ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH

Transkrypt

1 ANALIZA SZEREGÓW CZASOWYCH Cze śći Szeregiem czasowym azywamy ciag {y t } wyików obserwacji uporzadkowa- ych w czasie, przy czym symbol t umery kolejych jedostek czasu, atomiast y t ozacza wielkość badaego zjawiska w okresie (lub momecie) t Szereg czasowy o skończoej liczbie wyrazów przedstawiamy z regu ly w postaci tabelaryczej: Okresy lub momety czasu t 1 2 y t y 1 y 2 y Szereg czasowy mometów, to szereg zawierajacy iformacje o poziomach badaego zjawiska w określoych mometach pewego przedzia lu czasowego Z kolei szereg czasowy okresów zawiera iformacje o rozmairach zjawiska w ciagu kolejych okresów daego przedzia lu czasowego Przyk lad 1 Szereg czasowy mometów: data 31 XII 31 XII 31 XII 31 XII 31 XII 31 XII 31 XII kaledarzowa sta ludości Polski w tys 38254, , , , , , , 5 Źród lo: Rocziki Demograficze Przyk lad 2 Szereg czasowy okresów: lata urodzeia żywe w Polsce w tys 378, 3 368, 2 353, 8 351, 1 356, 1 364, 4 374, 2 Źród lo: Rocziki Demograficze 1

2 Aaliza szeregów czasowych sprowadza siedoast epuj acych trzech zagadień: 1 aaliza opisowa szeregu czasowego (tj obliczaie średiej arytmetyczej lub chroologiczej, wariacji, odchyleia stadardowego), 2 porówaie poziomów zjawiska w czasie (tj aaliza dyamiki zjawisk z wykorzystaiem miar dyamiki), 3 dekompozycja szeregu czasowego (tj wyodr ebiaie tedecji rozwojowej, wahań okresowych i wahań przypadkowych) Ad1 Do podstawowych miar opisu szeregów czasowych zaliczamy: -średia arytmetycza(miar e tedecji cetralej dla szeregów czasowych okresów) ȳ = y 1 + y y = 1 y i, -średia chroologicza(miar e tedecji cetralej dla szeregów czasowych mometów) i=1 y 1+y y2+y3 2 + y 1+y 2 ȳ = 1 = 2 y 1 + y y -wariacje i odchyleie stadardowe s 2 = 1 (y i ȳ) 2, s = 1 i=1, = (y i ȳ) 2 i=1 Ad2 Aaliz e dyamiki zjawisk przeprowadzamy z wykorzystaiem miar dyamiki, do których zaliczamy: - przyrosty (absolute i wzgl ede), - ideksy dyamiki (idywiduale i zespo lowe) 2

3 PRZYROSTY Podstawowym sposobem porówywaia zmia zjawiska w czasie jest aaliza przyrostów absolutych i wzgledych Przyrost absoluty y t obliczamy jako różice pomi edzy poziomem zjawiska zaobserwowaym w czasie t a poziomem zjawiska zaobserwowaego w czasie t, przyj etym za podstaw e, czyli y t = y t y t, t =1, 2,, Przyrosty absolute iformuja, o ile wzrós l lub zmala l poziom badaego zjawiska zaobserwoway w okresie (lub momecie) t wporówaiu z jego poziomem w okresie (momecie) bazowym Przyrost wzgledy obliczamy jako iloraz przyrostu absolutego y t do poziomu zjawiska zaobserwowaego w czasie bazowym Iloraz te mam postać: y t y t, t =1, 2,, y t Jeśli przyrost wzgledy pomożymy przez 100%, wówczas otrzymamy procetowy przyrost wzgledy, który iformuje, o ile procet jest wyższy lub iższy poziom zjawiska zaobserwoway w okresie (momecie) t wporówaiu do jego poziomu w okresie (momecie) bazowym t Przyrostwzgledy określamy rówież miaem wskaźika tempa przyrostu (lub spadku) Przyrosty absolute lub wzglede dla kokretego szeregu czasowego, zestawioe w ciag, daja tzw szereg czasowy przyrostów Przyk lad 3 Na podstawie daych z przyk ladu 2 obliczymy przyrosty absolute i wzglede liczby urodzeń w Polse w latach , przyjmujac za podstaweporówań kolejo rok 2000 i rok 2003: okresy czasu (lata) przyrosty absolute w tys (rok bazowy ) 0 10, 1 24, 5 27, 2 22, 2 13, 9 4, 1 przyrosty wzglede w % (rok bazowy ) 0 2, 7 6, 5 7, 2 5, 9 3, 7 1, 1 przyrosty absolute w tys (rok bazowy ) 27, 2 17, 1 2, , 3 23, 1 przyrosty wzglede w % (rok bazowy ) 7, 8 4, 9 0, 8 0 1, 4 3, 8 6, 6 Źród lo: Obliczeia ia podstawe daych z przyk ladu 2 Zitepretujemy przyrosty absolute w przypadku, gdy podstawaporówań jest rok 2000 Zauważymy, że mamy tu do czyieia z wartościami ujemymi, co ozacza, że w latach liczby urodzeń by ly iższe w porówaiu do 3

4 roku 2000, przy czym p w roku 2001 wielkość taby la iższa o 10,1 tys, podczas gdy w roku 2003 aż o 27,2 tys Przyrosty wzglede w tym przypadku przyjmujarówież wartości ujeme Na przyk lad przyrost wzgledy dla roku 2003 ozacza, że w tym roku liczba urodzeń spad la o7, 2% w porówaiu do poziomu z roku 2000 INDEKSY DYNAMIKI Ideksem dyamiki azywamy iloraz wielkości badaego zjawiska w dwch porówywaych okresach (mometach) Ideksy dyamiki dzielimy a: - ideksy idywiduale ozaczae litera i (iaczej zwae ideksami czastko- wymi), - ideksy zespo lowe ozaczae litera I (iaczej zwae ideksami agregatowymi) Te podzia l ideksów dyamiki odpowiada aalogiczemu podzia lowi zjawisk a: - idywiduale, tj zjawiska jedorode, które mogabyć liczbowo wyrażoe w jedakowych jedostkach fizyczych (p w kilogramach, sztukach, metrach itp), - zespo lowe, tj zjawiska iejedorode, wyrażoych w różych jedostkach miary Ideksy idywiduale Idywidualym ideksem dyamiki azywamy iloraz poziomów badaego zjawiska y t1 oraz y t0 zaotowaych w dwóch okresach (lub mometach) t 1 oraz t 0, czyli i t1 = y t 1, t 0 y t0 gdzie y t1 ozacza poziom zjawiska w okresie (lub momecie) sprawozdawczym t 1, atomiast y t0 ozacza poziom zjawiska w okresie (lub momecie) t 0 uzaym za podstaweporówań W skrócie ideks te bedziemy zapisywać wzorem i 1 0 = y 1 y 0 Ideksy idywiduale dzielimy a: jedopodstawowe, dostarczajace ocey dyamiki zjawiska w kolejych okresach (mometach) czasu w porówaiu do sta lego okresu (mometu) przyjetego za podstaweporówań, 4

5 lańcuchowe, dostarczajace ocey dyamiki zjawisk w kolejych okresach (mometach) czasu w porówaiu do okresów (mometów) szeregu bezpośredio poprzedzajacych Jeśli ideksy idywiduale (jedopodstawowe lub lańcuchowe) pomożymy przez 100%, wówczas otrzymamy ideksy w wyrażeiu procetowym Idywiduale ideksy dyamiki (jedopodstawowe lub lańcuchowe) dla kokretego szeregu czasowego, zestawioe w ciag, daja tzw szeregi czasowe ideksów W przypadku szeregów zawierajacych lańcuchowe ideksy dyamiki, tj ciag ideksów postaci i t1 t 0, i t2 t 1,,i t t 1,moża wyzaczaćichśrediawartość, wykorzystujac formu l e średiej geometryczej G = i t1 t 0 i t2 t 1 i t t 1 Zauważymy, że stopień pierwiastka w podaej formule rówy jest liczbie sk ladików (tj ideksów lańcuchowych) wystepuj acych pod pierwiastkiem Powyższaformu l emoża uprościć, korzystajac z faktu, że każdy z ideksów lańcuchowych (o ogólej postaci i tj t j 1 )moża zapisaćzapomocaast epuj acego ilorazu i tj t j 1 = y t j y tj 1 Mamy zatem G = yt1 y t0 yt2 y t1 y t y t 1 = yt Średia geometrycza z ideksów lańcuchowych mierzy średie tempo zmia (tj tempo wzrostu lub spadku) wielkości zjawiska z okresu a okres w badaym przedziale czasowym Jest zatem wskazae, aby tego rodzaju średia wyzaczać w odiesieiu do takiego przedzia lu czasowego, w którym obserwuje sie jedokierukowy charakter zmia badaego zjawiska (tj albo wzrost, albo spadek) Przyk lad 4 Na podstawie daych z przyk ladu 2 obliczymy ideksy lańcuchowe oraz ideksy jedopodstawowe dla liczby urodzeń w Polse w latach , przyjmujac w tym drugim przypadku za podstaweporówań rok 2000 y t0 lata ideksy lańcuchowe w % (rok poprzedi=100) 97, 3 96, 1 99, 2 101, 4 102, 3 102, 7 ideksy jedopodstawowe w % (rok 2000=100) , 3 93, 5 92, 8 94, 1 96, 3 98, 9 Źród lo: Obliczeia ia podstawe daych z przyk ladu 2 5

6 Ziterpetujemy wybrae dwa ideksy Ideks jedopodstawowy dla roku 2006 iformuje, że w tym roku liczba urodzeń by la o 1, 1% iższa w porówaiu do liczby urodzeń w roku 2000 Z kolei ideks lańcuchowy dla tego samego roku iformuje, że liczba urodzeń by la w tym roku o 2, 7% wyższa w porówaiu do roku poprzediego Obliczymy jeszcze średie tempo wzrostu liczby urodzeń w latach , wykorzystujac formu l eśrediej geometryczej z ideksów lańcuchowych Mamy G = 3 101, 4 102, 3 102, 7 102, 15%, co ozacza, że średie, rocze tempo wzrostu liczby urodzeń w latach wyosi lo ok 2, 15% Ideksy zespo lowe Tego rodzaju ideksy stosujemy w odiesieiu do zjawisk z lożoych, tj zjawisk bed acychzespo lami (agregatami) zjawisk iejedorodych, tj iesumowalych w jedostkach fizyczych Przyk ladem iejedorodych agregatów moga być materia ly budowlae czy artyku ly żywościowe, w sk lad których wchodza towary i produkty wyrażoe w różych jedostkach fizyczych (p w toach, sztukach, kilogramach, litrach itp) Sk ladiki tego rodzaju agregatów ie sa wiec bezpośredio sumowale Problem iesumowalości zjawisk z lożoych rozwiazuje sieajcz eściej poprzez wyrażeie wszystkich sk ladików daego agregatu w pewych wspólych jedostkach przeliczeiowych, którymi saajcz eściej jedostki pieieże Przeliczeie agregatu a jedostki pieieże staowi pukt wyjścia do wyzaczaia tzw agregatowych ideksów dyamiki (w tym zespo lowych ideksów wartości, ilości i ce, omówioych poiżej) Agregatowy ideks wartości Niech j =1, 2,,J bed a umerami produktów, atomiast q 1t,q 2t,,q Jt iech bed a ilościami tych produktów (masa fizycza), wchodzacych w sk lad pewego wiekszego agregatu produktów w okresie (momecie) t Podobie, iech p 1t,p 2t,,p Jt ozaczaja cey jedostkowe poszczególych produktów w tym agregacie w okresie (momecie) t Jeśli ilości q jt wyrażoe sa wróżych jedostkach fizyczych, to ie moża ich do siebie dodawać, podobie jak ie moża dodawać do siebie ich ce W celu przeprowadzeia aalizy dyamiki w odiesieiu do tego rodzaju agregatu produktów, koiecze jest sprowadzeie go do sumowalości Dokoamy tego poprzez przedstawieie daego agregatu w ujeciu wartościowym 6

7 Wartość j-tego sk ladika (produktu) w badaym agregacie obliczymy, możac jego ilość q jt przez cee p jt w daym okresie (momecie) Stad l acza wartość w t ca lego agregatu jest rówa sumie w t = J q jt p jt j=1 Aby porówaćwartości badaego agregatu w dwóch różych okresach (mometach) czasu, ozaczoych dalej umowie przez t 1 i t 0, wystarczy podzielić przez siebie wartość agregatu w okresie (momecie) t 1, zwaym okresem lub mometem badaym, przez jego wartość w okresie (momecie) t 0,zwaymokresem lub mometem podstawowym W te sposób otrzymujemy agregatowy ideks wartości I w = w J t 1 j=1 = q p jt jt 1 1 J w t0 j=1 q p jt0 jt0 Dla uproszczeia zapisu ideks te zapisywaćbedziemy dalej wzorem skrócoym q1 p I w = 1 q0 p 0 Zauważymy, że agregatowy ideks wartości jest wypadkowa dyamiki ilości i ce produktów wchodzacych w sk lad badaego agregatu produktów Na jego podstawie ie moża wiec oddzielie oceić wp lywu zmia ilości lub wp lywu zmia ce a dyamikewartości tego agregatu Do tego celu s luża tzw agregatowe ideksy ilości i agregatowe ideksy ce Agregatowe ideksy ilości i ce Podstawa budowy tych ideksów jest tzw metoda stadaryzacji ideksowej polegajaca a tym, że w agregatowym ideksie wartości I w, przedstawioym powyżej jede ze sk ladików sumy wystepuj acej w licziku i miaowiku wzoru (a wiec cey lub ilości produktów) sa ustalae a sta lym poziomie w obu porówywaych okresach (mometach), tz przyjmuje siealbosta le cey, albo sta le ilości dla każdego z produktów w obu porówywaych okresach Dzieki temu możliwe jest określeie wp lywu drugiego z tych sk ladików a zmiay w wartości badaego agregatu Jeśli czyikiem ustaloym a sta lym poziomie bed a cey produktów, to w efekcie otrzymamy ideks iformujacy o tym, jaki wp lyw a dyamikewartości badaego agregatu mia ly zmiay w ilościach produktów zawartych w tym agregacie Z tego powodu ideks te azywamy agregatowym ideksem ilości Istiejadwieformu ly defiiujace agregatowy ideks ilości: Paaschego i Laspeyresa W pierwszej z ich przyjmuje siesta le cey a poziomie z okresu badaego, a w drugiej a poziomie z okresu podstawowego 7

8 Formu la Paaschego: P I q = J j=1 q jt 1 p jt 1 J j=1 q jt 0 p jt1, wskrócie P I q = q1 p 1 q0 p 1, Formu la Laspeyresa: LI q = J j=1 q p jt jt q1 1 0 p J j=1 q p, wskrócie LI q = 0 q0 p jt0 jt0 0 W podoby sposób kostruujemy agregatowe ideksy ce, tz przyjmujemy, że ilości produktów w daym agregacie saasta lym poziomie w obu porówywaych okresach (mometach) Formu la Paaschego: P I p = J j=1 q jt 1 p jt 1 J j=1 q jt 1 p jt0, wskrócie P I p = q1 p 1 q1 p 0, Formu la Laspeyresa: LI p = J j=1 q p jt jt q0 0 1 p J j=1 q p, wskrócie LI p = 1 q0 p jt0 jt0 0 Ze wzgledu a fakt, że w ideksach Paaschego i Laspeyresa ustala sie cey badź ilości a sta lych poziomach, ale z różych okresów (mometów), ideksy te a ogó l różiasi e, czyli LI p P I p, LI q P I q Miedzy agregatowymi ideksami wartości, ilości i ce zachodzi jedak zwiazek określay miaem rówości ideksowej I w = L I p P I q = P I p LI q Ze wzgledu a przyjmowae za lożeie o sta lości ce lub ilości w daym agregacie produktów, iterpretacji tych ideksów dokouje sieajcz eściej z użyciem trybu warukowego Ideksy ilości (ideksy ce) wg formu ly Paaschego iformuja, o ile zmiei laby sie, tj wzros la lub spad la, wartośćca lego agregatu produktówwporówywaych okresach, gdyby cey (ilości) produktów by ly sta le a poziomie z okresu badaego Ideksy ilości (ideksy ce) wg formu ly Laspeyresa iformuja, o ile zmiei laby sie, tj wzros la lub spad la, wartośćca lego agregatu produktówwporówywaych okresach, gdyby cey (ilości) produktów by ly sta le a poziomie z okresu podstawowego 8