NIEPEWNOŚĆ POMIARU DLA CIĄGU OBSERWACJI SAMOSKORELOWANYCH

Transkrypt

1 ROZDZIAŁ 9 NIEPEWNOŚĆ POMIARU DLA CIĄGU OBSERWACJI SAMOSKORELOWANYCH Adrzej Zięb Ademi Góriczo-Huticz. Wstęp Ciąg obserwcji x, x jest zwyle rejestrowy w olejości ich uzysi. Kolejość t jest bez zczei, jeżeli oleje obserwcje x i pozostją sttystyczie iezleże od siebie, czyli iesorelowe. Stdrdowe wzory oprcowie serii obserwcji (p. []) są optymle przy dodtowych złożeich rówowżości elemetów próby i ormlości ich rozłdu gęstości prwdopodobieństw. Jeżeli prwdopodobieństwo uzysi wyiu x i zleży od iych obserwcji, mmy do czyiei z obserwcjmi smosorelowymi (utocorrelted observtios). Rys. przedstwi rzeczywiste de smosorelowe. N oo wyglądją oe iczej iż de iesorelowe ( biły szum ); są miej poszrpe, zś różic x i x miej często zmiei z liczb zliczeñ w czsie 0 s ,0-0,5 0,0 0,5,0 chyleie próbi ω [deg] Rys.. Smosorelowe de z dyfrtometru retgeowsiego: zleżość tężei reflesu 600 orudu (Al O 3 ) od ąt ω chylei próbi []. Lii przeryw ozcz średią rytmetyczą x z pozych = 00 wrtości x i Smosorelowe ciągi obserwcji uzysiwe są w jróżiejszych esperymetch. Njczęściej występują wtedy, gdy bdy ułd będący źródłem dych podleg losowym złóceiom i jedocześie pmięt st poprzedi. W efecie mmy do czyiei z pewym ciągłym procesem stochstyczym x(t) (p. zleżość ciśiei 09

2 Adrzej Zięb tmosferyczego od czsu), zś dysrety ciąg obserwcji x i wyi z jego próbowi w rówych odstępch czsu. Celem prcy jest przedstwieie włściwości sttystyczych -elemetowej próby obserwcji smosorelowych i metod obliczei dl iej iepewości typu A.. Mtemtycze modele dych smosorelowych Smosorelowe ciągi liczb ze są w literturze [3 5] pod zwą szeregów czsowych. W logii do szeregów lgebriczych, szeregi czsowe są zdefiiowe z pomocą wzorów reurecyjych, wyrżjących oleje liczby x i przy użyciu wrtości poprzedich orz ciągu liczb iesorelowych u i. Dw jprostsze przyłdy to średi ruchom ui + ui ui m SMA: xi = () m orz utoregresyjy szereg czsowy. rzędu AR(): xi = xi + ui () z prmetrem 0<<. (Symbole SMA orz AR() pochodzą od oreśleń gielsich: simple movig verge orz first-order utoregressive process). Wzory (), () i podobe umożliwiją łtwą geercję liczb smosorelowych potrzebych do obliczeń metodą Mote Crlo (MC). W prcch utor [6 8] sformułowy zostł pogląd, że opis teoretyczy rozptrywej tegorii dych smosorelowych jest możliwy przy wyorzystiu prostszego formlizmu, polegjącego potrtowiu ciągu obserwcji x, x jo relizcji wielowymirowej zmieej losowej X, X. Przy podtrzymiu złożeń o ormlości rozłdu i rówowżości elemetów próby losowej, sttystycze włsości liczb x i są w pełi schrteryzowe przez wrtość oczeiwą µ orz odchyleie stdrdowe σ. Zś orelcje między X i i X j opisują elemety dysretej fucji utoorelcji {ρ }, oreśloej jo: 0 cov( X i, X i+ ) ρ = (3) σ tórej wsźi = i j zywmy jest odstępem. Ztem, dl wyprowdzei i zrozumiei przedstwioego w prcy formlizmu, wystrcz elemetry zbiór pojęć sttystyczych zestwioy w Dodtu C Przewodi []. Dl rzeczywistych dych smoorelowych występujące orelcje są prwie zwsze: (i) dodtie, tz. wszystie ρ 0, co wyi z ftu, że w różych zjwisch zwyle st poprzedi jest podtrzymywy (pogod dzisiejsz byw podob do wczorjszej), (ii) o sończoym zsięgu, tz. elemety ρ mleją do zer ze wzrostem odstępu (w perspetywie wielu di orelcje prmetrów meteorologiczych ziją).

3 Część I. Zgdiei ogóle ocey iepewości pomiru 3. Fucj utoorelcji: z priori i estymow z dych Fucję {ρ } jest z priori dl modelowych dych będących szeregmi czsowymi geerowymi przez omputer. Dl szeregów czsowych () orz () fucję utoorelcji oreślją wzory ρ = / m dl < m SMA: (4) ρ = 0 dl m AR(): tórych wyresy przedstwioo rys.. ρ = (5),0 0,8 0,6 SMA, m=5 ρ 0,4 0, AR(), = 0,659 0, Rys.. Fucje utoorelcji dl dwu modeli szeregów czsowych Istieją sytucje, gdy fucj utoorelcji jest z rówież dl dych uzysych z esperymetu. Relizcją fizyczą procesu AR() jest p. przefiltrowie szumu termiczego przez ułd cłujący RC [9]. W pewych przypdch postć fucji {ρ } jest z z dołdych pomirów wcześiejszych, dotyczy to p. dych meteorologiczych [0]. Wreszcie, fucj utoorelcji jest z, jeżeli de smosorelowe powstły w wyiu wygłdzi pierwotych dych iesorelowych przy pomocy oreśloego lgorytmu (p. obliczi średiej ruchomej ()). Njczęściej jed fucj utoorelcji musi być wyzczo podstwie posidych dych. Estymtor fucji utoorelcji {r } zdefiiowy wzorem: r = i= ( y y )( y y ) i i= i+ ( y y ) jest jczęściej omwiy w podręczich [3], [4] i [5], j rówież zimplemetowy w progrmch do lizy dych. Rys. 3 przedstwi obliczoą przy pomocy wzoru (6) estymtę {r }dl dych z rys.. i (6)

4 Adrzej Zięb W wyresie estymty moż wyróżić dwie, róże jościowo części. Dl młych wrtości odstępu mmy opdjące zbocze, w tórym jest zwrt iformcj o występujących orelcjch. Reszt to flutuujący ogo. Jego tie czy ie sztłty robią wrżeie qusi-ciągłych fucji, jedże jest to obrz szumu, tyle że smosorelowego. Odchyleie stdrdowe tych flutucji jest więsze iż / [4], co tłumczy dużą mplitudę flutucji w ogoie {r }. r,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0 zbocze c = 8 fucj utoorelcji -0, ogo -0, Rys. 3. Estymt fucji utoorelcji dl dych z rys. 4. Efetyw liczb obserwcji Dl oprcowi rzeczywistych dych sorelowych wprowdzoo, w co jmiej dziesięciu prcch (wyszczególioych w [8]) i iezleżie od siebie, prmetr sttystyczy zwy efetywą liczbę obserwcji. Umożliwi o zwięzły zpis wzorów opisujących iepewość pojedyczego pomiru i średiej (ptrz pt. 5), podto pomg w ituicyjym zrozumieiu włściwości obserwcji sorelowych. Przy zjomości fucji utoorelcji {ρ }wrtość defiiuje wzór: = (7) + ρ = Rys. 4 przedstwi możliwe wrtości efetywej liczby obserwcji dl ustloej liczebości próby. Poiewż orelcje są ogół dodtie, to zwyle <. Jeżeli zmy tylo estymtę {r } fucji utoorelcji, powstje zgdieie, j jej podstwie estymowć efetywą liczbę obserwcji? O ile obliczoe podstwie fucji {ρ } jest ustloym prmetrem, to z fucji {r } możemy otrzymć tylo estymtor efetywej liczby obserwcji ˆ będący, j żdy estymtor, zmieą losową o pewej fucji gęstości prwdopodobieństw, wrtości oczeiwej i wricji. Nrzucjący się estymtor efetywej liczby obserwcji poleg użyciu wzoru (7), w tórym fucję {ρ } zstępujemy przez {r }. Symulcj metodą MC pozuje

5 Część I. Zgdiei ogóle ocey iepewości pomiru gric ρ orelcje dodtie de iesorel. orelcje ujeme gric ρ ( ) 0 efetyw liczb obserwcji ies. Rys. 4. Przedstwieie włściwości osi liczbowej. Gric liczb w pełi sorelowych dodtio orz ujemie otrzymuje się dl wrtości ρ dążących do wrtości rówych, odpowiedio, orz ( ) (rys. 5, rzyw ), że uzysy w te sposób estymtor m brdzo ieorzyste włściwości: wrtość /ˆ jest moco ziżo w stosuu do wrtości teoretyczej, co prowdzi (wzór ()) do ziżei oszcowi iepewości pomiru. Rys. 5. Fucje gęstości prwdopodobieństw dl różych estymtorów odwrotości efetywej liczby obserwcji: () sumowi wszystich elemetów r, b) wzór (7) z wrtością c z metody FTZ. Symulcje MC wyoo dl modelu AR(), = 0,659, = 60. Lii przeryw pozuje wrtość teoretyczą / = /,33 Przyczyą tego zjwis jest wpływ ogo fucji utoorelcji. Nieformlym remedium jest rbitrle ogriczeie sumowi we wzorze (7) do tylo początowych elemetów estymty {r } []. Aby procedurę tą uczyić jedozczą, zpropoowo w [7] i [8] wzór: ˆ = c + r = w tórym griczy odstęp c jest oreśloy przez ostti iezerowy elemet estymty {r } przed jej pierwszym przejściem przez zero (metod FTZ od g. first trsit through zero). Przyłdowo, dl fucji pozej rys. 3 otrzymujemy c = 8. (8) 3

6 Adrzej Zięb Symulcyje bdie MC pozuje, że zstosowie tiego podejści dje rdyle zmiejszeie ujemego obciążei estymtor (rys. 5, rzyw b). Dlsze zmiejszeie obciążei estymtor uzysuje się przy użyciu wzoru: + c + c ( c + ) / = + c + r wyijącego z użyci owego estymtor efetywej liczby obserwcji []. = (9) 5. Średi rytmetycz jo wyi pomiru powtrzego Średi rytmetycz jest jbrdziej efetywym przybliżeiem wrtości oczeiwej rówież dl przypdu, gdy elemety x i próby losowej są wzjemie sorelowe. Twierdzeie to moż wywieść z metody jmiejszych wdrtów uogólioej przypde sorelowych dych wejściowych, przy czym dopsową fucją jest fucj stł. Br wpływu orelcji estymtor wrtości oczeiwej moż heurystyczie powiązć z ftem, że (i) średi jest sumą zmieych losowych X i podzieloą przez, orz (ii) wrtość oczeiw sumy zmieych losowych jest sumą wrtości oczeiwych, t dl zmieych iezleżych j i sorelowych. 6. Odchyleie stdrdowe pojedyczego pomiru i średiej Przedstwio wyżej włsość wrtości oczeiwej ie dotyczy wricji. Wricj sumy zmieych losowych jest sumą wricji poszczególych słdiów sumy plus dodtowe wyrzy zleże od współczyiów orelcji między słdimi. Ztem prwidłowe wzory estymtory wricji i wricji średiej muszą zleżeć od elemetów ρ fucji utoorelcji. W prcch [6] i [8] przedstwioo wyprowdzeie wzoru ieobciążoy estymtor wricji s dl zmieych smosorelowych. Poszuiwi literturowe wyzły, że zostł o opubliowy bez wyprowdzei przez Byley i Hmmersley [3], stępie zpomiy. Wygodie jest zpisć go w postci wzoru: ( ) s s s x x (0) =, gdzie = ( i ) ( ) i= jest zwyłym estymtorem wricji. Ze wzrostem i czyi { ( )/ [( )]} / dąży do jedości, ztem zchodzi s s, le dl próby o młej liczebości wzór (0) zpobieg ziżeiu estymt wricji i odchylei stdrdowego s = s. Dl obserwcji iezleżych zmiejszeie odchylei stdrdowego średiej s(x ) w stosuu do odchylei stdrdowego s pomiru o czyi / spowodo- Ides (od: utocorrelted) zostł wprowdzoy, by odróżić wprowdzoe estymtory s ( x ) od dobrze zych estymtorów s i s (x ). 4 s orz

7 Część I. Zgdiei ogóle ocey iepewości pomiru we jest częściową ompescją błędów o przeciwych zch. Dl zmieych dodtio sorelowych liczb zmi zu stje się miejsz (rys. ), ztem ompescj błędu przypdowego, wyijąc z częściowego zoszei się przyczyów dodtich i ujemych, stje się miej sutecz. W rezultcie, w związu między iepewościmi pojedyczego pomiru i średiej, zmist występuje miejsz od iej efetyw liczb obserwcji, ztem: s s ( x) = () W połączeiu z wzorem (0) iepewość pomiru dl serii dych smosorelowych, utożsmią z s (x ), zpisć moż jo: u( x) s ( x) = ( x ) i x i= ( ) () Resumując: w przypdu dych smoorelowych możemy dl wyi pomiru utożsmić ze średią, tomist do obliczi iepewości stosowć leży wprowdzoe wyżej wzory (0) (). Dołdość sttystyczej ocey iepewości ie jest zbyt duż i zleży od prmetru zwego liczbą stopi swobody v =. Dl dych smosorelowych moż wprowdzić podoby prmetr zwy efetywą (wypdową) liczbą stopi swobody. Do celów prtyczych wystrczy orzystć z wzoru przybliżoego [7, 8], zgodie z tórym: ν (3) + ρ Wprowdzeie ν umożliwi zpisie wzoru względą dyspersję estymtorów odchylei stdrdowego w postci: = u( s ) u( s ( x)) = (4) s s ( x) ν W gricy obserwcji iezleżych (ρ = 0 dl ) otrzymuje się zy wzór u(s)/s = [( )] /. Przedstwioy formlizm lityczy (wzory (0) (4)) może być stosowy dl dowolej liczebości próby i żdej fucji utoorelcji w przypdu, gdy t ostti jest z. Gdy dyspoujemy tylo estymtą {r }, to mmy dw ogriczei. Wyrżo wzormi (8) i (9) metod estymowi efetywej liczby obserwcji wymg złożei, że elemety rzeczywistej fucji utoorelcji są ieujeme i stją się prtyczie rówe zeru dl <. Podto, rozrzut estymtor ˆ jest źródłem dodtowego rozrzutu estymtorów odchylei stdrdowego. Ilościową iformcję o włsościch estymtorów odchylei stdrdowego dl przypdu, gdy fucj utoorelcji estymow jest z dych, moż uzysć przy pomocy metody Mote Crlo. W prcch [7] i [] przeprowdzoo symulcję 5

8 Adrzej Zięb Rys. 6. Fucje gęstości prwdopodobieństw dl estymtorów zormlizowego odchylei stdrdowego dl modelu AR() i podych trzech wielości próby losowej. Krzywe, orz 3 pochodzą z symulcji MC i dotyczą, odpowiedio, s /σ, s (x ) / σ (x ) orz s + (x ) / σ (x ). Krzywe teoretycze teor oreśl wzór (5) z v v 6

9 Część I. Zgdiei ogóle ocey iepewości pomiru dl modelu AR() i trzech liczości próby losowej: = 5, 60 i 40, odpowidjących teoretyczym wrtościom efetywej liczby obserwcji = 3,36,,33 i 48,3. Rys. 6 przedstwi uzyse fucje gęstości prwdopodobieństw dl trzech estymtorów względego odchylei stdrdowego: rzyw s /σ, gdzie do obliczei s użyto ombicji wzorów (0) i (8), rzyw s (x ) / σ (x ), gdzie s(x ) obliczo przy pomocy wzorów () i (8), rzyw 3 s + (x ) / σ (x ), gdzie s + (x ) zostł obliczoy z wzorów () i (9), czyli z wyorzystiem owego estymtor ˆ+ o obiżoym obciążeiu. Dl obserwcji iezleżych zormlizowe odchyleie stdrdowe z = s /σ podleg fucji rozłdu prwdopodobieństw: ν g z = z z Γ( ν / ) ν / v/ ν ( ) exp / ( ν ) wyijącej z rozłdu chi-wdrt. Wzór (5) zstosowo dl obserwcji smosorelowych, przy czym z zmieą ν podstwioo teoretycze wrtości efetywej (wypdowej) liczby stopi swobody ν dl bdych modeli (rówe, odpowiedio, 5,4,,7 i 9,8). Obliczoe rzywe teoretycze pozo rys. 6. Uzyse metodą MC fucje gęstości prwdopodobieństw dl zormlizowego odchylei stdrdowego (rzywe rys. 6) wyzują dobrą zgodość z rzywymi teoretyczymi, zwłszcz wtedy, gdy liczebość próby jest duż. Jest t dltego, że rozrzut estymtor ˆ m iewieli wpływ rozrzut s, gdyż ˆ wchodzi do wzoru (0) poprzez blisi jedości czyi { ( )/[ ( )]} /. Dobr zgodość dowodzi, że efetyw (wypdow) liczb stopi swobody ν jest prmetrem dobrze opisującym rozrzut estymtorów wricji i odchylei stdrdowego. Wpływ losowego chrteru estymtorów efetywej liczby obserwcji ˆ jest wyrźy dl odchylei stdrdowego średiej (czyli iepewości pomiru). Efetem jest ziżeie wrtości oczeiwej tego estymtor (szczególie dl młej liczebości próby, rys. 6, b) i powięszoy rozrzut. Jed, biorąc pod uwgę ft, że iepewość pomiru zmy w ogólości z iewielą dołdością, przedstwioy formlizm może być stosowy w prtyce. 7. Koluzje Rezulttem prcy jest przedstwieie formlizmu, tóry rozszerz zwyłą metodę obliczi iepewości stdrdowej typu A przypde dych smosorelowych. Formlizm te opier się w istiejących rezulttch teoretyczych, w więszości mło zych, uzupełioych przez owe ocepcje i przetestowiu cłości formlizmu przy użyciu modelowi Mote Crlo. Bezpośredim przedłużeiem prcy, doprowdzoej do zgdiei iepewości stdrdowej, będzie zbdie zgdiei szcowi iepewości rozszerzoej. Ie możliwości zstosowń przedstwioej metodologii to testy sttystycze dl dych smosorelowych, stcjore procesy stochstycze z łożoym tredem czy wreszcie iestcjore procesy stochstycze. (5) 7

10 Litertur Adrzej Zięb [] Guide to the Expresio of Ucertity i Mesuremet, ISO 995. Tłumczeie polsie: Wyrżie Niepewości pomiru. Przewodi. Główy Urząd Mir, 999. [] A. Zięb: Niepewość pomiru obserwcji sorelowych. VII Sympozjum t. Niepewości pomirów i XXI Semirium Secji Podstw Metrologii KMiAN PAN, Świoujście, 5 luty 008. [3] G. E. P. Box, G. M. Jeis: Aliz szeregów czsowych. Progozowie i sterowie. PWN, Wrszw 983 (Nowsze wydie z rozszerzoym zespołem utorów: G. E. P. Box, G. M. Jeis, G. C. Reise. Time Series Alysis: Forecstig d Cotrol. 994, Pretice Hll 994). [4] M. B. Priestley: Spectrl Alysis d Time Series. Elsevier, 98. [5] P. J. Brocwell, R. A. Dvis: Time series: theory d methods d ed. Spriger, New Yor, 99. [6] A. Zięb: Niepewość wrtości średiej serii obserwcji sorelowych. Podstwowe Problemy Metrologii PPM 08, Such Besidz 4 mj 008. Mteriły oferecji wyde przez Komisję Metrologii Oddziłu PAN w Ktowicch. [7] A. Zięb, P. Rmz: Niepewość wrtości średiej serii obserwcji sorelowych (II). Podstwowe Problemy Metrologii PPM 09, Such Besidz 0 3 mj 009. Mteriły oferecji wyde przez Komisję Metrologii Oddziłu PAN w Ktowicch. [8] A. Zięb: Effective umber of observtios d ubised estimtors of vrice for utocorrelted dt overview. Metrology d Mesuremet Systems, 00, vol. 7, 3-6. [9] T. J. Witt: Usig the utocorreltio fuctio to chrcterize time series of voltge mesuremets. Metrologi, 007, vol. 44, pp [0] C. E. Leith: The stdrd error of time-verged estimtes of climtic mes. J. Appl. Meteorol., 973, vol., [] M. Dorozhovets, Z. L. Wrsz: Udosoleie metod wyzczi iepewości wyiu pomiru w prtyce. Przegląd Eletrotechiczy, 007, vol. 83, -3. [] A. Zięb, P. Rmz: musrypt wysły do Sttistics d Computtio. [3] G. V. Byley, G. M. Hmmersley: The Effective Number of Idepedet Observtios i Autocorrelted Time-Series. J. R. Stt. Soc. Suppl., 946, 8,