Metody Optymalizacji: Przeszukiwanie z listą tabu
|
|
- Tomasz Muszyński
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Metody Optymalizacji: Przeszukiwanie z listą tabu Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61) konsultacje: wtorek 15:00-16:30 Slajdy dostępne pod adresem: Przy opracowaniu korzystałem ze slajdów prof. A. Jaszkiewicza / 25
2 Spis treści 1 Lokalne przeszukiwanie przypomnienie 2 Przeszukiwanie z listą tabu 3 Zagadnienia na egzamin 2 / 25
3 Spis treści 1 Lokalne przeszukiwanie przypomnienie 2 Przeszukiwanie z listą tabu 3 Zagadnienia na egzamin 3 / 25
4 Przypomnienie klasyfikacja algorytmów Algorytmy dokładne znajdują rozwiązanie optymalne. dedykowane dla specyficznych problemów programowanie dynamiczne podziału i ograniczeń (B&B) przeszukiwanie wyczerpujące Algorytmy aproksymacyjne znajdują rozwiązanie przybliżone, dają gwarancję, jak blisko optimum jesteśmy. dedykowane dla specyficznych problemów NP-trudnych z tego powodu rzadko używane w praktyce Algorytmy heurystyczne znajdują optimum lokalne, bez gwarancji jego jakości. lokalne przeszukiwanie ulepszone lokalne przeszukiwanie (symulowane wyżarzanie, przeszukiwanie tabu) algorytmy populacyjne (genetyczne, mrówkowe, itp.) hybrydy 4 / 25
5 Przypomnienie klasyfikacja algorytmów Algorytmy dokładne znajdują rozwiązanie optymalne. dedykowane dla specyficznych problemów programowanie dynamiczne podziału i ograniczeń (B&B) przeszukiwanie wyczerpujące Algorytmy aproksymacyjne znajdują rozwiązanie przybliżone, dają gwarancję, jak blisko optimum jesteśmy. dedykowane dla specyficznych problemów NP-trudnych z tego powodu rzadko używane w praktyce Algorytmy heurystyczne znajdują optimum lokalne, bez gwarancji jego jakości. lokalne przeszukiwanie ulepszone lokalne przeszukiwanie (symulowane wyżarzanie, przeszukiwanie tabu) algorytmy populacyjne (genetyczne, mrówkowe, itp.) hybrydy 4 / 25
6 Przypomnienie algorytm przeszukiwania lokalnego Wybierz rozwiązanie startowe x 0 w X (skonstruuj lub losowo). Powtarzaj k = 1, 2,...: 1 Dokonaj generacji nowego rozwiązania w sąsiedztwie y = N(x k 1 ). 2 Jeśli y jest lepsze od x k 1, tzn. f(y) < f(x k 1 ), wybierz y jako rozwiązanie bieżące, x k = y, w przeciwnym wypadku odrzuć y i przyjmij x k = x k 1. dopóki nie można poprawić rozwiązania bieżącego x k 1 (minimum lokalne) 5 / 25
7 Modyfikacje przeszukiwania lokalnego Wprowadzenie bardziej złożonej definicji sąsiedztwa w celu przeszukania większej części przestrzeni rozwiązań dopuszczalnych. kosztowne obliczeniowo! Dobre rozwiązanie startowe. zwykle bardzo trudno je skonstruować! Wykonanie algorytmu lokalnego przeszukiwania wielokrotnie. Wykonanie algorytmu lokalnego przeszukiwania wielokrotnie. Ograniczone akceptowanie pogorszeń funkcji celu (SA). Zapamiętywanie i unikanie rozwiązań już odwiedzonych (TS). 6 / 25
8 Modyfikacje przeszukiwania lokalnego Wprowadzenie bardziej złożonej definicji sąsiedztwa w celu przeszukania większej części przestrzeni rozwiązań dopuszczalnych. kosztowne obliczeniowo! Dobre rozwiązanie startowe. zwykle bardzo trudno je skonstruować! Wykonanie algorytmu lokalnego przeszukiwania wielokrotnie. Wykonanie algorytmu lokalnego przeszukiwania wielokrotnie. Ograniczone akceptowanie pogorszeń funkcji celu (SA). Zapamiętywanie i unikanie rozwiązań już odwiedzonych (TS). 6 / 25
9 Spis treści 1 Lokalne przeszukiwanie przypomnienie 2 Przeszukiwanie z listą tabu 3 Zagadnienia na egzamin 7 / 25
10 Motywacje Algorytm przeszukiwania lokalnego wykonuje ruch tylko, gdy prowadzi to do obniżenia funkcji celu. = zbiega do najbliższego minimum lokalnego. Lokalne optima nie muszą być dobrymi rozwiązaniami. Lokalne optima mogą się grupować, leżeć blisko siebie. 8 / 25
11 Pomysł Lokalne przeszukiwanie wersja stroma (steepest) Wybierz rozwiązanie startowe x 0. Powtarzaj k = 1, 2,...: 1 Wybierz y jako najlepsze rozwiązanie w N(x k 1 ), tj. wybierz takie y, że f(y) f(x) dla wszystkich x N(x k 1 ). 2 Jeśli f(y) < f(x k 1 ) to przyjmij x k = y. dopóki nie można poprawić rozwiązania bieżącego x k 1. 9 / 25
12 Pomysł Wersja stroma (steepest) Wybierz rozwiązanie startowe x 0. Powtarzaj k = 1, 2,...: 1 Wybierz y jako najlepsze rozwiązanie w N(x k 1 ), tj. wybierz takie y, że f(y) f(x) dla wszystkich x N(x k 1 ). 2 Jeśli f(y) < f(x k 1 ) to przyjmij x k = y. dopóki nie można poprawić rozwiązania bieżącego x k 1. A jeśli zrezygnować z konieczności obniżenia funkcji celu w nowym rozwiązaniu? 10 / 25
13 Pomysł Wersja stroma (steepest) Wybierz rozwiązanie startowe x 0. Powtarzaj k = 1, 2,...: 1 Wybierz y jako najlepsze rozwiązanie w N(x k 1 ), tj. wybierz takie y, że f(y) f(x) dla wszystkich x N(x k 1 ). 2 Jeśli f(y) < f(x k 1 ) to przyjmij x k = y. dopóki nie można poprawić rozwiązania bieżącego x k 1. A jeśli zrezygnować z konieczności obniżenia funkcji celu w nowym rozwiązaniu? Ryzyko wpadnięcia w cykle jak tego uniknąć? 10 / 25
14 Przeszukiwanie z listą tabu (tabu search) Główna idea Umożliwiaj ruchy pogarszające funkcję celu (jeśli nie ma innej możliwości), ale zapamiętuj wykonane już ruchy, aby nie wpaść w cykl! 11 / 25
15 Przeszukiwanie z listą tabu (tabu search) Główna idea Umożliwiaj ruchy pogarszające funkcję celu (jeśli nie ma innej możliwości), ale zapamiętuj wykonane już ruchy, aby nie wpaść w cykl! Zapamiętuj wykonane ruchy ruchy takie stają się zakazane (tabu) W celu poprawy efektywności zwykle lista ma maksymalną długość K (ostatnio wykonanych ruchów) Szybkie przeszukiwanie listy: zwykle haszowanie 11 / 25
16 Tabu search Rozpocznij od pustej listy tabu T =. Wybierz rozwiązanie startowe x 0. Inicjuj najlepszy napotkany ruch jako x := x 0. Powtarzaj k = 1, 2,...: 1 Wybierz y jako najlepsze rozwiązanie w N(x k 1 ), tj. wybierz takie y że f(y) f(x) dla wszystkich x N(x k 1 ). 2 Przyjmij x k := y, niezależnie od tego, czy y poprawia czy pogarsza funkcję celu. 3 Dodaj ruch x k y do listy tabu T, wyrzuć najstarszy ruch, jeśli T > K. 4 Jeśli f(x k ) < f(x ) to x := x k. Zwróć x. 12 / 25
17 Szczegóły Co przechowywać na liście ruchów? 13 / 25
18 Szczegóły Co przechowywać na liście ruchów? ruchy składowe ruchów 13 / 25
19 Szczegóły Co przechowywać na liście ruchów? ruchy składowe ruchów Jak blokować ruchy? 13 / 25
20 Szczegóły Co przechowywać na liście ruchów? ruchy składowe ruchów Jak blokować ruchy? dokładne dopasowanie ruchy odwrotne ruchy częściowo się pokrywające 13 / 25
21 Szczegóły Co przechowywać na liście ruchów? ruchy składowe ruchów Jak blokować ruchy? dokładne dopasowanie ruchy odwrotne ruchy częściowo się pokrywające Jak długa lista tabu? 13 / 25
22 Szczegóły co przechowywać na liście ruchów? (TSP) Przykład (TSP): wymiana dwóch miast 14 / 25
23 Szczegóły co przechowywać na liście ruchów? (TSP) Przykład (TSP): wymiana dwóch miast Przechowujemy cały ruch: para rozwiązań (x, y). Przechowujemy tylko parę miast, które uległy wymianie. 14 / 25
24 Szczegóły co przechowywać na liście ruchów? (TSP) Przykład (TSP): wymiana dwóch miast Przechowujemy cały ruch: para rozwiązań (x, y). Przechowujemy tylko parę miast, które uległy wymianie. Przykład (TSP): wymiana trzech miast 14 / 25
25 Szczegóły co przechowywać na liście ruchów? (TSP) Przykład (TSP): wymiana dwóch miast Przechowujemy cały ruch: para rozwiązań (x, y). Przechowujemy tylko parę miast, które uległy wymianie. Przykład (TSP): wymiana trzech miast Przechowujemy cały ruch: para rozwiązań (x, y). Przechowujemy trójkę miast, która uległy wymianie. Przechowujemy osobno każdą parę miast, które uległy wymianie. 14 / 25
26 Szczegóły jak blokować ruchy (TSP) Dokładne dopasowanie 15 / 25
27 Szczegóły jak blokować ruchy (TSP) Dokładne dopasowanie Zakazane tylko ruchy z listy tabu lub odwrotne. Stosunkowo mało ograniczeń potrzebna długa lista tabu. 15 / 25
28 Szczegóły jak blokować ruchy (TSP) Dokładne dopasowanie Zakazane tylko ruchy z listy tabu lub odwrotne. Stosunkowo mało ograniczeń potrzebna długa lista tabu. Częściowe dopasowanie 15 / 25
29 Szczegóły jak blokować ruchy (TSP) Dokładne dopasowanie Zakazane tylko ruchy z listy tabu lub odwrotne. Stosunkowo mało ograniczeń potrzebna długa lista tabu. Częściowe dopasowanie Ruch (x, y) blokuje wszystkie ruchy zawierające x lub y (blokowanie rozwiązań). Naturalne przy przechowywaniu składowych ruchów. Dużo ograniczeń wymaga krótkiej listy tabu. 15 / 25
30 Szczegóły długość listy tabu Krótka lista 16 / 25
31 Szczegóły długość listy tabu Krótka lista Bardziej agresywny algorytm. Ryzyko wpadnięcia w cykl. 16 / 25
32 Szczegóły długość listy tabu Krótka lista Bardziej agresywny algorytm. Ryzyko wpadnięcia w cykl. Długa lista 16 / 25
33 Szczegóły długość listy tabu Krótka lista Bardziej agresywny algorytm. Ryzyko wpadnięcia w cykl. Długa lista Ryzyko pomijania zbyt wielu ruchów. Może nawet uniemożliwiać dojście do lokalnego optimum. 16 / 25
34 Szczegóły długość listy tabu Krótka lista Bardziej agresywny algorytm. Ryzyko wpadnięcia w cykl. Długa lista Ryzyko pomijania zbyt wielu ruchów. Może nawet uniemożliwiać dojście do lokalnego optimum. Kryterium aspiracji: akceptuj rozwiązania lepsze od najlepszego dotąd, nawet jeśli są na liście tabu. 16 / 25
35 Tabu search Algorytm przeszukiwania lokalnego steepest niezdolność wyjścia z lokalnego optimum cykle Ulepszony alg. Steepest (akceptacja ruchów niepolepszających, wybór najlepszego rozwiązania) Lista tabu Przeszukiwanie tabu za dużo zakazanych ruchów Poziom aspiracji (akceptacja atrakcyjnych ruchów zakazanych) 17 / 25
36 Przykład zapamiętywania ruchów tabu 18 / 25
37 Przykład zapamiętywania ruchów tabu 18 / 25
38 Przykład zapamiętywania ruchów tabu 18 / 25
39 Spis treści 1 Lokalne przeszukiwanie przypomnienie 2 Przeszukiwanie z listą tabu 3 Zagadnienia na egzamin 19 / 25
40 Programowanie liniowe (PL) Umiejętność zapisania zadania z treścią jako problem PL. Zamiana minimalizacji wartości bezwzględnej na PL. Zamiana problemu minimaksowego na PL. Rozwiązanie graficzne problemu PL (na płaszczyźnie). Własności algorytmu simplex (ale nie trzeba umieć rozwiązywać PL tą metodą). Zapisanie problemu dualnego, interpretacja zmiennych dualnych. 20 / 25
41 Metody regresji Zrozumienie trzech metod regresji (LS, LAD, MM) wraz z ich zaletami i wadami. Rozwiązanie prostych problemów regresji LS, LAD, MM (typu: przykład nad slajdzie 13 z wykładu o regresji) 21 / 25
42 Metody klasyfikacji Metoda minimalizacji błędu 0/1 zalety i wady. Regresja logistyczna postać funkcji logistycznej, własności. Metoda Cauchy ego i Newtona dla regresji logistycznej jeśli będzie, to w zadanie zostaną podane wzory (nie uczyć się na pamięć!). Funkcja zawiasowa jej postać, własności. Rozwiązanie prostych problemów klasyfikacji z błędem 0/1, logistycznym, zawiasowym. 22 / 25
43 Stochastyczny gradient Idea metody, różnica w stosunku do metody spadku wzdłuż gradientu (Cauchy ego), zalety i wady. Policzeniu kroku w metodzie stochastycznego gradientu z prostą funkcją błędu (np. zawiasowy)! 23 / 25
44 Heurystyki Minima lokalne, globalne, wypukłość (bez dowodów). Zalety i wady metod: greedy, steepest, SA, TS. Umiejętność wykonania kroku dla każdej z tych metod dla zadanego problemu przy odpowiednio zdefiniowanym sąsiedztwie. 24 / 25
45 Koniec na dzisiaj :) 25 / 25
Techniki Optymalizacji: Stochastyczny spadek wzdłuż gradientu I
Techniki Optymalizacji: Stochastyczny spadek wzdłuż gradientu I Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:
Bardziej szczegółowoOptymalizacja. Przeszukiwanie lokalne
dr hab. inż. Instytut Informatyki Politechnika Poznańska www.cs.put.poznan.pl/mkomosinski, Maciej Hapke Idea sąsiedztwa Definicja sąsiedztwa x S zbiór N(x) S rozwiązań, które leżą blisko rozwiązania x
Bardziej szczegółowoPrzeszukiwanie lokalne
Przeszukiwanie lokalne 1. Klasyfikacja algorytmów 2. Przeszukiwanie lokalne 1. Klasyfikacja algorytmów Algorytmy dokładne znajdują rozwiązanie optymalne, 1. Klasyfikacja algorytmów Algorytmy dokładne znajdują
Bardziej szczegółowoOptymalizacja. Wybrane algorytmy
dr hab. inż. Instytut Informatyki Politechnika Poznańska www.cs.put.poznan.pl/mkomosinski, Andrzej Jaszkiewicz Problem optymalizacji kombinatorycznej Problem optymalizacji kombinatorycznej jest problemem
Bardziej szczegółowoTechniki optymalizacji
Techniki optymalizacji Dokładne algorytmy optymalizacji Maciej Hapke maciej.hapke at put.poznan.pl Problem optymalizacji kombinatorycznej Problem optymalizacji kombinatorycznej jest problemem minimalizacji
Bardziej szczegółowoTechniki Optymalizacji: Optymalizacja wypukła
Techniki Optymalizacji: Optymalizacja wypukła Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: piątek 15:10-16:40
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 5. Metoda stochastycznego spadku wzdłuż gradientu Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 04.04.2019 1 / 20 Wprowadzenie Minimalizacja różniczkowalnej
Bardziej szczegółowoSZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 13. PROBLEMY OPTYMALIZACYJNE Częstochowa 2014 Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska PROBLEMY OPTYMALIZACYJNE Optymalizacja poszukiwanie
Bardziej szczegółowoAlgorytmy metaheurystyczne podsumowanie
dr hab. inż. Instytut Informatyki Politechnika Poznańska www.cs.put.poznan.pl/mkomosinski, Andrzej Jaszkiewicz Problem optymalizacji kombinatorycznej Problem optymalizacji kombinatorycznej jest problemem
Bardziej szczegółowoOptymalizacja. Przeszukiwanie tabu
dr inż. Instytut Informatyki Politechnika Poznańska www.cs.put.poznan.pl/mkomosinski, Maciej Hapke Naturalny sposób powstania algorytmu Algorytm największego spadku niezdolność wyjścia z lokalnych optimów!
Bardziej szczegółowoOptymalizacja. Przeszukiwanie tabu
dr hab. inż. Instytut Informatyki Politechnika Poznańska www.cs.put.poznan.pl/mkomosinski, Maciej Hapke Naturalny sposób powstania algorytmu Algorytm optymalizacji lokalnej Niezdolność wyjścia z lokalnych
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 5. Metody kierunków poparwy (metoda Newtona-Raphsona, metoda gradientów sprzężonych) Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.03.2019 1
Bardziej szczegółowoPlan. Zakres badań teorii optymalizacji. Teoria optymalizacji. Teoria optymalizacji a badania operacyjne. Badania operacyjne i teoria optymalizacji
Badania operacyjne i teoria optymalizacji Instytut Informatyki Poznań, 2011/2012 1 2 3 Teoria optymalizacji Teoria optymalizacji a badania operacyjne Teoria optymalizacji zajmuje się badaniem metod optymalizacji
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 0. Wprowadzenie Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.02.2019 1 / 11 Kontakt wojciech.kotlowski@cs.put.poznan.pl http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/mp/
Bardziej szczegółowoWybrane podstawowe rodzaje algorytmów
Wybrane podstawowe rodzaje algorytmów Tomasz Głowacki tglowacki@cs.put.poznan.pl Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych
Bardziej szczegółowoMetody Programowania
POLITECHNIKA KRAKOWSKA - WIEiK KATEDRA AUTOMATYKI i TECHNIK INFORMACYJNYCH Metody Programowania www.pk.edu.pl/~zk/mp_hp.html Wykładowca: dr inż. Zbigniew Kokosiński zk@pk.edu.pl Wykład 8: Wyszukiwanie
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Elementy równań różniczkowych
Analiza matematyczna i algebra liniowa Elementy równań różniczkowych Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936
Bardziej szczegółowoTechniki optymalizacji algorytmy metaheurystyczne
Techniki optymalizacji algorytmy metaheurystyczne Zakres przedmiotu część AJ Wprowadzenie Dokładne i heurystyczne algorytmy optymalizacji Przeszukiwanie lokalne Metaheurystyki oparte na lokalnym przeszukiwaniu
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 4. Metody kierunków poprawy (metoda spadku wzdłuż gradientu) Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 21.03.2019 1 / 41 Plan wykładu Minimalizacja
Bardziej szczegółowoHeurystyki. Strategie poszukiwań
Sztuczna inteligencja Heurystyki. Strategie poszukiwań Jacek Bartman Zakład Elektrotechniki i Informatyki Instytut Techniki Uniwersytet Rzeszowski DLACZEGO METODY PRZESZUKIWANIA? Sztuczna Inteligencja
Bardziej szczegółowoMETODY OPTYMALIZACJI. Tomasz M. Gwizdałła 2018/19
METODY OPTYMALIZACJI Tomasz M. Gwizdałła 2018/19 Informacje wstępne Tomasz Gwizdałła Katedra Fizyki Ciała Stałego UŁ Pomorska 149/153, p.524b tel. 6355709 tomgwizd@uni.lodz.pl http://www.wfis.uni.lodz.pl/staff/tgwizdalla
Bardziej szczegółowoTabu Search (Poszukiwanie z zakazami)
Tabu Search (Poszukiwanie z zakazami) Heurystyka - technika znajdująca dobre rozwiązanie problemu (np. optymalizacji kombinatorycznej) przy rozsądnych (akceptowalnych z punktu widzenia celu) nakładach
Bardziej szczegółowoTomasz M. Gwizdałła 2012/13
METODY METODY OPTYMALIZACJI OPTYMALIZACJI Tomasz M. Gwizdałła 2012/13 Informacje wstępne Tomasz Gwizdałła Katedra Fizyki Ciała Stałego UŁ Pomorska 149/153, p.523b tel. 6355709 tomgwizd@uni.lodz.pl http://www.wfis.uni.lodz.pl/staff/tgwizdalla
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Pochodna funkcji
Analiza matematyczna i algebra liniowa Pochodna funkcji Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska Wydział Elektroniki INFORMATYKA SYSTEMÓW AUTONOMICZNYCH. Heurystyka, co to jest, potencjalne zastosowania
Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki INFORMATYKA SYSTEMÓW AUTONOMICZNYCH Autor: Łukasz Patyra indeks: 133325 Prowadzący zajęcia: dr inż. Marek Piasecki Ocena pracy: Wrocław 2007 Spis treści 1 Wstęp
Bardziej szczegółowoElementy inteligencji obliczeniowej
Elementy inteligencji obliczeniowej Paweł Liskowski Institute of Computing Science, Poznań University of Technology 9 October 2018 1 / 19 Perceptron Perceptron (Rosenblatt, 1957) to najprostsza forma sztucznego
Bardziej szczegółowoAlgorytm memetyczny dla rzeczywistego problemu planowania tras pojazdów
Algorytm memetyczny dla rzeczywistego problemu planowania tras pojazdów Andrzej Jaszkiewicz, Przemysław Wesołek 3 grudnia 2013 Kontekst problemu Firma dystrybucyjna Kilka statystyk (wiedza z danych miesięcznych)
Bardziej szczegółowoOSTASZEWSKI Paweł (55566) PAWLICKI Piotr (55567) Algorytmy i Struktury Danych PIŁA
OSTASZEWSKI Paweł (55566) PAWLICKI Piotr (55567) 16.01.2003 Algorytmy i Struktury Danych PIŁA ALGORYTMY ZACHŁANNE czas [ms] Porównanie Algorytmów Rozwiązyjących problem TSP 100 000 000 000,000 10 000 000
Bardziej szczegółowoZadania laboratoryjne i projektowe - wersja β
Zadania laboratoryjne i projektowe - wersja β 1 Laboratorium Dwa problemy do wyboru (jeden do realizacji). 1. Water Jug Problem, 2. Wieże Hanoi. Water Jug Problem Ograniczenia dla każdej z wersji: pojemniki
Bardziej szczegółowoEkonometria - ćwiczenia 10
Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na
Bardziej szczegółowoOptymalizacja systemów
Optymalizacja systemów Laboratorium - problem detekcji twarzy autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak, S. Zaręba, P. Klukowski Cel zadania Celem zadania jest zapoznanie się z gradientowymi algorytmami optymalizacji
Bardziej szczegółowoAlgorytm wstecznej propagacji błędów dla sieci RBF Michał Bereta
Algorytm wstecznej propagacji błędów dla sieci RBF Michał Bereta www.michalbereta.pl Sieci radialne zawsze posiadają jedną warstwę ukrytą, która składa się z neuronów radialnych. Warstwa wyjściowa składa
Bardziej szczegółowoWstęp do sieci neuronowych, wykład 03 Warstwy RBF, jednostka Adaline.
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 3 Warstwy, jednostka Adaline. Maja Czoków, Jarosław Piersa Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika 211-1-18 1 Pomysł Przykłady Zastosowanie 2
Bardziej szczegółowoAlgorytmy memetyczne (hybrydowe algorytmy ewolucyjne)
Algorytmy memetyczne (hybrydowe algorytmy ewolucyjne) 1 2 Wstęp Termin zaproponowany przez Pablo Moscato (1989). Kombinacja algorytmu ewolucyjnego z algorytmem poszukiwań lokalnych, tak że algorytm poszukiwań
Bardziej szczegółowoZaawansowane programowanie
Zaawansowane programowanie wykład 3: inne heurystyki prof. dr hab. inż. Marta Kasprzak Instytut Informatyki, Politechnika Poznańska Heurystyką nazywamy algorytm (metodę) zwracający rozwiązanie przybliżone.
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe
Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:
Bardziej szczegółowoUczenie sieci typu MLP
Uczenie sieci typu MLP Przypomnienie budowa sieci typu MLP Przypomnienie budowy neuronu Neuron ze skokową funkcją aktywacji jest zły!!! Powszechnie stosuje -> modele z sigmoidalną funkcją aktywacji - współczynnik
Bardziej szczegółowoTechniki Optymalizacji: Metody regresji
Techniki Optymalizacji: Metody regresji Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: piątek 15:10-16:40
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Oceanotechniki i Okrętownictwa. Marzec Podstawy teorii optymalizacji Oceanotechnika, II stop., sem.
Politechnika Gdańska Wydział Oceanotechniki i Okrętownictwa St. II stop., sem. I, Kierunek Oceanotechnika, Spec. Okrętowe Podstawy teorii optymalizacji Wykład 1 M. H. Ghaemi Marzec 2016 Podstawy teorii
Bardziej szczegółowoElementy wspo łczesnej teorii inwersji
Elementy wspo łczesnej teorii inwersji W. Debski, 11.12.2014 Liniowy problem odwrotny m est (λ) = m apr + (G T G + λi) 1 G T ( dobs G m apr) +δ debski@igf.edu.pl: W3-1 IGF PAN, 11.12.2014 Metoda algebraiczna
Bardziej szczegółowoZrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych
Zrównoleglona optymalizacja stochastyczna na dużych zbiorach danych mgr inż. C. Dendek prof. nzw. dr hab. J. Mańdziuk Politechnika Warszawska, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Outline 1 Uczenie
Bardziej szczegółowoMetody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne
mgr inż. Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Podstawy optymalizacji Plan prezentacji 1 Podstawy matematyczne 2 3 Eliminacja ograniczeń Metody
Bardziej szczegółowoTechnologie cyfrowe. Artur Kalinowski. Zakład Cząstek i Oddziaływań Fundamentalnych Pasteura 5, pokój 4.15
Technologie cyfrowe Artur Kalinowski Zakład Cząstek i Oddziaływań Fundamentalnych Pasteura 5, pokój 4.15 Artur.Kalinowski@fuw.edu.pl Semestr letni 2014/2015 Zadanie algorytmiczne: wyszukiwanie dane wejściowe:
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Krzysztof Patan
Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne II
Metody numeryczne II Poszukiwanie ekstremów funkcji Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nmslides-13.tex Metody numeryczne II Janusz Szwabiński 29/5/2003 14:40 p.1/55 Poszukiwanie ekstremów funkcji
Bardziej szczegółowoDefinicja problemu programowania matematycznego
Definicja problemu programowania matematycznego minimalizacja lub maksymalizacja funkcji min (max) f(x) gdzie: x 1 x R n x 2, czyli: x = [ ] x n przy ograniczeniach (w skrócie: p.o.) p.o. g i (x) = b i
Bardziej szczegółowoPodstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT)
Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Paweł Wawrzyński Uczenie maszynowe Sztuczne sieci neuronowe Plan na dziś Uczenie maszynowe Problem aproksymacji funkcji Sieci neuronowe PSZT, zima 2013, wykład 12
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 1. Optymalizacja funkcji jednej zmiennej Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.02.2019 1 / 54 Plan wykładu Optymalizacja funkcji jednej
Bardziej szczegółowoMetody przeszukiwania
Metody przeszukiwania Co to jest przeszukiwanie Przeszukiwanie polega na odnajdywaniu rozwiązania w dyskretnej przestrzeni rozwiązao. Zwykle przeszukiwanie polega na znalezieniu określonego rozwiązania
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a
Programowanie nieliniowe Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a Plan wykładu Przykład problemu z nieliniową funkcją celu Sformułowanie problemu programowania matematycznego Podstawowe definicje
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Bardziej szczegółowoALGORYTMY EWOLUCYJNE W OPTYMALIZACJI JEDNOKRYTERIALNEJ
ALGORYTMY EWOLUCYJNE W OPTYMALIZACJI JEDNOKRYTERIALNEJ Zalety: nie wprowadzają żadnych ograniczeń na sformułowanie problemu optymalizacyjnego. Funkcja celu może być wielowartościowa i nieciągła, obszar
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCHY KOMPETENCJI EFEKTY KSZTAŁCENIA
I. KARTA PRZEDMIOTU. Nazwa przedmiotu: MATEMATYKA STOSOWANA 2. Kod przedmiotu: Ms 3. Jednostka prowadząca: Wydział Nawigacji i Uzbrojenia Okrętowego 4. Kierunek: Nawigacja 5. Specjalność: Nawigacja morska
Bardziej szczegółowodoc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.
doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13
Bardziej szczegółowoMetody Numeryczne Optymalizacja. Wojciech Szewczuk
Metody Numeryczne Optymalizacja Optymalizacja Definicja 1 Przez optymalizację będziemy rozumieć szukanie minimów lub maksimów funkcji. Optymalizacja Definicja 2 Optymalizacja lub programowanie matematyczne
Bardziej szczegółowoSylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Rachunek różniczkowy i całkowy II (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod (4) Studia
Bardziej szczegółowoTechniki optymalizacji
Techniki optymalizacji Symulowane wyżarzanie Maciej Hapke maciej.hapke at put.poznan.pl Wyżarzanie wzrost temperatury gorącej kąpieli do takiej wartości, w której ciało stałe topnieje powolne zmniejszanie
Bardziej szczegółowoAlgorytmy ewolucyjne 1
Algorytmy ewolucyjne 1 2 Zasady zaliczenia przedmiotu Prowadzący (wykład i pracownie specjalistyczną): Wojciech Kwedlo, pokój 205. Konsultacje dla studentów studiów dziennych: poniedziałek,środa, godz
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
Bardziej szczegółowoZ-ZIP2-303z Zagadnienia optymalizacji Problems of optimization
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 0/03 Z-ZIP-303z Zagadnienia optymalizacji Problems of optimization A. USYTUOWANIE
Bardziej szczegółowo1.7. Eksploracja danych: pogłębianie, przeszukiwanie i wyławianie
Wykaz tabel Wykaz rysunków Przedmowa 1. Wprowadzenie 1.1. Wprowadzenie do eksploracji danych 1.2. Natura zbiorów danych 1.3. Rodzaje struktur: modele i wzorce 1.4. Zadania eksploracji danych 1.5. Komponenty
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI
WYKŁAD 9 METODY ZMIENNEJ METRYKI Kierunki sprzężone. Metoda Newtona Raphsona daje dobre przybliżenie najlepszego kierunku poszukiwań, lecz jest to okupione znacznym kosztem obliczeniowym zwykle postać
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Programowanie liniowe w technice Linear programming in engineering problems Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na kierunku matematyka przemysłowa Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium,
Bardziej szczegółowoOptymalizacja. Symulowane wyżarzanie
dr hab. inż. Instytut Informatyki Politechnika Poznańska www.cs.put.poznan.pl/mkomosinski, Maciej Hapke Wyżarzanie wzrost temperatury gorącej kąpieli do takiej wartości, w której ciało stałe topnieje powolne
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 13. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2018 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2018 1 /
Bardziej szczegółowoJeśli czas działania algorytmu zależy nie tylko od rozmiaru danych wejściowych i przyjmuje różne wartości dla różnych danych o tym samym rozmiarze,
Oznaczenia: Jeśli czas działania algorytmu zależy nie tylko od rozmiaru danych wejściowych i przyjmuje różne wartości dla różnych danych o tym samym rozmiarze, to interesuje nas złożoność obliczeniowa
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Wykład 4
Metody numeryczne Wykład 4 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Metody skończone rozwiązywania
Bardziej szczegółowoModele całkowitoliczbowe zagadnienia komiwojażera (TSP)
& Zagadnienie komowojażera 1 Modele całkowitoliczbowe zagadnienia komiwojażera (TSP) Danych jest miast oraz macierz odległości pomiędzy każdą parą miast. Komiwojażer wyjeżdża z miasta o numerze 1 chce
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Programowanie liniowe w zagadnieniach finansowych i logistycznych Linear programming in financial and logistics problems Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla specjalności
Bardziej szczegółowoZagadnienia optymalizacji Problems of optimization
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 0/04 Zagadnienia optymalizacji Problems of optimization A. USYTUOWANIE MODUŁU W
Bardziej szczegółowoHeurystyki w podejmowaniu decyzji
Wydział Zarządzania AGH Katedra Informatyki Stosowanej Heurystyki w podejmowaniu decyzji Metaheurystyki, heurystyki Wprowadzenie, podstawowe pojęcia Proste techniki przeszukiwania Symulowane wyżarzanie
Bardziej szczegółowoEKONOMETRIA I SYLABUS
Załącznik nr 5 do Uchwały nr 1202 Senatu UwB z dnia 29 lutego 2012 r. EKONOMETRIA I SYLABUS A. Informacje ogólne Elementy składowe sylabusu Nazwa jednostki prowadzącej kierunek Nazwa kierunku studiów Poziom
Bardziej szczegółowoZnajdowanie wyjścia z labiryntu
Znajdowanie wyjścia z labiryntu Zadanie to wraz z problemem pakowania najcenniejszego plecaka należy do problemów optymalizacji, które dotyczą znajdowania najlepszego rozwiązania wśród wielu możliwych
Bardziej szczegółowoWstęp do Sztucznej Inteligencji
Wstęp do Sztucznej Inteligencji Rozwiązywanie problemów-i Joanna Kołodziej Politechnika Krakowska Wydział Fizyki, Matematyki i Informatyki Rozwiązywanie problemów Podstawowe fazy: Sformułowanie celu -
Bardziej szczegółowoPlanowanie drogi robota, algorytm A*
Planowanie drogi robota, algorytm A* Karol Sydor 13 maja 2008 Założenia Uproszczenie przestrzeni Założenia Problem planowania trasy jest bardzo złożony i trudny. W celu uproszczenia problemu przyjmujemy
Bardziej szczegółowoHeurystyczne metody przeszukiwania
Heurystyczne metody przeszukiwania Dariusz Banasiak Katedra Informatyki Technicznej W4/K9 Politechnika Wrocławska Pojęcie heurystyki Metody heurystyczne są jednym z ważniejszych narzędzi sztucznej inteligencji.
Bardziej szczegółowoMetody systemowe i decyzyjne w informatyce
Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Laboratorium MATLAB Zadanie nr 2 Detekcja twarzy autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak Cel zadania Celem zadania jest zapoznanie się algorytmem gradientu prostego
Bardziej szczegółowoMetoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):
może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję
Bardziej szczegółowoIteracyjne rozwiązywanie równań
Elementy metod numerycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 3 Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda siecznych Metoda stycznych Plan wykładu 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoMarcel Stankowski Wrocław, 23 czerwca 2009 INFORMATYKA SYSTEMÓW AUTONOMICZNYCH
Marcel Stankowski Wrocław, 23 czerwca 2009 INFORMATYKA SYSTEMÓW AUTONOMICZNYCH Przeszukiwanie przestrzeni rozwiązań, szukanie na ślepo, wszerz, w głąb. Spis treści: 1. Wprowadzenie 3. str. 1.1 Krótki Wstęp
Bardziej szczegółowoTechniki optymalizacji
Techniki optymalizacji Metaheurystyki oparte na algorytmach lokalnego przeszukiwania Maciej Hapke maciej.hapke at put.poznan.pl GRASP Greedy Randomized Adaptive Search Procedure T.A. Feo, M.G.C. Resende,
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów Autorzy: Maria Kosiorowska Marta Kornafel Grzegorz Kosiorowski Grzegorz Szulik Sebastian Baran Jakub Bielawski Materiały przygotowane w ramach projektu
Bardziej szczegółowoStrefa pokrycia radiowego wokół stacji bazowych. Zasięg stacji bazowych Zazębianie się komórek
Problem zapożyczania kanałów z wykorzystaniem narzędzi optymalizacji Wprowadzenie Rozwiązanie problemu przydziału częstotliwości prowadzi do stanu, w którym każdej stacji bazowej przydzielono żądaną liczbę
Bardziej szczegółowoKADD Minimalizacja funkcji
Minimalizacja funkcji Poszukiwanie minimum funkcji Foma kwadratowa Metody przybliżania minimum minimalizacja Minimalizacja w n wymiarach Metody poszukiwania minimum Otaczanie minimum Podział obszaru zawierającego
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,
Bardziej szczegółowoZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ
ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTEP Zadanie minimalizacji bez ograniczeń f(ˆx) = min x R nf(x) f : R n R funkcja ograniczona z dołu Algorytm rozwiazywania Rekurencyjny
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Politechnika Częstochowska, Wydział Zarządzania PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu Kierunek Forma studiów Poziom kwalifikacji Rok Semestr Jednostka prowadząca Osoba sporządzająca Profil Rodzaj
Bardziej szczegółowoTechniki optymalizacji
Techniki optymalizacji Wprowadzenie Maciej Hapke maciej.hapke at put.poznan.pl Literatura D.E. Goldberg Algorytmy genetyczne i zastosowania, WNT, 1995 Z. Michalewicz Algorytmy genetyczne + struktury danych
Bardziej szczegółowoProblemy Decyzyjne Markowa
Problemy Decyzyjne Markowa na podstawie AIMA ch17 i slajdów S. Russel a Wojciech Jaśkowski Instytut Informatyki, Politechnika Poznańska 18 kwietnia 2013 Sekwencyjne problemy decyzyjne Cechy sekwencyjnego
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Model matematyczny Cel, środki, ograniczenia Funkcja celu funkcja kryterium Zmienne decyzyjne Model optymalizacyjny Układ warunków
Bardziej szczegółowoTechniki optymalizacji
Techniki optymalizacji Algorytm kolonii mrówek Idea Smuga feromonowa 1 Sztuczne mrówki w TSP Sztuczna mrówka agent, który porusza się z miasta do miasta Mrówki preferują miasta połączone łukami z dużą
Bardziej szczegółowoEgzamin / zaliczenie na ocenę*
Zał. nr do ZW 33/01 WYDZIAŁ / STUDIUM KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Optymalizacja systemów Nazwa w języku angielskim System optimization Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Inżynieria Systemów
Bardziej szczegółowoAlgorytm genetyczny (genetic algorithm)-
Optymalizacja W praktyce inżynierskiej często zachodzi potrzeba znalezienia parametrów, dla których system/urządzenie będzie działać w sposób optymalny. Klasyczne podejście do optymalizacji: sformułowanie
Bardziej szczegółowoAlgorytmy sortujące. Sortowanie bąbelkowe
Algorytmy sortujące Sortowanie bąbelkowe Sortowanie bąbelkowe - wstęp Algorytm sortowania bąbelkowego jest jednym z najstarszych algorytmów sortujących. Zasada działania opiera się na cyklicznym porównywaniu
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE. stacjonarne. II stopnia. ogólnoakademicki. podstawowy WYKŁAD ĆWICZENIA LABORATORIUM PROJEKT SEMINARIUM
Politechnika Częstochowska, Wydział Zarządzania PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu Kierunek Forma studiów Poziom kwalifikacji Rok Semestr Jednostka prowadząca Osoba sporządzająca Profil Rodzaj
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów
Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 5. Przybliżone metody rozwiązywania równań 5.1 Lokalizacja pierwiastków 5.2 Metoda bisekcji 5.3 Metoda iteracji 5.4 Metoda stycznych (Newtona) 5.5 Metoda
Bardziej szczegółowoPoziom przedmiotu: II stopnia. Liczba godzin/tydzień: 2W, 2L, 1C PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: przedmiot obowiązkowy dla specjalności matematyka finansowa i ubezpieczeniowa Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium Metody optymalizacji w ekonomii
Bardziej szczegółowo