Z Wikipedii, wolnej encyklopedii.

Transkrypt

1 Rozkład normalny

2 Rozkład normalny jest niezwykle ważnym rozkładem prawdopodobieństwa w wielu dziedzinach. Nazywa się go także rozkładem Gaussa, w szczególności w fizyce i inżynierii. W zasadzie jest to rodzina nieskończenie wielu rozkładów, definiowanych dwoma parametrami: średnią (odpowiada za położenie rozkładu) i odchyleniem standardowym (skala). Standardowy rozkład normalny to rozkład normalny ze średnią zero i odchyleniem standardowym jeden. Ponieważ wykres funkcji gęstości rozkładu normalnego przypomina dzwon, często nazywa się go krzywą dzwonową. Z Wikipedii, wolnej encyklopedii.

3 Historia Rozkład normalny został po raz pierwszy przedstawiony przez de Moivre'a w artykule w 1773 (przedrukowany w drugim wydaniu Doktryny szans 1738) w kontekście aproksymacji niektórych rozkładów dwumianowych dla dużych n. Wyniki tych badań zostały rozwinięte przez Laplace'a w książce Analityczna teoria prawdopodobieństwa (181) i teraz są nazywane twierdzeniem de Moivre'a-Laplace'a. Laplace użył rozkładu normalnego w analizie błędów pojawiających się w eksperymentach. Ważna w teorii prawdopodobieństwa Metoda najmniejszych kwadratów została wprowadzona przez Legendre'a w Gauss, który twierdził, że używał tej metody od 1794, uzasadnił ją silnie w 1809 dzięki założeniu o normalnym rozkładzie błędów. Nazwa krzywa dzwonowa pochodzi od Joufretta, który użył terminu powierzchnia dzwonowa w 187 dla dwuwymiarowego rozkładu normalnego z niezależnymi składnikami. Nazwa rozkład normalny została wymyślona jednocześnie przez Charlesa S. Peirce'a, Francisa Galtona i Wilhelma Lexisa około roku Ta terminologia nie jest najlepsza, gdyż sugeruje, że wszystko ma rozkład normalny 3

4 Typ rozkładu: ciągły Wartość oczekiwana: µ Wariancja: σ Moda: µ Mediana: µ Skośność: 0 Kurtoza: 0 4

5 Funkcja gęstości Funkcja gęstości dla rozkładu normalnego ze średnią µ i odchyleniem standardowym σ (równoważnie: wariancją σ ) jest przykładem funkcji Gaussa. (Zobacz też: funkcja potęgowa i pi). Jeśli zmienna losowa X ma ten rozkład, piszemy X ~ N(µ, σ ). Jeśli µ = 0 i σ = 1, rozkład nazywamy standardowym rozkładem normalnym, którego funkcja gęstości opisana jest wzorem: 5

6 6

7 We wszystkich rozkładach normalnych funkcja gęstości jest symetryczna względem wartości średniej rozkładu. Około 68% pola pod wykresem krzywej znajduje się w odległości jednego odchylenia standardowego od średniej, około 95,5% w odległości dwóch odchyleń standardowych i około 99,7% w odległości trzech (reguła trzech sigm). Punkt przegięcia krzywej znajduje się w odległości jednego odchylenia standardowego od średniej. 7

8 Dystrybuanta Dystrybuanta jest definiowana jako prawdopodobieństwo tego, że zmienna X ma wartości mniejsze od x i w kategoriach funkcji gęstości wyrażana jest wzorem: Aby uzyskać wzór na dystrybuantę standardowego rozkładu normalnego, tradycyjnie oznaczaną jako Φ, wystarczy podstawić pod ogólny wzór wartości µ = 0 i σ = 1, 8

9 Wykres dystrybuanty Dystrybuanta rozkładu normalnego 9

10 Własności 1. Jeśli X ~ N(µ, σ ) i a i b są liczbami rzeczywistymi, to ax + b ~ N(aµ + b, (aσ) ).. Jeśli X 1 ~ N(µ 1, σ 1 ) i X ~ N(µ, σ ), i X 1 i X są niezależne, to X 1 + X ~ N(µ 1 + µ, σ 1 + σ ). 3. Jeśli X 1,..., X n są niezależnymi zmiennymi losowymi o standardowym rozkładzie normalnym, to X X n ma rozkład chi-kwadrat z n stopniami swobody. 10

11 Standaryzowanie zmiennych losowych o rozkładzie normalnym Konsekwencją własności 1 jest możliwość przekształcenia wszystkich zmiennych losowych o rozkładzie normalnym do standardowego rozkładu normalnego. Jeśli X ma rozkład normalny ze średnią µ i wariancją σ, wtedy: Z jest zmienną losową o standardowym rozkładzie normalnym N(0, 1). Odwrotnie, jeśli Z jest zmienną losową o standardowym rozkładzie normalnym, to: jest zmienną o rozkładzie normalnym ze średnią µ i wariancją σ. Standardowy rozkład normalny został stablicowany i inne rozkłady normalne są prostymi transformacjami rozkładu standardowego. W ten sposób możemy używać tablic dystrybuanty rozkładu normalnego do wyznaczenia wartości dystrybuanty rozkładu normalnego o dowolnych parametrach. 11

12 f(u) 1- a µ b P ( a < X < b) = 1 1

13 f(u) 1- u µ=0 u X µ P u < < u = 1 σ (0,1) 13

14 Obliczanie: P( u < X < u ) = 1 Krok I: P( X ) < u = 1 f(u) 1- u µ=0 u 14

15 Krok II: P( X < u ) = f(u) 1- u µ=0 u 15

16 Krok III: P( u < X < u )= = P ( X < u ) P( X < u ) f(u) 1- u µ=0 u 16

17 Symetria: f(u) 1- u µ=0 u P( u < X < u )= P ( X < u ) P( X< u ) = = P ( X < u ) P( X> u ) = = P ( X < u ) [ 1 P ( X < u )] = P X u ( < ) 17 1

18 P( u < X < u )= P( X u ) 1 < Każde wyrażenie postaci P ( X < u ) Nazywane jest dystrybuantą i często oznaczane dla rozkładu normalnego Φ X ( u ) Wartości dystrybuanty dla rozkładu N(0, 1) są tablicowane. Można je także odczytywać posługując się arkuszem kalkulacyjnym. 18

19 np. Φ X ( u ) Dla u równego 1,36 odpowiednio z tablic x

20 Dla u równego 1,36 odpowiednio z arkusza Excel 0

21 Przykład obliczeń: Niech X~N(5, 4). Obliczyć Standaryzujemy: P( 3< X < 0) = 3 5 X P( 3< X < 0) = P = ( < 5, 4 ) < < P X ( 0,1) ( < 3,75) Zapisujemy jako różnicę dystrybuant: Φ(3,75) = Φ( ) = [1 Φ ()] =Φ() 1 = 0, ,977 1= 0,977 x

22 Przykład obliczeń Excel: Niech X~N(5, 4). Obliczyć P( 3< X < 0) = = 0,99991 = 0,075 = 0,977

23 Centralne twierdzenie graniczne Jedną z najważniejszych własności rozkładu normalnego jest fakt, że, przy pewnych założeniach, rozkład sumy dużej liczby zmiennych losowych jest w przybliżeniu normalny. Jest to tak zwane centralne twierdzenie graniczne. W praktyce twierdzenie to ma zastosowanie jeśli chcemy użyć rozkładu normalnego jako przybliżenia dla innych rozkładów. Rozkład dwumianowy z parametrami n i p jest w przybliżeniu normalny dla dużych n i p nie leżących zbyt blisko 1 lub 0. Przybliżony rozkład ma średnią równą µ = np i odchylenie standardowe σ = (n p (1 - p)) 1/. Rozkład Poissona z parametrem λ jest w przybliżeniu normalny dla dużych wartości λ. Przybliżony rozkład normalny ma średnią µ = λ i odchylenie standardowe σ = λ. Dokładność przybliżenia tych rozkładów zależy od celu użycia przybliżenia i tempa zbieżności do rozkładu normalnego. Zazwyczaj takie przybliżenia są mniej dokładne w ogonach rozkładów. 3