Estymacja punktowa - Estymacja przedziałowa

Transkrypt

1 Etymacja punktowa - Etymacja przedziałowa 1. Wyjaśnij pojęcia: parametr, tatytyka z próby, etymator i ocena (zacunek). Jakie związki zachodzą między nimi? O d p o w i e d ź. Parametrem (populacji) nazywa ię liczbową charakterytykę populacji (np. średnia populacji µ lub wariancja populacji 2 ). Statytyką z próby nazywa ię liczbową charakterytykę próby (np. średnią z próby x, wariancję z próby 2 ). Etymatorem parametru populacji jet tatytyka z próby używana do ozacowania tego parametru. Oceną lub zacunkiem parametru jet konkretna wartość liczbowa etymatora z danej próby. 2. Rewident wybiera loową próbę 12 zaległych należności pośród wzytkich zaległych należności pewnej firmy. Kwoty należności ą natępujące (w dolarach): 87,50; 123,10; 45,30; 52,22; 213,00; 155,00; 39,00; 76,05; 49,80; 99,99; 132,00; 102,11. Ozacuj średnią kwotę zaległych należności firmy, a także wariancję tej kwoty. O d p o w i e d ź. Średnia: x = (87, , 11)/12 = 97, 9225; wariancja: 2 = ( (87, 5 x) (102, 11 x) 2) /(12 1) = 2686, ; odchylenie tandardowe: = 2 = 51, Podanie niżej liczby pochodzą z loowej próby dochodów oobitych robotników przemyłowych w tanie Nowy York (w tyiącach $ rocznie) 14,5; 13,2; 15,4; 12,8; 19,3; 13,4; 16,5; 17,2; 17,8; 11,5; 13,6; 18,8. Podaj punktową ocenę średniej i odchylenia tandardowego dochodów w populacji robotników przemyłowych w tym tanie. O d p o w i e d ź. Średnia: x = 15, ; wariancja: 2 = 6, ; odchylenie tandardowe: = 2, Podane niżej liczby ą loową próbą wynagrodzeń otrzymywanych przez ooby należące do kategorii "najwyżej płatnych dyrektorów firm w kraju" (w milionach $): 0,79; 1,59; 0,99; 1,12; 3,42; 5,21; 7,86; 13,23. Podaj punktową ocenę średniego wynagrodzenia dyrektora należącego do tej kategorii. O d p o w i e d ź. Średnia: x = 4, 27625; wariancja: 2 tandardowe: = 4, = 19, ; odchylenie 5. Wykorzytaj poniżzą tablicę liczb loowych do utalenia numerów identyfikacyjnych elementów próby loowej o liczebności n = 25, pobranej z populacji o liczebności 950 elementów

2 O d p o w i e d ź. Wybieramy pierwzą lepzą liczbę z tablicy i zaczynamy poruzać ię wzdłuż wybranego wierza lub kolumny w dowolnym kierunku. Skoro wybrać mamy z zakreu od 1 do 950, to decydujemy arbirtalnie, że wybierać będziemy pierwze trzy cyfry liczby z tej tablicy, która wpada do zakreu od 1 do 950, pomijając te które nie należą do tego zakreu. Ja wybrałem pierwzą liczbę z tablicy i poruzam ię w prawo po kolejnych wierzach: 104, 150, 15, 20, 816, 916, 691, 141, 223, 465, 255, 853, 309, 891, 279, 534, 241, 483, 225, (972 odrzucam nie należy do podanego zakreu), 763, 648, 151, 248, 421, Znajdź 5 liczb loowych między 0 a O d p o w i e d ź. Podobnie jak w poprzednim zadaniu, wybierając liczby czterocyfrowe: 1048, 1501, 153, 201, Co to ą rozkłady z próby i do jakich celów ich używamy? O d p o w i e d ź. Rozkład z próby jet rozkładem wzytkich możliwych wartości, jakie ta tatytyka może przyjąć, jeżeli obliczamy je na podtawie badania loowych prób o tych amych rozmiarach, pobranych z określonej populacji. Rozkład z próby łuży do zacowania (oceny) parametrów populacji. 8. Pobrano próbę o liczebności n = 5. Pod jakimi warunkami rozkład średniej z próby, X, jet normalny? O d p o w i e d ź. Rozkład X jet normalny pod warunkiem, że rozkład w populacji jet normalny. Jeżeli pobieramy próbę loową z populacji, w której rozkład jet normalny o średniej µ i odchyleniu tandardowym, to średnia z próby, X, ma rozkład normalny ze średnią (wartością oczekiwaną) µ i odchyleniem tandardowym / n. 9. W zadaniu 8 przyjmijmy, że w populacji średnią jet µ = 125, a odchyleniem tandardowym = 20. Jaka jet wartość tandardowego błędu tatytyki X, czyli SD(X)? O d p o w i e d ź. E(X) = µ = 125, SD(X) = / n = 20/ 5 8, Jeżeli średnia w populacji jet równa 1247, wariancja 10000, a próba liczy 100 elementów, to jakie jet prawdopodobieńtwo, że średnia z próby, X, przyjmie wartość mniejzą od 1230? O d p o w i e d ź. Znamy parametry populacji µ = 1247, 2 = (więc = 100). Rozpatrywana tu zmienna loowa to średnia z próby, X, która ma rozkład normalny (lub przynajmniej w przybliżeniu normalny, ze względu na dużą liczebność próby n = 100 > 30) o średniej µ = Odchyleniem tandardowym zmiennej loowej X jet SD(X) = / n = 100/ 100 = 10. Wykonujemy natępujące obliczenia: P (X < 1230) = P ( Z < 1230 µ / n ) = P ( Z < ) / = P (Z < 1, 7), 100 gdzie Z = (X µ)/(/ n) jet zmienną loową o tandardowym rozkładzie normalnym (tandaryzacją zmiennej X). P (Z < 1, 7) = P (Z > 1, 7) = 1 P (Z 1, 7) = 1 F (1, 7), gdzie F jet dytrybuantą tandardowego rozkładu normalnego, więc z tablic (lub komputera) F (1, 7) = 0, Zatem P (X < 1230) = 1 0, = 0, Jeżeli pobieramy próbę z populacji o tandardowym odchyleniu = 55, a liczebność próby n = 150, to jakie jet prawdopodobieńtwo, że średnia z próby, X, odchyli ię od średniej w populacji, µ, o co najmniej 8 jednotek? 2

3 O d p o w i e d ź. Podobnie jak we wcześniejzym zadaniu, przyjmujemy, że rozkład zmiennej X jet normalny ze wzgledu na dużą liczebność próby 150 > 30. Wartość oczekiwana E(X) = µ, odchylenie tandarowe SD(X) = / n = 55/ 150 = 4, Zatem P ( X µ 8) = P (X µ 8) + P (X µ 8) = P ( Z 8 / n ) + P ( Z 8 / n gdzie tandaryzacją X jet zmienna Z = (X µ)/(/ n). A ponieważ Z ma ymetryczną funkcję gętości (jako tandardowa zmienna normalna), to ( P ( X µ 8) = 2P Z 8 ) / = 2P (Z 1, 78). n Ale P (Z 1, 78) = 1 P (Z < 1, 78) = 1 P (Z 1, 78) = 1 F (1, 78) = 1 0, = 0, Zatem P ( X µ 8) = 2 0, = 0, ), 12. Przeciętny tan konta czekowego klienta pewnego banku wynoi 657 $, a odchylenie tandardowe 232 $. Zamierza ię pobrać próbę loową 144 kont. Jakie jet prawdopodobieńtwo, że średnia w próbie nie przekroczy 600 $? O d p o w i e d ź. Pozukiwane prawdopodobieńtwo jet równe: P ( X 600 ) ( ) X 657 = P 232/ / = P (Z 2, 95) = F ( 2, 95). 144 Zatem P (X 600) = 1 F (2, 95) = 1 0, 998 = 0, Przypuśćmy, że dyponujemy dwiema tatytykami A i B, jako etymatorami tego amego parametru w populacji. Etymator A jet nieobciażony, ale ma dużą wariancję. Etymator B ma niewielkie obciążenie ale wariancję równą jednej dzieiątej wariancji etymatora A. Który etymator uznałbyś za lepzy? Odpowiedź uzaadnij. O d p o w i e d ź. Etymator o mniejzej wariancji, mimo niewielkiego obciążenia, jet lepzy, gdyż kolejne oceny zacowanego parametru populacji poczynione za pomocą etymatora B będą efektywniejze, mniej rozprozone, mimo małego obciążenia. 14. Przypuśćmy, że dyponujemy etymatorem o tounkowo dużym obciążeniu, który jet jednak zgodny i efektywny. Czy gdybyś dyponował dużym funduzem na przeprowadzenie badań reprezentacyjnych, korzytałbyś z tego etymatora? Odpowiedź uzaadnij. O d p o w i e d ź. Duży funduz oznacza tu, że możemy pozykać próbę o dużej liczebności. Zgodny etymator będzie w tym przypadku dobry, bo prawdopodobieńtwo zbliżania ię wartości etymatora do zacowanego parametru wzrata wraz z liczebnością próby. 15. Przypuśćmy, że w badaniach reprezentacyjnych mających na celu ozacowanie wariancji w populacji połużono ię obciążonym etymatorem (biorąc w mianowniku równania 2 = n (x i x) 2 i=1 n 1 n zamiat n 1). Liczebność próby wynoiła 100. Otrzymano ocenę 1,287. Czy można utalić nieobciążoną ocenę wariancji w populacji? 3

4 O d p o w i e d ź. Oznaczmy etymator obciążony Y i jego wartość w podanej próbie przez y = 1, 287. Wtedy n (x i x) 2 i=1 y =. n Zatem n (x i x) 2 n (x i x) 2 2 i=1 i=1 n = = n 1 n n 1 = y n n 1 = yn n 1. Ponieważ liczebność próby wynoiła n = 100 i y = 1, 287, to z powyżzego ocena nieobciążonej wariancji 2 = 1, = 1, Pobrano 3 loowe próby o liczebnościach 30, 48 i 32. Dla każdej z nich obliczono średnie z próby. Jaka jet łączna liczba topni wobody dla odchyleń (tandardowych) od średniej w tych próbach? O d p o w i e d ź. Liczba topni wobody w pojedynczej próbie o liczebności n wynoi df = n 1 (df od degree of freedom). Zatem łączna liczba topni wobody to = Bank przyłał klientowi informację o średniej wartości um wypianych na czekach w ciągu otatniego mieiąca. Klient ma zanotowane umy wypiane na 17 czekach wśród 19 wytawionych przez iebie czeków. Czy korzytając z tej informacji możez odtworzyć umy wypiane na dwóch brakujących czekach? Odpowiedź uzaadnij. O d p o w i e d ź. Nie. Można odtworzyć tylko umę kwot wypianych na pozotałych dwóch czekach. Niech x oznacza średnią um przełanych klientowi przez bank. Jet ona równa: x = x x 17 + x 18 + x Bez zmniejzenia ogólności możemy założyć, że klient nie wie ile wynozą kwoty x 18 i x 19. Zatem x 18 + x 19 = 19 x (x x 17 ). 18. W zadaniu 17 zmieniły ię warunki o tyle, że klient przypomniał obie jezcze jedną, oiemnatą umę wypianą na czeku. Czy tym razem możez odtworzyć umę wypianą na brakującym czeku? Odpowiedź uzaadnij. O d p o w i e d ź. Załóżmy, że klient zanotował już obie umę x 18 + x 19. Oznaczmy ją k. Wtedy x 19 = k x 18 i znamy wzytkie umy z 19 czeków. 19. Co to jet przedział ufności i do czego jet przydatny? Co to jet poziom ufności? O d p o w i e d ź. Przedziałem ufności nazywamy przedział liczbowy, o którym przypuzczamy, że mieści ię w nim nieznany parametr populacji. Z przedziałem tym związana jet miara ufności (pewności), że ten przedział naprawdę zawiera intereujacy na parametr, zwana poziomem ufności. Przedział ufności przydatny jet do oceny (zacunku) parametrów populacji. 20. Wyjaśnij dlaczego klayczna tatytyka nie pozwala określać przedziału ufności jako przedziału do którego zacowany parametr należy z określonym prawdopodobieńtwem? 4

5 O d p o w i e d ź. Klayczna tatytyka x nie pozwala określać przedziału ufności, bowiem koro pobranie loowej próby już natąpiło i zotała obliczona pewna konkretna wartość x nie jet już ona zmienną loową i nie możemy mówić o prawdopodobieńtwie pojawienia ię tej liczby. Przedziały ufności dla µ, gdy znane jet. 21. Pośrednik w handlu nieruchomościami chce ozacować średnią wartość domu miezkalnego o określonej powierzchni w pewnej dzielnicy. Pośrednik jet przekonany, że tandardowe odchylenie wartości domu = 5500 $ i że rozkład wartości domów jet w przybliżeniu normalny. W loowej próbie 16 domów średnia wynioła x = 89673, 12 $. Wyznacz 95% przedział ufności dla średniej wartości domu w tej dzielnicy. O d p o w i e d ź. 95% przedział ufności dla średniej w populacji, µ, gdy znane jet, a próba (o liczności n) pochodzi z populacji normalnej (lub jet "dużą" próbą), wyznacza wzór: [ x 1, 96 n ; x + 1, 96 ]. n krócej, końce tego przedziału opiane a wzorem x ± 1, 96/ n. W nazym zadaniu 1, 96 Zatem 95% przedział ufności wynoi = 1, = n 16 [89673, ; 89673, ] = [86978, 12; 92368, 12] 22. W zadaniu 21 przyjmij. że pozukiwany jet 99% przedział ufności. Wyznacz nowy przedział ufności i porównaj go z przedziałem odpowiadającym 95% poziomowi ufności. O d p o w i e d ź. Na początek wyznaczamy wpółczynnik ufności według wzoru (1 α)100% = 99%, kąd 1 α = 0, 99, czyli α = 0, 01. (1 α)100% przedział ufności dla µ, gdy znamy dany jet wzorem [ x z α/2 n ; x + z α/2 ], n tzn. jet to przedział o końcach x ± z α/2 / n, gdzie z α/2 jet wartością tandaryzowanej zmiennej loowej normalnej Z, która odcina pod prawym "ogonem" krzywej gętości normalnej pole o mierze α/2. Stąd z α/2 jet dodatnim rozwiązaniem równania 1 F (x) = α/2, gdzie F jet dytrybuantą tandardowego rozkładu normalnego. Zatem z α/2 jet dodatnim rozwiązaniem równania F (x) = 1 α/2. W nazym przypadku F (z α/2 ) = 0, 995. Z tablicy rozkładu normalnego (lub komputera) odczytujemy wartość z α/2 = 2, 58. Stąd: z α/2 Zatem 99% przedział ufności wynoi = 2, = 3547, 5. n 16 [89673, , 5; 89673, , 5] = [86125, 62; 93220, 62]. 5

6 23. Producent amochodów chce ozacować średnie zużycie paliwa przez nowy model amochodu, mierzone ilością mil przejechanych na autotradzie na jednym galonie benzyny. Z doświadczeń z podobnymi modelami producent wie, że odchylenie tandardowe zużycia paliwa wynoi 4,6 (mil/galon). Pobrano 100-elementową próbę przebiegów nowego modelu na tej amej autotradzie i twierdzono, że średnio amochód przejeżdżał na jednym galonie benzyny 32 mile. Utal 95% przedział ufności dla średniej liczby kilometrów, jaką nowy model amochodu może przejechać na danej autotradzie na jednym galonie benzyny. O d p o w i e d ź. Dane mamy: = 4, 6, n = 100, x = 32. Zatem 95% przedział ufności dla µ w nazym zadaniu jet równy [ x 1, 96 ] ; x + 1, 96 = [31, 0984; 32, 9016]. n n 24. Czy w zadaniu 23 muimy zakładać, że zmienna "liczba kilometrów przejechanych na jednym galonie benzyny" ma rozkład normalny? Odpowiedź uzaadnij. O d p o w i e d ź. Nie muimy tego zakładać, gdyż pobrana próba jet duża, 100-elementowa (100 > 30). 25. Importer win mui utalić średni procent alkoholu w butelkach nowego francukiego wina. Z poprzednich doświadczeń wie on, że odchylenie tandardowe tej zmiennej wynoi 1, 2%. Importer wybiera loowo 60 butelek i twierdza, że średnia z próby x = 9, 3%. Utal 90% przedział ufności dla średniego procentu alkoholu w butelkach nowego importowanego wina. O d p o w i e d ź. Dane mamy: = 1, 2, n = 60, x = 9, 3. Aby wyznaczyć 90% przedział ufności dla µ wyznaczamy, że 1 α = 0, 9, czyli α = 0, 1. Zatem z α/2 jet wartością dla której F (z α/2 ) = 1 α/2 = 1 0, 05 = 0, 95. Z tablic rozkładu normalnego mamy: z α/2 = 1, 64 Zatem 90% przedziałem ufności dla µ w nazym zadaniu jet [ x z α/2 ] ; x + z α/2 = [9, 0459; 9, 5541]. n n 26. Firma rozważa zaintalowanie faku w jednym ze woich biur. Przed podjęciem decyzji zef firmy chce ozacować przeciętną liczbę dokumentów, która będzie wyyłana za pomocą zaintalowanego urządzenia. Na podtawie oberwacji innych biur firmy zef uważa, że tandardowe odchylenie liczby dokumentów wyyłanych dziennie za pomocą faku wynoi 32. Jet też przekonany, że liczba dokumentów wyyłanych dziennie w ten poób jet zmienną loową o rozkładzie normalnym. Zbadano 15 loowo wybranych dni. Średnia liczba wyyłanych dziennie dokumentów okazała ię równa 267 ztuk. Utal 99% przedział ufności dla przeciętnej liczby dokumentów wyyłanych dziennie z tego biura, o ile fak zotałby w nim zaintalowany. O d p o w i e d ź. Dane mamy: = 32, n = 15, x = 267, kąd α = 0, 01, z α/2 = 2, 58. Zatem 99% przedziałem ufności dla µ w nazym zadaniu jet [ x z α/2 ] ; x + z α/2 = [245, 6831; 288, 3169]. n n 6

7 27. Przy danych do zadania 26 rozpatrz ytuację, w której zef firmy byłby zaintereowany zaintalowaniem faku, gdyby mógł mieć zaufanie do tego, że przeciętna liczba dokumentów wyyłanych dziennie przekroczy 245 ztuk. Czy wynik uzykany w zadaniu 26 uprawiedliwiałby zaintalowanie faku? Odpowiedź uzaadnij. O d p o w i e d ź. Wzytkie wartości w 99% przedziale ufności z poprzedniego zadania ą więkze od 245. Dlatego zef firmy może mieć 99% zaufanie do tego, że przeciętna liczba przeyłanych dziennie dokumentów przekroczy 245 ztuk. Przedziały ufności dla µ, gdy nie jet znane. 28. Firma telefoniczna chce ozacować przeciętną długość rozmów międzymiatowych w czaie weekendu. Z loowej próby 50 rozmów otrzymano średnią x = 14, 5 minuty przy odchyleniu tandardowym z próby = 5, 6 minuty. Wyznacz 95% przedział ufności dla średniej długości rozmów międzymiatowych w czaie weekendu. O d p o w i e d ź. Końce (1 α)100% przedziału ufności w przypadku, gdy nie jet znane odchylenie tandardowe w populacji dane ą wzorem x ± t α/2 n, gdzie t α/2 jet wartością rozkładu t Studenta o n 1 topniach wobody, która odcina pod "ogonem" krzywej gętości rozkładu pole o mierze α/2 po prawej tronie. Ponieważ liczebność próby n = 50, muimy połużyć ię rozkładem t o n 1 = 59 topniach wobody. W tablicy rozkładu Studenta, w wierzu odpowiadającym 59 topniom wobody, w kolumnie odpowiadającej mierze pola pod prawym "ogonem" krzywej gętości równej 0, 025 (czyli α/2) znajdujemy t α/2 = 2, Znając tę wartość obliczamy: t α/2 = 2, , 6 = 1, 59. n 50 Zatem 95% przedział ufności dla µ w nazym zadaniu jet potaci [14, 5 1, 59; 14, 5 + 1, 59] = [12, 91; 16, 09]. 29. Firma ubezpieczeniowa zajmuje ię przypadkami nadużyć w lecznictwie i jet zaintereowana ozacowaniem przeciętnej wartości odzkodowania żądanego od lekarzy pewnej pecjalności. Zbadano 165 loowo wybranych przypadków, wśród których średnia wartość żądanego odzkodowania x wynioła $. przy odchyleniu tandardowym = 5542$. Wyznacz przedziały ufności dla przeciętnej wartości odzkodowania przy poziomach ufności 95% i 99%. O d p o w i e d ź. Wyznaczamy najpierw α/2 w obu przypadkach. Mamy 1) 1 α = 0, 95, gdy α = 0, 05, kąd α/2 = 0, 025, 2) 1 α = 0, 99, gdy α = 0, 01, kąd α/2 = 0, 005. W przypadku 1) zukamy t 0,025, a w przypadku 2) zukamy t 0,005 w tablicy rozkładu tudenta o n 1 = 164 topniach wobody. Mamy t 0,025 = 1, 975 i t 0,005 = 2, 606. Zatem przedziałami ufności ą odpowiednio: 1) [ , ; , ] = [15677, 89; 17382, 10], 7

8 2) [ , ; , ] = [15405, 66; 17654, 34]. 30. Producent opon chce ozacować przeciętny przebieg (w milach) opony okrelonego typu przed całkowitym zużyciem. Pobrano próbę 32 opon i jeżdżono na nich aż do całkowitego zużycia, notując liczbę mil przebiegu każdej opony. Otrzymano natępujące wyniki (w ty. mil): 32, 33, 28, 37, 29, 30, 25, 27, 39, 40, 26, 26, 27, 30, 25, 30, 31, 29, 24, 36, 25, 37, 37, 20, 22, 35, 23, 28, 30, 36, 40, 41. Wyznacz 95% przedział ufności dla przeciętnej liczby mil, jaką można przejechać na oponie tego typu. O d p o w i e d ź. Najpierw należy obliczyć średnią z próby: x = 1 ( ) = 30, 5625, 32 a natępnie wariancję i odchylenie tandardowe z próby: 2 = 1 31 ((32 x) (41 x) 2) = 33, , więc = 2 = 5, Parametr α jet równy 0, 05, więc α/2 = 0, 025. Z tablic rozkładu tudenta o n 1 = 31 topniach wobody odczytujemy t α/2 = 2, Zatem t α/2 Stąd 95% przedziałem ufności dla µ jet 32 = 2, [30, , 0821; 30, , 0821] = [28, 4804; 32, 6446]. 31. Firma Pier 1 Import zajmuje ię detaliczną przedażą mebli i innych przętów domowych w całym kraju. Od czau do czau firma przeprowadza badania ankietowe wśród woich klientów wybierając ich loowo na zaadzie loowania kodów pocztowych. W jednym z badań klienci byli prozeni o ocenę tołu importowanego z Tajlandii, w kali od 0 do 100. Oceny 25 klientów wypadły natępująco: 78, 85, 80, 89, 77, 50, 75, 90, 88, 100, 70, 99, 98, 55, 80, 45, 80, 76, 96, 100, 95, 90, 60, 85, 90. Wyznacz 99% przedział ufności dla podawanej przeciętnie przez klientów firmy oceny tołu. O d p o w i e d ź. W tym zadaniu n = 25, x =, = 15, 4469, α/2 = 0, 005, t α/2 = 2, Zatem 99% procentowym przedziałem ufności dla µ jet: [x t α/2 ; x + t α/2 ] = [81, 24 8, 6408; 81, , 6408] = [72, 60; 89, 88]. n n 32. Szkła kontaktowe mogą wywoływać podrażnienie gałki ocznej z powodu gromadzenia ię ubtancji białkowej na powierzchni oczewek. Nowa technologia zapowiada uporanie ię z tym problemem. Na oczewkę nakłada ię wartwę polimeru, która nie pozwala proteinom znajdującym ię we łzach gromadzić ię na oczewce. Wartwa polimeru mui mieć średnią długość 10 atomów. Zbadano próbę 15 miejc wybranych loowo na oczewce pokrytej polimerem i twierdzono natępujące grubości wartwy polimeru (mierzone w atomach): 8

9 9, 9, 8, 11, 12, 10, 9, 8, 13, 12, 10, 11, 10, 9, 7. Wyznacz 90% przedział ufności dla przeciętnej grubości wartwy polimeru na oczewce. Czy żądana grubość wartwy (10 atomów) leży wewnątrz przedziału ufności? Wyjaśnij znaczenie odpowiedzi. O d p o w i e d ź. W tym zadaniu n = 15, x = 9, 8667, = 1, 6847, α/2 = 0, 05, t α/2 = 1, Zatem 99% procentowym przedziałem ufności dla µ jet: [x t α/2 ; x + t α/2 ] = [9, , 7661; 9, , 7661] = [9, 1006; 10, 6328]. n n Mamy 90% pewność, że 10 należy do powyżzego przedziału, tzn. mamy 90% zaufanie, że wartwa polimeru kłada ię średnio z 10 atomów. Przedziały ufności dla wariancji w populacji, Cza obługi w okienku bankowym nie powinien mieć dużej wariancji, gdyż w przeciwnym przypadku kolejki maja tendencję do rozratania ię. Bank regularnie prawdza cza obługi w okienkach, by oceniać jego wariancję. Oberwacja 22 czaów obługi loowo wybranych klientów dała 2 = 8 minut 2. Wyznacz 95% przedział ufności dla wariancji czau obługi w okienku bankowym. O d p o w i e d ź. (1 α)100% przedział ufności dla wariancji w populacji, 2, gdy rozkład w populacji jet normalny, wyznacza wzór: ; χ 2 α/2 χ 2 1 α/2 gdzie χ 2 α/2 jet wartością zmiennej o rozkładzie chi-kwadrat o n 1 topniach wobody, która odcina pole o mierze α/2 z prawej trony; χ 2 1 α/2 jet wartością tej zmiennej, która odcina pole o mierze α/2 z lewej trony (a tym amym pole o mierze 1 α/2 z prawej trony). W powyżzym zadaniu n = 22, 2 = 8, α/2 = 0, 025, 1 α/2 = 0, 975, χ 2 α/2 = 35, 4789, χ 2 1 α/2 = 10, Zatem 95% przedział ufności dla 2 jet potaci: ; χ 2 α/2 = [4, 74; 16, 34]. χ 2 1 α/2 34. W loowej próbie 60 kont bankowych twierdzono wariancję tanu kont równą Wyznacz 99% przedział ufności dla wariancji tanów kont. O d p o w i e d ź. W powyżzym zadaniu n = 60, 2 = 1228, α/2 = 0, 005, 1 α/2 = 0, 995, χ 2 α/2 = 90, 7153, χ2 1 α/2 = 34, Zatem 99% przedział ufności dla 2 jet potaci: ; χ 2 α/2 = [798, 68; 2083, 73]. χ 2 1 α/2 35. Przy założeniach zadania 30 wyznacz 99% przedział ufności dla wariancji liczby mil, które można przejechać na oponie. 9

10 O d p o w i e d ź. W powyżzym zadaniu n = 32, 2 = 33, 3508, α/2 = 0, 005, 1 α/2 = 0, 995, więc χ 2 α/2 = 55, 0027, χ2 1 α/2 = 14, Zatem 99% przedział ufności dla 2 jet potaci: ; χ 2 α/2 = [18, 7968; 71, 5098]. χ 2 1 α/2 Wyznaczanie liczebności próby. 36. Firma zajmująca ię analizą rynku chce przeprowadzić badania ankietowe w celu ozacowania wydatków na rozrywki przez przeciętnego kuracjuza odwiedzającego popularne uzdrowiko. Ooba, która zleca badania, chciałaby znać te wydatki z przybliżeniem nie więkzym niż 120 $, przy poziomie ufności 95 %. Na podtawie dotychczaowych oberwacji działalności uzdrowika odchylenie tandardowe w populacji,, zacuje ię na 400 $. Jaka jet minimalna wymagana liczebność próby? O d p o w i e d ź. Minimalna wymagana liczebność próby do ozacowania średniej w populacji, µ, jet równa: n = z2 α/2 2 B 2, gdzie B jet najmniejzą liczbą przybliżenia jakiej nie chcemy przekroczyć. W nazym zadaniu α/2 = 0, 025, więc z α/2=1,96. Ponadto 2 = = i B = 120. Zatem: n = (1, 96) = 42, 684. Minimalna wymagana liczebność próby to 43 ooby. (Ponieważ elementami próby ą ludzie, trzeba wynik zaokrąglić do najbliżzej liczby całkowitej.) 37. Ile prób trzeba wykonać do ozacowania średniego przebiegu amochodu na autotradzie przy zużyciu 1 galona benzyny z dokładnością do 2 mil, jeżeli ma być oiagnięty 95% poziom ufności, a wtępna ocena wariancji w populacji przebiegów (zużywających 1 galon) wynoi około 100 mil? O d p o w i e d ź. W tym zadaniu α/2 = 0, 025, więc z α/2=1,96. Ponadto 2 = 100 i B = 2. Zatem: n = (1, 96) = 96, 04. Minimalna wymagana liczba prób to Znajdź minimalną wymaganą liczebność próby do ozacowania przeciętnej topy przychodu z pewnej lokaty kapitału (w procentach rocznie) z dokładnością do 0, 5%, przy 95% poziomie ufności. Standardowe odchylenie tej topy przychodu zacowane jet na 2% rocznie. O d p o w i e d ź. W powużzym zadaniu α/2 = 0, 025, więc z α/2=1,96. Ponadto 2 = 2 2 = 4 i B = 0, 5. Zatem: n = (1, 96)2 4 = 61, 47. 0, 25 Minimalna wymagana liczba prób to