A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- metoda sympleks 1
|
|
- Feliks Domański
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- metoda sympleks 1 ALGORYTM SYMPLEKS Model liniowy nazywamy modelem w postaci standardowej jeżeli wszystkie ograniczenia s a w postaci równości i wszystkie zmienne decyzyjne s a nieujemne: max(min)z = c 1 x 1 +c 2 x 2 + +c n x n a 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1n x n = b 1... a m1 x 1 +a m2 x 2 + +a mn x n = b m x i 0, i = 1,...,n ZbiórograniczeńmożnazapisaćwpostacimacierzowejAx = b,x 0.Zakładamy, żerz admacierzy Ajestrówny m,czyliżadnerównanieniewynikazinnych równań. Każdy model można sprowadzić do równoważnej postaci standardowej w nast apuj acy sposób: 1.Ograniczeniepostaci a i1 x 1 + a i2 x a in x n b i zastȩpujemydwoma ograniczeniami: a i1 x 1 +a i2 x 2 + +a in x n +s i = b i, s i 0. 2.Ograniczeniepostaci a i1 x 1 + a i2 x a in x n b i zastȩpujemydwoma ograniczeniami: a i1 x 1 +a i2 x 2 + +a in x n s i = b i, s i 0. 3.Jeżelizmienna x i możeprzyjmowaćwartościujemnetowykonujemypodstawienie: x i = u i v i idodajemyograniczenia u i 0, v i 0. Przykład. Sprowadzić do postaci standardowej nastȩpuj acy problem: Przekształcamy ograniczenia 1 i 2: maxz = 2x 1 +3x 2 x 3 x 1 2x 2 5 x 2 +3x 3 3 x 1 +x 2 2x 3 = 20 x 1,x 2 0 maxz = 2x 1 +3x 2 x 3 x 1 2x 2 +s 1 = 5 x 2 +3x 3 s 2 = 3 x 1 +x 2 2x 3 = 20 x 1,x 2,s 1,s 2 0 Wykonujemypodstawienie x 3 = u 3 v 3 : maxz = 2x 1 +3x 2 u 3 +v 3 x 1 2x 2 +s 1 = 5 x 2 +3u 3 +3v 3 s 2 = 3 x 1 +x 2 2u 3 +2v 3 = 20 x 1,x 2,s 1,s 2,u 3,v 3 0
2 A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- metoda sympleks 2 Rozpatrzmy układ ograniczeń Ax = b. Wybierzmy dokładnie m zmiennych i nadajmy pozostałym n m zmiennym wartości zerowe. Otrzymujemy w ten sposób układ m równań i m niewiadomych. Jednoznaczne rozwi azanie tego układu nazywamy rozwi azaniem bazowym. Wybrane zmienne nazywamy zmiennymi bazowymi i oznaczamy przez ZB natomiast pozostałe zmienne(tj. te, którym przypisano wartości 0) nazywamy niebazowymi i oznaczamy przez N B Uwaga: Wybrane zmienne s a bazowe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadaj ace im kolumny w macierzy A s a liniowo niezależne. Zbiór tych kolumn nazywamy baz a i oznaczamy przez B. Przez B będziemy również oznaczać macierz utworzoną z tych kolumn. Przykład. Wyznaczyć kilka rozwi azań bazowych układu ograniczeń: x 1 +x 2 +2x 4 = 3 2x 1 x 2 x 3 +4x 4 = 1 Układma4zmiennei2ograniczenia.Wybieramyzmienne x 1 i x 2.Podstawiamy x 3 = x 4 = 0.Otrzymujemyukład: x 1 +x 2 = 3 2x 1 x 2 = 1 Rozwi azuj acukładotrzymujemyrozwi azaniebazowe: x 1 = 4, x 3 2 = 1 2, x 3 3 = 0, x 4 = 0.Tutaj ZB = {x 1,x 2 }, ZN = {x 3,x 4 },baząsąwektorywspółczynników [ ] 1 1 macierzy Aukładurównańprzyzmiennychbazowych x 1,x 2 tj. B =. 2 1 Wybierzmyterazzmiennex 2 ix 3 jakobazowetj.zb [ = {x 2,x] 3 }.Podstawiamy 1 0 x 1 = x 4 = 0,czyli ZN = {x 1,x 4 }.Baząjest B =. Otrzymujemy 1 1 układ: x 2 = 3 x 2 x 3 = 1 Rozwi azuj acukładotrzymujemyrozwi azaniebazowe: x 1 = 0, x 2 = 3, x 3 = 4, x 4 = 0.Wybieramynastępniezmienne x 1 i x 4.Podstawiamy x 2 = x 3 = 0. Otrzymujemy układ: x 1 +2x 4 = 3 2x 1 +4x 4 = 1 [ ] 1 2 Układtenjestsprzeczny.Zmienne x 1 i x 4 nies awiȩcbazoweab= nie 2 4 jest bazą!
3 A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- metoda sympleks 3 Rozwi azanie bazowe nazywamy rozwi azaniem bazowym dopuszczalnym(brd) jeżeli wszystkie zmienne przyjmuj a w nim wartości nieujemne. Zbiór bazowych rozwi azań dopuszczalnych pokrywa siȩ ze zbiorem punktów wierzchołkowych(ekstremalnych) zbioru rozwi azań dopuszczalnych. Dokładniej między zbiorami wierzchołków zbioru rozwiązań dopuszczalnych a bazowymi rozwiązaniami dopuszczalnymi istnieje odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne takie, że każdemu wierzchołkowi odpowiada bazowe rozwiązanie dopuszczalne i na odwrót. Dwa bazowe rozwiązania dopuszczalne nazywamy sąsiednimi jeśli mają m 1 zmiennych bazowych wspólnych. Geometrycznie odpowiadają im wierzchołki sąsiednie zbioru rozwiązań dopuszczalnych. Podstawowe twierdzenie programowania liniowego: Jeżeli problem w postaci standardowej ma rozwi azanie optymalne to ma również rozwi azanie bazowe optymalne. Obserwacja 1.1. Aby wyznaczyć rozwiązanie optymalne zagadnienia programowania liniowego wystarczy inteligentnie przeglądnąć wierzchołki zbioru rozwiązań dopuszczalnych(lub równoważnie bazowe rozwiązania dopuszczalne) i wybrać wierzchołek w którym funkcja celu przyjmuje wartość maksymalną lub minimalną (dla zagadnienia z minimum). W algorytmie sympleks rozpoczyna się przeglądanie od początkowego BRD i iteracyjnie przechodzi do sąsiedniego bazowego rozwiązania dopuszczalnego. Proces ten kończy się, gdy otrzymamy rozwiązanie optymalne lub stwierdzimy, że nie ma rozwiązania skończonego.
4 A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- metoda sympleks 4 Idea algorytmu SYMPLEKS: Wyznacz pierwsze BRD Czy aktualne BRD jest optymalne? TAK KONIEC NIE Wyznacz kolejne, niegorsze BRD W algorytmie SYMPLEKS należy określić trzy elementy: 1. Wyznaczenie pierwszego BRD. 2. Stwierdzenie czy aktualne BRD jest optymalne(kryterium optymalności). 3. Przejście do kolejnego, sąsiedniego i niegorszego BRD lub stwierdzenie, że zagadnienie nie ma skończonego rozwiązania optymalnego.(przekształcenie sympleksowe). Przykład. Rozwi azać problem: 40 x 2 D maxz = 4x 1 +3x 2 x 1 +x x 1 +x 2 60 x 1,x C A B x 1
5 A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- metoda sympleks 5 Przekształcamy model do postaci standardowej: maxz = 4x 1 +3x 2 s 1 +x 1 +x 2 = 40 s 2 +2x 1 +x 2 = 60 x 1,x 2,s 1,s 2 0 Powyższy model jest w tzw. postaci bazowej- układ ograniczeń jest rozwi azany wzglȩdem pewnej bazy. Pierwsza baza składa się z wektorów macierzy ograniczeń stojącychprzyzmiennychbazowych [ ] [ ] [ ZB ] = {s 1,s 2 }(sątowektoryjednostkowe e 1 = i e 0 2 = ),tj. B =.PierwszeBRD: s = 40, s 2 = 60, x 1 = 0, x 2 = 0.Wartośćfunkcjicelu z = 0.Rozwi azanietoodpowiadawierzchołkowi A. Zapisujemy powyższy model w postai układu równań(zmienne bazowe nie wystȩpuj awfunkcjicelu-układjestrozwi azanywzglȩdem s 1, s 2 i z): z 4x 1 3x 2 = 0 s 1 +x 1 +x 2 = 40 s 2 +2x 1 +x 2 = 60 x 1,x 2,s 1,s 2 0 (1.1) Zapiszmy układ w postaci tabeli: s 1 s 2 x 1 x 2 0 s s z Powyższa tabela nosi nazwȩ tablicy sympleksowej. Ostatni wiersz zawiera współczynikioptymalnościposzczególnychzmiennych.zmienna x 1 maujemnywspółczynnik optymlności. Wprowadzaj ac t a zmienn a do bazy(czyli nadaj ac jej wartość wieȩksz a od 0) możemy powiȩkszyć wartość funkcji celu z. Jak a maksymaln a wartośćmożeprzyj aćzmienna x 1?Zpierwszegoograniczeniaotrzymujemymaksymaln awartośćx 1 = 40/1 = 40azdrugiego x 1 = 60/2 = 30.Wybieramywiȩc mniejsz a wartość 30 co oznacza że bazȩ opuszcza(zostaje wyzerowana) zmienna s 2. s 1 s 2 x 1 x 2 0 s /1 = 40 0 s /2 = 30 z Wykonujemy eliminacjȩ Gaussa wzglȩdem elementu 2 czyli rozwi azujemy układ (1.1)wzglȩdemnowychzmiennychbazowych [ ] {s 1,x 1 }(czylinowejbazy B = 1 0 ). Wykonujemy przekształcenia elementarne na wierszach układu(1.1): 1 2
6 A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- metoda sympleks 6 1. Dzielimy trzeci wiersz przez 2. z 4x 1 3x 2 = 0 s 1 +x 1 +x 2 = s 2 +x x 2 = Od drugiego wiersza odejmujemy trzeci wiersz podzielony przez 2. z 4x 1 3x 2 = 0 s s x 2 = s 2 +x x 2 = Do pierwszego wiersza dodajemy trzeci wiersz pomnożony przez 2. z +2s 2 1x 2 = 120 s 1 0.5s x 2 = s 2 +x x 2 = 30 Obliczenia te wygodnie jest wykonywać bezpośrednio na tablicy sympleksowej. Otrzymujemy drug a tablicȩ: s 1 s 2 x 1 x 2 0 s x z OdczytujemyBRD: s 1 = 10, x 1 = 30, s 2 = 0, x 2 = 0owartościufunkcjicelu z = 120. Rozwi azanie to odpowiada wierzchołkowi B. Rozwiązanie to nie jest optymalneponieważzmienna x 2 maujemnywspółczynnikoptymalności. s 1 s 2 x 1 x 2 0 s /0.5 = 20 4 x /0.5 = 60 z Dozbioruzmiennychbazowychwchodzizmienna x 2 aztegozbioruwychodzi zmienna s 1.WykonujemyeliminacjȩGaussawzglȩdemelementu 0.5 (terazjuż bezpośrednio na tablicy sympleksowej). s 1 s 2 x 1 x 2 3 x x z OdczytujemyBRD: x 2 = 20, x 1 = 20, s 1 = 0, s 2 = 0iwartościufunkcjicelu z = 140.Ponieważwszystkiewspóĺczynnikioptymalnościs anieujemnetorowi azanie to jest optymalne. Rozwi azanie to odpowiada wierzchołkowi C.
7 A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- metoda sympleks 7 Przykład Nieograniczona funkcja celu. maxz = 2x 1 +x 2 +x 3 s 1 +3x 1 x 2 = 60 s 2 +x 1 2x 2 +2x 3 = 10 x 1,x 2,x 3,s 1,s 2 0 Tablica sympleksowa ma nastȩpuj ac a postać: s 1 s 2 x 1 x 2 x 3 0 s s z Zmienna x 2 maujemnywspółczynnikoptymalności.wchodziwiȩcdobazy.jak a maksymaln awartośćmożeprzyj ać x 2?Zpierwszegoograniczeniawynikaże x 2 możebyćdowolnieduże.podobniezdrugiegoograniczenia.wartośćzmiennej x 2 (i jednocześnie funkcji celu) może być dowolnie duża. Uwaga: Jeżeli dla pewnej zmiennej wskaźnik optymalności jest ujemy i wszystkie współczynniki dla tej zmiennej s a niedodatnie to funkcja celu jest nieograniczona.
8 A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- metoda sympleks 8 ALGORYTM SYMPLEKS 1. Na wejściu podajemy model w postaci bazowej: max(min)z = c 1 x 1 +c 2 x 2 + +c n x n x 1 +a 1m+1 x m+1 + +a 1n x n = b 1 x 2 +a 2m+1 x m+1 + +a 2n x n = b 2... x m +a 2m+1 x m+1 + +a 2n x n = b m x i 0, i = 1,...,n gdziezmienne x 1,...,x m s abazoweib i 0, i = 1,...m. 2. Konstuujemy pocz atkow a tablicȩ sympleksow a: gdzie: x 1 x 2... x m x m+1... x n c 1 x a 1m+1... a 1n b 1 c 2 x a 2m+1... a 2n b c m x m a mm+1... a mn b m z c m+1... c n b 0 c k = m c i a ik c k, k = 1,...,n (1.2) i=1 b 0 = m c i b i (1.3) 3.Jeżeliwszystkiewskaźnikioptymalnościc 1,...,c n s anieujemnetokoniec - aktualna baza jest optymalna. W przeciwnym wypadku przejdź do Jeżeli dla pewnej zmiennej wskaźnik optymalności jest ujemny i wszystkie współczynniki w kolumnie odpowiadaj acej tej zmiennej s a niedodatnie to KONIEC- funkcja celu jest nieograniczona. W przeciwnym wypadku przejdź do 5. 5.Wybierzzmienn azujemnymwskaźnikiemoptymalnościnp: x p.zmienna tawchodzidobazy.znajdźzmienn abazow a x r tak aże: { } b r bi = min a rp a ip >0 Zmienna x r wychodzizbazy. 6.WykonajeliminacjȩGaussawzglȩdemelementu a rp.wróćdo3. i=1 a ip,
9 A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- metoda sympleks 9 Przykład. Rozwi azać algorytmem SYMPLEKS nastȩpuj acy problem: maxz = 2x 1 +x 2 +x 3 3x 1 +x 2 +x 3 60 x 1 x 2 +2x 3 10 x 1 +x 2 x 3 20 x 1,x 2,x 3 0 Przekształcamy do postaci standardowej i bazowej: maxz = 2x 1 +x 2 +x 3 s 1 +3x 1 +x 2 +x 3 = 60 s 2 +x 1 x 2 +2x 3 = 10 s 3 +x 1 +x 2 x 3 = 20 x 1,x 2,x 3,s 1,s 2,s 3 0 Konstruujemy pierwsz a tablicȩ sympleksow a. s 1 s 2 s 3 x 1 x 2 x 3 0 s s s z Uwaga: Współczynniki optymalności wygodnie jest obliczać za pomoc a wzoru (1.2).Naprzykładdlazmiennej x 1 otrzymujemy: = 2. s 1 s 2 s 3 x 1 x 2 x 3 0 s /3 = 20 0 s /1 = 10 0 s /1 = 20 z Wykonujemy eliminacjȩ Gaussa wzglȩdem 1: s 1 s 2 s 3 x 1 x 2 x 3 0 s x s z Poprawność obliczeń można sprawdzić korzystaj ac ze wzoru(1.2). Na przykład współczynnikoptymalnościdla x 2 obliczamy: ( 1) = 3. Wartośćfunkcjicelu(b 0 )sprawdzamyobliczaj ac: = 20.
10 A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- metoda sympleks 10 Kolejne iteracje wygl adaj a nastcepuj aco: s 1 s 2 s 3 x 1 x 2 x 3 0 s /4 = x s /2 = 5 z s 1 s 2 s 3 x 1 x 2 x 3 0 s /1 = 10 2 x /0.5 = 30 1 x z s 1 s 2 s 3 x 1 x 2 x 3 1 x x /1 = 10 1 x z s 1 s 2 s 3 x 1 x 2 x 3 1 x s x z Ostatniatablicajestoptymalna.Optymalnerozwi azanieodczytujemy: x 3 = 20, s 2 = 10, x 2 = 40, x 1 = 0, s 1 = 0, s 2 = 0.Maksymalnawartośćfunkcjcelu z = 60. Alternatywne rozwi azania optymalne. Jeżeli w końcowej tablicy sympleksowej współczynnik optymalności dla pewnej zmiennej niebazowej wynosi 0 to istnieje alternatywne rozwi azanie optymalne. PrzykładRozpatrzmyostatni atablicȩzprzykładu4:zmiennaniebazowa s 3 ma zerowy współczynnik optymalności. Wprowadzamy t a zmienn a do bazy: s 1 s 2 s 3 x 1 x 2 x 3 1 x s /1.5 = x /0.5 = 80 z s 1 s 2 s 3 x 1 x 2 x x s x z
11 A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- metoda sympleks 11 Otrzymujemyalternatywnerozwi azanieoptymalne: x 3 = , s 3 = 6 2 3, x 2 = , x 1 = 0, s 1 = 0, s 2 = 0.Wartośćfunkcjicelu z = 60. Uwaga: Problem posiada nieskończenie wiele rozwi azań optymalnych postaci: x 1 = 0 x 2 = t+40(1 t) x 3 = t+20(1 t) t [0,1] Algorytm SYMPLEKS dla problemu minimalizacji różni siȩ tylko tym, że do bazy wchodzi zmienna z dodatnim współczynnikiem optymalności. Przykład. Rozwi azać problem. minz = 3x 1 +x 2 3x 1 +x 2 6 x 1 +2x 2 1 x 1,x 2 0 Sprowadzamy do postaci standardowej i bazowej: minz = 3x 1 +x 2 s 1 +3x 1 +x 2 = 6 s 2 x 1 +2x 2 = 1 x 1,x 2 0 s 1 s 2 x 1 x 2 0 s /3 = 2 0 s z s 1 s 2 x 1 x 2 3 x 1 1/ /3 2 0 s 2 1/ /3 3 z Tablica ta jest optymalna(wszystkie współczynniki optymalności s a niedodatnie).optymalnerozwi azanie: x 1 = 2, x 2 = 0, s 1 = 0, s 2 = 3.Minimalnawartość funkcjicelu z = 6.
12 A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- metoda sympleks 12 Metoda sztucznej bazy: M-metoda Przykład. Rozwi azać problem: Sprowadzamy do postaci standardowej: maxz = 2x 1 +x 2 3x 3 x 1 +x 2 +x 3 6 2x 1 +x 2 = 14 x 1,x 2,x 3 0 maxz = 2x 1 +x 2 3x 3 x 1 +x 2 +x 3 s 1 = 6 2x 1 +x 2 = 14 x 1,x 2,x 3,s 1 0 Układ nie jest w postaci bazowej- nie można wiȩc rozpocz ać algorytmu sympleks. Sprowadzamyukładdopostacibazowejdodaj acsztucznezmiennebazowe a 1 i a 2.Dofunkcjiceludodajemyskładniki Ma 1 i Ma 2,gdzie M jestjak aś bardzo duż a liczb a. Robimy to aby zmienne sztuczne nie wyst apiły w rozwi azaniu (zostały wyzerowane). maxz = 2x 1 +x 2 3x 3 Ma 1 Ma 2 a 1 +x 1 +x 2 +x 3 s 1 = 6 a 2 +2x 1 +x 2 = 14 x 1,x 2,x 3,s 1,a 1,a 2 0 Konstruujemy pierwsz a tabliȩ sympleksow a(współczynniki optymalności obliczamy za pomoc a wzoru(1.2)). a 1 a 2 x 1 x 2 x 3 s 1 M a /1 = 6 M a /2 = 7 z 0 0 3M 2 2M 1 M +3 M 20M a 1 a 2 x 1 x 2 x 3 s 1 2 x M a /2 = 1 z 3M M +1 2M 1 2M 2 2M +12 a 1 a 2 x 1 x 2 x 3 s x s z M M
13 A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- metoda sympleks 13 Ostatniatablicajestoptymalna.Optymalnerozwi azanie: x 1 = 7, s 1 = 1, x 2 = x 3 = 0.Wartośćfunkcjicelu z = 14. Uwagi: 1.Dlaproblemuminimalizacjidofunkcjiceludodajemyskładniki +Ma 1, +Ma Jeżeli w końcowej(optymalnej) tablicy sympleksowej któraś ze zmiennych sztucznych a 1,a 2,...jestbazowaododatniejwartości,towyjściowymodel jest sprzeczny. Przykład. Rozwi azać problem: maxz = 2x 1 +2x 2 6x 1 +4x 2 24 x 1 5 x 1,x 2 0 Postać standardowa: Stosujemy M-metodȩ: maxz = 2x 1 +2x 2 6x 1 +4x 2 +s 1 = 24 x 1 s 2 = 5 x 1,x 2,s 1,s 2 0 maxz = 2x 1 +2x 2 Ma 1 Ma 2 a 1 +6x 1 +4x 2 +s 1 = 24 a 2 +x 1 s 2 = 5 x 1,x 2,s 1,s 2 0 a 1 a 2 x 1 x 2 s 1 s 2 M a /6 = 4 M a /1 = 5 z 0 0 7M 2 4M 2 M M 29M a 1 a 2 x 1 x 2 s 1 s x M a z M M M + 1 M 5M Tablica ta jest optymalna(wszystkie współczynniki optymalności s a nieujemne).zmiennasztuczna a 2 jestbazowaododatniejwartościczylimodel wyjściowy jest sprzeczny.
14 A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- metoda sympleks 14 Elementy analizy wrażliwości. Przykład. Rozpatrzmy problem z pierwszego wykładu(zapisany w postaci bazowej): maxz = 3x 1 +2x 2 [Maksymalizacjazysku] s 1 +2x 1 +x 2 = 100 [Zużyciesurowca S 1 ] s 2 +x 1 +x 2 = 80 [Zużyciesurowca S 2 ] s 3 +x 1 = 40 [Popytna W 1 ] x 1,x 2,s 1,s 2,s 3 0 Optymalnymrozwi azaniemjest x 1 = 20, x 2 = 60.Wjakimzakresiemożesiȩ zmienićcenawyrobuw 1 abyrozwi azanietopozostałooptymalne?rozwi azujemy problem algorytmem sympleks. Ostatnia, optymalna tablica ma postać: s 1 s 2 s 3 x 1 x 2 3 x x s z Załóżmy,żezyskzW1wynosi 3+δ.Mamywówczas: s 1 s 2 s 3 x 1 x 2 3+δ x x s z 1+δ δ Rozwi azanie pozostanie optymalne wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie współczynniki optymalności bȩd a nieujemne, czyli: { 1+δ 0 δ +1 0 St ad δ [ 1,1].Czylirozwi azaniepozostanieoptymalnedlacenwyrobu W 1 należ acych do przedziału [2, 4] Wjakimzakresiemożesiȩzmienićzapassurowca S1abybaza B = odpowiadającazmiennymbazowym {x 1,x 2,s 3 }pozostałaoptymalna(czyliaby struktura produkcji była zachowana)? Zmiana prawej strony ograniczeń nie wpływa na współczynniki optymalności. Wynika z tego, że baza B( dla zmiennych bazowych {x 1,x 2,s 3 })pozostanieoptymalnawtedyitylkowtedygdypozosta-
15 A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- metoda sympleks 15 nie dopuszczalna. St ad szukamy wartości δ dla których poniższy układ jest niesprzeczny: 2x 1 +x 2 = 100+δ x 1 +x 2 = 80 s 3 +x 1 = 40 x 1,x 2,s 1,s 2,s 3 0 Zapiszmy ten układ w postaci macierzowej: x x 2 = s 3 St ad: x 1 x 2 s 3 = δ δ Odpowiedni a macierz odwrotn a odczytujemy z ostatniej tablicy sympleksowej. Tworz a j a kolumny współczynników dla pierwszego rozwi azania bazowego: St ad: = δ Wykonuj ac mnożenie macierzy otrzymujemy układ nierówności: 20+δ δ 0 20 δ 0 czyli δ [ 20,20]izapassurowca S1należydoprzedziału [80,120]
Model zagadnienia programowania liniowego jest w postaci standardowej:
METODA SYMPLEKS Model zagadnienia programowania liniowego jest w postaci standardowej: max(min)z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1... a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x
Bardziej szczegółowoMetoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):
może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej:
A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1 ZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej: max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + +
Bardziej szczegółowoMetoda simpleks. Gliwice
Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Przykład 4 Model matematyczny z Przykładu 1 sprowadzić do postaci bazowej. FC: ( ) Z x, x = 6x + 5x MAX 1 2 1 2 O: WB: 1 2
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy programowania liniowego
Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując
Bardziej szczegółowoMETODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski
METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Badania operacyjne Problem Model matematyczny Metoda rozwiązania Znaleźć optymalny program produkcji. Zmaksymalizować 1 +3 2 2 3 (1) Przy ograniczeniach 3 1 2 +2 3 7 (2) 2 1 +4 2 12 (3) 4 1 +3 2 +8 3 10
Bardziej szczegółowoA. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1
A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a,a 2,...,a p i qodbiorców, którychpopytwynosi b,b 2,...,b
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT)
A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 1 ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a 1, a 2,...,a p i q odbiorców,którychpopytwynosi b 1, b 2,...,b q.zakładamy,że
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 13. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2018 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2018 1 /
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Model matematyczny Cel, środki, ograniczenia Funkcja celu funkcja kryterium Zmienne decyzyjne Model optymalizacyjny Układ warunków
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3
Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Hanna Furmańczyk 14 listopada 2008 Programowanie liniowe (PL) - wszystkie ograniczenia muszą być liniowe - wszystkie zmienne muszą być ciągłe n j=1 c j
Bardziej szczegółowoKolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w
Metoda Simpleks Jak wiadomo, problem PL z dowolną liczbą zmiennych można rozwiązać wyznaczając wszystkie wierzchołkowe punkty wielościanu wypukłego, a następnie porównując wartości funkcji celu w tych
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoA. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1
A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe ZAGADNIENIE DUALNE Z każdym zagadnieniem liniowym związane jest inne zagadnienie nazywane dualnym. Podamy teraz teraz jak budować zagadnienie
Bardziej szczegółowoPierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 2013 r. J. de Lucas
Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 03 r. J. de Lucas Uwagi organizacyjne: Każde zadanie rozwi azujemy na osobnej kartce, opatrzonej imieniem i nazwiskiem w lasnym oraz osoby prowadz acej ćwiczenia,
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowoMetoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010
R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoPo wprowadzeniu zmiennych uzupe lniaj acych otrzymamy równoważny mu problem w postaci kanonicznej:
ROZDZIA L Metoda sympleksowa Motto: Matematyka nie może wype lnić życia ale jej nieznajomość już niejednemu je wype lni la H Steinhaus Tablica sympleksowa Rozważmy ZPL w postaci klasycznej maksymalizować
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa
Sformułowanie zadania interpolacji Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5 Interpolacja wielomianowa Niech D R i niech F bȩdzie pewnym zbiorem funkcji f : D R. Niech x 0, x 1,..., x n bȩdzie ustalonym zbiorem
Bardziej szczegółowoUniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych. Piotr Kaczyński. Badania Operacyjne
Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Piotr Kaczyński Badania Operacyjne Notatki do ćwiczeń wersja 0. Warszawa, 7 stycznia 007 Spis treści Programowanie
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO
ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo
Bardziej szczegółowoWykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowo1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych
& " 1 PRZYKŁADOWE KLASY ZAGADNIEŃ LINIOWYCH 1 1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych Liniowy model produkcji Zakład może prowadzić rodzajów działalności np. produkować różnych wyrobów). Do prowadzenia
Bardziej szczegółowoMetody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1
Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech 1 X =[x x Y y =[y1 x n], oznaczają wektory przestrzeni R n, a yn] niech oznacza liczbę rzeczywistą. Wyrażenie x i p 5.3.1.a X p = p n i =1 nosi nazwę p-tej normy
Bardziej szczegółowoLaboratorium Metod Optymalizacji
Laboratorium Metod Optymalizacji Grupa nr... Sekcja nr... Ćwiczenie nr 4 Temat: Programowanie liniowe (dwufazowa metoda sympleksu). Lp. 1 Nazwisko i imię Leszek Zaczyński Obecność ocena Sprawozdani e ocena
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Ax = b (1)
Układy równań liniowych Dany jest układ m równań z n niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie niewiadomych n, tj. mn. a a... a b n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m
Bardziej szczegółowo( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa
Standardowe zadanie PL () Należy zaplanować produkcję zakładu w pewnym tygodniu w taki sposób, aby osiągnięty zysk był maksymalny. akład może wytwarzać dwa wyroby: P i P. Ich produkcja jest limitowana
Bardziej szczegółowoDefinicja problemu programowania matematycznego
Definicja problemu programowania matematycznego minimalizacja lub maksymalizacja funkcji min (max) f(x) gdzie: x 1 x R n x 2, czyli: x = [ ] x n przy ograniczeniach (w skrócie: p.o.) p.o. g i (x) = b i
Bardziej szczegółowoRozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE 6. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 6.1
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowo2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,
Bardziej szczegółowoAlgorytm simplex i dualność
Algorytm simplex i dualność Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 15, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 15, 2016 1 / 35 Przypomnienie 1 Wierzchołkiem wielościanu P nazywamy
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Bardziej szczegółowoZagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Bardziej szczegółowo(Dantzig G. B. (1963))
(Dantzig G.. (1963)) Uniwersalna metoda numeryczna dla rozwiązywania zadań PL. Ideą metody est uporządkowany przegląd skończone ilości rozwiązań bazowych układu ograniczeń, które możemy utożsamiać, w przypadku
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE KWADRATOWE
PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej
Bardziej szczegółowoRównania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
Bardziej szczegółowoRozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE 2.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie
Bardziej szczegółowoMETODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0
METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0 cx MAX Ax < b x > 0 Postać standardowa (kanoniczna): z = 5 x 1 + 6x 2 + 0x 3 + 0x 4 MAX
Bardziej szczegółowoNotatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego
Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego część III Analiza rozwiązania uzyskanego metodą simpleksową
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładów Błędy obliczeń Błędy można podzielić na: modelu, metody, wejściowe (początkowe), obcięcia, zaokrągleń..
Bardziej szczegółowoALGORYTM SIMPLEX. B.Gładysz Badania operacyjne 2007
ALGORYTM SIMPLEX 7 Zagadnienie asortymentu produkcji Firma produkuje dwa wyroby P, P. Ograniczeniem dla produkcji są trzy surowce S, S i S.Nakłady jednostkowe surowców są następujące: S S S Zysk jednostkowy
Bardziej szczegółowowszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów
KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją
Bardziej szczegółowoRozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:
Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych
Bardziej szczegółowo3. Wykład Układy równań liniowych.
31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.
Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?
/9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a11x1 a12x2... a1nxn b1 a21x1 a22x2... a2nxn b2... an 1x1 an2x2...
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE pytania kontrolne
DUALNOŚĆ 1. Podać twierdzenie o dualności 2. Jaka jest zależność pomiędzy funkcjami celu w zadaniu pierwotnym i dualnym? 3. Prawe strony ograniczeń zadania pierwotnego, w zadaniu dualnym są 4. Współczynniki
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. wykład. konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30. dr inż. Grażyna Kałuża pokój
METODY NUMERYCZNE wykład dr inż. Grażyna Kałuża pokój 103 konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30 www.kwmimkm.polsl.pl Program przedmiotu wykład: 15 godzin w semestrze laboratorium: 30 godzin
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowo, A T = A + B = [a ij + b ij ].
1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowodoc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.
doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks.
Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. 1 Programowanie matematyczne jest to zbiór metod poszukiwania punktu optymalizującego (minimalizującego lub maksymalizującego) wartość funkcji rzeczywistej
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoNiesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Niesimpleksowe metody rozwia zywania zadań PL Seminarium Szkoleniowe Metoda Simplex: wady i zalety Algorytm SIMPLEX jest szeroko znany i stosowany do rozwi azywania zadań programowania liniowego w praktyce.
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Krzysztof Patan
Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych
Bardziej szczegółowocelu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n
123456789 wyk lad 9 Zagadnienie transportowe Mamy n punktów wysy lajacych towar i t punktów odbierajacych. Istnieje droga od każdego dostawcy do każdego odbiorcy i znany jest koszt transportu jednostki
Bardziej szczegółowoZestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty
Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegiȩcia wykresu. Asymptoty November 20, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Znajdź równanie asymptot funkcji f jeśli: a) f(x)
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Rozwiązanie całkowitoliczbowe Założenie podzielności Warunki całkowitoliczbowości Czyste zadanie programowania
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoWybrane elementy badań operacyjnych
Wybrane elementy badań operacyjnych 1 Przykład 1. GWOŹDZIE. Pewna fabryczka może produkować dwa gatunki gwoździ II i I. Do wyprodukowania tony gwoździ II gatunku potrzeba 1,2 tony stali oraz 1 roboczogodzinę
Bardziej szczegółowoZadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik
Zadanie transportowe i problem komiwojażera Tadeusz Trzaskalik 3.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zbilansowane zadanie transportowe Rozwiązanie początkowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda
Bardziej szczegółowoZagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie OPIS ZAGADNIENIA Zagadnienie transportowe służy głównie do obliczania najkorzystniejszego
Bardziej szczegółowo= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4
17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Wykład 4
Metody numeryczne Wykład 4 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Metody skończone rozwiązywania
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoModele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania
Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Modele liniowe.......................... 5 1.1.
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowoTOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu
TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu Wykład dla studentów II roku studiów II stopnia na kierunku Zarządzanie Semestr zimowy 2009/2010 Wykładowca: prof. dr hab. inż. Michał Inkielman Wykład 2 Optymalizacja
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1)
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1) Zadanie zbilansowane Przykład 1. Zadanie zbilansowane Firma posiada zakłady wytwórcze w miastach A, B i C, oraz centra dystrybucyjne w miastach D, E, F i G. Możliwości
Bardziej szczegółowoUkłady równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi
Układy równań Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca 2014 1 Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi 1.1 Pojęcie układu i rozwiązania układu Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a + a +... + ann b a + a +... + ann b... an + an+... + annn bn który
Bardziej szczegółowo