Teoretyczne podstawy analizy indeksowej klasyfikacja indeksów, konstrukcja, zastosowanie

Transkrypt

1 Teoretyczne podstawy analizy indeksowej klasyfikacja indeksów, konstrukcja, zastosowanie Szkolenie dla pracowników Urzędu Statystycznego nt. Wybrane metody statystyczne w analizach makroekonomicznych dr Joanna Trzęsiok Katowice, 24 czerwca 2014 r.

2 Plan 1 Szeregi czasowe 2 Przyrosty absolutne 3 Indeksy indywidualne 4 Indeksy agregatowe 5 Funkcja trendu

3 Badanie dynamiki zjawisk Prowadząc badania dostajemy często dane przedstawiające zmiany (rozwój) badanego zjawiska w czasie. Dane te można przedstawić w postaci szeregu czasowego. Szereg czasowy to ciąg {y t } wartości badanego zjawiska obserwowanego w kolejnych jednostkach czasu t n y t y 1 y 2 y 3... y n gdzie t czas, y t wielkość badanego zjawiska w okresie lub momencie t.

4 Rodzaje szeregów czasowych Wyróżniamy dwa rodzaje szeregów czasowych: szereg czasowy momentów, gdy badane wielkości podawane są na ściśle określony moment (np. stan ludności Polski na 31.XII w latach ); szereg czasowy okresów, zawiera informacje o rozmiarach zjawiska w ciągu kolejnych okresów danego przedziału czasowego (np. wydobycie węgla w Polsce w latach ).

5 Miary dynamiki zjawisk Analizę dynamiki zjawisk przeprowadzamy z wykorzystaniem miar dynamiki, do których zaliczamy: przyrosty absolutne i względne, indeksy (wskaźniki) indywidualne i agregatowe.

6 Przyrosty absolutne Przyrost absolutny y t to różnica w poziomie zjawiska zanotowanego w dwóch różnych okresach (momentach) t i t Wyróżniamy: y t = y t y t. przyrosty jednopodstawowe (o stałej podstawie), gdzie t = c jest pewnym okresem (momentem) podstawowym (bazowym) y t = y t y c, przyrosty łańcuchowe, gdzie t = t 1 to okres (moment) poprzedzający t y t = y t y t 1.

7 Indywidualne wskaźniki dynamiki Indeks indywidualny i t/t to stosunek poziomu zjawiska w okresie (momencie) badanym t do poziomu zjawiska w okresie (momencie) przyjętym za podstawę porównań t i t/t = y t. y t Indeksy indywidualne dotyczą zjawisk jednorodnych ujętych w prosty szereg dynamiczny.

8 Podział indeksów indywidualnych Wyróżniamy: indeksy jednopodstawowe (o stałej podstawie), gdzie t = c jest pewnym okresem (momentem) podstawowym (bazowym) i t/c = y t y c, indeksy łańcuchowe, gdzie t = t 1 to okres (moment) poprzedzający t i t/t 1 = y t. y t 1

9 Interpretacja indeksów Interpretacja indeksu i Indeks i mówi nam o procentowej zmianie badanego zjawiska o Zatem, jeśli (i 1) 100%. i > 1, to obserwujemy wzrost poziomu zjawiska w okresie badanym w porównaniu do bazowego o (i 1) 100%, i = 1, to obserwujemy brak zmian poziomu zjawiska w okresie badanym w porównaniu do bazowego, i < 1, to obserwujemy spadek poziomu zjawiska w okresie badanym w porównaniu do bazowego o (i 1) 100%.

10 Indeks średni i średnie tempo zmian Indeks średni Średnią z indeksów łańcuchowych obliczamy wykorzystując wzór na średnią geometryczną Można zauważyć, że ī = n 1 i 2/1 i 3/2... i n/n 1. y2 ī = n 1 y3 y n yn... = y 1 y 2 y n 1. n 1 y 1 Indeks średni interpretujemy jako średnie tempo zmian (ozn. T ) badanego zjawiska przypadające na jednostkę czasu T = (ī 1) 100%.

11 Agregatowe wskaźniki dynamiki dla wielkości absolutnych Indeksy agregatowe (zespołowe) stosujemy w odniesieniu do zjawisk złożonych, tj. zjawisk będących agregatami (zespołami) zjawisk niejednorodnych i bezpośrednio niesumowalnych. Wyróżniamy agregatowe indeksy (dla wielkości absolutnych): wartości, cen, ilości.

12 Agregatowy indeks wartości Agregatowy indeks wartości I w = w it w i0 = p it q it, p i0 q i0 gdzie w it, w i0 wartości produktu w okresie badanym i bazowym, p it, p i0 ceny produktu w okresie badanym i bazowym, q it, q i0 ilości produktu w okresie badanym i bazowym. Interpretacja: I w mówi nam o ile procent wzrosła lub spadła wartość badanego agregatu produktów. Zmiany procentowe obliczamy analogicznie, jak w przypadku indeksów indywidualnych: (I w 1) 100%.

13 Agregatowe indeksy cen Zmiana wartości sprzedaży agregatu produktów może wynikać ze zmiany cen tych produktów. Aby to zbadać obliczamy agregatowe indeksy cen, w których przyjmuje się, iż ilości produktów są na stałym poziomie. Agregatowy indeks cen o formule Laspeyresa, w którym ilości produktów ustalone są na poziomie bazowym (q 0 ) I p/q0 = p it q i0. p i0 q i0

14 Agregatowe indeksy cen (2) Agregatowy indeks cen o formule Paaschego, w którym ilości produktów ustalone są na poziomie badanym (q t ) I p/qt = p it q it. p i0 q it

15 Agregatowe indeksy ilości Zmiana wartości sprzedaży agregatu produktów może również wynikać ze zmiany ilości sprzedaży tych produktów. Obliczamy wtedy agregatowe indeksy ilości, w których przyjmuje się, iż ceny produktów są na stałym poziomie. Agregatowy indeks ilości o formule Laspeyresa, w którym ceny produktów ustalone są na poziomie bazowym (p 0 ) I q/p0 = p i0 q it. p i0 q i0

16 Agregatowe indeksy ilości (2) Agregatowy indeks ilości o formule Paaschego, w którym ceny produktów ustalone są na poziomie badanym (p t ) I q/pt = p it q it. p it q i0

17 Agregatowe indeksy Fishera Agregatowe indeksy Fishera to średnie geometryczne z indeksów (cen lub ilości) według formuł Laspeyresa i Paaschego. Agregatowy indeks cen Fishera Ip F = I p/q0 I p/qt. Agregatowy indeks ilości Fishera Iq F = I q/p0 I q/pt.

18 Zależności dla indeksów agregatowych Między agregatowymi indeksami cen, ilości i wartości zachodzą następujące związki: I w = I p/q0 I q/pt = I p/qt I q/p0 = I F p I F q. Relacje te wykorzystujemy do obliczania indeksów cen lub ilości metodą pośrednią, np.: I p/q0 = I w : I q/pt, I q/p0 = I w : I p/qt.

19 Agregatowe wskaźniki dynamiki dla wielkości stosunkowych Wielkość stosunkowa x to stosunek dwóch wielkości absolutnych x = a b. Przykładami wielkości stosunkowych są np.: przeciętna płaca, wydajność pracy, koszt jednostkowy, czy gęstość zaludnienia. Dla wielkości stosunkowych definiujemy: wszechstronny indeks agregatowy I x = X t X 0 = a it b it : a i0. b i0

20 Indeks wszechstronny Ponieważ, jeśli x = a b, to a = x b oraz b = a x, więc indeks wszechstronny I x można przedstawić za pomocą równoważnych formuł. Równoważne formuły dla indeksu wszechstronnego x it b it x i0 b i0 I x = b it : b i0 = a it a it x it : a i0 a i0 x i0 Interpretacja: indeks wszechstronny mówi nam o zmianach wielkości x w okresie t w stosunku do okresu 0..

21 Indeks agregatowy o stałej strukturze czynnika b Na zmiany wielkości x może wpływać zmiana struktury czynnika b. W analizie dynamiki x możemy ustalić b i w ten sposób zbadać faktyczne zmiany x z pominięciem b. Obliczamy wtedy agregatowe indeksy o stałej strukturze b. Agregatowy wskaźnik o stałej strukturze b o formule Laspeyresa ustalamy b na poziomie bazowym (b 0 ) I x/b0 = x it b i0 : b i0 x i0 b i0 b i0

22 Indeks agregatowy o stałej strukturze czynnika b (2) lub agregatowy wskaźnik o stałej strukturze b o formule Paaschego ustalamy b na poziomie badanym (b t ) I x/bt = x it b it : b it x i0 b it. b it

23 Indeks wpływu zmian w strukturze czynnika b Jeśli jednak chcemy poznać wpływ struktury czynnika b na dynamikę x, to możemy obliczyć agregatowy indeks wpływu zmian w strukturze czynnika b. Konstruujemy wtedy indeksy w których ustalamy wielkości stosunkowe x: indeks wpływu zmian w strukturze czynnika b o formule Laspeyresa, w którym ustalamy x na poziomie bazowym (x 0 ) bi x/x0 = x i0 b it : b it x i0 b i0 b i0

24 Indeks wpływu zmian w strukturze czynnika b (2) oraz indeks wpływu zmian w strukturze czynnika b o formule Paaschego, w którym ustalamy x na poziomie badanym (x t ) bi x/xt = x it b it : b it x it b i0 b i0

25 Zależności dla indeksów Między indeksem wszechstronnym, indeksem o stałej strukturze czynnika b oraz indeksem wpływu zmian w strukturze czynnika b istnieją następujące zależności: I x = I x/b0 b I x/xt oraz I x = I x/bt b I x/x0.

26 Indeks agregatowy o stałej strukturze czynnika a Analogicznie, na zmiany wielkości x może również wpływać zmiana struktury czynnika a. W analizie dynamiki x możemy ustalić a i w ten sposób zbadać faktyczne zmiany x z pominięciem a. Obliczamy wtedy agregatowe indeksy o stałej strukturze a. Agregatowy wskaźnik o stałej strukturze a o formule Laspeyresa ustalamy a na poziomie bazowym (a 0 ) I x/a0 = a i0 a i0 x it : a i0 a i0 x i0

27 Indeks agregatowy o stałej strukturze czynnika a (2) lub agregatowy wskaźnik o stałej strukturze a o formule Paaschego ustalamy a na poziomie badanym (a t ) I x/at = a it a it x it : a it a it x i0.

28 Indeks wpływu zmian w strukturze czynnika a Jeśli jednak chcemy poznać wpływ struktury czynnika a na dynamikę x, to możemy obliczyć agregatowy indeks wpływu zmian w strukturze czynnika a. Konstruujemy wtedy indeksy w których ustalamy wielkości stosunkowe x: indeks wpływu zmian w strukturze czynnika a o formule Laspeyresa, w którym ustalamy x na poziomie bazowym (x 0 ) ai x/x0 = a it : a it x i0 a i0 a i0 x i0

29 Indeks wpływu zmian w strukturze czynnika a (2) oraz indeks wpływu zmian w strukturze czynnika a o formule Paaschego, w którym ustalamy x na poziomie badanym (x t ) ai x/xt = a it a it x it : a i0. a i0 x it

30 Zależności dla indeksów Między indeksem wszechstronnym, indeksem o stałej strukturze czynnika a oraz indeksem wpływu zmian w strukturze czynnika a istnieją następujące zależności: I x = I x/a0 a I x/xt oraz I x = I x/at a I x/x0.

31 Przyczyny wpływające na rozwój zjawiska Zmiany wartości badanej cechy w czasie można przedstawić w postaci modelu uwzględniającego zarówno przyczyny działające w sposób trwały, jak również przypadkowy. W najbardziej ogólnym przypadku, na badane zjawisko oddziałują trzy grupy przyczyn: działające w sposób trwały i powodujące wystąpienie określonej tendencji rozwojowej (czyli trendu), powodujące zmiany powolne, systematyczne i ujawniające się w długich okresach czasu; działające okresowo ale regularnie, tzw. wahania sezonowe, często związane ze zjawiskami przyrodniczymi; działające przypadkowo i nieregularnie tzw. wahania przypadkowe.

32 Tendencja rozwojowa zjawiska Do najważniejszych badań szeregu czasowego (dynamicznego) zaliczamy szacowanie tendencji rozwojowej zjawiska, prowadzące do wyznaczenia funkcji trendu: y t = f (t) + z t, gdzie y t to zaobserwowany poziom zjawiska w okresie t, f (t) funkcja trendu, z t składnik resztowy.

33 Funkcja trendu Kształt funkcji trendu odzwierciedlającej działanie tzw. przyczyn głównych zależy od danych empirycznych. Może mieć ona postać: liniową: jak również nieliniową, np: f (t) = at + b, f (t) = at 2 + bt + c lub f (t) = a ln t + b.

34

35

36

37 Wyznaczanie trendu metodą najmniejszych kwadratów Wyznaczanie trendu metodą analityczną opiera się na tzw. metodzie najmniejszych kwadratów: N (y t f (t)) 2 min, t=1 w której szukamy takich parametrów funkcji f, które minimalizują sumę kwadratów różnic pomiędzy wartościami rzeczywistymi (y t ) badanego zjawiska a wartościami teoretycznymi (f (t)), obliczonymi na podstawie funkcji trendu.

38 Wyznaczanie parametrów trendu liniowego Jeśli funkcja trendu ma postać liniową: f (t) = at + b, to oszacowania jej parametrów obliczamy za pomocą wzorów (uzyskanych metodą najmniejszych kwadratów): a = cov(t, y t) S 2 (t) = N N N N y t t y t t t=1 t=1 t=1 ( N N ) 2, N t 2 t t=1 t=1 b = ȳ t a t.

39 Dopasowanie funkcji trendu Jakość dopasowania wyznaczonej funkcji trendu można zbadać za pomocą: odchylenia standardowego reszt N (y t f (t)) 2 t=1 s(z t ) =, N k gdzie k to liczba parametrów oszacowanego modelu; współczynnika zbieżności ϕ 2 = N (y t f (t)) 2 t=1 ; N (y t ȳ t ) 2 t=1

40 Dopasowanie funkcji trendu (2) współczynnika determinacji Uwaga. R 2 [0, 1], N (y t f (t)) 2 R 2 t=1 = 1 = 1 ϕ N 2. (y t ȳ t ) 2 t=1 im większe R 2 tym lepsze dopasowanie funkcji trendu do danych.

41 Prognoza i błąd standardowy prognozy Prognoza Znając parametry funkcji trendu możemy obliczać prognozowaną wartość badanego zjawiska dla przyszłych okresów (momentów) T : ŷ T = f (T ). Należy jednak pamiętać, że na badane zjawisko wpływają też inne przyczyny, więc otrzymana wielkość ŷ T jest obarczona pewnym błędem. Standardowy błąd prognozy s(z t ) N + (T t) 2. N (t t) 2 t=1