Własność iteracyjności składek ubezpieczeniowych wyznaczonych w oparciu o teorię skumulowanej perspektywy Kahnemana-Tversky

Transkrypt

1 Własność iteracyjności składek ubezpieczeniowych wyznaczonych w oparciu o teorię skumulowanej perspektywy Kahnemana-Tversky ego Marek Kałuszka Michał Krzeszowiec Ogólnopolska Konferencja Naukowa Zagadnienia Aktuarialne - teoria i praktyka Warszawa, 15 maja 2012 r.

2 Zarys referatu 1 Czym jest teoria skumulowanej perspektywy 2 Iteracyjność 3 Składka mean-value 4 Składka zerowej użyteczności

3 Za twórców teorii skumulowanej perspektywy (Cumulative Prospect Theory) uznaje się dwóch ekonomistów: Daniela Kahnemana i Amosa Tversky ego.

4 Za twórców teorii skumulowanej perspektywy (Cumulative Prospect Theory) uznaje się dwóch ekonomistów: Daniela Kahnemana i Amosa Tversky ego. Dwie przełomowe prace w tej dziedzinie to [1] Kahneman, D., Tversky, A. (1979) Prospect theory: An analysis of decisions under risk. Econometrica 47, [2] Tversky, A., Kahneman, D. (1992). Advances in prospect theory: Cumulative representation of uncertainty. Journal of Risk and Uncertainty 5,

5 Za twórców teorii skumulowanej perspektywy (Cumulative Prospect Theory) uznaje się dwóch ekonomistów: Daniela Kahnemana i Amosa Tversky ego. Dwie przełomowe prace w tej dziedzinie to [1] Kahneman, D., Tversky, A. (1979) Prospect theory: An analysis of decisions under risk. Econometrica 47, [2] Tversky, A., Kahneman, D. (1992). Advances in prospect theory: Cumulative representation of uncertainty. Journal of Risk and Uncertainty 5, W 2002 roku Kahneman otrzymał Nagrodę im. Alfreda Nobla w dziedzinie ekonomii.

6 Teoria skumulowanej perspektywy zakłada m.in., że podczas podejmowania decyzji w warunkach ryzyka i niepewności

7 Teoria skumulowanej perspektywy zakłada m.in., że podczas podejmowania decyzji w warunkach ryzyka i niepewności prawdopodobieństwa zysków i strat sa zniekształcane - każde z nich być może w różny sposób,

8 Teoria skumulowanej perspektywy zakłada m.in., że podczas podejmowania decyzji w warunkach ryzyka i niepewności prawdopodobieństwa zysków i strat sa zniekształcane - każde z nich być może w różny sposób, zyski i straty mierzone sa dwoma różnymi funkcjami,

9 Teoria skumulowanej perspektywy zakłada m.in., że podczas podejmowania decyzji w warunkach ryzyka i niepewności prawdopodobieństwa zysków i strat sa zniekształcane - każde z nich być może w różny sposób, zyski i straty mierzone sa dwoma różnymi funkcjami, ustalany jest punkt referencyjny w, względem którego wartości x dla których w x 0 traktuja jako zyski, zaś x w 0 jako straty.

10 Funkcja zniekształcajaca prawdopodobieństwo Załóżmy, że g : [0, 1] [0, 1] jest funkcja taka, że: g (0) = 0, g (1) = 1, g jest niemalejaca. Wówczas mówimy, że g jest funkcja zniekształcajac a prawdopodobieństwo i piszemy g G.

11 Całka Choqueta Jeżeli g G, to E g X := 0 (g (P (X > t)) 1) dt + g (P (X > t)) dt, 0 nazywamy całka Choqueta (o ile obie całki występujace we wzorze sa skończone).

12 Całka Choqueta Jeżeli g G, to E g X := 0 (g (P (X > t)) 1) dt + g (P (X > t)) dt, 0 nazywamy całka Choqueta (o ile obie całki występujace we wzorze sa skończone). Dla g, h G funkcjonał E gh X = E g X + E h ( X) +. nazywamy uogólniona całka Choqueta.

13 Całka Choqueta Jeżeli g G, to E g X := 0 (g (P (X > t)) 1) dt + g (P (X > t)) dt, 0 nazywamy całka Choqueta (o ile obie całki występujace we wzorze sa skończone). Dla g, h G funkcjonał E gh X = E g X + E h ( X) +. nazywamy uogólniona całka Choqueta. Jeżeli g(p) = h(p) = p, to E gh X = EX.

14 Funkcja wartości Założenia o funkcji wartości u: u jest rosnaca,

15 Funkcja wartości Założenia o funkcji wartości u: u jest rosnaca, u jest ciagła,

16 Funkcja wartości Założenia o funkcji wartości u: u jest rosnaca, u jest ciagła, u(0) = 0.

17 Pojęcie iteracyjności pojawia się po raz pierwszy prawdopodobnie w ksiażce H. Bühlmanna z 1970 roku: Mathematical Methods in Risk Theory.

18 Pojęcie iteracyjności pojawia się po raz pierwszy prawdopodobnie w ksiażce H. Bühlmanna z 1970 roku: Mathematical Methods in Risk Theory. Niech H(X) oznacza składkę za ubezpieczenie się na wypadek ryzyka X.

19 Pojęcie iteracyjności pojawia się po raz pierwszy prawdopodobnie w ksiażce H. Bühlmanna z 1970 roku: Mathematical Methods in Risk Theory. Niech H(X) oznacza składkę za ubezpieczenie się na wypadek ryzyka X. Składka indywidualna: Uwzględnia pewne cechy osoby ubezpieczanej lub ryzyka na wypadek którego się ubezpieczamy. Jeżeli parametr y tego ryzyka jest znany, to H (X y) jest składka za ubezpieczenie się na wypadek ryzyka X. Zazwyczaj parametr y jest realizacja pewnej zmiennej losowej Y, a więc firma ubezpieczeniowa wyznacza najpierw składkę H (X Y ), będacej pewna zmienna losowa zależna od Y. Następnie należy uwzględnić strukturę ryzyka Y obliczajac H (H (X Y )).

20 Pojęcie iteracyjności pojawia się po raz pierwszy prawdopodobnie w ksiażce H. Bühlmanna z 1970 roku: Mathematical Methods in Risk Theory. Niech H(X) oznacza składkę za ubezpieczenie się na wypadek ryzyka X. Składka indywidualna: Uwzględnia pewne cechy osoby ubezpieczanej lub ryzyka na wypadek którego się ubezpieczamy. Jeżeli parametr y tego ryzyka jest znany, to H (X y) jest składka za ubezpieczenie się na wypadek ryzyka X. Zazwyczaj parametr y jest realizacja pewnej zmiennej losowej Y, a więc firma ubezpieczeniowa wyznacza najpierw składkę H (X Y ), będacej pewna zmienna losowa zależna od Y. Następnie należy uwzględnić strukturę ryzyka Y obliczajac H (H (X Y )). Mówimy, że składka H(X) jest iteracyjna, gdy H(H(X Y )) = H(X).

21 H. U. Gerber (1974) wykazuje, że składka H(X) spełniajaca pewien warunek ciagłości jest iteracyjna wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona składka mean-value, tzn. jest rozwiazaniem równania v (H (X)) = Ev (X).

22 H. U. Gerber (1974) wykazuje, że składka H(X) spełniajaca pewien warunek ciagłości jest iteracyjna wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona składka mean-value, tzn. jest rozwiazaniem równania v (H (X)) = Ev (X). M. J. Goovaerts i F. De Vylder (1979) pokazuja, że składka szwajcarska jest iteracyjna wtedy i tylko wtedy, gdy jest składka mean-value lub składka zerowej użyteczności z funkcja użyteczności liniowa lub wykładnicza.

23 H. U. Gerber (1974) wykazuje, że składka H(X) spełniajaca pewien warunek ciagłości jest iteracyjna wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona składka mean-value, tzn. jest rozwiazaniem równania v (H (X)) = Ev (X). M. J. Goovaerts i F. De Vylder (1979) pokazuja, że składka szwajcarska jest iteracyjna wtedy i tylko wtedy, gdy jest składka mean-value lub składka zerowej użyteczności z funkcja użyteczności liniowa lub wykładnicza. Gerber (1979) zauważa, że jeśli S = X X N jest losowa suma, zaś składka H (X) jest addytywna jak i iteracyjna, to H (S) = H (H (S N)) = H (H (X) N).

24 H. U. Gerber (1974) wykazuje, że składka H(X) spełniajaca pewien warunek ciagłości jest iteracyjna wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona składka mean-value, tzn. jest rozwiazaniem równania v (H (X)) = Ev (X). M. J. Goovaerts i F. De Vylder (1979) pokazuja, że składka szwajcarska jest iteracyjna wtedy i tylko wtedy, gdy jest składka mean-value lub składka zerowej użyteczności z funkcja użyteczności liniowa lub wykładnicza. Gerber (1979) zauważa, że jeśli S = X X N jest losowa suma, zaś składka H (X) jest addytywna jak i iteracyjna, to H (S) = H (H (S N)) = H (H (X) N). Goovaerts, Kaas i Laeven (2010) wykazuja, że jeśli składka ubezpieczeniowa jest mieszanina funkcji wykładniczych, to jest ona iteracyjna wtedy i tylko wtedy, gdy mieszanina funkcji jest zdegenerowana.

25 W dalszej części zakładamy, że: 1. w 0 jest punktem referencyjnym, 2. u 1, u 2 sa pewnymi funkcjami wartości, przy czym u 1 mierzy zyski, zaś u 2 straty, 3. X jest losowa strata.

26 Składkę mean-value H(X) definiujemy jako rozwiazanie równania ( ) ( ) u 1 (w H (X)) + u 2 (H (X) w) + = E g u 1 ( (w X) + ) E h u 2 ( (X w) + ).

27 Składkę mean-value H(X) definiujemy jako rozwiazanie równania ( ) ( ) u 1 (w H (X)) + u 2 (H (X) w) + = E g u 1 ( (w X) + ) E h u 2 ( (X w) + ). Zauważmy, że powyższe równanie możemy przepisać jako u (w H (X)) = E gh u (w X) dla u (x) = u 1 (x + ) u 2 ( ( x) + ) for x R

28 Postać składki mean-value dla konkretnych funkcji g i h: (i) Jeśli g (x) = h (x) = x, to E gh X = EX oraz H (X) = w u 1 (Eu (w X)).

29 Postać składki mean-value dla konkretnych funkcji g i h: (i) Jeśli g (x) = h (x) = x, to E gh X = EX oraz H (X) = w u 1 (Eu (w X)). (ii) Jeśli g (x) = 1 {1} (x) oraz h (x) = 1 (0,1] (x), to E gh X = inf X oraz H (X) = sup X.

30 Postać składki mean-value dla konkretnych funkcji g i h: (i) Jeśli g (x) = h (x) = x, to E gh X = EX oraz H (X) = w u 1 (Eu (w X)). (ii) Jeśli g (x) = 1 {1} (x) oraz h (x) = 1 (0,1] (x), to E gh X = inf X oraz H (X) = sup X. (iii) Jeśli g (x) = 1 (0,1] (x) oraz h (x) = 1 {1} (x), to E gh X = sup X i H (X) = inf X.

31 Postać składki mean-value dla konkretnych funkcji g i h: (i) Jeśli g (x) = h (x) = x, to E gh X = EX oraz H (X) = w u 1 (Eu (w X)). (ii) Jeśli g (x) = 1 {1} (x) oraz h (x) = 1 (0,1] (x), to E gh X = inf X oraz H (X) = sup X. (iii) Jeśli g (x) = 1 (0,1] (x) oraz h (x) = 1 {1} (x), to E gh X = sup X i H (X) = inf X. (iv) Jeśli g (x) = h (x) = 1 {1} (x), to E gh X = (inf X) + ( sup X) + oraz sup X gdy X w p.w., H (X) = inf X gdy X w p.w., w gdy inf X w sup X..

32 Postać składki mean-value dla konkretnych funkcji g i h: (i) Jeśli g (x) = h (x) = x, to E gh X = EX oraz H (X) = w u 1 (Eu (w X)). (ii) Jeśli g (x) = 1 {1} (x) oraz h (x) = 1 (0,1] (x), to E gh X = inf X oraz H (X) = sup X. (iii) Jeśli g (x) = 1 (0,1] (x) oraz h (x) = 1 {1} (x), to E gh X = sup X i H (X) = inf X. (iv) Jeśli g (x) = h (x) = 1 {1} (x), to E gh X = (inf X) + ( sup X) + oraz sup X gdy X w p.w., H (X) = inf X gdy X w p.w., w gdy inf X w sup X..

33 (v) Jeśli g (x) = x oraz h (x) = 1 {1} (x), to E gh X = EX + ( sup X) + oraz w u 1 (Eu (w X)) H (X) = inf X ( ) w u 1 E [u (w X)] + gdy X w p.w., gdy X w p.w., gdy inf X w sup X..

34 (v) Jeśli g (x) = x oraz h (x) = 1 {1} (x), to E gh X = EX + ( sup X) + oraz w u 1 (Eu (w X)) H (X) = inf X ( ) w u 1 E [u (w X)] + gdy X w p.w., gdy X w p.w., gdy inf X w sup X.. (vi) Jeżeli g (x) = 1 {1} (x) oraz h (x) = x, to E gh X = (inf X) + E ( X) + i sup X H (X) = w u 1 (Eu (w X)) ( ) w u 1 E [ u (w X)] + gdy X w p.w., gdy X w p.w., gdy inf X w sup X..

35 Twierdzenie Niech w 0 będzie ustalone. Załóżmy, że u jest funkcja wartości oraz g, h G. Wtedy składka mean-value H (X) jest iteracyjna wtedy i tylko wtedy, gdy H (X) zdefiniowana jest jednym ze wzorów z (i)-(vi).

36 Składkę zerowej użyteczności H(X) definiujemy jako rozwiazanie równania u 1 (w) = E g u 1 ( (w + H (X) X) + ) E h u 2 ( (X w H (X)) + ).

37 Składkę zerowej użyteczności H(X) definiujemy jako rozwiazanie równania u 1 (w) = E g u 1 ( (w + H (X) X) + ) E h u 2 ( (X w H (X)) + ). Zauważmy, że powyższe równanie możemy przepisać jako u (w) = E gh u (w + H (X) X) dla u (x) = u 1 (x + ) u 2 ( ( x) + ) dla x R

38 Twierdzenie (i) Jeżeli g (p) = h (p) = p oraz u (x) = cx, u (x) = (1 e cx ) /a lub u (x) = (e cx 1) /a, to składka zerowej użyteczności H (X) jest iteracyjna.

39 Twierdzenie (i) Jeżeli g (p) = h (p) = p oraz u (x) = cx, u (x) = (1 e cx ) /a lub u (x) = (e cx 1) /a, to składka zerowej użyteczności H (X) jest iteracyjna.

40 Twierdzenie (i) Jeżeli g (p) = h (p) = p oraz u (x) = cx, u (x) = (1 e cx ) /a lub u (x) = (e cx 1) /a, to składka zerowej użyteczności H (X) jest iteracyjna. (ii) Zakładamy, że u jest funkcja wartości taka, że dla wszystkich x R istnieje prawostronna pochodna u, która jest skończona i większa od 0 dla wszystkich x 0,

41 Twierdzenie (i) Jeżeli g (p) = h (p) = p oraz u (x) = cx, u (x) = (1 e cx ) /a lub u (x) = (e cx 1) /a, to składka zerowej użyteczności H (X) jest iteracyjna. (ii) Zakładamy, że u jest funkcja wartości taka, że dla wszystkich x R istnieje prawostronna pochodna u, która jest skończona i większa od 0 dla wszystkich x 0, g, h G sa rosnace i ciagłe na [0, 1] oraz istnieja skończone pochodne jednostronne g (x) i h + (x) dla x (0, 1) i 0 < h + (0), g (1) <.

42 Twierdzenie (i) Jeżeli g (p) = h (p) = p oraz u (x) = cx, u (x) = (1 e cx ) /a lub u (x) = (e cx 1) /a, to składka zerowej użyteczności H (X) jest iteracyjna. (ii) Zakładamy, że u jest funkcja wartości taka, że dla wszystkich x R istnieje prawostronna pochodna u, która jest skończona i większa od 0 dla wszystkich x 0, g, h G sa rosnace i ciagłe na [0, 1] oraz istnieja skończone pochodne jednostronne g (x) i h + (x) dla x (0, 1) i 0 < h + (0), g (1) <.

43 Twierdzenie (i) Jeżeli g (p) = h (p) = p oraz u (x) = cx, u (x) = (1 e cx ) /a lub u (x) = (e cx 1) /a, to składka zerowej użyteczności H (X) jest iteracyjna. (ii) Zakładamy, że u jest funkcja wartości taka, że dla wszystkich x R istnieje prawostronna pochodna u, która jest skończona i większa od 0 dla wszystkich x 0, g, h G sa rosnace i ciagłe na [0, 1] oraz istnieja skończone pochodne jednostronne g (x) i h + (x) dla x (0, 1) i 0 < h + (0), g (1) <. Jeśli składka H (X) jest iteracyjna dla w = 0, to g (p) = h (p) = p oraz u (x) = cx, u (x) = 1 e cx lub u (x) = e cx 1 dla x R i pewnych a, c > 0.

44 Prace o podobnej tematyce: Kałuszka, M., Krzeszowiec, M. (2012) Pricing insurance contracts under Cumulative Prospect Theory. Insurance: Mathematics and Economics 50, Kałuszka, M., Krzeszowiec, M. (2012) Mean-value principle under Cumulative Prospect Theory. ASTIN Bulletin 42. Heilpern S. (2003) A rank-dependent generalization of zero utility principle. Insurance: Mathematics and Economics 33, Goovaerts, M. J., Kaas, R., Laeven, R. J. A. (2010) A note on additive risk measures in rank-dependent utility. Insurance: Mathematics and Economics 47,

45 Dziękuję za uwagę