Tomograa komputerowa

Transkrypt

1 Tomograa komputerowa Wykªad inauguracyjny r.a. 2010/2011 Andriy Panasyuk Katedra Algebry i Geometrii, WMiI

2 Dramat matematyka, Akt I

3 Dramat matematyka, Akt II

4 Dramat matematyka, Akt III

5 Dramat matematyka, Akt IV

6 Dramat matematyka, Akt V

7 Dramat matematyka, Epilog

8 Wst p: Czym jest tomograa? Ogólnie Tomograa jest nauk o tym, jak mo»na dowiedzie si co jest w ±rodku obiektu, nie otwieraj c go (Andrew Markoe, Analytic Tomography, Cambridge University Press, 2006). Matematycznie Tomograa jest dziedzin zajmuj c si odtworzeniem informacji o obiekcie geometrycznym na podstawie jego przekrojów (greckie τ oµoσ oznacza przekrój, ci cie) lub rzutów.

9 Wst p: Czym jest tomograa? Ogólnie Tomograa jest nauk o tym, jak mo»na dowiedzie si co jest w ±rodku obiektu, nie otwieraj c go (Andrew Markoe, Analytic Tomography, Cambridge University Press, 2006). Matematycznie Tomograa jest dziedzin zajmuj c si odtworzeniem informacji o obiekcie geometrycznym na podstawie jego przekrojów (greckie τ oµoσ oznacza przekrój, ci cie) lub rzutów.

10 Wst p: Narz dzia techniczne tomograi Gªównie s to tzw. skanery TK (tomograi komputerowej) u»ywaj ce promeniowania rentgenowskiego do prze±wietlenia obiektu oraz algorytmów analizuj cych dane prze±wietlenia i stosuj cyh tomogra matematyczn do odtworzenia struktury wewn trznej obiektu. Typowy skaner TK:

11 Wst p: Niedoskonaªo± zwykªego prze±wietlenia rentgenowskiego

12 Wst p: Niedoskonaªo± zwykªego prze±wietlenia rentgenowskiego

13 Wst p: Jak dziaªa skaner TK? Etap I: prze±wietlenie obiektu we wszystkich kierunkach i rejestracja danych prze±wietlenia Etap II: rekonstrukcja wewn trznej struktury obiektu na podstawie danych otrzymanych na I etapie

14 Wst p: Jak dziaªa skaner TK? Etap I: prze±wietlenie obiektu we wszystkich kierunkach i rejestracja danych prze±wietlenia Etap II: rekonstrukcja wewn trznej struktury obiektu na podstawie danych otrzymanych na I etapie

15 Matematyczny opis zagadnienia: Reprezentacja obiektu wyj±ciowego Obiekt wyj±ciowy reprezentujemy w postaci diagramu g sto±ci lub funkcji na pªaszczyznie diagram g sto±ci wykres funkcji f : R 2 R

16 Reprezentacja obiektu wyj±ciowego

17 Matematyczny opis zagadnienia: Reprezentacja promienia rentgenowskiego

18 Matematyczny opis zagadnienia: Reprezentacja procesu prze±wietlenia - transformata Radona Transformata Radona Rθf funkcji f w kierunku θ = 3π 4 : =

19 Matematyczny opis zagadnienia: Reprezentacja procesu prze±wietlenia - transformata Radona

20 Matematyczny opis zagadnienia: Reprezentacja procesu prze±wietlenia - transformata Radona Transformata Radona jako funkcja 2 zmiennych Rθf (s) = Rf (θ, s) =

21 Matematyczny opis zagadnienia: Cel tomograi matematycznej Cel: odtworzy funkcj f wedªug jej transformaty Radona Rf?? =

22 Dygresja I: caªkowanie funkcji Funkcja jednej zmiennej f : R R wykres funkcji Funkcja 2 zmiennych f : R 2 R f (x)dx =pole pod wykresem f (x)dx =obj to± pod wykresem wykres funkcji

23 Dygresja I: caªkowanie funkcji Funkcja jednej zmiennej f : R R wykres funkcji Funkcja 2 zmiennych f : R 2 R f (x)dx =pole pod wykresem f (x)dx =obj to± pod wykresem wykres funkcji

24 Transformata Radona w sposób bardziej zaawansowany Denicja Transformata Radona przeksztaªca funkcj f : R 2 R w funkcj Rf (θ, s) := f (x)dx θ,x =s okre±lon na walcu Z 2 = S 1 R (tutaj S 1 jest okr giem jednostkowym). Równanie θ, x = s okre±la prost w R 2 prostopadª do wektora θ S 1 i odlegª na s od zera.

25 Rzut odwrotny lub transformata dualna Denicja Rzut odwrotny przeksztaªca funkcj g : Z 2 = S 1 R R w funkcj R g(x) := g(θ, x, θ )dθ S 1 okre±lon na R 2. Przy ustalonym θ funkcja g(θ, x, θ ) jest przedªu»eniem funkcji jednej zmiennej g(θ, s) do funkcji na R 2, staªej wzdªu» prostej prostopadªej do θ i odlegªej na s od zera

26 Rzut odwrotny: realizacja techniczna

27 Rzut odwrotny dla kwadratu

28 Ró»nica pomi dzy obiektem a jego odtworzeniem Kwadrat:

29 Ró»nica pomi dzy obiektem a jego odtworzeniem Inny obiekt: Przyczyna matematyczna: Twierdzenie: Je±li f jest nieujemn funkcj na R 2 tak,»e funkcja (1 + x ) 1 f (x) jest caªkowalna, to R Rf = T f, gdzie T (x) = c x dla pewnej staªej c nie zale» cej od f.

30 Ró»nica pomi dzy obiektem a jego odtworzeniem Inny obiekt: Przyczyna matematyczna: Twierdzenie: Je±li f jest nieujemn funkcj na R 2 tak,»e funkcja (1 + x ) 1 f (x) jest caªkowalna, to R Rf = T f, gdzie T (x) = c x dla pewnej staªej c nie zale» cej od f.

31 Dygresja II: splot funkcji Denicja f g(τ) = f (t)g(τ t)dt Przykªad

32 Interpretacja ró»nicy pomi dzy obiektem a jego odtworzeniem: szum

33 Filtrowanie szumu I Twierdzenie o aproksymatywnej jedynce φ Niech funkcja φ b dzie nieujemna i speªnia φ(x)dx = 1. Na przykªad Dla ka»dego n = 1, 2, 3,... poªó»my φ n (x) := n wymiar φ(nx). Na przykªad Wtedy dla ka»dej funkcji f ci g funkcji przybli»a funkcj f. f φ n (x), n = 1, 2, 3,...

34 Filtrowanie szumu II Twierdzenie o odltrowanym rzucie odwrotnym Niech f b dzie caªkowaln funkcj na R 2, a v funkcj na walcu Z 2 = S 1 R. Wtedy R (v) f = R (v Rf ). Funkcj A = R (v) nazywamy ltrem, a v funkcj odtwarzaj c. Dalej szukamy funkcji odtwarzaj cych v takich,»e odpowiedni ltr A = R (v) stanowi aproksymatywna jedynk i korzystamy z poprzedniego lematu, przybli»aj c funkcj f przez A n f, gdzie A n (x) = n 2 A(nx). Praktyczne stosowanie metody odltrowanego rzutu odwrotnego jest rodzajem sztuki. Odpowiedni wybór ltru... oraz (koniecznie sko«czonej) liczby kierunków jest istotny do otrzymania optymalnej rekonstrukcji (Andrew Markoe, Analytic Tomography, Cambridge University Press, 2006).

35 Filtrowanie szumu II Twierdzenie o odltrowanym rzucie odwrotnym Niech f b dzie caªkowaln funkcj na R 2, a v funkcj na walcu Z 2 = S 1 R. Wtedy R (v) f = R (v Rf ). Funkcj A = R (v) nazywamy ltrem, a v funkcj odtwarzaj c. Dalej szukamy funkcji odtwarzaj cych v takich,»e odpowiedni ltr A = R (v) stanowi aproksymatywna jedynk i korzystamy z poprzedniego lematu, przybli»aj c funkcj f przez A n f, gdzie A n (x) = n 2 A(nx). Praktyczne stosowanie metody odltrowanego rzutu odwrotnego jest rodzajem sztuki. Odpowiedni wybór ltru... oraz (koniecznie sko«czonej) liczby kierunków jest istotny do otrzymania optymalnej rekonstrukcji (Andrew Markoe, Analytic Tomography, Cambridge University Press, 2006).

36 Filtrowanie szumu II Twierdzenie o odltrowanym rzucie odwrotnym Niech f b dzie caªkowaln funkcj na R 2, a v funkcj na walcu Z 2 = S 1 R. Wtedy R (v) f = R (v Rf ). Funkcj A = R (v) nazywamy ltrem, a v funkcj odtwarzaj c. Dalej szukamy funkcji odtwarzaj cych v takich,»e odpowiedni ltr A = R (v) stanowi aproksymatywna jedynk i korzystamy z poprzedniego lematu, przybli»aj c funkcj f przez A n f, gdzie A n (x) = n 2 A(nx). Praktyczne stosowanie metody odltrowanego rzutu odwrotnego jest rodzajem sztuki. Odpowiedni wybór ltru... oraz (koniecznie sko«czonej) liczby kierunków jest istotny do otrzymania optymalnej rekonstrukcji (Andrew Markoe, Analytic Tomography, Cambridge University Press, 2006).

37 Przykªady funkcji odtwarzaj cych Funkcja Nivergelta { 1 v N (θ, s) = dla s b πb 2 b 1 s dla s > b ( 1 πb 2 s 2 b 2 ) Funkcja LakshminarayanaRamachandrana ( v LR b2 cos(bs) 1 b (θ, s) = 4π 2 b 2 s 2 + sin(bs) ) bs Funkcja SheppaLogana v SL b b2 π/2 bs sin(bs) (θ, s) = 2π 3 (π/2) 2 b 2 s 2 Funkcja φ b := R v b nie jest aproksymatywn jedynk ani dla v b = v LR, ani b dla v b = v SL LR. Niemniej jednak, funkcje v oraz v SL daj lepszy wynik b b b przybli»enia w szumnych warunkach.

38 Troch o relacji matematyka - informatyka artykuª J. Radona o rekonstrukcji funkcji f na podstawie jej transformaty Rf pierwszy eksperyment dotycz cy TK (Korenblum, Telebaum, Tyutin, Politechnika Kijowska): rekonstrukcja obrazu za pomoc zdj rentgenowskich z ró»nych kierunków, produkowania sygnaªów elektrycznych na ich podstawie oraz procesowania za pomoc komputera analogowego nagroda Nobla w dziedzinie zjologii i medycyny dla Cormacka i Hounselda. Cormack ( ): rekonstrukcja przekroju obiektu niejednorodnego - pierwsze tomogramy komputerowe (wykorzystany komputer to kalkulator) Hounseld (1972): zaprojektowaª pierwszy komercyjnie dost pny skaner TK dla rmy EMI

39 Na zako«czenie: o innych zastosowaniach transformaty Radona

40

41

42

43

44

45