WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej

Transkrypt

1 WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa reprezentacja operatora { ϕ } w skończonej ortonormalnej bazie funkcyjnej i A * A ij i j < i A j > ϕ ( τ ) A ϕ ( τ ) dτ metoda wariacyjna Ritza rachunek zaburzeń dla stanów zdegenerowanych

2 c c c.. c n wektor współczynników rozwinięcia Ψ n c i ϕ i i mechanika kwantowa: hermitowskie (symetryczne) operatory mierzalnych wielkości fizycznych; głównie macierze symetryczne podstawowe definicje i twierdzenia algebry macierzowej (przypomnienie): def. Macierze A i B ( nxn ) są podobne gdy istnieje nieosobliwa macierz S ( det S ) taka, że AS - BS def. Jeśli S - S T to S jest ortogonalna (unitarna) Tw. Macierze podobne mają te same wartości własne; Acλc, Bxλx i xsc

3 Tw. Jeśli A jest macierzą symetryczną to istnieje ortogonalna macierz S taka, że DS T AS gdzie D jest macierzą diagonalną. problem (*) sprowadza się do znalezienia transformacji diagonalizującej A Metody iteracyjne Transformacja Jacobiego. przypadek n wybierzmy S w postaci: cosv S sin v sin v cosv istotnie S T S Jakie powinno być ν, żeby cosv sin v sin v cosv p r r cosv q sin v sin v cosv λ λ

4 z żądania w pozadiagonalnym elemencie p cosvsin v + r cos v r sin v qsin vcosv tg( v) dla pq v π/ v π/4 r q p. n> cos v.. sin v.. S k sin v.. cos v i-ta j-ta kolumna kolumna S k T AS k - eliminuje elementy { j,i } oraz { i,j } dodatkowo: zmianie ulegają tylko wiersze {i}, {j} oraz kolumny {i}, {j}

5 nie potrzeba mnożyć trzech macierzy, z których dwie zawierają prawie same zera... wystarczy wyprowadzić wyrażenia na zmienione elementy w tych wierszach i kolumnach... iteracyjnie usuwamy elementy pozadiagonalne tworząc ciąg transformacji S k T S k- T... S T S T A S S... S k- S k ostatecznie transformacja S diagonalizująca A S S S... S n- S n w każdym kroku wybieramy największy element pozadiagonalny w kolejnych krokach mogą ulec zmianie elementy wcześniej wyzerowane ale można udowodnić, że m n ( k+ ) a mn < a m n ( k ) mn metoda jest wolno zbieżna ciąg kolejnych transformacji diagonalizujący (zerujący pozadiagonalne elementy) z żądaną dokładnością

6 ale daje wszystkie wartości własne kolumny S zawierają kolejne wektory własne: jeśli przez X oznaczyć macierz złożoną z kolumn wektorów własnych, to A X D X gdyż D λ λ n i X - A X D a to oznacza, że SX Metoda Householdera i algorytm QL sprowadzenie A do postaci trójdiagonalnej T o takich samych wartościach własnych jak A ( za pomocą szeregu transformacji ortogonalnych ) niech u będzie dowolnym wektorem o wym. m n

7 macierz Householdera macierz I ma wymiar n x n P I - uu T u u ( u u.. um ).. u m (do wymiaru n można uzupełnić diagonalnie) np. dla nm+ u u.. u m u u u.. m m u uu.. uu uu u.. uu u u u u.. u m m m to P P T, wybierając u tak, że u to PP czyli P P - jest tak ponieważ (I-uu T )(I-uu T )I - 4uu T + 4uu T uu T, u T u u zatem P jest ortogonalna m m jeśli u to

8 gdzie P u u I T H H u przy czym przez u należy rozumieć: u ( u u.. u ) można pokazać, że wybierając m u u.. um (*) u x x ei, X dowolny wektor to Px ± x ei tzn. P wyzerowuje z x wszystko za wyjątkiem elementu na i-tej pozycji. dowód: (wybierzmy znak + )

9 korzystamy z faktu, że u u T u x ( x +x i ) (A) (gdyż xe i x i ) oraz, że u T x e i x ( x +x i ), (B) zatem Px Ix uu T x /(u T u) [ z def. * ] x uu T (u- x e i ) /(u T u) [ z A i B ] x u + u( x ( x +x i )) / ( x ( x +x i )) x u +u [z def. * ] - x e i. Wybierając x jako a a.. a n 3 z kolumny () A (zauważmy, że mn- i do wymiaru n uzupełniamy P jako I ) oraz biorąc i ( gdy mamy na myśli całą kolumnę z A)... P zbudowane z x P :

10 P A a a a.. a k.. 3 n ( k jest z dokładnością do znaku równe x ) i zmodyfikuje pozostałe elementy w bloku (,3,...,n)x(,3,...,n) a A () P A P a k.. k.. kolejne P budujemy w oparciu o x z A () - nie z całej A () lecz z bloku o wym. (m n-) począwszy od 3-ciej kolumny i 3-go wiersza

11 a 3 a4.. a n () () () a ciąg operacji P P P... P n- ortogonalnych, trójdiagonalizuje ściśle A do T skończona liczba (n-) operacji diagonalizacja macierzy T niech J n w działaniu na T ( J n T ) dokonuje obrotu Jacobiego (lewego), wyzerowując element ( n-, n ) ; w dolnym trójkącie T pojawi się T n,n- ponieważ...,..., ,...,......

12 ...,, T n-,n-3, T n-,n-, T n-,n-,...,,, T n-,n-, T n-,n-,...,,, T n,n-, T n,n-, T n,n mnożone z lewej strony przez macież Jacobiego posiadającą cos(v), sin(v), -sin(v), cos(v) na elementach o indeksach n-, n zerująca element T n-,n może zmodyfikować (na tej pozycji) wyzerowując kolejne elementy T k-,k obrotem J k (XX) L () J J 3... J n T otrzymujemy macierz trójkątną (lewą): oznaczając Q () J T n J T n-... J T możemy zapisać T Q () L () T () (albo inaczej mnożąc (XX) z lewej przez J T n J T n-... J T ) zauważmy też, że (J J 3...J n ) T J T n J T n-... J T (Q () ) T (Q () ) - bo Q () jako seria macierzy Jacobiego jest ortogonalna,

13 faktoryzacja T na (m. ortog.) x (m. trójkątna) i T nazwiemy w tym etapie T (), ale pomnożenie Q z lewej przez L: da T () L () Q () jest ponownie macierzą trójdiagonalną gdyż T () J J 3... J n T () J T nj T n-... J T proces iteracyjny: T (k) jest faktoryzowana T (k) Q (k) L (k) T (k+) L (k) Q (k) aż do otrzymania wyzerowania z żądaną dokładnością Znajdowanie pojedynczych wartości własnych szukanie zer wielomianu P ( λ) det A λi n metoda potęgowa

14 szukamy jednej (wybranej) wartości własnej założymy, że interesuje nas dominująca wartość λ λ λ niech,,..., n wartości własne A { v () v ( ) v ( n,,..., ) } wektory własne (wzajemnie ortogonalne dla A symetrycznej) λ > λ λ niech n dowolny wektor x w R n x n α i v i ( i) zauważmy, że mnożąc przez A, A,... A k ( i) ( i) Av λ v i z faktu, że i k A x n α λ k i i i v ( i)

15 zatem k A x lim k k A x n k i λ α i λ i λ v α k v lim λ ( i) () k k bo wyrazy w sumie dla i> zbiegają do zera; i jest zbieżne do zera dla λ < wybierzmy x x () - unormowany do jedności (przy x max { x i } ) ze składową p () x po () ( ) niech y Ax i unormowany y () oznaczmy x ()

16 x () y () yp () gdzie () () y y p a indeks p wskazuje tę współrzędną y, której. jest największa zatem x () powtórzmy to samo dla x () ( ) () ( ) y Ax A x y () p x () x () i utwórzmy analogicznie jak ( ) ( ) y x ( ) ( ) () y p y p y p A x ( ) po m krokach

17 x ( m) m A x m k y ( ) ( k) p k tworząc w każdym kroku x (k) dzieliliśmy y (k) przez największą jego współrzędną w celu unormowania do x (k) Zobaczmy czym są w kolejnych krokach wielkości zdefiniowane jako: µ ( m) y ( m) p m tzn. ta współrzędna y (m), która wyznaczała normę poprzedniego y (m-) µ () () y α λ v p ( ) x p () ( ) + n j p α λ j jv p j () ( ) α v + n j p α v j p j

18 + λ α n α λ λ v p j( j / ) v j () α + n ( j) v p α v j p j () ( j) p dla kroku m n α α ( λ / λ ) ( m) v pm + j j j µ λ n α v pm + α j ( λ j / λ ) j () m ( j) p m () m ( j) p λ z faktu, że jest największe m v v dodatkowo lim µ ( m ) λ m x ( m) m można pokazać, że szereg { } zbiega się do unormowanego wektora własnego A odpowiadającego wartości własnej λ wybierając dowolny unormowany x ()

19 możemy po m iteracjach zbliżyć się z żądaną dokładnością do wektora własnego odpowiadającego największej wartości własnej Inna wersja metody odwrotna metoda potęgowa pozwala uzbieżnić proces do wartości własnej (i odpowiadającego wektora własnego) najbliższej danej liczbie q... program JACOBI_POT...