Estymacja to wnioskowanie statystyczne koncentrujące się wokół oszacowania wartości parametrów rozkładu populacji.

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Estymacja to wnioskowanie statystyczne koncentrujące się wokół oszacowania wartości parametrów rozkładu populacji."

Gabriela Mikołajczyk
6 lat temu
Przeglądów:

1 Botatytyka, 018/019 dla Fzyk Medyczej, tuda magterke etymacja etymacja średej puktowa przedzał ufośc średej rozkładu ormalego etymacja puktowa przedzałowa waracj rozkładu ormalego etymacja parametrów rozkładu dwumaowego Pooa Etymacja to wokowae tatytycze kocetrujące ę wokół ozacowaa wartośc parametrów rozkładu populacj. Etymacja puktowa: jak w oparcu o poadae dae ozacować wartość określoego parametru ezaej populacj. Etymacja przedzałowa: jak w oparcu o poadae dae ozacować przedzał wartośc określoego parametru ezaej populacj, w którym to z wyoką warygodoścą zajdze ę wartość prawdzwa. 1

2 Wag oworodków kolejo urodzoych w jedym ze zptal w Botoe (waga w ucjach: 100 oz= 835 g) Zakładamy, że rozkład wag tych oworodków jet N(μ, σ ) Problem : Wyzaczyć μ oraz σ dla populacj wag oworodków. Zazaczoe ą trzy próby o rozmarze =10. Każda próba to 10 wyków dla may oworodków. Róże próby mogą prowadzć do różych wartośc dla średego cężaru oworodków x A x 10 1 Zatem próbkowae populacj (wybór próby) jet zmeą loową. A Woek: Średa z próby jet zmeą loową

Jake właośc poada zmea loowa X opująca średą z wyloowaych prób? Rozkład wartośc zmeej X Jak właośc zmeej X wykorzytać do ozacowaa średego cężaru oworodków w badaej populacj?

3 Jake właośc poada zmea loowa X opująca średą z wyloowaych prób? Rozkład wartośc zmeej X Jak właośc zmeej X wykorzytać do ozacowaa średego cężaru oworodków w badaej populacj? A może w celu ozacowaa wykorzytać e zae parametry opujące właośc kończoego zetawu daych, take jak, a przykład: medaa czy wartość śred a ajmejzej ajwękzej wag w próbe? Wyk uzykae z oblczea wartośc różych prób dla różych tatytyk (a) wartośc średej z próby X (b) meday z próby, (c) średej z wartośc max m z próby 3

4 Nech etymator ˆ to przep (tatytyka) operający ę a daych z próby a oblczee wartośc - welkośc charakteryzującej badaą populację. Etymator ˆ jet azywaym eobcążoym etymatorem jeśl ezależe od rozkładu populacj zachodz E( ˆ) Wartość średa z próby X, medaa z próby, średa z ajmejzej ajwękzej wartośc z próby, ą eobcążoym etymatoram wartośc średej w populacj, czyl E(X )=, E(medaa) =, E(1/(m{ }+ max{} )=. Jeśl rozkład w populacj jet ormaly, to wartość średa z próby X jet etymatorem o mmalej waracj. Ilutracja dla pojęca SEM, aczej SE Wyk rozkładu zmeej loowej X gdy próba kłada ę z : (a) =1 (b) =10 (c) =30 elemetów. SEM SE etymujemy 4

5 Przypomajka: Nech zmee loowe X 1,..X ą wzajeme ezależe mają rozkłady ormale o wartoścach oczekwaych : E( X ) waracjach E( X ). Wówcza dowola kombacja lowa L tych zmeych jet zmeą o rozkładze ormalym N( c, c ) Woek: Dla zmeej loowej X, jeśl loowe próby pochodzą z populacj o wartoścą średą oraz waracją, to X ma rozkład ormaly N(, ) Twerdzee CTG: Nech X 1, X,.., X to loowe próby pobrae z populacj o ezaym (dowolym) rozkładze opywaym wartoścą średą oraz waracją. Wówcza dla dużych wartośc mamy X ma w przyblżeu rozkład N(, /) Ilutracja cetralego twerdzea graczego Wyk rozkładu zmeej loowej X gdy próba kłada ę z : (a) =1 (b) =5 (c) =10 elemetów. Zauważmy, że (a) opuje rozkład wag w populacj. Jet eymetryczy (lewokośy) a węc jet y ż ormaly. Przy zwękzau rozkład wartośc średch taje ę dzwoowaty 5

6 Ile jet? Czy czy 13.80? Jeżel X przekztałcmy a zmeą loową tadardową Z, czyl X Z / to Z jet zmeą o tadardowym rozkładze ormalym N(0,1). Zatem 95% wyków Z uzykaych z prób loowych o rozmarze będze mało wartośc pomędzy Te wartośc odpowadają.5 oraz 97.5 percetylom tadardowego rozkładu ormalego. Ozacza to, że 95% prób loowych X leży w przedzale ( /, / ) 6

7 Jeśl X1, X, X to ezależe zmee loowe o rozkładze N(, ) to tatytyka: d=1 d= d=5 d=10 d=f X t / ma rozkład t-studeta. Ozaczee : t -1 Dytrybycja t d dla każdego d jet ymetrycza Dytrybycja t d ma wolo opadające ogoy d=1 d= d=5 d=10 d=f k/rozk%c5%8ad _Stud eta Moża pokazać, że dla dowolego > 0.05 dytrybucja t-studeta t d, 1- przyjmuje wartośc wękze ż rozkład ormaly. t d,1 z

Gętość prawdopodobeńtwa rozkładu t-studeta dla topa wobody df > 0 Warto pamętać: t.pdf(x, df, loc, cale ) = t.pdf( y, df) dla y =(x-loc) /cale mport umpy a p mport matplotlb.pyplot a plt from cpy.

8 Gętość prawdopodobeńtwa rozkładu t-studeta dla topa wobody df > 0 Warto pamętać: t.pdf(x, df, loc, cale ) = t.pdf( y, df) dla y =(x-loc) /cale mport umpy a p mport matplotlb.pyplot a plt from cpy.tat mport t from cpy.tat mport orm fg, ax = plt.ubplot(1, 1) df =.74 x = p.lpace(t.ppf(0.01, df), t.ppf(0.99,df), 100) ax.plot (x, t.pdf(x, df),'r-', lw=4, alpha=0.6, label='t pdf') ax.plot (x, orm.pdf(x), 'g-', lw=4, alpha=0.6, label='orm pdf') ax.leged() plt.how() (111) t d,1 z (11) 8

9 100%(1- ) tatytyk t wpada pomędzy doly / góry 1- / percetyl dytrybucj t -1, czyl P( t ) 1, / t t 1,1 / 1 100%(1- ) przedzał ufośc ( cofdece terval) dla średej rozkładu ormalego o ezaej waracj day jet wzorem: X t X t 1,1 /, 1,1 / 9

10 CI to zmea loowa. 100%(1- )CI to rodza loowych przedzałów o właośc, że 100%(1- ) pośród ch zawera rzeczywtą wartość parametru. =11 wartość oblczoa z całej populacj Szerokość terwału ufośc * t 1,1 / rośe, to Δ maleje rośe, to Δ roe rośe, to Δ maleje = t 1,1 α/ Ozacowae welkośc próby dla oągęca CI o określoej zerokośc Δ ufośc = z 1 α/ σ 10

11 Nech day będze przedzał ufośc 95%CI odetka dorołych Amerykaów, którzy e ą aktyw fzycze (0.3,0.7) Mamy 95% ufość, że prawdzwy odetek dorołych Amerykaów, którzy e ą aktyw fzycze jet pomędzy 3% 7% Mamy 95% ufość, że odetek dorołych Amerykaów, którzy e ą aktyw fzycze jet zawarty w przedzale (3%, 7%) W oparcu o poadae dae zacujemy, ze odetek dorołych Amerykaów, którzy e ą aktyw fzycze to 5%. Z ufoścą 95% ta wartość może być tak mała jak 3% albo tak duża jak 7%. W oparcu o poadae dae zacujemy, ze odetek dorołych Amerykaów, którzy e ą aktyw fzycze to 5% ( 95% CI: 3% - 7%). Mamy 95% zaę, że odetek dorołych Amerykaów, którzy e ą aktyw fzycze jet zawarty pomędzy 3% 7%. Etymacja puktowa dla średej populacj w oparcu o wyk z próby: X Średa z próby to etymator eobcążoy z m. waracją Etymacja przedzałowa przez (1- )%CI dla średej populacj o rozkładze ormalym w oparcu o wyk z próby jeżel: zamy waracje populacj ( X z1 /, X z1 / ) e zamy waracj populacj Uwaga praktycza: jeśl >30 to zamat tatytyk t touje ę tatytykę z ( X t 1,1 /, X t 1,1 / Mamy ufość, że 95% przedzałów tak kotruowaych zawera średą populacj ) 11

waracja z próby jet eobcążoym etymatorem przykład: pomar SBP pomar cśea kurczowego arteroodą przyrząd wykorzytujący

12 Średe odchylee z próby? ˆ 1 1 ( x x) Waracja z próby? ( x x) Przy powtarzających ę próbach o rozmarze mamy : średe odchylee z tych prób e jet eobcążoym etymatorem waracja z próby jet eobcążoym etymatorem przykład: pomar SBP pomar cśea kurczowego arteroodą przyrząd wykorzytujący efekt Dopplera do utalea cśea krw. Nagrae terpretowało dwóch operatorów. d ( ) / ( d d) Przy założeu, że rozkład różc d jet ormaly ozacowae puktowe dla waracj to

Zmea G X gdze X z N(0,1) ma rozkład 1 x x) / ( / 1 x / e ( / ) =1

cdf(x, df) ch.ppf(x, df) http://e.wkpeda.

góry doly.5-percetyl ch-kwadrat rozkładu dla =10. 10,0.05 =3.

13 Zmea G X gdze X z N(0,1) ma rozkład 1 x x) / ( / 1 x / e ( / ) =1 = =3 =4 =6 =9 Pytho: w module cpy.tat ch.pdf(x, df) ch.cdf(x, df) ch.ppf(x, df) u : P( ) u, u ozaczee Przykład: Zajdź góry doly.5-percetyl ch-kwadrat rozkładu dla =10. 10,0.05 = ,0.975 =0.483 percetyl_prawy = ch.ppf(0.975, 10) percetyl_lewy = ch.ppf(0.05, 10) P( )

P 1, / 1,1 / 1 1 1 Przykład: Pomar SBP arteroodą : 95%CI dla waracj to ( 3.87, 7.6), Do daje ( 1) 1,1 / ( 1), 1, / 95%CI dla odchylea tadardowego jet: ( 1.97, 5.). Ozacowae puktowe dla odchylea daje =.

14 P 1, / 1,1 / Przykład: Pomar SBP arteroodą : 95%CI dla waracj to ( 3.87, 7.6), Do daje ( 1) 1,1 / ( 1), 1, / 95%CI dla odchylea tadardowego jet: ( 1.97, 5.). Ozacowae puktowe dla odchylea daje =.8597 Jeśl próba jet duża, >30, to przedzał ufośc taje ę ymetryczy względem ozacowaa puktowego. Zachodz bowem P z z 1 Ocea powtarzalośc pomarów Rekrutujemy 15 ochotków, w odtępe tygoda poberamy krew do aalzy. Badamy: d gdze,1,1, x, x x x, to pomar perwzy drug daego ochotka. Wyzło d=0 przy =0.5. A w lteraturze jet, że =0.0. Czy aze pomary ą powtarzale? Poeważ: Zatem: Z 95 % ufoścą mamy, ż wyk azego laboratorum ą powtarzale w odeeu do lteraturowych To: 14

Podobne dokumenty

wyniki serii n pomiarów ( i = 1,..., n) Stosując metodę największej wiarygodności możemy wykazać, że estymator wariancji 2 i=

wyniki serii n pomiarów ( i = 1,..., n) Stosując metodę największej wiarygodności możemy wykazać, że estymator wariancji 2 i= ESTYMATOR WARIANCJI I DYSPERSJI Ozaczmy: µ wartość oczekwaa rozkładu gauowkego wyków pomarów (wartość prawdzwa merzoej welkośc σ dyperja rozkładu wyków pomarów wyk er pomarów (,..., Stoując metodę ajwękzej