Egzamin z algebry liniowej 2003 r.

Transkrypt

1 Egzamin z algebry linioej 003 r. Cześć I na ocene dostateczna Zadanie. Wyznacz szystkie liczby zespolone z takie, że a) z = 8 + 6i, b) ( + 3i) z = i. Zadanie. Wykonaj podane dzia lania macierzoe: [ 3 0 ]T [ ] Zadanie 3. Stosujac metode eliminacji Gaussa roziaż nad cia lem R uk lad rónań: x x 9x 3 + 6x 4 + 7x 5 + 0x 6 = 3 6x 3 + 4x 4 + x 5 + 3x 6 =. 3x 3 + x 4 x 5 5x 6 = Zadanie 4. Stosujac roziniecie Laplace a zgledem drugiej kolumny oblicz yznacznik: 3 a 5 b c 0. 5 d Zadanie 5-db. Oblicz rzad macierzy: Cześć II na ocene co najmniej dobra A = Zadanie 6-db. Wyznacz macierz odrotna do macierzy: 0 0 A = Zadanie 7-db. W przestrzeni linioej R 4 dane sa podprzestrzenie: V = L([,, 0, 0], [0,,, 0], [0, 0,, ]) oraz W = L([, 0,, 0], [0,,, ], [,,, ]). Wyznacz baze i ymiar podprzestrzeni: a) V, b) W, c) V + W, d) V W. Zadanie 8-bdb. Znajdź uk lad jednorodny rónań linioych nad cia lem R, którego przestrzeń roziazań jest generoana przez ektory: [,,,, ], [,, 0, 0, 3], [3,,,, 7], [0,,,, ]. Zadanie 9-bdb. Wyznacz artości i ektory lasne nad cia lem R macierzy: A =

2 Roziazania zadań Roziazanie Zadania. a) Szukana liczbe z zapiszmy postaci: z = x+yi, gdzie x i y sa szukanymi liczbami rzeczyistymi. Wtedy z = x + xyi y = (x y ) + xyi. Zatem x y ) + xyi = 8 + 6i, { x skad x y y = 8 = 8 oraz xy = 6, czyli xy = 3. Poszukujemy rozi azań naszego uk ladu rónań liczbach ca lkoitych x, y. Z drugiego rónania idzimy, że liczby x, y maja ten sam znak, iec x = i y = 3 lub x = 3 i y =. Ale po uzglednieniu pierszego rónania mamy, że x = i y = 3. Stad jednym z rozianań rónania podanego treści zadania jest z = + 3i. Zatem drugim roziazaniem jest z = 3i. Odp. z = + 3i lub z = 3i. b) Mamy, że z = i +3i = +i 3i = (+i) (+3i) ( 3i) (+3i) Odp. z = 3 + 5i. == 4+63i+i 3 +3 = 39+65i 3 = 3 + 5i. [ ]T [ ]T [ ] 3 Roziazanie Zadania. Mamy, że = 3, iec 0 = 0 3 [ ] [ ]T [ ] 0 = Stad = =. 7 6 Odp.. Roziazanie Zadania 3. B edziemy ykonyali rachunki na macierzy uzupe lnionej naszego uk ladu: , x x x x x 4 x 3 x x x x x 4 x 3 x x x3 x x x 4 x 5 x x 3 x 6 x x 4 x , x x 3 x , x x 4 x 5 x x 3 x Zatem zmiennymi bazoymi sa 6 x, x 3, x 6 oraz x = x, x 4 = x 3 6 x 6, x 5 = 8 x 6. Stad mamy nastepuj ac a odpoiedź: Odp. Uk lad posiada nieskończenie iele roziazań danych zorami: x = a, x = a, x 3 = b, x 4 = + 3 b 6 c, x 5 = 8 c, x 6 = c, gdzie a, b, c sa doolnymi liczbami rzeczyistymi.

3 Roziazanie Zadania 4. Mamy, że 3 a 5 b c 0 = ( ) + a d 5 + ( )+ b 3 5 ( ) 4+ d 7 0 = 50a + 6b + 44c + 50d, bo = = 50, = = 6, = = 44, = = Odp. 50a + 6b + 44c + 50d. Roziazanie Zadania 5. Mamy, że , 53, 4 73 r(a) = r r = + r [ ] = + r + ( )3+ c , 3, 3 = = + = 3, bo ostatnia 4 macierz ma niezeroy minor = = 4. Odp. r(a) = 3. Roziazanie Zadania 6. Stosujac operacje elementarne na ierszach macierzy [A I 4 ] przekszta lcimy ja do postaci [I 4 A ] , , ( )

4 Zatem mamy nastepuj ac a odpoiedź: 0 Odp. A = Roziazanie Zadania 7. Ponieaż rzad macierzy uk ladu ektoró generujacych podprzestrzeń V 0 0 jest róny r = 3, iec baza V jest {[,, 0, 0], [0,,, 0], [0, 0,, ]} oraz dim V = 3. Znajdujemy teraz rónanie hiperp laszczyzny V. Jest ono postaci: a x + a x + a 3 x 3 + a 4 x 4 = 0, gdzie [a, a, a 3, a 4 ] jest niezeroym roziazaniem uk ladu rónań: a + a = 0 a + a 3 = 0 a 3 + a 4 = 0 Wystarczy ziać: a 4 =, a 3 =, a =, a =. Zatem rónaniem hiperp laszczyzny V jest Znajdujemy baze podprzestrzeni W : Zatem baz x + x x 3 + x 4 = a W jest {[, 0,, 0], [0,, 0, ], [0, 0,, ]} oraz dim W = 3. Znajdujemy rónanie b x + b x + b 3 x 3 + b 4 x 4 = 0 hiperp laszczyzny W : b + b 3 = 0 b + b 4 = 0 b 3 b 4 = Wystarczy ziać: b 4 =, b 3 =, b =, b = i szukane rónanie hiperp laszczyzny W ma postać: x x + x 3 + x 4 = 0. Stad podprzestrzeń V W jest zbiorem roziazań uk ladu rónań: { x + x x 3 + x 4 = 0 x x + x 3 + x 4 = Rozi [ azujemy ten uk lad ] metoda [ eliminacji Gaussa: ] [ ] 0 0 ( ), ( ) [ ] Zatem zmiennymi bazoymi sa x 3 i x 4. Stad x 3 = t, x 4 = s, x = t, x = s, gdzie t, s R. Zatem V W = {[s, t, t, s] : s, t R} = {[s, 0, 0, s] + [0, t, t, 0] : t, s R} = {s [, 0, 0, ]+t [0,,, 0] : s, t R} = L([, 0, 0, ], [0,,, 0]), czyli baza V W jest {[, 0, 0, ], [0,,, 0]} oraz dim(v W ) =. Stad dim(v +W ) = dim(v )+dim(w ) dim(v W ) = 3+3 = 4 i V +W jest podprzestrzenia przestrzeni cztero ymiaroej R 4, iec V +W = R 4 oraz baza V +W jest {[, 0, 0, 0], [0,, 0, 0], [0, 0,, 0], [0, 0, 0, ]}.. 4

5 Roziazanie Zadania 8. Znajdujemy najpier baze podprzestrzeni V generoanej przez ektory: [,,,, ], [,, 0, 0, 3], [3,,,, 7], [0,,,, ] , , [ ] Zatem baza 0 V jest {[,, 0, 0, 3], [0,,,, ]} oraz dim V =. Ponieaż nasze ektory maja 5 spó lrzednych, iec szukany uk lad rónań bedzie sie sk lada l z 5 = 3 rónań. Ponadto baza przestrzeni R 5 jest {[,, 0, 0, 3], [0,,,, ], [0, 0,, 0, 0], [0, 0, 0,, 0], [0, 0, 0, 0, ]}, iec istnieje przekszta lcenie linioe f : R 5 R 3 takie, że f([,, 0, 0, 3]) = [0, 0, 0], () f([0,,,, ]) = [0, 0, 0], () f([0, 0,, 0, 0]) = [, 0, 0], (3) f([0, 0, 0,, 0]) = [0,, 0], (4) f([0, 0, 0, 0, ]) = [0, 0, ]. (5) Ponieaż ektory [, 0, 0], [0,, 0], [0, 0, ] torza baze przestrzeni R 3 oraz należa do f(r 5 ), iec f(r 5 ) = R 3, czyli dim f(r 5 ) = 3. Ale 5 = dim R 5 = dim Ker(f) + dim f(r 5 ), iec dim Ker(f) = 5 3 =. Ponato z () i () mamy, że V = L([,, 0, 0, 3], [0,,,, ]) Ker(f) oraz dim V =, iec V = Ker(f). Pozostaje zatem yznaczyć zór analityczny na takie przekszta lcenie f. Niech ɛ = [, 0, 0, 0, 0], ɛ = [0,, 0, 0, 0], ɛ 3 = [0, 0,, 0, 0], ɛ 4 = [0, 0, 0,, 0], ɛ 5 = [0, 0, 0, 0, ]. Wtedy dla doolnych x, x, x 3, x 4, x 5 R: [x, x, x 3, x 4, x 5 ] = x ɛ + x ɛ + x 3 ɛ 3 + x 4 ɛ 4 + x 5 ɛ 5. Zatem z linioości przekszta lcenia f mamy, że f([x, x, x 3, x 4, x 5 ]) = x f(ɛ )+x f(ɛ )+x 3 f(ɛ 3 )+x 4 f(ɛ 4 )+x 5 f(ɛ 5 ). Ze zoru () mamy, że f(ɛ ) f(ɛ 3 ) + f(ɛ 4 ) + f(ɛ 5 ) = [0, 0, 0], iec f(ɛ ) [, 0, 0] + [0,, 0] + [0, 0, ] = [0, 0, 0], skad f(ɛ ) = [,, ]. Ze zoru () mamy, że f(ɛ )+f(ɛ )+3 f(ɛ 5 ) = [0, 0, 0], czyli f(ɛ )+[,, ]+3 [0, 0, ] = [0, 0, 0], skad f(ɛ ) = [,, ]. Stad f([x, x, x 3, x 4, x 5 ]) = x [,, ]+x [,, ]+x 3 [, 0, 0]+x 4 [0,, 0]+x 5 [0, 0, ] = [ x + x + x 3, x x + x 4, x x + x 5 ]. Zatem V = Ker(f) jest zbiorem roziazań uk ladu rónań: x + x + x 3 = 0 x x + x 4 = 0. x x + x 5 = 0 Roziazanie Zadania 9. Wyznaczamy najpier ielomian charakterystyczny naszej macierzy: 7 a a 0 k +k +k 3 a 6 = a 9 a 0, 3 a 6 = 0 7 a a a 4 3 a 0 7 a = ( ) + ( a) 7 a 4 7 a = ( a) [( 7 a) (7 a) + 48] = ( a) (a ). Zatem 5

6 pieriastkami ielomianu charakterystycznego sa jedynie liczby : a = i a =. Stad artościami lasnymi macierzy A sa liczby a = i a =. Znajdujemy ektory lasne odpoiadajace artości lasnej a = : 6x x + 6x 3 = 0 6 0x 0x + 0x 3 = 0 r, 0 r, x x + = 0 r3 x x + = 0 x x + x 3 = 0. x 4x + x 3 = 0 x x + = 0 Stad x 3 = t, x = s, x = s t, t, s R. Ogólna postać ektora lasnego odpoiadajacego artości lasnej a = : [s t, s, t], gdzie s, t R oraz t 0 lub s 0. Baza podprzestrzeni generoanej przez ektory lasne odpoiadajace artości lasnej a = jest {[,, 0], [, 0, ]}. Znajdujemy ektory lasne odpoiadajace artości lasnej a = : 8x x + 6x 3 = 0 0x 8x + 0x 3 = 0 r, r, 4x 6x + 3x 3 = 0 r3 r r, r 3 r 5x 9x + 5x 3 = 0 x 4x + 4x 3 = 0 6x x + 7x 3 = 0 4x 6x + 3x 3 = 0 x r r, 3x + x 3 = 0 x 3x + x 3 = 0 r3 r 4r 4x 6x + 3x 3 = 0 x 6x + 4x 3 = 0 x 3x + x 3 = 0 { { x 3x + x 3 = 0 6 r x 3x + x 3 = 0 r +3r 6x 5x 3 = 0 x 5 6 x 3 = 0 { x x 3 = 0 x 5 6 x 3 = 0. Zatem x 3 = 6t, x = 3t, x = 5t, gdzie t R. Ogólna postać ektora lasnego odpoiadajacego artości lasnej a = : [3t, 5t, 6t], gdzie t R \ {0}. Baza podprzestrzeni generoanej przez ektory lasne odpoiadajace artości lasnej a = : {[3, 5, 6]}. 6