Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
|
|
- Liliana Chmielewska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Interpolacja PWSZ Gªogów, 2009
2 Interpolacja Okre±lenie zale»no±ci pomi dzy interesuj cymi nas wielko±ciami, Umo»liwia uproszczenie skomplikowanych funkcji (np. wykorzystywana w procedurach caªkowania numerycznego), Wykorzystywana w naukach do±wiadczalnych, gdy dysponujemy niewielk liczb danych, Deterministyczna metoda opisu zjawisk (w opozycji do podej±cia statystycznego). Graka komputerowa (szczególnie 3D)
3 Interpolacja - idea Mniej formalna denicja Rozwi» zadanie interpolacji tzn. odkryj zale»no± która pozwala wytªumaczy warto±ci obserwowane w danych.
4 Interpolacja - idea Mniej formalna denicja Rozwi» zadanie interpolacji tzn. odkryj zale»no± która pozwala wytªumaczy warto±ci obserwowane w danych.
5 Interpolacja - denicja Denicja matematyczna Maj c zbiór danych w postaci n + 1 tzw. w zªów {x i, y i } n i=0, nale»y wyznaczy przybli»one warto±ci w punktach nieb d cych w zªami interpolacji oraz oszacowa bª dy takiego przybli»enia. x i - w zªy interpolacji, punkty y i - warto±ci dla w zªów (punktów) Maj c dan klas funkcji G szukamy takiego g(x, a 0, a 1,..., a n ) G aby g(x i, a 0,..., a n ) = y i,, i = 0, 1,..., n
6 Interpolacja - idea y n g y 2 y 1 y 0 x 0 x 1 x 2 x n
7 Interpolacja - przykªad Dane: Gªówny Urz d Statystyczny Lata Liczba rozwodów
8 Interpolacja - przykªad Jak powinna wygl da krzywa opisuj ce dane?
9 Interpolacja - przykªad... tak
10 Interpolacja - przykªad a mo»e tak?
11 Interpolacja - przykªad a mo»e jednak tak?
12 Rodzaje interpolacji Nieparmetryczne(bazuj ce na danych): algorytm najbli»szego s siada Parametryczne(niezb dna identykacja parametryczna) liniowa (g(x i, a 0,..., a n ) = a 0 + a 1 g 1 (x) + a 2 g 2 (x) a n g n (x)) wielomianowa (w tym w. liniowa, w. kwadratowa,...): g i (x) = x i trygonometryczna: g i (x) = e jix, nieliniowa np. wymierna: j = 1 g(x, a 0,..., a n, b 0,..., b m) = a0 + a1x + a2x a nx n b 0 + b 1x + b 2x b mx m funkcjami sklejanymi (ang. spline): w zªy interpolacji dziel przedziaª interpolacji na podprzedziaªy; w ka»dym podprzedziale przybli»amy funkcje interpolowan wielomianem niskiego stopnia, np. n=3 (najpro±ciej - interpolacja liniowa - dla n=1)
13 Rodzaje interpolacji Nieparmetryczne(bazuj ce na danych): algorytm najbli»szego s siada Parametryczne(niezb dna identykacja parametryczna) liniowa (g(x i, a 0,..., a n ) = a 0 + a 1 g 1 (x) + a 2 g 2 (x) a n g n (x)) wielomianowa (w tym w. liniowa, w. kwadratowa,...): g i (x) = x i trygonometryczna: g i (x) = e jix, nieliniowa np. wymierna: j = 1 g(x, a 0,..., a n, b 0,..., b m) = a0 + a1x + a2x a nx n b 0 + b 1x + b 2x b mx m funkcjami sklejanymi (ang. spline): w zªy interpolacji dziel przedziaª interpolacji na podprzedziaªy; w ka»dym podprzedziale przybli»amy funkcje interpolowan wielomianem niskiego stopnia, np. n=3 (najpro±ciej - interpolacja liniowa - dla n=1)
14 Interpolacja - Matlab Polecenie x - w zªy interpolacji, y - warto±ci w w zªach, yi = interp1(x,y,xi,metoda); xi - punkty, w których chcemy wyznaczy warto±ci po wykonaniu interpolacji, yi - warto±ci w punktach xi, Metoda - dost pne: nearest, linear,spline,pchip,cubic,v5cubic
15 Algorytm najbli»szego s siada Zasada post powania Je±li chcemy wyznaczy warto± y w nowym (nieb d cym w zªem interpolacji) punkcie x, to znajd¹ najbli»szy mu punkt w danych i przyjmij jego warto±. Wady i zalety nie trzeba budowa modelu - maªy nakªad obliczeniowy wykorzystywana w przypadku interpolacji wielowymiarowej maªo realistyczne zaªo»enie o lokalnej niezmienno±ci zjawisk
16 Algorytm najbli»szego s siada Zasada post powania Je±li chcemy wyznaczy warto± y w nowym (nieb d cym w zªem interpolacji) punkcie x, to znajd¹ najbli»szy mu punkt w danych i przyjmij jego warto±. Wady i zalety nie trzeba budowa modelu - maªy nakªad obliczeniowy wykorzystywana w przypadku interpolacji wielowymiarowej maªo realistyczne zaªo»enie o lokalnej niezmienno±ci zjawisk
17 Interpolacja metod najbli»szego s siada
18 Interpolacja liniowa Zasada post powania Warto± y punkcie x le»y na prostej ª cz cej warto±ci w w zªach, pomi dzy którymi le»y x. Denicja matematyczna dla x a x x b y = y a + (x x a )(y b y a ) x b x a
19 Interpolacja liniowa Zasada post powania Warto± y punkcie x le»y na prostej ª cz cej warto±ci w w zªach, pomi dzy którymi le»y x. Denicja matematyczna dla x a x x b y = y a + (x x a )(y b y a ) x b x a
20 Interpolacja liniowa
21 Interpolacja liniowa Wady i zalety najprostszy z grupy modeli wielomianowych nie trzeba estymowa parametrów - bardzo szybkie obliczenia nieró»niczkowalno± funkcji interpoluj cej w w zªach interpolacji zwykle powoduje du»e bª dy
22 Bª dy interpolacji - interpolacja liniowa Zaªó»my,»e istnieje zale»no± pomi dzy zmiennymi {x i, y i }, któr mo»na opisa za pomoc funkcji g : R R, tzn. y i = g(x i ), a która to funkcja posiada ci gª drug pochodn. Je±li mamy dane dwa s siednie w zªy interpolacji y a = g(x a ) oraz y b = g(x b ), bª d jaki mo»emy popeªni, chc c oszacowa warto± funkcji g( ) w punkcie x (x a, x b ) wynosi: gdzie C = 1/8 max g (x) x (x a,x b ) Wnioski y g(x ) C(x b x a ) 2, czym wi ksza odlegªo± mi dzy w zªami, tym wi kszy bª d (zale»no± kwadratowa)!!!
23 Bª dy interpolacji - interpolacja liniowa Zaªó»my,»e istnieje zale»no± pomi dzy zmiennymi {x i, y i }, któr mo»na opisa za pomoc funkcji g : R R, tzn. y i = g(x i ), a która to funkcja posiada ci gª drug pochodn. Je±li mamy dane dwa s siednie w zªy interpolacji y a = g(x a ) oraz y b = g(x b ), bª d jaki mo»emy popeªni, chc c oszacowa warto± funkcji g( ) w punkcie x (x a, x b ) wynosi: gdzie C = 1/8 max g (x) x (x a,x b ) Wnioski y g(x ) C(x b x a ) 2, czym wi ksza odlegªo± mi dzy w zªami, tym wi kszy bª d (zale»no± kwadratowa)!!!
24 Szacowanie bª du interpolacji liniowej Przykªad funkcja g(x) = x 2, g (x) = 2 w zªy interpolacji x a = 0, x b = 2, (y a = 0,y b = 4) Maksymalny bª d interpolacji liniowej wynosi zatem: C = 1 8 max x (x a,x b ) g (x) = 1 4 a wi c maksymalny bª d wynosi: y g(x) C(x b x a ) 2 = 1
25 Szacowanie bª du interpolacji liniowej wezly interpolacji Funkcja interpolowana Interpolacja liniowa Blad interpolacji
26 Interpolacja wielomianowa Sformuªowanie problemu Maj c dane w zªy x 0, x 1,..., x n oraz odpowiadaj ce im warto±ci y 0, y 1,..., y n, znale¹ wielomian W m (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a m x m, taki»e W m (x i ) = y i, dla i = 0, 1,..., n. Twierdzenie (o jednoznaczno±ci interpolacji wielomianowej) Istnieje dokªadnie jeden wielomian interpolacyjny stopnia co najwy»ej n, który w punktach x 0, x 1,..., x n przyjmuje warto±ci y 0, y 1,..., y n.
27 Interpolacja wielomianowa Sformuªowanie problemu Maj c dane w zªy x 0, x 1,..., x n oraz odpowiadaj ce im warto±ci y 0, y 1,..., y n, znale¹ wielomian W m (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a m x m, taki»e W m (x i ) = y i, dla i = 0, 1,..., n. Twierdzenie (o jednoznaczno±ci interpolacji wielomianowej) Istnieje dokªadnie jeden wielomian interpolacyjny stopnia co najwy»ej n, który w punktach x 0, x 1,..., x n przyjmuje warto±ci y 0, y 1,..., y n.
28 Interpolacja wielomianowa - przykªad Przykªad Spróbujmy dopasowa wielomian stopnia pi tego, tj. do danych: W 5 (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + a 5 x 5, i x i y i
29 Interpolacja wielomianowa - przykªad c.d. Przykªad c.d. Jak wyznaczy wspóªczynniki wielomianu {a i } 5 i=0? - wielomian musi przechodzi, przez dane punkty, czyli: a 0 + a a a a a = 1537 a 0 + a a a a a = 1546 a 0 + a a a a a = 1479 a 0 + a a a a a = 1552 a 0 + a a a a a = 1968 a 0 + a a a a a = 2567, tzw. macierz Vandermonde'a.
30 Interpolacja wielomianowa - przykªad c.d. Przykªad c.d. Problem sprowadza si do rozwi zania ukªadu równa«liniowych, t.j. Xa = y, gdzie: X = 1 x 0 x 2 0 x 3 0 x 4 0 x x 1 x 2 1 x 3 1 x 4 1 x x 2 x 2 2 x 3 2 x 4 2 x x 3 x 2 3 x 3 3 x 4 3 x x 4 x 2 4 x 3 4 x 4 4 x x 5 x 2 5 x 3 5 x 4 5 x 5 5 a = a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 y = y 0 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5
31 Interpolacja wielomianowa - przykªad c.d. - rozwi zanie Przykªad c.d. Ogólny sposób rozwi zywania ukªadów równa«liniowych: a = X 1 y, Matlab: X = vander(x); a = inv(x) * y; Rozwi zanie: a =
32 Interpolacja wielomianowa - przykªad c.d. - wyniki
33 Interpolacja Lagrange'a Wprowadzenie Wielomian W n (x) mo»na przedstawi w alternatywnej postaci: W n (x) = y 0 Φ 0 (x) + y 1 Φ 1 (x) y n Φ n (x), gdzie Φ j (x) s wielomianami stopnia co najwy»ej n. Rozwi zanie Φ j (x i ) = { 0, gdy j i 1, gdy j = i Inaczej: Φ j (x) = (x x 0)(x x 1 )... (x x j 1 )(x x j+1 )... (x x n ) (x j x 0 )(x j x 1 )... (x j x j 1 )(x j x j+1 )... (x j x n ), L n (x) = n y j Φ j (x) = j=0 n j=0 y j n i = 0 i j x x i x j x i
34 Interpolacja Lagrange'a Wprowadzenie Wielomian W n (x) mo»na przedstawi w alternatywnej postaci: W n (x) = y 0 Φ 0 (x) + y 1 Φ 1 (x) y n Φ n (x), gdzie Φ j (x) s wielomianami stopnia co najwy»ej n. Rozwi zanie Φ j (x i ) = { 0, gdy j i 1, gdy j = i Inaczej: Φ j (x) = (x x 0)(x x 1 )... (x x j 1 )(x x j+1 )... (x x n ) (x j x 0 )(x j x 1 )... (x j x j 1 )(x j x j+1 )... (x j x n ), L n (x) = n y j Φ j (x) = j=0 n j=0 y j n i = 0 i j x x i x j x i
35 Interpolacja Lagrange'a Wprowadzenie Wielomian W n (x) mo»na przedstawi w alternatywnej postaci: W n (x) = y 0 Φ 0 (x) + y 1 Φ 1 (x) y n Φ n (x), gdzie Φ j (x) s wielomianami stopnia co najwy»ej n. Rozwi zanie Φ j (x i ) = { 0, gdy j i 1, gdy j = i Inaczej: Φ j (x) = (x x 0)(x x 1 )... (x x j 1 )(x x j+1 )... (x x n ) (x j x 0 )(x j x 1 )... (x j x j 1 )(x j x j+1 )... (x j x n ), L n (x) = n y j Φ j (x) = j=0 n j=0 y j n i = 0 i j x x i x j x i
36 Interpolacja Lagrange'a - przykªad Znale¹ wielomian interpolacyjny Lagrange'a dla danych: Zgodnie ze wzorem mamy: L 2 (x) = 2 y j Φ j (x) = j=0 2 j=0 i x i y i y j 2 i = 0 i j 2 x 1 2 x x } {{ } (j=0) 1 2 x2 x x x i x j x i = x 3 2 } {{ } (j=1) + 2 x x 1 2 } {{ } (j=2) =
37 Wzór interpolacyjny Newtona Iloraz ró»nicowy 1-go rz du: Iloraz ró»nicowy k-go rz du: f [x i, x i+1 ] = f (x i+1) f (x i ) x i+1 x i f [x i, x i+1,..., x i+k ] = f [x i+1, x i+2,..., x i+k ] f [x i, x i+1,..., x i+k 1 ] x i+k x i Ci g ilorazów ró»nicowych: x 0 f (x 0 ) f [x 0, x 1 ] x 1 f (x 1 ) f [x 0, x 1, x 2 ] f [x 1, x 2 ] x 2 f (x 2 )
38 Wzór interpolacyjny Newtona Wielomian interpolacyjny Newtona Q n (x) =f (x 0 ) + n j=1 j 1 f [x 0,..., x j ] (x x k ) = k=0 n 1 Q n 1 (x) + f [x 0,..., x n ] (x x k ) k=0 Przykªad - znale¹ wielomian interpolacyjny Newtona dla danych: i x i y i
39 Wzór interpolacyjny Newtona Wielomian interpolacyjny Newtona Q n (x) =f (x 0 ) + n j=1 j 1 f [x 0,..., x j ] (x x k ) = k=0 n 1 Q n 1 (x) + f [x 0,..., x n ] (x x k ) k=0 Przykªad - znale¹ wielomian interpolacyjny Newtona dla danych: i x i y i
40 Wielomian interpolacyjny Newtona - przykªad Zgodnie ze wzorem mamy: Q 2 (x) =f (x 0 ) + Ilorazy ró»nicowe: 2 j=1 j 1 f [x 0,..., x j ] (x x k ) = k=0 f (x 0 ) + f [x 0, x 1 ](x x 0 ) + f [x 0, x 1, x 2 ](x x 0 )(x x 1 ) Zatem: f [x 0, x 1 ] = f (x 1) f (x 0 ) x 1 x 0 = = 1 f [x 1, x 2 ] = f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1 = = 1 f [x 0, x 1, x 2 ] = f [x 1, x 2 ] f [x 0, x 1 ] x 2 x 0 = = 1 2 Q 2 (x) = 2 1(x + 1) 1 2 (x + 1)(x 1) = 1 2 x2 x + 1 2
41 Wielomian interpolacyjny Newtona - przykªad Wersja iteracyjna: 1 Q 2 (x) = Q 1 (x) + f [x 0, x 1, x 2 ] (x x k ) = k=0 Q 1 (x) + f [x 0, x 1, x 2 ](x x 0 )(x x 1 ) 0 Q 1 (x) = Q 0 (x) + f [x 0, x 1 ] (x x k ) = k=0 Q 0 (x) + f [x 0, x 1 ](x x 0 ) Q 0 (x) = f (x 0 ) = 2 Zatem po podstawieniu: Q 1 (x) = 2 1(x + 1) = 1 x Q 2 (x) = (1 x) (x 1)(x + 1) = 1 2 x2 x Zaleta: po dodaniu nowego w zªa (x 3, f (x 3 )) mo»na wykorzysta Q 2 (x) 2 wystarczy doliczy f [x 0, x 1, x 2, x 3 ] (x x k ) k=0
42 Wielomian interpolacyjny Newtona - przykªad Wersja iteracyjna: 1 Q 2 (x) = Q 1 (x) + f [x 0, x 1, x 2 ] (x x k ) = k=0 Q 1 (x) + f [x 0, x 1, x 2 ](x x 0 )(x x 1 ) 0 Q 1 (x) = Q 0 (x) + f [x 0, x 1 ] (x x k ) = k=0 Q 0 (x) + f [x 0, x 1 ](x x 0 ) Q 0 (x) = f (x 0 ) = 2 Zatem po podstawieniu: Q 1 (x) = 2 1(x + 1) = 1 x Q 2 (x) = (1 x) (x 1)(x + 1) = 1 2 x2 x Zaleta: po dodaniu nowego w zªa (x 3, f (x 3 )) mo»na wykorzysta Q 2 (x) 2 wystarczy doliczy f [x 0, x 1, x 2, x 3 ] (x x k ) k=0
43 Bª dy interpolacji - interpolacja wielomianowa Zaªó»my,»e warto±ci y 0, y 1,..., y n dla w zªów interpolacji x 0, x 1,..., x n (z przedziaªu < a, b >) bior si z pewnej funkcji g : R R, t.j. g(x i ) = y i. Pytanie: jak dobrze wielomian interpolacyjny W n (x) przybli»a funkcj g(x) w przedziale < a, b >? Odpowied¹: g(x) W n (x) M n+1 ω n (x), gdzie M n+1 = sup g (n+1) (x), oraz ω n (x) = n (x x i ) x (x a,x b ) Bª d interpolacji - komentarz i=0 zale»y od postaci pochodnej interpolowanej funkcji, zale»y od funkcji ω n (x), czyli od rozmieszczenia w zªów interpolacji
44 Bª dy interpolacji - interpolacja wielomianowa Zaªó»my,»e warto±ci y 0, y 1,..., y n dla w zªów interpolacji x 0, x 1,..., x n (z przedziaªu < a, b >) bior si z pewnej funkcji g : R R, t.j. g(x i ) = y i. Pytanie: jak dobrze wielomian interpolacyjny W n (x) przybli»a funkcj g(x) w przedziale < a, b >? Odpowied¹: g(x) W n (x) M n+1 ω n (x), gdzie M n+1 = sup g (n+1) (x), oraz ω n (x) = n (x x i ) x (x a,x b ) Bª d interpolacji - komentarz i=0 zale»y od postaci pochodnej interpolowanej funkcji, zale»y od funkcji ω n (x), czyli od rozmieszczenia w zªów interpolacji
45 Bª dy interpolacji - interpolacja wielomianowa Zaªó»my,»e warto±ci y 0, y 1,..., y n dla w zªów interpolacji x 0, x 1,..., x n (z przedziaªu < a, b >) bior si z pewnej funkcji g : R R, t.j. g(x i ) = y i. Pytanie: jak dobrze wielomian interpolacyjny W n (x) przybli»a funkcj g(x) w przedziale < a, b >? Odpowied¹: g(x) W n (x) M n+1 ω n (x), gdzie M n+1 = sup g (n+1) (x), oraz ω n (x) = n (x x i ) x (x a,x b ) Bª d interpolacji - komentarz i=0 zale»y od postaci pochodnej interpolowanej funkcji, zale»y od funkcji ω n (x), czyli od rozmieszczenia w zªów interpolacji
46 Bª dy interpolacji wielomianowej Przykªad Z jak dokªadno±ci mo»na oszacowa warto± sin(1.885) maj c dane sin(0) = 0, sin(0.6283) = , sin(2.3562) = ). Mamy dane: czyli: n = 2, < a, b >=< 0, > funkcja interpolowana g(x) = sin(x), g (3) (x) = cos(x), zatem M n+1 = 1 ω n (x) = (x 0)(x )(x ) ω n (1.885) = W 2 (1.885) sin(1.885) =
47 Bª dy interpolacji wielomianowej Przykªad Z jak dokªadno±ci mo»na oszacowa warto± sin(1.885) maj c dane sin(0) = 0, sin(0.6283) = , sin(2.3562) = ). Mamy dane: czyli: n = 2, < a, b >=< 0, > funkcja interpolowana g(x) = sin(x), g (3) (x) = cos(x), zatem M n+1 = 1 ω n (x) = (x 0)(x )(x ) ω n (1.885) = W 2 (1.885) sin(1.885) =
48 Bª dy interpolacji wielomianowej - przykªad Bª d w rzeczywisto±ci W 2 (1.885) sin(1.885) = wezly interpolacji szukana wartosc wielomian interpolacyjny blad interpolacji
49 Interpolacja za pomoc funkcji sklejanych Interpolacja za pomoc wielomianów: rz d wielomianu interpolacyjnego zazwyczaj musi by równy liczbie w zªów co dla du»ej ilo±ci w zªów (wysokich stopni wielomianu interpolacyjnego) prowadzi mo»e do du»ych bªedów macierz Vandermonada zwykle ¹le uwarunkowana wielomiany nie nadaj si do szacowania warto±ci poza granicami przedziaªu z którego pochodz w zªy interpolacyjne. Pytanie: czy nie mo»na inaczej? Funkcje sklejane - idea Zamiast stosowa wielomian wysokiego rz du do interpolacji punktów, mo»na zastosowa kilka wielomianów stopnia ni»szego.
50 Interpolacja za pomoc funkcji sklejanych Interpolacja za pomoc wielomianów: rz d wielomianu interpolacyjnego zazwyczaj musi by równy liczbie w zªów co dla du»ej ilo±ci w zªów (wysokich stopni wielomianu interpolacyjnego) prowadzi mo»e do du»ych bªedów macierz Vandermonada zwykle ¹le uwarunkowana wielomiany nie nadaj si do szacowania warto±ci poza granicami przedziaªu z którego pochodz w zªy interpolacyjne. Pytanie: czy nie mo»na inaczej? Funkcje sklejane - idea Zamiast stosowa wielomian wysokiego rz du do interpolacji punktów, mo»na zastosowa kilka wielomianów stopnia ni»szego.
51 Interpolacja za pomoc funkcji sklejanych Interpolacja za pomoc wielomianów: rz d wielomianu interpolacyjnego zazwyczaj musi by równy liczbie w zªów co dla du»ej ilo±ci w zªów (wysokich stopni wielomianu interpolacyjnego) prowadzi mo»e do du»ych bªedów macierz Vandermonada zwykle ¹le uwarunkowana wielomiany nie nadaj si do szacowania warto±ci poza granicami przedziaªu z którego pochodz w zªy interpolacyjne. Pytanie: czy nie mo»na inaczej? Funkcje sklejane - idea Zamiast stosowa wielomian wysokiego rz du do interpolacji punktów, mo»na zastosowa kilka wielomianów stopnia ni»szego.
52 Interpolacja za pomoc funkcji sklejanych Denicja funkcji sklejanej Nie b dzie dany przedziaª < a, b > oraz zestaw punktów x 0, x 1,..., x n, takich»e: a = x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n = b. Oznaczmy przez n podziaª ustanowiony przez punkty {x i } n i=0. Funkcj s(x) = s(x, n ) nazywamy funkcj sklejan stopnia m 1, je±li: 1) s(x) jest wielomianem stopnia co najwy»ej m w ka»dym podprzedziale (x i, x i+1 ), i = 0, 1,..., n 1, 2) s(x) C m 1 dla x < a, b >.
53 Interpolacja za pomoc funkcji sklejanych Denicja funkcji sklejanej Nie b dzie dany przedziaª < a, b > oraz zestaw punktów x 0, x 1,..., x n, takich»e: a = x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n = b. Oznaczmy przez n podziaª ustanowiony przez punkty {x i } n i=0. Funkcj s(x) = s(x, n ) nazywamy funkcj sklejan stopnia m 1, je±li: 1) s(x) jest wielomianem stopnia co najwy»ej m w ka»dym podprzedziale (x i, x i+1 ), i = 0, 1,..., n 1, 2) s(x) C m 1 dla x < a, b >.
54 Interpolacja za pomoc funkcji sklejanych Denicja funkcji sklejanej Nie b dzie dany przedziaª < a, b > oraz zestaw punktów x 0, x 1,..., x n, takich»e: a = x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n = b. Oznaczmy przez n podziaª ustanowiony przez punkty {x i } n i=0. Funkcj s(x) = s(x, n ) nazywamy funkcj sklejan stopnia m 1, je±li: 1) s(x) jest wielomianem stopnia co najwy»ej m w ka»dym podprzedziale (x i, x i+1 ), i = 0, 1,..., n 1, 2) s(x) C m 1 dla x < a, b >.
55 Funkcje sklejane stopnia trzeciego (m = 3) s 0 (x) = c 0,3 x 3 + c 0,2 x 2 + c 0,1 x + c 0,0 s 1 (x) = c 1,3 x 3 + c 1,2 x 2 + c 1,1 x + c 1,0 s 2 (x) = c 2,3 x 3 + c 2,2 x 2 + c 2,1 x + c 2,0 s 3 (x) = c 3,3 x 3 + c 3,2 x 2 + c 3,1 x + c 3,0
56 Funkcje sklejane stopnia trzeciego (m = 3) Komentarz 1 Mamy dokªadnie n(m + 1) = 4n parametrów opisuj cych krzyw. Komentarz 2 Warunek w denicji funkcji sklejanej: s(x) C 2 dla x < a, b >, Oznacza to,»e druga pochodna funkcji s(x) musi by funkcj liniow w ka»dym podprzedziale < x i, x i+1 >, i = 0, 1,..., n 1.
57 Funkcje sklejane stopnia trzeciego (m = 3) Wyznaczanie parametrów warto±ci w w zªach zewn trznych speªniaj warunek interpolacji: s 0 (x 0 ) = f (x 0 ), s n 1 (x n ) = f (x n ) warto±ci 2-gich pochodnych w w zªach zewn trznych speªniaj warunek naturalno±ci: s 0 (x 0 ) = s n 1(x n ) = 0 w w zªach wewn trznych warto±ci funkcji s równe: s i 1 (x i ) = s i (x i ) = f (x i ), i = 1, 2,..., n 1 w w zªach wewn trznych warto±ci pierwszych pochodnych s równe: s i 1(x i ) = s i (x i ), i = 1, 2,..., n 1 w w zªach wewn trznych warto±ci drugich pochodnych s równe: Š cznie mamy 4n równa«s i 1(x i ) = s i (x i ), i = 1, 2,..., n 1
58 Funkcje sklejane - przykªad Dokona interpolacji funkcjami sklejanymi stopnia 3 dla danych: i x i y i
59 Funkcje sklejane - przykªad - wyniki y x
Kurs z matematyki - zadania
Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku
Egzamin pisemny zestaw. ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x n, to funkcja x0 x gx ( ) + [ gx (
Bardziej szczegółowoELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku
Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoFunkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Bardziej szczegółowoDOPASOWYWANIE KRZYWYCH
DOPASOWYWANIE KRZYWYCH Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski Motywacje Przykład 1. Dane o przyroście światowej populacji są aktualizowane co każde 10 lat, celem szacowania średniego przyrostu rocznego.
Bardziej szczegółowoMathematica - podstawy
Mathematica - podstawy Artur Kalinowski Semestr letni 2011/2012 Artur Kalinowski Mathematica - podstawy 1 / 27 Spis tre±ci Program Mathematica 1 Program Mathematica 2 3 4 5 Artur Kalinowski Mathematica
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Technologie informatyczne
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Technologie informatyczne Interpolacja metoda funkcji sklejanych Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci
Bardziej szczegółowoCAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016
WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego
Bardziej szczegółowoProblemy optymalizacyjne - zastosowania
Problemy optymalizacyjne - zastosowania www.qed.pl/ai/nai2003 PLAN WYKŁADU Zło ono obliczeniowa - przypomnienie Problemy NP-zupełne klika jest NP-trudna inne problemy NP-trudne Inne zadania optymalizacyjne
Bardziej szczegółowoNewton vs. Lagrange - kto lepszy?
Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Katedra Analizy Matematycznej Agnieszka Rydzyńska nr albumu: 254231 Praca Zaliczeniowa z Seminarium Newton vs. Lagrange - kto lepszy? Opiekun
Bardziej szczegółowoLXV OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA
LXV OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA CZ DO WIADCZALNA Za zadanie do±wiadczalne mo»na otrzyma maksymalnie 40 punktów. Zadanie D. Rozgrzane wolframowe wªókno»arówki o temperaturze bezwzgl dnej T emituje
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji
Ćwiczenia nr 4. Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości y 0,..., y n, takie że i=0,...,n y i = f (x i )). Szukamy funkcji F (funkcji interpolującej), takiej
Bardziej szczegółowoInterpolacja Lagrange'a, bazy wielomianów
Rozdziaª 4 Interpolacja Lagrange'a, bazy wielomianów W tym rozdziale zajmiemy si interpolacj wielomianow. Zadanie interpolacji wielomianowej polega na znalezieniu wielomianu stopnia nie wi kszego od n,
Bardziej szczegółowoInterpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna
Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Sformułowanie zagadnienia interpolacji
Wykład nr 2 Sformułowanie zagadnienia interpolacji Niech będą dane punkty x 0,..., x n (nazywane węzłami interpolacji) i wartości w węzłach y 0,..., y n. Od węzłów żądamy spełnienia warunku x i x j dla
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowoRównania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 8 Interpolacja wielomianowa. Karol Tarnowski A-1 p.223
Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykład 8 Interpolacja wielomianowa Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Wielomian interpolujący Wzór interpolacyjny Newtona Wzór interpolacyjny
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowoZastosowania matematyki
Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 143 Dyskonto-przypomnienie Obliczanie kapitaªu pocz tkowego P v na podstawie znanej warto±ci kapitaªu ko«cowego F v nazywa si dyskontowaniem kapitaªu F v.
Bardziej szczegółowo1 Równania nieliniowe
1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany),
Bardziej szczegółowo3. Interpolacja. Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która
3. Interpolacja Interpolacja w sensie Lagrange'a (3.1) Dana jest funkcja y= f x określona i ciągła w przedziale [a ;b], która przyjmuje wartości y 1, y 2,, y n, dla skończonego zbioru argumentów x 1, x
Bardziej szczegółowoAproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1
Założenie: f(x) funkcja którą aproksymujemy X jest przestrzenią liniową Aproksymacja liniowa funkcji f(x) polega na wyznaczeniu współczynników a 0,a 1,a 2,...,a m funkcji: Gdzie: - są funkcjami bazowymi
Bardziej szczegółowoINTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
Bardziej szczegółowoWprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Zazwyczaj nie można znaleźć
Bardziej szczegółowoINFORMATYKA ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH.
INFORMATYKA ELEMENTY METOD NUMERYCZNYCH http://www.infoceram.agh.edu.pl METODY NUMERYCZNE Metody numeryczne zbiór metod rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Bardziej szczegółowoInterpolacja funkcji
Interpolacja funkcji Interpolacja funkcji Interpolacja funkcji Wielomianowa Splajny Lagrange a Trygonometryczna Interpolacja Newtona (wzór I ) Czebyszewa Newtona (wzór II ) ( Wielomiany Czebyszewa ) Załóżmy,
Bardziej szczegółowoBash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego
Bash i algorytmy Elwira Wachowicz elwira@ifd.uni.wroc.pl 20 lutego 2012 Elwira Wachowicz (elwira@ifd.uni.wroc.pl) Bash i algorytmy 20 lutego 2012 1 / 16 Inne przydatne polecenia Polecenie Dziaªanie Przykªad
Bardziej szczegółowoKADD Minimalizacja funkcji
Minimalizacja funkcji Poszukiwanie minimum funkcji Foma kwadratowa Metody przybliżania minimum minimalizacja Minimalizacja w n wymiarach Metody poszukiwania minimum Otaczanie minimum Podział obszaru zawierającego
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 6 Rozwiązywanie równań nieliniowych Rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania f(x) = 0 lub g(x) = h(x)
Bardziej szczegółowoPakiety Matematyczne MAP1351W,P
STEINHAUS HUGO CENTER W R O C L AW Pakiety Matematyczne MAP1351W,P dr in». Marek Teuerle Centrum im. Hugona Steinhausa Politechnika Wrocªawska Wrocªaw, 07-14 maja 2019 MATLAB Plan wykªadu: MATLAB Plan
Bardziej szczegółowoPRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA
PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA Metody kolejnych przybli e Twierdzenie. (Bolzano Cauchy ego) Metody kolejnych przybli e Je eli funkcja F(x) jest ci g a w przedziale domkni tym [a,b] i F(a) F(b)
Bardziej szczegółowoGranica funkcji wykład 4
Granica funkcji wykład 4 dr Mariusz Grządziel 27 października 2008 Problem obliczanie prędkości chwilowej Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie
Bardziej szczegółowoPAKIET MathCad - Część III
Opracowanie: Anna Kluźniak / Jadwiga Matla Ćw3.mcd 1/12 Katedra Informatyki Stosowanej - Studium Podstaw Informatyki PAKIET MathCad - Część III RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ 1. Równania z jedną niewiadomą MathCad
Bardziej szczegółowoMatematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie
Bardziej szczegółowoInterpolacja funkcjami sklejanymi
Interpolacja funkcjami sklejanymi Funkcje sklejane: Zaªó»my,»e mamy n + 1 w zªów t 0, t 1,, t n takich,»e t 0 < t 1 < < t n Dla danej liczby caªkowitej, nieujemnej k funkcj sklejan stopnia k nazywamy tak
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur
Bardziej szczegółowoMaksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty,
VII Wojewódzki Konkurs Matematyczny "W ±wiecie Matematyki" im. Prof. Wªodzimierza Krysickiego Etap drugi - 17 lutego 2015 r. Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. 1. Drugi etap Konkursu skªada si
Bardziej szczegółowoZagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna
Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?
Bardziej szczegółowoLiniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Aproksymacja cz. II, wielomiany ortogonalne zastosowania PWSZ Gªogów, 2009 Iloczyn skalarny Funkcja okre±lona na przestrzeni liniowej (, ) R iloczyn skalarny wektorów
Bardziej szczegółowoDRGANIA MECHANICZNE. materiały uzupełniające do ćwiczeń. Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie
DRGANIA MECHANICZNE materiały uzupełniające do ćwiczeń Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie prowadzący: mgr inż. Sebastian Korczak część modelowanie, drgania swobodne Poniższe materiały
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna kolokwium2a-15grudnia2005
kolokwium2a-15grudnia2005 1.Niechf(x)=a n x n +a n 1 x n 1 +...+a 0.Jakąwartośćprzyjmujeilorazróżnicowy f[x 0,...,x n ]dladowolnychn+1paramiróżnychwęzłówx j?odpowiedźuzasadnić. 2. Pokazać, że zamiana zmiennych
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze:
dr Krzysztof yjewski Informatyka; S-I 0.in». 7 grudnia 06 Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej. Caªka nieoznaczona. przydatne wzory: Informacje pomocnicze: Lp. Wzór Uwagi. dx = x c. adx = ax c 3. x
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowoPRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ 0 MATURA 00 PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Instrukcja dla zdajàcego POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy: 70 minut. Sprawdê, czy arkusz zawiera stron.. W zadaniach od. do 5. sà podane 4 odpowiedzi:
Bardziej szczegółowoTemat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1
Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a
Bardziej szczegółowoObliczenia naukowe Wykład nr 6
Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym
Bardziej szczegółowo1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Bardziej szczegółowoLZNK. Rozkªad QR. Metoda Householdera
Rozdziaª 10 LZNK. Rozªad QR. Metoda Householdera W tym rozdziale zajmiemy si liniowym zadaniem najmniejszych wadratów (LZNK). Dla danej macierzy A wymiaru M N i wetora b wymiaru M chcemy znale¹ wetor x
Bardziej szczegółowoFunkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ. PODSTAWOWE POJĘCIA. PODSTAWOWE FUNKCJE ELEMENTARNE R - zbiór liczb rzeczywistych, D R, P R Definicja. Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru D jest przyporządkowany dokładnie jeden
Bardziej szczegółowoInterpolacja, aproksymacja całkowanie. Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne
Interpolacja, aproksymacja całkowanie Interpolacja Krzywa przechodzi przez punkty kontrolne Aproksymacja Punkty kontrolne jedynie sterują kształtem krzywej INTERPOLACJA Zagadnienie interpolacji można sformułować
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 3. Plan. Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh. Met.Numer.
METODY NUMERYCZNE Wykład 3. dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Met.Numer. wykład 3 1 Plan Aproksymacja Interpolacja wielomianowa Przykłady Met.Numer. wykład 3 2 1 Aproksymacja Metody numeryczne
Bardziej szczegółowoPaweł Kłosowski Andrzej Ambroziak METODY NUMERYCZNE W MECHANICE KONSTRUKCJI Z PRZYKŁADAMI W PROGRAMIE
Paweł Kłosowski Andrzej Ambroziak METODY NUMERYCZNE W MECHANICE KONSTRUKCJI Z PRZYKŁADAMI W PROGRAMIE GDAŃSK 2011 PRZEWODNICZ CY KOMITETU REDAKCYJNEGO WYDAWNICTWA POLITECHNIKI GDA SKIEJ Romuald Szymkiewicz
Bardziej szczegółowo1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: +j +j 3 Re z = Im z = 5 z ( j) = z j z +
Bardziej szczegółowoLista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa
Sformułowanie zadania interpolacji Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5 Interpolacja wielomianowa Niech D R i niech F bȩdzie pewnym zbiorem funkcji f : D R. Niech x 0, x 1,..., x n bȩdzie ustalonym zbiorem
Bardziej szczegółowoBardzo łatwa lista powtórkowa
Analiza numeryczna, II rok inf., WPPT- 12 stycznia 2008 Terminy egzaminów Przypominam, że egzaminy odbędą się w następujących terminach: egzamin podstawowy: 30 stycznia, godz. 13 15, C-13/1.31 egzamin
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Grupa: A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2005. Grupa: A Nazwisko: Imię: Numer indeksu: Ćwiczenia z: Data: Część 1. Test wyboru, max 36 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 8 Interpolacja Interpolacja polega na budowaniu tzw. funkcji interpolujących ϕ(x) na podstawie zadanych
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych
Zadania z analizy matematycznej - sem II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych Denicja (Pochodne cz stkowe dla funkcji trzech zmiennych) Niech D R 3 b dzie obszarem oraz f : D R f = f y z) P 0 =
Bardziej szczegółowoInterpolacja i modelowanie krzywych 2D i 3D
Interpolacja i modelowanie krzywych 2D i 3D Dariusz Jacek Jakóbczak Politechnika Koszalińska Wydział Elektroniki i Informatyki Zakład Podstaw Informatyki i Zarządzania e-mail: Dariusz.Jakobczak@tu.koszalin.pl
Bardziej szczegółowoKurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP
Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno
Bardziej szczegółowoWstęp do analizy matematycznej
Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w
Bardziej szczegółowoRozdziaª 13. Przykªadowe projekty zaliczeniowe
Rozdziaª 13 Przykªadowe projekty zaliczeniowe W tej cz ±ci skryptu przedstawimy przykªady projektów na zaliczenia zaj z laboratorium komputerowego z matematyki obliczeniowej. Projekty mo»na potraktowa
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAT1317
Analiza Matematyczna MAT37 Wydziaª Informatyki i Zarz dzania Listy zada«nr -0 cz ±ciowo na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykªady i zadania, GiS, Wrocªaw 008 M.Gewert,
Bardziej szczegółowoInżynierskie metody analizy numerycznej i planowanie eksperymentu / Ireneusz Czajka, Andrzej Gołaś. Kraków, Spis treści
Inżynierskie metody analizy numerycznej i planowanie eksperymentu / Ireneusz Czajka, Andrzej Gołaś. Kraków, 2017 Spis treści Od autorów 11 I. Klasyczne metody numeryczne Rozdział 1. Na początek 15 1.1.
Bardziej szczegółowoProgramowanie funkcyjne. Wykªad 13
Programowanie funkcyjne. Wykªad 13 Siªa wyrazu rachunku lambda Zdzisªaw Spªawski Zdzisªaw Spªawski: Programowanie funkcyjne. Wykªad 13, Siªa wyrazu rachunku lambda 1 Wst p Warto±ci logiczne Liczby naturalne
Bardziej szczegółowoEkonometria. Typy zada«optymalizacyjnych Analiza pooptymalizacyjna SOLVER. 22 maja 2016. Karolina Konopczak. Instytut Rozwoju Gospodarczego
Ekonometria Typy zada«optymalizacyjnych Analiza pooptymalizacyjna SOLVER 22 maja 2016 Karolina Konopczak Instytut Rozwoju Gospodarczego Problem diety Aby ±niadanie byªo peªnowarto±ciowe powinno dostarczy
Bardziej szczegółowoLiniowe zadania najmniejszych kwadratów
Rozdziaª 9 Liniowe zadania najmniejszych kwadratów Liniowe zadania najmniejszych kwadratów polega na znalezieniu x R n, który minimalizuje Ax b 2 dla danej macierzy A R m,n i wektora b R m. Zauwa»my,»e
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Ilorazy różnicowe. dr Artur Woike. Wzory interpolacyjne Newtona i metoda Aitkena.
Ćwiczenia nr 3. Ilorazy różnicowe Niech będą dane punkty x 0,..., x n i wartości f (x 0 ),..., f (x n ). Definiujemy rekurencyjnie ilorazy różnicowe: f (x i, x i+1 ) = f (x i+1) f (x i ) x i+1 x i, i =
Bardziej szczegółowoObliczenia Naukowe. Wykład 12: Zagadnienia na egzamin. Bartek Wilczyński
Obliczenia Naukowe Wykład 12: Zagadnienia na egzamin Bartek Wilczyński 6.6.2016 Tematy do powtórki Arytmetyka komputerów Jak wygląda reprezentacja liczb w arytmetyce komputerowej w zapisie cecha+mantysa
Bardziej szczegółowoJanusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdziaª 9 RÓWNANIA ELIPTYCZNE 9.1 Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych cz stkowych 9.1.1 Problemy z warunkami brzegowymi W przestrzeni dwuwymiarowej
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied.
Egzamin maturalny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 5. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Cen nart obni ono o 0%, a po miesi cu now cen obni ono
Bardziej szczegółowoEgzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014
Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), Analiza Matematyczna I W rozwiązaniach prosimy formułować lub nazywać wykorzystywane twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski oraz
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.
INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowoWspółczesne nowoczesne budownictwo pozwala na wyrażenie indywidualnego stylu domu..
Współczesne nowoczesne budownictwo pozwala na wyrażenie indywidualnego stylu domu.. w którym będziemy mieszkać. Coraz więcej osób, korzystających ze standardowych projektów, decyduje się nadać swojemu
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Definicja 1 (funkcja pierwotna i całka nieoznaczona). Niech f : I R. Mówimy, że F : I R jest funkcją pierwotną funkcji f, jeśli F jest różniczkowalna
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9
Metody numeryczne Wst p do metod numerycznych Dawid Rasaªa January 9, 2012 Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Czym s metody numeryczne? Istota metod numerycznych Metody numeryczne s
Bardziej szczegółowo2.2 Udowodnić,żejeżelif(x)=(x x 0 )(x x 1 )...(x x p ),to[x 0,x 1,...,x n ;f]= 0dlan p.jakajestwartośćtegoilorazu,gdyn=p+1?
2.2 Udowodnić,żejeżelif(x)=(x x 0 )(x x 1 )...(x x p ),to[x 0,x 1,...,x n ;f]= 0dlan p.jakajestwartośćtegoilorazu,gdyn=p+1? Definicja ilorazu różnicowego: [x l,x l+1,...,x l+k ;f]= l+k l+k i=l j=l j i
Bardziej szczegółowoBazy danych. Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl www.uj.edu.pl/web/zpgk/materialy 9/15
Bazy danych Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl www.uj.edu.pl/web/zpgk/materialy 9/15 Przechowywanie danych Wykorzystanie systemu plików, dostępu do plików za pośrednictwem systemu operacyjnego
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Egzamin, Gr. A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2007. Egzamin, Gr. A Imię i nazwisko: Nr indeksu: Section 1. Test wyboru, max 33 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa odpowiedź
Bardziej szczegółowoIII. INTERPOLACJA Ogólne zadanie interpolacji. Niech oznacza funkcjê zmiennej x zale n¹ od n + 1 parametrów tj.
III. INTERPOLACJA 3.1. Ogólne zadanie interpolacji Niech oznacza funkcjê zmiennej x zale n¹ od n + 1 parametrów tj. Definicja 3.1. Zadanie interpolacji polega na okreœleniu parametrów tak, eby dla n +
Bardziej szczegółowo2 Model neo-keynsistowski (ze sztywnymi cenami).
1 Dane empiryczne wiczenia 5 i 6 Krzysztof Makarski Szoki popytowe i poda»owe jako ¹ródªa uktuacji. Wspóªczynnik korelacji Odchylenie standardowe (w stosunku do PKB) Cykliczno± Konsumpcja 0,76 75,6% procykliczna
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne Optymalizacja. Wojciech Szewczuk
Metody Numeryczne Optymalizacja Optymalizacja Definicja 1 Przez optymalizację będziemy rozumieć szukanie minimów lub maksimów funkcji. Optymalizacja Definicja 2 Optymalizacja lub programowanie matematyczne
Bardziej szczegółowoWykład 5. Informatyka Stosowana. 6 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28
Wykład 5 Informatyka Stosowana 6 listopada 2017 Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada 2017 1 / 28 Definicja (Funkcja odwrotna) Niech f : X Y będzie różnowartościowa na swojej dziedzinie. Funkcja odwrotna
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
Bardziej szczegółowoFunkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu)
Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Denicja pochodnej Denicja. Niech : X R, X R oraz U(x 0, r) X dla pewnego r > 0. Ilorazem ró»nicowym unkcji
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied.
2 Przyk adowy arkusz egzaminacyjny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Pole powierzchni ca kowitej sze
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoSurowiec Zużycie surowca Zapas A B C D S 1 0,5 0,4 0,4 0,2 2000 S 2 0,4 0,2 0 0,5 2800 Ceny 10 14 8 11 x
Przykład: Przedsiębiorstwo może produkować cztery wyroby A, B, C, i D. Ograniczeniami są zasoby dwóch surowców S 1 oraz S 2. Zużycie surowca na jednostkę produkcji każdego z wyrobów (w kg), zapas surowca
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoZadanie 1. (0-1 pkt) Liczba 30 to p% liczby 80, zatem A) p = 44,(4)% B) p > 44,(4)% C) p = 43,(4)% D) p < 43,(4)% C) 5 3 A) B) C) D)
W ka dym z zada.-24. wybierz i zaznacz jedn poprawn odpowied. Zadanie. (0- pkt) Liczba 30 to p% liczby 80, zatem A) p = 44,(4)% B) p > 44,(4)% C) p = 43,(4)% D) p < 43,(4)% Zadanie 2. (0- pkt) Wyra enie
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl
Bardziej szczegółowo