EKONOMETRIA. Prof. dr hab. Eugeniusz Gatnar.

Transkrypt

1 EKONOMETRIA Prof. dr hab. Eugeniusz Gatnar

2 Sprawy organizacyjne Wykłady - prezentacja zagadnień dotyczących: budowy i weryfikacji modelu ekonometrycznego, doboru zmiennych, estymacji parametrów modelu, weryfikacji modelu, zastosowania modeli ekonometrycznych Czas trwania: semestr (6 spotkań) Egzamin: pisemny na ostatnim spotkaniu (pytania i zadania do rozwiązania) Dyżur: p. 529B wtorek

3 Obowiązkowa: Literatura Borkowski A., Dudek H., Szczęsny W., Ekonometria. Wybrane zagadnienia, PWE, Warszawa Dziechciarz J. (red.), Ekonometria. Metody, przykłady, zadania, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu, Wrocław 2002 i dalsze. Lipiec-Zajchowska M., Wspomaganie procesów decyzyjnych. Część II: Ekonometria. CH Beck, Warszawa Dodatkowa: Bartosiewicz S., Ekonometria, PWE, Warszawa 989 i dalsze.

4 Wprowadzenie Ekonometria - bada związki o charakterze ilościowym występujące pomiędzy elementami zjawisk ekonomicznych za pomocą metod statystycznych i matematycznych. Ekonomia matematyczna Ekonomia Matematyka Ekonometria Statystyka ekonomiczna Statystyka Statystyka matematyczna

5 Wprowadzenie Twórcami tej nauki są: R. Frisch oraz J. Tinbergen (laureaci Nagrody Nobla z ekonomii). Ekonometria stara się określić jak zmiany jednych wielkości (przyczyn) wpływają na zmiany innych wielkości (skutków) przy wyeliminowaniu innych przyczyn. Warunki stosowalności ekonometrii: badane zjawisko ekonomiczne musi być stabilne, tj.ulegać jedynie niewielkim i powolnym zmianom, zjawisko musi być mierzalne, tj. jego cechy muszą być wyrażane liczbowo, można określić czynniki wpływające na jego zachowanie, dostępne są dane statystyczne opisujące zachowanie (w sensie ilościowym) badanego systemu w przeszłości.

6 Model Podstawowym narzędziem wykorzystywanym w analizie ekonometrycznej jest model ekonometryczny. Model to konstrukcja teoretyczna, która podlega analizie w miejsce rzeczywistego zjawiska, pozwalając na lepsze zrozumienie jego charakteru. Jest ona zawsze znacznie uproszczonym obrazem obserwowanego zjawiska (np. model samolotu) pozwala jednak na prowadzenie eksperymentów.

7 Model ekonometryczny Model ekonometryczny to formalna konstrukcja, która za pomocą jednego lub kilku równań przedstawia powiązania występujące pomiędzy elementami zjawiska ekonomicznego. Formalna postać modelu: Y t f ( X,, X ) t mt t f funkcja przedstawiająca zależność między zmiennymi w modelu, np. liniowa, wykładnicza itp.

8 Model liniowy Y t gdzie: b0 b Xt bm X mt t b0 bj X jt t, m j gdzie: Y zmienna zależna (endogeniczna), X,, X m zmienne objaśniające (egzogeniczne), b 0, b,, b m parametry strukturalne, składnik losowy, t,,t numer obserwacji, j,,m numer zmiennej objaśniającej.

9 Składnik losowy Składnik losowy jest ważnym elementem modelu, ponieważ uwzględnia: wpływ innych zmiennych niż te, które są już w modelu, różnice między modelem a rzeczywistością, błędy pomiaru zmiennych, działanie czynników losowych.

10 Po co nam model? Posiadanie dobrego modelu ekonometrycznego pozwala: dokonywać symulacji, uzyskując odpowiedź na pytanie co by było gdyby?, budować prognozy, uzyskując odpowiedź na pytanie: jaka będzie wartość zmiennej zależnej (y) w przyszłości?

11 odział modeli ekonometrycznych. ze względu na udział czynnika czasu: statyczne, dynamiczne. 2. ze względu na ilość równań: jednorównaniowe, wielorównaniowe. 3. ze względu na postać analityczną związku między zmiennymi: liniowe, nieliniowe sprowadzalne do liniowych, nieliniowe niesprowadzalne do liniowych.

12 Przykłady Liniowy (jednorównaniowy): C = α + βy gdzie: C konsumpcja, Y - dochód narodowy, α, β - parametry modelu. Liniowy (wielorównaniowy): C = α + βy Y = δc + γi + μg gdzie: I inwestycje, G - wydatki budżetowe, α, β, δ, γ, μ - parametry modelu.

13 Przykłady (c.d.) Nieliniowy: gdzie: R - stopa procentowa. Dynamiczny: I = α 0 + α R + α 2 R 2 + α 3 Y + α 4 Y 2 C t = α 0 + α Y t- I t = β 0 + β (Y t- - Y t-2 ) Y t = C t + I t + G t gdzie: t, t-, t-2 oznaczają kolejne okresy czasu.

14 Etapy budowy modelu. specyfikacja modelu - określenie zmiennych objaśnianych i objaśniających, postaci analitycznej modelu oraz źródeł danych statystycznych, 2. estymacja parametrów modelu - na podstawie zgromadzonych danych za pomocą różnych metod, najczęściej jest to metoda najmniejszych kwadratów (MNK), 3. weryfikacja modelu - określenie, czy wyniki są zgodne z teorią ekonomiczną oraz statystyką, 4. wykorzystanie modelu - do symulacji i tworzenia prognoz.

15 Specyfikacja modelu I. Warunki dla zmiennych objaśniających X, X 2,..., X n : Zmienne muszą: mieć wysoką zmienność, tj. współczynnik zmienności powinien spełniać: V > 0%, w przeciwnym wypadku są to zmienne quasistałe być silnie skorelowane ze zmienną zależną y, nie być skorelowane ze sobą.

16 Dobór zmiennych Etapy doboru zmiennych do modelu: a. Ustalenie listy potencjalnych zmiennych objaśniających. b. Zebranie danych statystycznych. c. Eliminacja zmiennych charakteryzujących się niską zmiennością d. Ustalenie miernika jakości modelu ekonometrycznego. e. Obliczenie współczynników korelacji między wszystkimi rozpatrywanymi zmiennymi. f. Redukcja zbioru potencjalnych zmiennych.

17 Zmienne spełniające omawiane warunki można wybrać stosując metodę formalną, tzw. metodę Hellwiga. Obliczamy macierz współczynników korelacji pomiędzy zmiennymi objaśniającymi: Metoda Hellwiga oraz wektor: [ r ij ] r rn 2 r r 2 n2 r r n 2n [ r ] r j 2 r n współczynników korelacji zmiennych objaśniających ze zmienną zależną. r

18 Rozważa się wszystkie możliwe kombinacje zmiennych objaśniających, których jest: Metoda Hellwiga L = 2 n Dla każdej zmiennej w kombinacji oblicza się indywidualny wskaźnik pojemności informacyjnej: gdzie: l =,..., L, j =,..., m l, i i j m l - liczba zmiennych w kombinacji. h lj r m l 2 j r ij

19 Integralne wskaźniki pojemności całych kombinacji: Indywidualne i integralne wskaźniki pojemności informacyjnej przyjmują wartości z przedziału [0, ]. Pojemności te przyjmują tym większe wartości, im zmienne objaśniające są silniej związane ze zmienną zależną i im mniej skorelowane są ze sobą. Wybierana jest ta kombinacja zmiennych, dla której H jest największe: Metoda Hellwiga m H h l lj * l j H max{ H l l }

20 Zmienne x, x2, x3, x4. Macierz korelacji i wektor: 0,64 0,4 0,4 Kombinacje zmiennych: Przykład 0,64 0,3 0,55 0,3 0,03 :{x} 5:{x,x2} 9:{x2,x4} 3:{x,x3,x4} 2:{x2} 6:{x,x3} 0:{x3,x4} 4:{x2,x3,x4} 3:{x3} 7:{x,x4} :{x,x2,x3} 5:{x,x2,x3,x4} 4:{x4} 8:{x2,x3} 2:{x,x2,x4} 0,43 0,80 0,4 0,8 0,4 0,55 0,03 0,63

21 Np. dla kombinacji 5:{x,x2} liczymy: oraz: Przykład 0,390 0,64 0,8) ( 0,3 0,64 (0,43) h h 0,503 0,390 0,3 5 H 0,03 0,55 0,4 0,03 0,3 0,4 0,55 0,3 0,64 0,4 0,4 0,64 0,63 0,8 0,80,43 0

22 Przykład Zaś dla kombinacji :{x,x2,x3} liczymy: h h..2 2 (0,43) 0,039 0,64 0,4 2 ( 0,8) 0,366 0,64 0,3 0,64 0,4 0,4 0,64 0,3 0,55 0,43 0,80 0,4 0,3 0,03 0,8 0,4 0,55 0,03 0,63 h.3 2 (0,8) 0,4 0,3 0,2 czyli: H 0,039 0,366 0,2 0,5855 Okazuje się, że maksymalna wartość miernika H występuje dla kombinacji 9, tj.{x2,x4} i wynosi 0,688.

23 Zmienne jakościowe Problem: zmienne jakościowe, np. branża, wykształcenie, posiadanie bazy transportowej itp. Wtedy zamieniamy te zmienne na zero-jedynkowe i wstawiamy je do modelu. Np. zmienna wykształcenie pracownika (podstawowe, zawodowe, średnie, wyższe) Zamieniamy ją na 2 zmienne zero-jedynkowe: z i z2 wykształcenie z z2 podstawowe 0 0 zawodowe 0 średnie 0 wyższe Jednak interpretacja parametrów przy takich zmiennych sprawia trudności.

24 Specyfikacja modelu II. Wybór postaci analitycznej modelu Problem sprowadza się do sprecyzowania typu funkcji f w modelu ekonometrycznym. W praktyce można się spotkać z dwiema sytuacjami: a. istnieje aprioryczna wiedza o typie zależności, b. nie istnieje żadna wiedza na temat zależności. W pierwszym przypadku wykorzystuje się teorię ekonomii, a więc wiedzę aprioryczną o zjawisku. W drugim przypadku wybór postaci analitycznej opiera się na analizie rozrzutu punktów empirycznych, który może przypominać wykres jednej ze znanych funkcji analitycznych.

25 Postać macierzowa modelu ξ, Xb y gdzie: T Y T Y y, ) ( 0 m b m b b b, ) ( m T Tm T m m T m X X X X X X x x x X, T T ξ.

26 Estymacja parametrów modelu Do tego celu stosowana jest metoda najmniejszych kwadratów (MNK) polegająca na minimalizacji: ( y Xbˆ) T ( y Xbˆ) min Rozwiązaniem jest wektor ocen parametrów: bˆ ( X T X) X Towarzyszy mu macierz wariancji-kowariancji ocen: T y S 2 (ˆ) b E T T T T 2 T ( X X) X ξξ X( X X) ( X X)

27 Weryfikacja modelu Przyczyny złej jakości mogą być wielorakie. Nigdy nie ma pewności, czy: uwzględniono właściwe zmienne objaśniające, wybrano właściwą postać analityczną modelu, zastosowano właściwą metodę estymacji parametrów. Weryfikacja modelu sprowadza się do zbadania: czy oszacowany model jest zgodny z rzeczywistością (kierunek wpływu zmiennych objaśniających), czy oszacowany model jest wystarczająco precyzyjny, czy uwzględnione zmienne (X) istotnie wpływają na zmienną zależną (Y).

28 Wariancja resztowa Do oceny dopasowania modelu do rzeczywistych danych wykorzystuje się wariancję resztową: ˆ 2 T e T e ( m ) Gdzie reszta to: e y yˆ

29 Współczynnik determinacji przyjmuje wartości z przedziału [0,] i informuje jaka część zmian zmiennej objaśnianej Y została wyjaśniona przez model. Weryfikacja modelu współczynnik zbieżności: 2 T ( y yˆ) ( y yˆ) T ( y y) ( y y) współczynnik determinacji: R 2 2 skorygowany: R 2 ( R 2 ) T T ( m )

30 Błędy szacunku Pierwiastki z elementów głównej przekątnej macierzy stanowią błędy szacunku estymatorów parametrów strukturalnych: S( bˆ j ) S 2 ( ˆ b j ) Błąd szacunku parametru informuje o ile uzyskana wartość parametru odbiega średnio in plus/in minus od jego rzeczywistej wartości.

31 Istotność parametrów Badanie istotności parametrów to sprawdzenie, czy zmienne objaśniające istotnie oddziałują na zmienną zależną. : 0 X nie ma istotnego wpływu na zmienną Y, H 0 b j j H : b j 0 X j wpływa istotnie na zmienną Y. Sprawdzianem hipotezy zerowej jest statystyka: bˆ j t j S( bˆ ) Statystyka ta ma rozkład Studenta o swobody. stopniach Jeśli po obliczeniu wartości tej statystyki i porównaniu jej z wielkością krytyczną, okaże się, że: t j to wówczas nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0. t j ( T m) T ( m)

32 Wszystkie zmienne Aby stwierdzić, czy dopasowanie całego modelu do danych empirycznych jest wystarczające, można zweryfikować hipotezę o istotności wszystkich parametrów strukturalnych, poza wyrazem wolnym. H : b b 0, 0 m H : przynajmniej jeden b 0. Jeżeli H0 jest prawdziwa, to statystyka testowa: F j ( T m ) R 2 m( R ) ma rozkład Fishera o m oraz T-m- stopniach swobody. Jeżeli zachodzi: ( m) F F ( T m) to nie ma podstaw do odrzucenia H0. 2