale jedocześie ozystając z ówań 9.3 i 9.4 możemy aisać si t m L δ α 9.7. cos m E δ α 9.8 Poadto cos δ t m t m. 9.9 Pzyjmijmy α ozostawiając ją we wzoach siθ oaz chcemy odtwozyć doładie obitę ciągłą. Załóżmy też że zadaa jest δ. Poblem jest astęujący: mając czyli ówież L E ależy obliczyć oaz t. Kozystając z ciągłych wauów oczątowych 9.6 i związów 9.5 obliczamy L E :. cos si cos cos δ α δ α δ δ α m m E L 9. Zostają am tzy ówaia a tzy iewiadome: t. Z 9.7 obliczamy t i wstawiamy do 9.9 otzymując cos si δ δ α L 9. co o odstawieiu do 9.8 daje am ówaie wadatowe a :. cos si cos si cos si E m L m L m L δ α δ α δ α δ α δ δ α 9. Mając z 9. dostajemy bezośedio z 9.9 i t z 9.7. Ostateczy wyi obliczeń owy waue oczątowy dla dysetyzacji 9. zedstawia się astęująco:

147 m µ : t µ siδ cosδ α cosδ m siδ α cosδ. cosδ µ si δ 9.3 Oazuje się że dysetyzacja 9. o zastosowaiu aametów statowych 9.3 odtwaza doładie obitę teoetyczą zyadu ciągłego. Pzedstawia to wyes 9.8 aalogiczy do 9.7. Powyższe ozumowaie jest zyładem ważego a chyba iezbyt doceiaego oblemu. Otóż dysetyzacja 9. adyalie oawia swą doładość zy awidłowym otymalym doasowaiu wauów oczątowych. Wyes 9.8 Dysetyzacja zmodyfiowaa. Względe odchyleie od teoetyczej obity elityczej δ.6 N 55 oów/obieg tma Doładość obliczeń 4 5 cyf zaczących. Eseymet oazuje że względe odchyleie od teoii osiągęło watości a gaicy stosowaej doładości obliczeiowej 4 5 cyf zaczących. Dobe ząbi a zywej odowiadają soowym zmiaom cyfy a ostatim miejscu zaczącym. Stosuowo gładi zebieg zywej może sugeować że obsewowae a im odchyleia od teoii mają chaate systematyczy związay z testowaą dysetyzacją. Mając a uwadze te wątliwości 47

148 owtózoo obliczeia z wyższą doładością 9 cyf zaczących. Wyii dotyczące iewszego obiegu obity zajdziemy a wyesie 9.9. Wyes 9.9. Dysetyzacja zmodyfiowaa. Względe odchyleie od teoetyczej obity elityczej δ.6 N 55 oów/obieg tma Doładość obliczeń 9 cyf zaczących. Wyesy 9.8 i 9.9 oazują że doładość zmodyfiowaej dysetyzacji 9. ogaiczają jedyie błędy umeycze a zebieg zywej obazującej względe odchyleie obity dysetej od teoetyczej zależy od doładości obliczeń sosobu ich wyoywaia oaz umulacji obciążających je błędów. Kumulację tę w dłuższym oesie ilustuje wyes 9.. Obsewujemy tu liiowe aastaie błędu względego w temie a obieg oczątowe obiegi chaateyzujących się szybszą umulacją. Ozacza to że awet o 9 obiegach błąd te ciągle ie będzie zeaczał -6. Zuełie zeciwie iż to miało miejsce w dysetyzacjach stadadowych doładość obliczeń możemy zwięszyć zmiejszając liczbę oów zyadających a jede obieg obity wyes 9.. Schemat 9. daje am ówież dołade tajetoie w zestzei fazowej wyes

149 Wyes 9.. Masymale odchyleie od teoii zmodyfiowaego modelu 9. jao fucja liczby obiegów ; δ.6 N 5 oów/obieg tma Wyes 9.. Dysetyzacja zmodyfiowaa. Względe odchyleie od teoetyczej obity elityczej w fucji tma Doładość obliczeń 9 cyf zaczących. 49

150 Wyes 9.. Dołade tajetoie w zestzei fazowej zmodyfiowaego modelu 9.. δ.6 N 55 oów/obieg { } Tasfomacja Kustaaheimo-Stiefela i zachowawcze dysetyzacje uchu eleowsiego 9.5. Wowadzeie Dysetyzacja omawiaa w ozedim ozdziale atz taże [6] i jej zmodyfiowaa wesja są zaledwie zędu iewszego co jest ieco zasaujące bioąc od uwagę dużą doładość zmodyfiowaego schematu. W tym ozdziale dooamy oówaia tej dysetyzacji z badzo dobym schematem umeyczym tóy dla oblemu Kelea iedawo zaooował Kozlov [5]. Schemat te zachowuje w ścisły sosób wszystie tajetoie i całi uchu. W ometazu do tej acy [8] zostało wsazae że astoomowie zali już wcześiej doładą dysetyzację uchu eleowsiego [7 8 7 ] oatą a tasfomacji Kustaaheimo-Stiefela KS [53]. W acy [8] zostało oazae iż dysetyzację Kozlova moża wyowadzić w sosób dość elemetay. Podejście to jest zefeowae oiżej z ewymi uzuełieiami. Zachowawcze dysetyzacje 3-wymiaowego uchu Kelea uzysae w [5 74] olegają a zastosowaiu metody utu śodowego midoit ule lub metody dysetego gadietu [54] do izotoowego 4-wymiaowego ówaia oscylatoa hamoiczego. Nastęie tasfomacja Kustaaheimo-Stiefela [53] w ołączeiu z tasfomacją czasu 5

151 Levi-Civity odwzoowuje 4-wymiaowy oscylato hamoiczy w 3- wymiaowy oblem Kelea. W celu szybiego uzysaia wyiu Kozlova wystaczy zauważyć że tasfomacja KS zez iego użyta eduuje 3-wymiaowy uch eleowsi do 4 zwyczajych liiowych ówań óżiczowych ze stałymi wsółczyiami ówań oscylatoa hamoiczego dla tóych istieją jawe dołade itegatoy umeycze [83] zobacz ówież [ 7 63] Elemetaa ezetacja tasfomacji KS Tasfomacja Kustaaheimo-Stiefela KS jest zdefiiowaa astęująco QQ Q3Q4 q QQ3 QQ4 9.4 Q Q Q3 Q4 PQ P Q P3 Q4 P4 Q PQ P Q P Q P Q Q PQ P Q P3 Q3 P4 Q4 zy czym zmiee Q P muszą sełiać ówaie więzów 9.5 P Q P Q P Q P Q Ozaczmy zez M 7-wymiaową odzestzeń defiiowaą zez 9.6. Tasfomacja KS odwzoowuje M w 6-wymiaową zestzeń fazową q. Bezośedim achuiem moża sawdzić użytecze tożsamości: 4 P q Q Q Tasfomacja czasu Levi-Civity lub Dabou-Sudmaa atz [5 39] jest daa zez dt q. 9.8 ds W acy [8] zostało wyazae astęujące twiedzeie tóe tu zytaczamy waz z dowodem. Twiedzeie. Załóżmy że Q P M sełiają 4-wymiaowe ówaia izotoowego oscylatoa hamoiczego dq dp P EQ 9.9 ds 4 ds 5

152 gdzie E cost czas t jest day zez 9.8 i q są zdefiiowae zez Wówczas dq v d q 3 dt dt q R q zy czym cost. Poadto E P E Q. q Dowód: Sawdzamy że więzy 9.6 są zachowae zez 9.9 tj. uład 9.9 może być ogaiczoy do odzestzei M. Stosując wszystie założeia otzymujemy o ostych lecz żmudych achuach dq v d q. E dt dt q Moża łatwo sawdzić że uład 9.3 sełia zasadę zachowaia w ostaci q E cost ówoważą iewszemu z ówań 9.3. Istotie óżiczując lewą stoę 9.33 i stosując 9.3 otzymujemy zeo. Nastęie używając 9.33 elimiujemy E z 9.3 w celu uzysaia dugiego z ówań 9.3. Ostateczie odstawiając 9.7 do 9.33 dostajemy dugie z ówań 9.3. Ñ Dołada dysetyzacja ówań oscylatoa hamoiczego Uład ówań 9.9 ówoważy ówaiu 4-wymiaowego oscylatoa hamoiczego douszcza doładą dysetyzację atz [7 8]: Q j Q j Pj Pj δ h j Pj Pj Q j Q j E δ h j gdzie h : s j s j jest oiem czasowym zmieej s Q P ozaczają j-tą iteację schematu umeyczego ie ależy mylić ze wsółzędymi Q j P j oaz ωh j δ h j ta ω E ω W zyadu stałego ou h j h i E < ozozajemy tu dołady itegato zalezioy zez Kozlova atz [8 5]. Pzyade hieboliczy j j 5

153 i aaboliczy [8] wzoy 4.6 i 4.8 wyiają bezośedio o zyjęciu uojoego ω tj. E > lub ω. Dołady schemat umeyczy 9.34 zachowuje całę eegii: P E Q j j Pzedstawimy jeszcze ią ówoważą schematowi 9.34 lecz zaisaą w sosób jawy ostać doładej dysetyzacji Kozlova: siωh j Q j cosωh jq j Pj 4ω 9.37 P 4ω siωh Q cosωh P. j j j j j Uład te jest bezośedią osewecją obliczeia doładego ozwiązaia 9.9 w ucie s s j i s s j h oówaj [7 8]. Pzyomijmy w tym miejscu że dołada dysetyzacja ówań oscylatoa hamoiczego osłużyła do sostuowaia owych geometyczych schematów umeyczych wysoiej doładości oisaych w ozdziałach 5 i Dołada dysetyzacja czasu Rówaie Levi-Civity 9.8 może być ozwiązae doładie a óże sosoby oówaj [ 5 7]. Tu efeujemy metodę zaooowaą w acy [8] eduującą te oblem do liiowych zwyczajych ówań óżiczowych ze stałymi wsółczyiami. Twiedzeie. Jeżeli Q P sełiają 9.9 i t sełia 9.8 wówczas Q dw Ω w P Ω 4E. ds 9.38 Q P E 4 t Dowód: Z 9.4 obliczamy q Q. Stąd dt / ds Q. Ie ówaia wyiają bezośedio z 9.9 a zyład d Q P P P Q EQ E Q P ds 4 4 Ñ Dalej ostęujemy w sosób stadadowy wyozystując zae oceduy dla ówań óżiczowych zwyczajych o stałych wsółczyiach. Ogóle 53

154 ozwiązaie jest dae zez w s e sω w a zatem dołada dysetyzacja w wh jest daa wzoem w e hω w 9.4 i oblem eduuje się do dobze zaej czysto algebaiczej oceduy obliczaia e Ωh. W aszym szczególym zyadu możemy łatwo sawdzić że dla Ω daej wzoem 9.38 mamy Ω 4 EΩ. Stąd 4 Ω EM M M. 9.4 Pzy tych założeiach moża obliczyć że [8]: ν e M 3 I νm cosν M ν siν M. 9.4 W szczególości z ówaia 9.4 wyia iż [8]: siωh P j h P j Q j Pj si ωh t j t j Q j Q. j ω 6ω 6ω 4ω Ostateczie elimiując P j zy omocy wzou 9.36 otzymujemy h si ωh si ωh Q j Pj si ωh t j t j Q. j ω ωh ω 4ω W acach [ 5 7] sosoby dojścia do dysetyzacji czasu były óże ale ońcowy wyi jest te sam [8] Kozyści łyące z otacji zesoloej Gody uwagi jest ścisły związe omiędzy słyą wiązą Hofa a tasfomacją Kustaaheimo-Stiefela. Otóż wzó 9.4 jest idetyczy z odwzoowaiem Hofa oówaj [7] Dodate A: z z a Re z z Im z z z 9.45 jeśli zyjmiemy że z. Q iq4 z Q iq W atyułach a temat geometyczego całowaia oblemu Kelea zado zywołuje się odwzoowaie Hofa wyjątami są. [ 8]. Co cieawe atyuł [7] tóego celem było uazaie óżoodych zastosowań wiązi Hofa w fizyce teoetyczej ówież ie zawiea żadej wzmiai dotyczącej maowaia Kustaaheimo-Stiefela. Tasfomacja Kustaaheimo-Stiefela była dysutowaa w amach ozmaitych odejść algebaiczych i geometyczych włączając w to 54

155 wateioy [ ]. Tu ogaiczymy się do użycia zmieych zesoloych i zaisaia aalogiczej do 9.46 fomuły dla P : w. P ip4 w P ip Teaz wzoy i 9.6 mogą być zaisae odowiedio w ostaci q 3 z iq z z q z 9.48 w z z w w z w z i z z z z Im w z w z. 9.5 Notacja zesoloa ma wiele zalet. Po iewsze więzy 9.6 mają atualą iteetację: 3 musi być zeczywiste. Po dugie bezośedio widać że tasfomacja iϑ z z w w e z z w w ϑ R 9.5 jest symetią ówań Iymi słowy tasfomacja KS osiada jedowymiaowe jądo tóym jest oąg aametyzoway zez ϑ Odwota tasfomacja KS Do umeyczej symulacji uchu Kelea zy wyozystaiu tasfomacji Kustaaheimo-Stiefela otzeba jest odaa w sosób jawy tasfomacja odwota. Atyuł [5] jej ie zawiea ale wyii te geealie są zae atz. [ 7]. Dla omletości odamy tu jeda swoją wesję wyowadzeia tych wzoów. Elimiując z z 9.48 otzymujemy: 4 z z q3 q q a to ówaie ma doładie jedo dodatie ozwiązaie załadając że q3 q : q3 q z 9.53 oówaj z []. Ozaczając fazę z zez α dostajemy z q iq z i q iq e q q 3 α Zatem odwota tasfomacja dla q leżąca a zewątz ujemej ółosi q 3 tj. q q q 3 ma ostać 55

156 56. si si cos si cos cos α α α α α α q q q q q q q q q q Q Q Q Q 9.55 W celu uzysaia badziej symetyczej ostaci możemy zeowadzić te same obliczeia dla z elimiując z z Załadając że q q 3 otzymujemy: 3 q q z 9.56 Mamy zatem 3 3 β α e q q z e q q z 9.57 zy czym ze względu a 9.5 α β jest fazą q iq. Rówaia moża zaisać w ostaci maciezowej: P P P P Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q 9.58 tóa ozwala a łatwe otzymaie tasfomacji odwotej o ile zaa jest odwota tasfomacja dla q. Sfomułujemy to w ostaci twiedzeia w tóym udało się wszystie odzyadi ująć jedym zwięzłym wzoem. Twiedzeie. Odwota tasfomacja Kustaaheimo-Stiefela aametyzowaa ątem α jest w sosób jawy zadaa wzoami si si cos cos α β α β β α q q q q q q q q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q P P P P P 9.6 zy czym zdefiiowae jest zez q q iq q e i.

157 Łatwo sawdzić że ówaia są tożsamościowo sełioe jeżeli je odstawimy do Zauważmy że tasfomacja KS jest zdefiiowaa dla Q a jej tasfomacja odwota dla q. Wzó 9.55 jest zyadiem szczególym 9.59 słuszym tylo gdy q q Testy umeycze Doładość dysetyzacji Kozlova ogaiczają wyłączie błędy umeycze zy czym ich wływ moża eduować zmiejszając liczbę oów zyadających a jede obieg obity aalogiczie ja w zmodyfiowaej dysetyzacji odaej w acy [6]. Ilustuje to wyes 9.3. Wyes 9.3. Dysetyzacja Kozlova. Względe odchyleie od teoetyczej obity elityczej w fucji aametem jest N - liczba oów a obieg tma Postzęioa zywa a wyesie 9.3 owstaje w wyiu umulowaia się zyadowych błędów umeyczych. Doładość iewszych iludziesięciu oów utzymuje się a oziomie ie goszym iż -8 óźiej aładaie się błędów owadzi do zaczie więszych odchyleń. Po 3 obiegach dla N 5 masymaly błąd wzasta z - do iemal -5. Zwóćmy uwagę że aalogicze zywe wyesy dla zmodyfiowaej dysetyzacji odaej w acy [6] miały zaczie soojiejszy zebieg. Kumulację błędów wystęującą w dysetyzacji Kozlova w dłuższym oesie czasu w oówaiu do zmodyfiowaego modelu ezetuje wyes

158 Wyes 9.4. Masymale odchyleie od teoii dysetyzacji Kozlova vs zmodyfioway model 9. jao fucja liczby obiegów obity ; N 5 oów/obieg tma W zyadu zmodyfiowaej dysetyzacji 9. mamy ściśle liiową umulację błędów umeyczych umulacja w dysetyzacji Kozlova jest tylo z gubsza liiowa. Nachyleie fucji zmieia się w dość szeoich gaicach a o zeoczeiu 4 obiegów temo aastaia błędów wyosi o jest wyaźie więsze iż w ouecyjym modelu Powoduje to że owyżej 5 obiegu schemat Kozlova taci swą oczątową zewagę ad zmodyfiowaym itegatoem Podsumowaie W ozdziale tym omówioo i zetestowao szeeg dysetyzacji lasyczego oblemu Kelea. Zalazły się wśód ich tzy metody stadadowe Eulea lea-fog i dysety gadiet oaz dwie zalezioe ostatio dysetyzacje zachowawcze [6 5]. Dysetyzację odaą w acy [6] tóa zachowywała aalogi całe uchu ciągłego oblemu Kelea udało się zmodyfiować w tai sosób aby je zachowywała doładie. Testy umeycze ocetowały się a umulacji błędów badaych dysetyzacji wyażoej zez odchyleie od obity teoetyczej waz z uływem czasu. Sawdzoo też ewolucję tajetoii w zestzei fazowej. Wśód dysetyzacji stadadowych otwiedziły się zalety ceioej zez astoomów metody Stömea-eleta lea-fog tóa ajleiej sośód ich zachowuje geometię tajetoii fazowych. 58

159 Potwiedziliśmy doświadczalie że odchyleia od obity teoetyczej zmodyfiowaej dysetyzacji 9. i dysetyzacji Kozlova wyiają jedyie z umeyczych błędów zaoągleń. Badaia umulacji błędów oazały że zmodyfiowaa dysetyzacja 9. daje ściśle liiowy zyost błędów w czasie i zewyższa od tym względem schemat Kozlova. Poazao też a zyładach aadosalą cechę dysetyzacji doładych olegającą a wzoście doładości zy zwięszeiu ou czasowego. 59

160

161 Modele dysete jedowymiaowego ówaia falowego W ozdziale tym oddajemy aalizie możliwości badaia óżych asetów uchu falowego zy omocy zjawis zachodzących w modelu zbudowaym z jedoodej sieci szężoych oscylatoów hamoiczych. Poazay zostaie też związe ówaia falowego z ówaiem oscylatoa hamoiczego ozez tasfomatę Fouiea co owadzi do otzymywaia ewolucji czasowej ośoda z omocą dysetyzacji doładej ówaia oscylatoa hamoiczego. W ostatim odozdziale zalazły się ietóe wyii eseymetów omuteowych ilustujących działaie modelu sieci oscylatoów i dysetych schematów umeyczych dla ozwiązywaia ówaia falowego.. Szężoe oscylatoy hamoicze jao osty model uchu falowego Fizyczym obazem ośoda dysetego dla uchu falowego może być jedowymiaowa siata o stałej sieci a w węzłach tóej umieszczoo N jedaowych ciężaów o masie m ołączoych N sężyami o wsółczyiu sężystości K i długości swobodej a ja to oazao a ysuu.. W azie otzeby moża go zmodyfiować usuwając iewszą lub ostatią sężyę w celu zmiay wauów bzegowych a ańcach ośoda. Rysue.. Model dysety ośoda do badaia fal odłużych Jeśli wsaźia i użyjemy do oumeowaia dgających mas a zy omocy ψ i ozaczymy wychyleie i-tej masy z ołożeia ówowagi daego zez i i a to ówaia uchu taiego uładu wyglądają astęująco:

162 m && ψ Kψ K ψ m && ψ K ψ ψ i m && ψ N K ψ i N i ψ K ψ N ψ i Kψ N ψ i < i < N. Zastosowaie symetyczej metody Eulea ozdział 3 owadzi do otzymaia atualej dysetyzacji tego uładu ówań o astęującej ostaci wsaźiiem osłużoo się w celu ozóżieia óżych chwil czasu a ozacza o czasowy: ψ ψ ψ i N ψ ψ i ψ N ψ ψ i ψ N K m K m K ψ ψ m i ψ ψ ψ N i ψ ψ N i Iymi słowy możemy ozważać iesończoą sieć.. K ψ i ψ i ψ i ψ i ψ i ψ i.3 m z wauami bzegowymi ψ..4 ψ N Jest zeczą iteesującą że zmiaa ou czasowego jest ówoważa zmiaie częstości oscylatoa ω K / m. Wyjaśieie jest dość oczywiste: oes dgań oscylatoa jest jedostą uiwesalej sali czasowej oblemu.. Związi dysesyje dla iesończoego ośoda dysetego Sawdźmy czy iesończoy uład.3 bez wauów bzegowych! douszcza ozwiązaie w ostaci fali hamoiczej. Załóżmy że ψ i cos ai ω cosφi..5 Wówczas oczywiście ψ ψ i ± cosφ cosφ i cos a i± i m siφ i cosω ± siφ i si a siω. Podstawiając te wyażeia do.3 dostajemy.6 K cosφ i cosω cosφi cos a.7 m co ozacza że msi ω / K si a / czyli 6

163 ω K a si si..8 m Tai waue muszą sełiać fale hamoicze ozchodzące się w uładzie.3. Jest to zaazem związe dysesyjy dla fal biegących w tym ośodu. Wyoując zejście gaicze dostajemy związe dysesyjy w zyadu t ciągłego: K a ω si.9 m a zechodząc dodatowo z a otzymujemy zależość ω w sytuacji gdy sam ośode też jest ciągły: K ω a.. m Podstawiając do.8 watości a leżące w zedziale od a do a π uzysujemy częstości leżące w zedziale od ω do K ω ma acsi.. m Fale o częstościach z tego zaesu wiają do ośoda dowolie daleo. Sawdźmy teaz czy do iesończoego ośoda.3 może wiąć fala esoecjala ostaci ψ κia A cos ω Ae cos ω.. i i Wówczas ψ ψ i± i ± Ae Ae κ i± a κia cos ω cos ω ± ω..3 Podstawiając te wyażeia do.3 otzymujemy K cosω coshκa.4 m co owadzi do ówaia msi ω / K sih κa / tóego jedyym ozwiązaiem jest ω dla κ. Stwiedzamy zatem że w uładzie.3 ie mogą ozchodzić się fale esoecjale tyu.. Jest to zozumiałe gdyż ośode asz osiada częstość ogową ω i bauje w im dolego obszau eatywego. Jeśli jeda wzbudzeie zeoczy częstość ω ma może to sutować wejściem w zaes eatywy ośoda i ojawieiem się w im zemieej fali esoecjalej ostaci ψ i κia A cos ω Ae cos ω..5 i i 63

164 Sawdźmy to. Mamy ψ ψ i± i ± i± Ae i Ae κ i± a κia cos ω cos ω ± ω..6 Po odstawieiu owyższych zależości do.3 dostajemy K cosω coshκa.7 m sąd wyia że msi ω / K cosh κa / czyli ω K κa si cosh..8 m Jest to związe dysesyjy dla zaiającej zemieej fali wyładiczej o częstości ω > ω ma tóa może wiąć do uładu.3 a ewą głęboość..3 Związi dysesyje dla sończoego ośoda dysetego Ustalimy teaz związi dysesyje w zyadu sończoego N utów ośoda zadaego ówaiami zyade ciągłego czasu. && ψ && ψ i && ψ N K m K m K m ψ ψ i ψ ψ ψ N i ψ ψ N i tóe zaiszemy w fomie maciezowej: d dt.9 K ψ ˆ Aψ. m gdzie  jest maciezą N N ostaci Aˆ ψ ψ... ψ ψ N. 64

165 Poszuajmy ozwiązań w ostaci fali hamoiczej ψ stałymi. Wówczas e i ω t c gdzie ω i c są m Ac ˆ ω λ c λ :.. K Rozwiązaie c istieje jeśli det Aˆ λ I. Ozaczmy W N : det Aˆ λi..3 N jest ustaloe. Naszym celem jest zalezieie λ taiej że W N. Aby wyzaczyć W N użyjemy ozwiięcia Lalace a tóe daje astęujący związe euecyjy: W λ..4 N WN WN To ówaie óżicowe może być łatwo ozwiązae: N N WN a a.5 gdzie są iewiastami ówaia chaateystyczego λ a a a są stałymi tóe mogą być wyażoe zez W i W. Ostateczie dostajemy W N N dla oaz wówczas W N. N N WN N.6 w zyadu. Jeśli są zeczywiste Wyia stąd że muszą być zesoloe i taie że oaz λ. Zatem e iα e iα λ cosα W N si N α..7 siα Waue W N ozacza że N α jπ j całowite. Otzymujemy w te sosób ciąg dysety jπ α j.8 N jπ jπ j π λ j cos 4cos 4si.9 N N N gdzie j N i j N j zatem ówież j N. Uwzględiając. otzymujemy K jπ K j π ω cos si..3 m N m N 65

166 W zyadu fal stojących w sończoym ośodu o długości L N a lπ a musi zachodzić liczba falowa l całowite. Uwzględiając N to otzymujemy zależość taą samą ja w zyadu fal biegących w ośodu dysetym iesończoym wzó.9. Poazaliśmy zatem że związi dysesyje dla fal biegących w ośodu iesończoym i dla fal stojących w taim samym ośodu sończoym są idetycze. Zwóćmy też uwagę a to że w zyadu fal stojących w ośodu sończoym istieje miimala watość π a a wyiająca ze związu. Zatem owia się tu ojawić N częstość ogowa ówa oówaj wzó.8 K π ω acsi si.3 m N i eatywość taiego ośoda dla dgań wymuszoych o częstości iższej od ω. Wóćmy jeszcze do wetoa własego c. Jego sładowe związae z watością własą λ sełiają ówaie óżicowe c c cosα c c c..3 j j j N Rozwiązaie jest atyczie idetycze ja w zyadu ówaia.4. Otzymujemy πj c j C si j π α C si.33 N gdzie C jest dowolą stałą. Aby oówać to ozwiązaie z zyadiem ciągłym zauważmy że j ja L N a..34 Zatem j c j C si.35 L i oczywiście c ψ t. j j.4 Numeycze własości sieci szężoych oscylatoów.4. Dgaia włase Pzydatość modelu szężoych oscylatoów hamoiczych i jego ogaiczeia zostały sawdzoe atyczie a zyładzie N 5 mas m. ozmieszczoych wzdłuż odcia o długości L.55 a.59 66

167 ołączoych ieważimi sężyami o wsółczyiu sężystości. i długości swobodej ówej a. Amlituda fali stojącej została ustaloa a A.5 atomiast 3. Oazało się że te osty model zuełie dobze odtwaza wszystie zjawisa falowe jeśli tylo o czasowy ie zeacza ewej ustaloej watości. W więszości zyadów stosowao.. Pzy ta zdefiiowaych wauach uchu ośoda oazało się że częstość dgań fali stojącej 3 wyosi ω.76 s - T s i jest badzo blisa częstości w zybliżeiu ciągłości ω.76 s - T th Wyes. zedstawia odchyleie wychyleia w modelu dysetym od teoii o stosuowo ótim czasie działaia oów. Wyes.. Odchyleie utów ośoda od teoii o uływie t h.. Widzimy że ośode ma ieco za duże wychyleie w ieuu dodatim i jedocześie za małe w ieuu ujemym a masymale odchyleie od teoii o uływie 6 oesów zeacza -6. Dgaia obsewowae w ośodu dysetym są stabile zez długi czas i zachowują ształt siusoidaly. Działaie badaego modelu zależy od wybou zyostu ou czasowego. Jego zwięszaie ogasza zgodość dgań dysetych z teoią jeda ich zachowaie jest zuełie dobe dla wszystich. Poazuje to wyes. zależości oesu dgań fali stojącej 3 od z tóego wyia że do oisu tej zależości wystacza ozwiięcie wielomiaowe uwzględiające wyazy stoia dugiego. Widzimy tu awidłowe asymotycze zachowaie się modelu w gaicy gdyż wyaz woly ozwiięcia w zybliżeiu jest ówy z doładością leszą iż -7 teoetyczej watości oesu dgań wyoszącej o

168 Wyes.. Zależość oesu dgań modelu dysetego od T th Ią atualą miaą globalego odchyleia od teoii w zestzeym modelu dysetym jest suma wadatów odchyleń dla wszystich utów ośoda. Jej zależość od watości ou czasowego ezetuje wyes.3. Oazuje się że z dużą doładością oisuje ją wielomia stoia czwatego. Wyes.3. Zależość błędu globalego w modelu dysetym od t. Zbliżaie się do ytyczej watości zyostu czasu owoduje że model dysety gwałtowie taci stabilość. Wyes.4 zedstawia liiową zależość między ytyczą watością ou czasowego a oesem dgań 68

169 uładu. Postać zywej a tym wyesie staje się oczywista gdy zyomimy K sobie że jedyym aametem modelu. jest ω co owoduje że m zmiaa ou czasowego jest ówoważa zmiaie częstości dgań uładu. Wyes.4. Zależość omiędzy i oesem dgań fali stojącej 3.4. Dgaia wymuszoe Aby uzysać możliwość obsewacji dgań wymuszoych wystaczy zmieić iewsze ówaie w modelu. a K F ψ ψ ψ ψ ψ cos ω..36 m m W zyadu ośoda iesończoego o czym już wsomiao zaes dysesyjy oeśloy jest zedziałem od ω mi do ω ma 4K/m odowiadającym iloczyom a ależącym do zedziału π. Fat że baday ośode jest sończoy sutuje ewym zawężeiem zaesu dysesyjego. 4K πa 4K Nπa Miaowicie ω mi si oaz ω ma si. W tym zedziale m l m l częstości możliwych jest N ostaci dgań własych. Jeśli do modelu dysetego zyłożymy hamoiczą siłę wymuszającą o częstości z zedziału [ω mi ; ω ma ] zawsze będziemy w obliżu jedej z N częstości ezoasowych. W aalizowaym zyładzie umeyczym ω mi.456 ω ma dla ośoda iesończoego o tych samych aametach ω ma 44. Odległości omiędzy częstościami ezoasowymi są zędu 69

170 ω.5. Poza wsazaym wyżej zedziałem ośode owiie być eatywy. Eseymet umeyczy otwiedza omówioe wyżej własości fizycze badaego ośoda. Obaz dgań wymuszoych zy óżych watościach ω zedstawiają wyesy.5.6 i.7. Wyes.5. Obaz dgań ośoda dla częstości siły wymuszającej ω o uływie t 47 od jej włączeia. Wyes.6. Obaz dgań ośoda dla częstości siły wymuszającej ω 9.38 gaica eatywości o uływie t 47 od jej włączeia. 7

171 Wyes.7. Obaz dgań ośoda dla częstości siły wymuszającej ω 9.7 obsza eatywy o uływie t 47 od jej włączeia. Pzeoczeie ω ma owoduje wejście w obsza w tóym w ośodu owia owstać zemiea fala esoecjala ostaci.5. Reację ośoda a wzbudzeie w fucji jego częstości zedstawia wyes.8. Widzimy tu dwa obszay eatywe badzo wąsi a lewo od ω mi i szeoi a awo od ω ma tóego ołożeie gwałtowy sade amlitudy dgań ozoczya się od częstości ω 9.5 dobze zgadza się z odaą wyżej watością teoetyczą. Wyes.8. Zależość względej masymalej amlitudy dgań ośoda dysetego od częstości siły wymuszającej t 4.. 7

172 .5 Rówaie falowe a dołada dysetyzacja oscylatoa hamoiczego W odozdziale tym oazae zostaie że dołada dysetyzacja oscylatoa hamoiczego może być zastosowaa w zyadu ówań óżiczowych cząstowych. Rozatzmy ówaie falowe ostaci c u t Załóżmy że u..37 u ˆ i t u t e co jest ówozacze z ozatywaiem ewolucji czasowej modu odowiadającego liczbie falowej tóa aametyzuje ówaie. Po odstawieiu do.37 otzymujemy ˆ t u t i e c czyli ˆ uˆ t e i.38 d u c uˆ ω uˆ..39 dt Oazuje się zatem że ewolucja czasowa ażdego z modów oisaa jest ówaiem oscylatoa hamoiczego. Wszystie jego dysetyzacje są więc de facto dysetyzacjami ówaia falowego.37. Do ówaia.39 moża zastosować oówaj [4] stadadową symletyczą metodę iejawą utu śodowego imlicit midoit: uˆ uˆ uˆ ω uˆ ω uˆ uˆ uˆ.4 4 z dugim utem dysetyzacji daym zez u ˆ ω uˆ ω u& ˆ ω.4 jeda ie ma żadych zeszód aby wyozystać w tym miejscu zalety doładej dysetyzacji ozdział 3 ówaia oscylatoa hamoiczego: ˆ u cosω uˆ uˆ..4 Dzięi jej zastosowaiu odosimy wiele ozyści. Jeda z ich jest taa że ędość guowa aietu falowego staje się dołada co sawia że schemat.4 odtwaza tasot eegii w uchu falowym. Otzymaliśmy zatem azędzie tóe moża wyozystać choćby do badaia ewolucji czasowej dowolego odształceia ośoda zadaego fucjami u 7

173 oaz u&. Wyoując tasfomatę Fouiea otzymujemy waui oczątowe dla schematów umeyczych.4 i.4: uˆ u e π uˆ & u& e π i i d d Po wyzaczeiu doładej ewolucji czasowej fucji û za omocą dysetyzacji.4 musimy wyoać jeszcze tasfomatę odwotą aby odtwozyć zebieg u t : u t uˆ t e π i d..45 Tasfomaty.43 i.44 ależy obliczyć możliwie doładie gdyż ażde odchyleie będzie oddae oagacji w czasie iezależie od doładości zastosowaej dysetyzacji. Na szczęście dla zadaego czasu t tasfomaty tzeba liczyć tylo dwuotie a istiejące oceduy są szybie i dołade. szyba tasfomata Fouiea FFT [5 84]..6 Dysetyzacje ówaia falowego eseymet umeyczy W celu sawdzeia działaia schematu umeyczego oisaego w ozedim ozdziale odjęto óbę odtwozeia ewolucji czasowej wygięcia gaussowsiego daego wzoem u th d Ae..46 W zyadu ośoda ciągłego związe dysesyjy day jest zależością. ędości fazowa i guowa są sobie ówe a teoetyczy zebieg ewolucji odształceia.46 oisay jest zez u ct ct d d th t Ae Ae.47 gdzie c ozacza ędość guową. Wato w tym miejscu zazaczyć że baday schemat może działać w zyadu dowolego ośoda. Jest to tylo westia iego wybou związu dysesyjego. W eseymecie umeyczym iesończoy ośode ciągły modeloway był z omocą sończoego odcia o długości L.48. Wsółczyii wzou. dobao ta że ędości guowa i fazowa wyiosły c

174 Paamety imulsu: A. L/ d. Dzięi temu w chwili t w obliżu ońców ośoda wychyleie oczątowe miało watość Widzimy zatem że ośode sończoy może zez ewie czas badzo doładie symulować zachowaie ośoda iesończoego. Wyesy.9 i. zedstawiają u th oaz u th u zy czym u ozacza zebieg wauu oczątowego o wyoaiu tasfomaty odwotej ze zmieej û. Wyes.9. Początowe wychyleie ośoda u th. Wyes.. Błąd wowadzay zez tasfomatę Fouiea wauu oczątowego do zmieej û i a odwót. 74

175 Wyes. oazuje że błąd względy odtwozeia zebiegu oczątowego jest a oziomie -5 w szeoim zedziale woół masimum. W cetalej części wyesu odchyleie jest miejsze iż oziom zaejestowaego tam szumu umeyczego. Ta zetasfomoway waue oczątowy oddao ewolucji czasowej z omocą metody iejawej utu śodowego.4 i dysetyzacji doładej.4. Wyes. zedstawia zyładowy obaz wychyleia ośoda o ewolucji dla obu metod atomiast. i.3 ich odchyleie od teoii. Wyes.. Wychyleie ośoda o ewolucji czasowej dla dysetyzacji imlicit midoit białe wadaty i doładej czae omby; t 6.5. Wyes.. Odchyleie zebiegu u t od teoii dla dysetyzacji iejawej utu śodowego imlicit midoit; t

176 Wyes.3. Odchyleie ut od teoii dla dysetyzacji doładej; t 6.5. Obydwie dysetyzacje badzo dobze jaościowo odtwazają zebieg teoetyczy ut jeda odształceie ośoda w zyadu metody iejawej utu śodowego ousza się z ią ędością guową i waz z uływem czasu coaz badziej ozmija się z zebiegiem teoetyczym. Dysetyzacja dołada zachowuje ędość guową z doładością do błędów obliczeń i odchyleie od teoii a wyesie.3 jest oad zędów wielości miejsze iż w zyadu zastosowaia metody utu śodowego imlicit midoit choć taże i w tym zyadu obsewujemy ewą umulację ozmaitych błędów umeyczych. W celu zbadaia uchu wygięć gaussowsich wyzaczoo ich ołożeia i amlitudy. Wystaczającą doładość uzysao doasowując wielomia stoia dugiego do ięciu utów ośoda w wiezchołu masimum. Wyesy.4 i.5 zedstawiają czasową zależość amlitudy wygięcia w zyadu dysetyzacji iejawej utu śodowego oaz doładej. Na obu wyesach ujawiają się omawiae w ozdziale 4 efety umeycze związae ze zmieą w czasie ofiguacją utów w wiezchołu wygięcia jeda w zyadu dysetyzacji imlicit midoit są oe słabo widocze gdyż amlituda wygięcia systematyczie maleje. Zmiaa amlitudy w dysetyzacji doładej jest a tyle słaba że domiującą olę a jej wyesie odgywają omawiae wcześiej dudieia geometycze. Na wyesie.5 moża dostzec badzo mały dyf śediej amlitudy ochodzeia czysto umeyczego ale z całą ewością błąd umeyczy wsółczyia ieuowego zewyższy zaczie jego watość. 76

177 Wyes.4. Zmiaa amlitudy wygięcia w czasie w zyadu dysetyzacji iejawej utu śodowego;.5. Wyes.5. Zmiaa amlitudy wygięcia w czasie w zyadu dysetyzacji doładej;.5. Wyesy.6 i.7 ozwalają oówać ędości guowe zemieszczaia się odształceia w ośodu dla obu dysetyzacji. 77

178 Wyes.6. Położeie masimum zemieszczającego się w lewo w fucji czasu dla dysetyzacji iejawej utu śodowego.5 c Wyes.7. Położeie masimum zemieszczającego się w lewo w fucji czasu dla dysetyzacji doładej.5 c Wsółczyi ieuowy w obu zyadach jest obaczoy błędem zędu. -7 atomiast wyaz woly błędem zędu Ozacza to że dysetyzacja dołada w gaicach błędów umeyczych daje ędość guową ówą watości teoetyczej. Rówie doładie a odstawie wyesu.7 możemy estaolować ołożeie wygięcia gaussowsiego w chwili t. 78

179 .7 Podsumowaie W iewszej części ozdziału oddao aalizie teoetyczej i eseymetalej osty model uchu falowego w ostaci szężoych oscylatoów hamoiczych tóy zuełie oawie symuluje wiele zjawis falowych. W dugiej jego części oazao w jai sosób dołada dysetyzacja ówaia hamoiczego ozwala a otzymaie doładej dysetyzacji jedowymiaowego ówaia falowego. Pomysł olega a ozatywaiu ewolucji czasowej modu odowiadającego liczbie falowej oisaej ówaiem oscylatoa hamoiczego. Dowoly waue oczątowy u i u& ależy oddać tasfomacji Fouiea w celu uzysaia wauu oczątowego u ˆ u ˆ & dla ówaia oscylatoa. Po wyzaczeiu ewolucji czasowej fucji û za omocą doładej dysetyzacji tego ówaia dla wszystich watości ozostaje wyoać odwotą tasfomatę Fouiea w celu owotu do fucji u t. Testy umeycze oazały że algoytm te ozwala obliczać ewolucję czasową fal z doładością ogaiczoą jedyie błędami zaoągleń umeyczych. 79

180

181 Dodati. Liiowe ówaia óżicowe ze stałymi wsółczyiami W odozdziale tym oatym a acy [] zyomiaa zostaie metoda ozwiązywaia ówań óżicowych ze stałymi wsółczyiami. Polega oa a zedstawieiu ówaia w ostaci ówaia maciezowego iewszego zędu. Ogóla ostać dysetego ówaia liiowego dugiego zędu jest astęująca: A B. i może być zaisaa w fomie maciezowej gdzie y My. B A y M..3 Ogóle ozwiązaie ówaia. ma oczywiście ostać: y M.4 y co eduuje ozwiązywaie ówaia dysetego do czysto algebaiczego oblemu otęgowaia zadaej maciezy. Ta sama ocedua może być zastosowaa dla dowolego liiowego ówaia óżicowego ze stałymi wsółczyiami. Jeśli ówaie óżicowe jest zędu m wówczas w celu otzymaia. defiiujemy y T : m m....5 gdzie symbol T ozacza tasozycję. Potęga M może być łatwo wyzaczoa w zyadu gdy maciez M może zostać zdiagoalizowaa czyli zestawioa w fomie M NDN.6 gdzie D jest maciezą diagoalą. Wówczas oczywiście M ND N -. Diagoalizacja jest możliwa jeśli tylo maciez M osiada doładie m liiowo iezależych wetoów własych w szczególości jeśli ówaie chaateystycze.7 osiada m aami óżych iewiastów. Wówczas olumy maciezy N są właśie wetoami własymi M a wsółczyii diagoale D jej watościami własymi.

182 Rówaie chaateystycze detm-λi dla m czyli dla. ma ostać Λ Aλ B..7 Ozaczmy jego iewiasti zez Λ Λ atz Jeżeli Λ Λ wówczas ocedua diagoalizacji daje Λ N N M.8 Λ zy czym olumy N są wetoami własymi M to zaczy Λ Λ N..9 Dlatego Λ N Λ N. a o wyoaiu możeia otzymujemy Pzyade wielootych watości własych M jest techiczie badziej somlioway. Aby obliczyć M możemy a zyład zetasfomować M do ostaci aoiczej Jodaa atz. [56]. Tutaj zasugeujemy metodę tóa jest badzo efetywa w zyadu maciezy. Otóż a mocy twiedzeia Cayley a Hamiltoa [56] ażda maciez sełia jej ówaie chaateystycze. W zyadu. ozacza to że M AλM B. Jeśli iewiaste jest odwójy B -A moża łatwo udowodić zez iducję że M A M A.. Wstawiając to do. otzymujemy bezośedio Metody umeycze dla ówań óżiczowych zwyczajych Pzedstawioe tu zostaą a odstawie acy [] ifomacje a temat ietóych metod umeyczych dla ówań óżiczowych zwyczajych i zyłady ich zastosowaia do ówaia oscylatoa hamoiczego 3.8. Uład liiowych ówań óżiczowych zwyczajych dowolego zędu może zawsze być zedstawioy w ostaci ojedyczego ówaia maciezowego iewszego zędu: y & Sy. 8

183 83 gdzie y jest wetoem a S zadaą maciezą w ogólości zależą od czasu. Metody umeycze są awie zawsze atz [55] ostuowae dla szeoiej lasy ówań óżiczowych zwyczajych włączając ieliiowe: y t f y &..3 Ozaczmy zez y umeyczą aosymację doładego ozwiązaia yt. Metoda Eulea. y t f y y..4 W tym zyadu dysetyzacja & & daa jest zez 3.5. Zmodyfiowaa metoda Eulea.. y t f y t f y t f y y y t f y t f y y.5 Obydwie metody owadzą do astęującej dysetyzacji & & : 4..6 Piewiasti ówaia chaateystyczego są uojoe i wyoszą 4 Λ Λ..7 Metoda Gaussa-Legede a-ruge-kutty iewszego zędu.. y y t f y y..8 Zastosowaie tego schematu umeyczego daje astęującą dysetyzację ówaia tłumioego oscylatoa hamoiczego: 4 ω γ..9 W zyadu gdy γ ω tj. & & mamy i i i i Λ Λ.. Fomuła estaolacyja Adamsa-Bashfoth a. j j j j y t f b y y. gdzie b j są secjalie wybaymi liczbami zeczywistymi. W szczególości b 3/ b -/ b 3/ b -4/3 b 5/. W zyadu dla & & otzymamy dysetyzację

184 oaz ówaie chaateystycze ostaci Λ 4 Λ Λ Λ Jest to ówaie czwatego zędu ie osiadające zeczywistych iewiastów dla..3 Uwagi a temat eseymetów umeyczych W tacie acy ad iiejszą ozawą luczowe zaczeie miało atycze stosowaie omuteowych obliczeń umeyczych. W tym ozdziale omówioe zostały metody iteacyje iezbęde w zyadu stosowaia iejawych zamiętych schematów umeyczych w szczególości osztochłoość czas obliczeiowy stosowaych metod..3. Wowadzeie Jedym z ważiejszych owych wyiów ezetowaych w tej ozawie jest zedstawioa w ozdziale 6 dysetyzacja oeślaa jao metoda loalie doładego dysetego gadietu. Mimo że ie osiada oa ta ożądaych cech ja odwacalość w czasie i zachowywaie objętości zestzei fazowej to jeda wyazuje się dużą stabilością czasową i będąc metodą zędu tzeciego iezwyle doładie symuluje ozwiązaia ówań óżiczowych. Pecyzja działaia tej metody odwzoowaie oesu oscylacji ieliiowych uładów dgających dla małych oów czasowych i ędów oczątowych ze względym odchyleiem a oziomie -4 będąca jej ajwięszą zaletą jest jedocześie wyzwaiem dla eseymetatoa umeyczego agącego taie ezultaty liczbowe zaezetować. Badzo istote stają się wówczas taie aamety obliczeń ja ilość miejsc dziesiętych w używaych liczbach błędy zaoągleń omieie zbieżości iteacji czy schematy całowaia umeyczego. Istieje wiele zaomitych siąże z metod umeyczych dlatego celem tego ozdziału ie będzie może z małymi wyjątami owtazaie zawatych w ich ozumowań. Chodzi aczej o to aby czyteli zaozając się z wyiami ewej liczby eseymetów umeyczych zobaczył ja acują wybae metody i mógł ewetualie wyozystać te doświadczeia w swojej acy. Dae liczbowe cytowae w tym ozdziale odoszą do wahadła matematyczego cos. 84

185 Wszyscy słyszeli o błędach zaoągleń ale iezbyt wiele osób myśli o ich a co dzień. Wiadomo że zdazają się w aytmetyce zmieozeciowej a odległych miejscach dziesiętych i zeszadzają aczej iewieliej guie ludzi zmuszoej do zeowadzaia badzo ecyzyjych obliczeń. Zilustujemy to zyładem. Weźmy ciąg geometyczy a..4 a a q i i Wzó a sumę elemetów tego ciągu jest owszechie zay obliczmy ją jeda bezośedio z omocą omutea dla q.999 osługując się stadadowym tyem zeczywistym z 5 cyfami zaczącymi. Wyii obliczeń dla óżych watości zajdziemy w tabeli.. Tabela.. Wyii sumowaia ciągu geometyczego dla a q.999 w zależości od liczby wyazów i olejości dodawaia. a a a a a a - a - a Pzyzajmy że zyład jest dobay dość tedecyjie jeda fatem ozostaje że óże watości w dugiej i tzeciej olumie tabeli. sowodowae są wyłączie ią olejością dodawaia tych samych liczb. Oazuje się że zy więszej liczbie sładiów moża otzymać w te sosób óżicę w sumie już a 3 miejscu zaczącym od ońca. Widzimy też zy oazji ja fucjoują w aszych omuteach odstawowe asjomaty matematyi. Na szczęście istieje wiele algoytmów umeyczych dających acetowale wyii omimo ieuchoego wływu błędów zaoągleń a ońcowy wyi..3. Pzegląd wybaych metod umeyczego ozwiązywaia ówań ieliiowych Najlesze dysetyzacje ezetowae w tej acy odae są często w ostaci uwiłaej wymuszającej umeycze ozwiązywaie ówań. Dotyczy to w szczególości metody dysetego gadietu oaz jej uleszoych wesji. Poblem geealie olega a zalezieiu ozwiązań ówaia wetoowego f.5 lub iaczej zecz ujmując uładu ówań salaych a iewiadomych f... j j 85

186 Służą do tego óże metody iteacyje [6 88]. Jeśli zez ozaczymy oleją aosymację iewiasta to dowolą metodę iteacyją możemy zaisać w ostaci m....7 zy czym fucję azywamy fucją iteacyją. Załadamy że zależy oa od watości fucji f m i jej ochodych w m utach.... Sytuacja jest ajostsza gdy m :.8 mamy wówczas do czyieia z metodą iteacyją jedoutową. Iteacja jest zbieża o ile jest odwzoowaiem zwężającym. Metoda utu stałego Jest to osta metoda iteacyja tóą możemy zastosować o ile ówaie wyjściowe.5 zaiszemy w ostaci g..9 Wyozystując twiedzeie Baacha o ucie stałym [6] możemy wówczas zastosować iteację metoda jedoutowa g.3 tóa jest zbieża jeżeli odwzoowaie g jest zwężające. W jedym wymiaze ozacza to że g < dla ażdego z otoczeia iewiasta tóe zawiea i odowiedio: ut statowy i iewszy ut iteacji. Wyes. oazuje działaie tej metody w zyadu malejącej fucji jedej zmieej. Wyes.. Ilustacja gaficza metody utu stałego fucja jedej zmieej. 86

187 87 W zyadu schematu loalie doładego dysetego gadietu g ma ostać: g g δ δ..3 Jest oa jedocześie fucją iteacyją i oeśla bezośedio oleje oi iteacji. Metoda Newtoa Jest to badzo waża i szybozbieża metoda z tóą bliso związaych jest szeeg metod oewych ja metoda sieczych egula falsi metoda Steffesea i ie [6 88]. Pomysł jest astęujący. Otóż ozwijając f ówaie.5 w szeeg woół utu i dostajemy i j i i j j i f f f..3 Nastęą aosymację iewiasta i otzymujemy ładąc f i ozwiązując ówaie liiowe względem. Otzymujemy i i i i i f f.33 zy czym j j i i i f f f f..34 Wyes. ilustuje owyższą ideę a zyładzie fucji jedej zmieej. Wyes.. Ilustacja gaficza metody Newtoa fucja jedej zmieej.

188 88 W zyadu schematu loalie doładego dysetego gadietu mamy f f δ δ.35 f f f f δ δ.36 f δ δ δ.37 Oczywiście T i i i.38 lecz wygodie jest zyjąć T i oaz T i ~ ~ co ozwala aisać ówaie iteacyje w ostaci ~ ~ f f..39 Osiągala doładość metod iteacyjych Niech będzie ciągiem zybliżeń iewiasta α uzysaym zy omocy metody iteacyjej. Niech watość będzie obaczoa błędem δ. Wtedy... δ..4 Odejmując od tego związu ówość α α i stosując twiedzeie o watości śediej otzymujemy δ α ξ α gdzie it α ξ..4 Wyia stąd ówość δ ξ α ξ..4 Załadając że < m ξ i δ δ <.43 otzymujemy ieówość δ α m m m <..44

189 Pawa stoa tej ieówości słada się z dwóch sładiów. Piewszy szacuje błąd odcięcia a dugi błąd obliczeń. Dla dostateczie dużych błąd obliczeń staje się domiującą częścią sładową błędu zybliżeia i dalsze iteacje ie oawią już doładości. Błąd owiie zachowywać się ieegulaie ozostając w gaicach ±δ/-m [6]..3.3 Poówaie działaia metod utu stałego Newtoa i ołowieia zedziału Iteacje wyoywao zy założeiu doładości bezwzględej błąd odcięcia -6 i ustaleiu limitu oów w liczbie 5 dla iteacji Newtoa i dla metody utu stałego. Limity te są z gubsza dwuotie więsze od obsewowaej masymalej śediej liczby oów. Koieczość ich stosowaia wyia z wzou.44 - zaówo metoda utu stałego ja i Newtoa dochodziły w ietóych utach do teoetyczej gaicy osiągalej doładości. Błąd obliczeń stawał się wówczas więszy od błędu odcięcia co zejawiało się zeaczaiem limitu oów iteacji. Wyesy.3 i.4 ozwalają wsazać miejsca w tóych błąd wyiający z możliwej do osiągięcia doładości jest więszy iż -6. Wyes.3. Liczba iteacji w olejych utach dysetyzacji T th Metoda Newtoa. 89

190 Wyes.4. Liczba iteacji w olejych utach dysetyzacji T th Metoda utu stałego. Liczby iteacji w obydwu metodach oscylują w iewszym zędzie z oesem tóy możemy zyisać dysetyzacji. Naładają się a to subteliejsze efety owtazające się w iych odstęach czasu. Ich atua została omówioa w ozdziale 4. Widzimy że ajtudiejszą acę obydwie metody iteacyje mają w tych samych utach zy zechodzeiu dysetyzacji zez ołożeie ówowagi tu iteacje zawsze ończyły się zed osiągięciem limitu i w obliżu masymalych wychyleń. Badzo łasi zebieg zywej wychyleia w utach zwotych odowiada seaatysie ogaicza tu możliwą do osiągięcia doładość oiżej założoego błędu odcięcia dla ażdej z metod. Wyes.5. Oscylacje a 3 ostatich cyfach o zeciu 5-7 w metodzie utu stałego oczyając od 8 ou iteacji t.6. 9

191 Wyes.6. Oscylacje a 4 ostatich cyfach o zeciu 4-7 w metodzie Newtoa oczyając od 7 ou iteacji t.6. Na wyesach.5 i.6 zedstawioo oscylacje ojawiające się w metodzie utu stałego i Newtoa o zeoczeiu zez ie gaicy osiągalej doładości. Dotyczą oe tego samego utu dysetyzacji leżącego a iewszym masimum wychyleie oczątowe. Iteacje acowały a liczbach mających 8 zaczących cyf dziesiętych. Poszczególym utom zyisao liczby całowite owstałe z 3 metoda Baacha lub 4 metoda Newtoa ostatich cyf tóe odlegały zmiaom wsute oscylacji. Ich omień oazał się dwuotie więszy w metodzie Newtoa. Poawieie doładości możemy uzysać uśediając wyi ewej liczby oscylacji lub wyoując dalsze obliczeia za omocą wolozbieżej ale doładiejszej metody bisecji. Wyes.7. Poówaie zbieżości metody bisecji omby metody Baacha wadaty i Newtoa tójąty t.9. 9

192 Wyes.7 zedstawia sosób w jai zbiegają do ozwiązaia tzy ezetowae dysetyzacje. Do osiągięcia doładości -4 metoda Newtoa otzebowała 5 oów Baacha 6 atomiast bisecji 5. Wyesy.8 i.9 ozwalają ześledzić zależość śediej liczby oów metody Baacha i Newtoa iezbędych do osiągięcia doładości -6 w zależości od i dla dysetyzacji loalie doładego dysetego gadietu symulującej wahadło matematycze. Wyes.8. Śedia liczba iteacji z iewszych oów jao fucja ędu oczątowego i dla metody Baacha. Wyes.9. Śedia liczba iteacji z iewszych oów jao fucja ędu oczątowego i dla metody Newtoa. 9