Metody wielokryterialne. Tadeusz Trzaskalik

Transkrypt

1 Metody wielokryterialne Tadeusz Trzaskalik

2 4.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zadanie wielokryterialne Zadanie wielokryterialne programowania liniowego Przestrzeń decyzyjna Zbiór rozwiązań za dopuszczalnych w przestrzeni decyzyjnej Przestrzeń kryterialna Zbiór rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni kryterialnej Zadanie wektorowej maksymalizacji Rozwiązanie dominujące Rozwiązanie niezdominowane Rozwiązanie sprawne T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 2

3 4.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe (c.d.) Rozwiązanie końcowe Metoda satysfakcjonujących poziomów kryteriów Współczynniki wagowe Hierarchizacja kryteriów Punkt idealny Metody interaktywne Programowanie celowe Bilansowanie celów Cele kierunkowe Cele punktowe Cele przedziałowe T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 3

4 4.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe (c.d.) Wielokryterialne metody dyskretne Metoda AHP Metoda Promethe V Metoda Electre I T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 4

5 4.2. Zadanie wektorowej maksymalizacji Rozwiązanie dominujące (1/6) Przykład 4.1 P 1 P 2 Zasoby S S S Należy zaplanować produkcję w taki sposób, by jednocześnie zmaksymalizować zysk oraz łączne rozmiary produkcji. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 5

6 4.2. Zadanie wektorowej maksymalizacji Rozwiązanie dominujące (2/6) Model matematyczny Zmienne decyzyjne - planowany rozmiar produkcji produktu P 1 x 2 - planowany rozmiar produkcji produktu P 2 Funkcje celu f 1 (,x 2 ) - funkcja opisująca zysk f 2 (,x 2 ) - funkcja opisująca łączne rozmiary produkcji Wektorowa funkcja kryterium F( x 1, x 2 ) = f f 1 2 ( x 1 ( x 1, x 2, x 2 ) ) 2x = x x + x 2 2 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 6

7 4.2. Zadanie wektorowej maksymalizacji Rozwiązanie dominujące (3/6) Model matematyczny (c.d.) Warunki ograniczające x x x , x 2 0 Zbiór rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni decyzyjnej A B O C T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 7

8 4.2. Zadanie wektorowej maksymalizacji Rozwiązanie dominujące (4/6) Zbiór rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni kryterialnej Twierdzenie 4.1 Zbiór rozwiązań dopuszczalnych zadania wielokryterialnego programowania liniowego w przestrzeni kryterialnej jest wielościanem wypukłym. Każdy wierzchołek tego wielościanu jest obrazem pewnego wierzchołka zbioru decyzji dopuszczalnych w przestrzeni decyzyjnej, natomiast pozostałe punkty to zbiór wszystkich kombinacji wypukłych punktów wierzchołkowych. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 8

9 ryterialne O F O F = = = 0 ([0,0]) ) ( A F A F = = = 12 ([0,4]) ) ( + + = = ), ( ), ( ), ( x x x x x x f x x f x x F 4.2. Zadanie wektorowej maksymalizacji Rozwiązanie dominujące (5/6) Zbiór rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni kryterialnej (c.d.) 4. Metody wielokr T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 9 O F O F = = = 0 ([0,0]) ) ( A F A F = = = 4 ([0,4]) ) ( B F B F = = = 6 14 ([4,2]) ) ( C F C F = = = 4 8 ([4,0]) ) ( = = = 0,,, 1,, : λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ C B A O Y Y Y

10 4.2. Zadanie wektorowej maksymalizacji Rozwiązanie dominujące (6/6) Interpretacja geometryczna y 2 O' C' C' A' B' y 1 B dominuje wszystkie rozwiązania dopuszczalne w przestrzeni kryterialnej T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 10

11 4.2. Zadanie wektorowej maksymalizacji Rozwiązanie niezdominowane (1/4) Przykład 4.2 Należy zaplanować produkcję w taki sposób, by jednocześnie zmaksymalizować zysk oraz zminimalizować wykorzystanie deficytowegośrodka S 1 Model matematyczny f 1 (, x 2 ) = 2 + 3x 2 max ϕ 2 (, x 2 ) = 2 + 2x 2 min + 2x , x 2 0 f 1 (, x 2 ) = 2 + 3x 2 max f 2 (, x 2 ) = 2 2x 2 max + 2x , x 2 0 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 11

12 4.2. Zadanie wektorowej maksymalizacji Rozwiązanie niezdominowane (2/4) Zbiory rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni decyzyjnej w przestrzeni kryterialnej ryterialne x 2 O' y 2 y1 4. Metody wielokr A O B C C' A' B' Brak rozwiązania dominującego T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 12

13 4.2. Zadanie wektorowej maksymalizacji Rozwiązanie niezdominowane (3/4) Stożki rozwiązań dominujących i zdominowanych przez Y y 2 Rozwiązania nieporównywalne z Y' Stożek rozwiązań zdominowanych przez Y' Y' Stożek rozwiązań dominujących Y' Rozwiązania nieporównywalne z Y' y 1 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 13

14 4.2. Zadanie wektorowej maksymalizacji Rozwiązanie niezdominowane (4/4) Rozwiązania niezdominowane i zdominowane O' y 2 y1 E' C' D' A' F' B' Rozwiązania niezdominowane: O, A, B, O A, A B Rozwiązania w przestrzeni decyzyjnej, odpowiadające rozwiązaniom niezdominowanym, nazywamy rozwiązaniami sprawnymi. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 14

15 4.3. Metoda ADBASE Rozszerzona tablica simpleksowa (1/2) ADBASE Postać bazowa f 1 (, x 2, x 3, x 4 ) = 2 + 3x 2 max f 2 (, x 2, x 3, x 4 ) = 2 2x 2 max + 2x 2 + x 3 = x 4 = 16, x 2, x 3, x 4 0 Dopuszczalne rozwiązanie bazowe: = 0, x 2 = 0, x 3 = 8, x 4 = 16 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 15

16 4.3. Metoda ADBASE Rozszerzona tablica simpleksowa (2/2) Postać macierzowa Cx max Ax = b x 0, C = A = b = Cx max Baza C B x 2 x 3 x 4 x x x = x x x x d ij = c ij - z ij b T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 16

17 4.3. Metoda ADBASE Zadanie testujące (1/2) Własności zadania testującego Twierdzenie x 2 s 1 + s 2 max s 1 = 0 2 2x 2 s 2 = 0 + 2x 2 + x 3 = x 4 = 16, x 2, x 3, x 4, s 1, s 2 0 Jeżeli optymalna wartość funkcji celu zadania testującego jest równa zeru, wówczas testowane rozwiązanie bazowe jest sprawne. Jeżeli funkcja celu zadania testującego jest ograniczona, rozwiązanie optymalne zadania testującego generuje bazowe rozwiązanie sprawne zadania testowanego. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 17

18 4.3. Metoda ADBASE Zadanie testujące (2/2) Rozwiązanie zadania testującego Rozwiązanie optymalne: 2 + 3x 2 s 1 + s 2 max s 1 = 0 2 2x 2 s 2 = 0 + 2x 2 + x 3 = x 4 = 16, x 2, x 3, x 4, s 1, s 2 0 = 0, x 2 = 0, x 3 = 8, x 4 = 16, s 1 = 0, s 2 = 0. Optymalna wartość funkcji celu wynosi 0, czyli testowane rozwiązanie jest sprawne. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 18

19 4.3. Metoda ADBASE Sąsiednie bazowe rozwiązanie sprawne (1/12) Definicja B O = {x 3, x 4 } B A = {x 2, x 4 } B = {x B 1, x 2 } B C = {, x 3 } A O x 2 B C Dwa rozwiązania bazowe, odpowiadające wierzchołkom P i Q nazywamy sąsiednimi bazowymi rozwiązaniami sprawnymi, jeżeli obydwa są rozwiązaniami sprawnymi, są one sąsiednimi rozwiązaniami bazowymi oraz wszystkie punkty leżące na odcinku PQ są rozwiązaniami sprawnymi. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 19

20 4.3. Metoda ADBASE Sąsiednie bazowe rozwiązanie sprawne (2/12) Niebazowa zmienna sprawna Λ = {λ = [λ 1..., λ k ]: k i= 1 λ i = 1, λ i > 0 dla i=1,...,k} Twierdzenie 4.4 λd N 0 λd j = 0 Wygenerowane przy pomocy niebazowej zmiennej sprawnej rozwiązanie bazowe, odpowiadające wierzchołkowi Q jest sąsiednim bazowym rozwiązaniem sprawnym dla tego wierzchołka. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 20

21 4.3. Metoda ADBASE Sąsiednie bazowe rozwiązanie sprawne (3/12) Sprawdzanie sprawności zmiennych Zmienna ryterialne D = DN = d 1 = Metody wielokr 2λ 1 2λ 2 = 0 3λ 1 2λ 2 0 λ 1 + λ 2 = 1 λ 1 0, λ 2 0 Układ sprzeczny, czyli zmienną sprawną. nie jest w rozpatrywanej bazie niebazową T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 21

22 4.3. Metoda ADBASE Sąsiednie bazowe rozwiązanie sprawne (4/12) Sprawdzanie sprawności zmiennych (c.d.) Zmienna x 2 ryterialne D = DN = d 2 = Metody wielokr 2λ 1 2λ 2 0 3λ 1 2λ 2 = 0 λ 1 + λ 2 = 1 λ 1 0, λ 2 0 λ 1 = 2/5, λ 2 = 3/5. Zmienna x 2 jest w rozpatrywanej bazie niebazową zmienną sprawną. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 22

23 4.3. Metoda ADBASE Sąsiednie bazowe rozwiązanie sprawne (5/12) Przekształcenie simpleksowe Pierwsza tablica simpleksowa Cx max Baza C B x 2 x 3 x 4 x x d ij = c ij z ij Tablica simpleksowa po wprowadzeniu do bazy zmiennej sprawnej x 2 Cx max Baza C B x 2 x 3 x 4 x ,5 1 0,5 0 4 x d ij = c ij z ij 0,5 0 1, b b T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 23

24 4.3. Metoda ADBASE Sąsiednie bazowe rozwiązanie sprawne (6/12) Generowanie wszystkich rozwiązań sprawnych Twierdzenie 4.5 Każde dwa bazowe rozwiązania sprawne można połączyć ciągiem sąsiednich baz sprawnych. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 24

25 4.3. Metoda ADBASE Sąsiednie bazowe rozwiązanie sprawne (7/12) Przebieg obliczeń Czy jest niebazową zmienną sprawną? DN 0,5 = 1 λ 1 = 2/3, λ 2 = 1/3. Cx max 1,5 1 d 1 0,5 = 1 0,5λ 1 λ 2 = 0 1,5λ 1 + λ 2 0 λ 1 + λ 2 = 1 λ 1 0, λ Baza C B x 2 x 3 x 4 x ,5-0, ,25 4 d ij = c ij z ij 0 0 1,5 0, ,5 12 b T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 25

26 4.3. Metoda ADBASE Sąsiednie bazowe rozwiązanie sprawne (8/12) Przebieg obliczeń (c.d.) Czy x 3 jest niebazową zmienną sprawną? DN = 1,5 1 0,125 0,5 d 3 1,5 = 1 1,5λ 1 + λ 2 = 0 0,125λ 1 + 0,5λ 2 0 λ 1 + λ 2 = 1 λ 1 0, λ 2 0 Układ sprzeczny. Oznacza to,że x 3 nie jest niebazową zmienną sprawną. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 26

27 4.3. Metoda ADBASE Sąsiednie bazowe rozwiązanie sprawne (9/12) Przykład 4.3 max max x 2 max x 2 max + 2x x 2 + x 3 = 4 + x x 2 + x 4 = 6, x 2 0, x 2, x 3, x 4 0 x 2 x 0 X Rozwiązanie bazowe: Rozwiązanie bazowe: = 0, x 2 = 0, x 3 = 4, x 4 = 6 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 27

28 4.3. Metoda ADBASE Sąsiednie bazowe rozwiązanie sprawne (10/12) Zadanie testujące Rozwiązanie optymalne: s 1 + s 2 max s 1 = 0 x 2 s 2 = 0 + 2x 2 + x 3 = 4 + x 2 + x 4 = 6, x 2, x 3, x 4, s 1, s 2 0 = 0, x 2 = 2, x 3 = 0, x 4 = 4, s 1 = 0, s 2 = 2 Składowe tego rozwiązania: = 0, x 2 = 2, x 3 = 0, x 4 = 4 wyznaczają rozwiązanie sprawne zadania wyjściowego (odpowiadające wierzchołkowi A). T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 28

29 4.3. Metoda ADBASE Sąsiednie bazowe rozwiązanie sprawne (11/12) Nieograniczona krawędź sprawna Cx max Baza C B x 2 x 3 x 4 x ,5 1 0,5 0 2 x ,5 0 0,5 1 4 d ij = c ij z ij ,5 0 0,5 0 2 b T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 29

30 4.3. Metoda ADBASE Sąsiednie bazowe rozwiązanie sprawne (12/12) Algorytm 1. Wyznaczenie pierwszego bazowego rozwiązania dopuszczalnego 2. Wyznaczenie bazowego rozwiązania sprawnego 3. Wyznaczenie wszystkich bazowych rozwiązań sprawnych T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 30

31 4.4. Generowanie wybranych rozwiązań sprawnych Wybrane metody skalaryzacji problemu wielokryterialnego Rozwiązanie sprawne możemy otrzymać między innymi: - przy pomocy jednej funkcji celu, - metodą satysfakcjonującego poziomu kryteriów, - metodą sumy ważonej, - poprzez hierarchizację kryteriów, - wykorzystując punkt idealny, - metodą interaktywną. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 31

32 4.4. Generowanie wybranych rozwiązań sprawnych Generowanie rozwiązań sprawnych za pomocą jednej funkcji celu (1/1) Przykład 4.4 A Problem P x 2 max + 2x , x 2 0 x 2 Problem P 2 2 2x 2 max + 2x , x 2 0, x 2 0, x 2 0 B max max A x 2 B O C O C T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 32

33 4.4. Generowanie wybranych rozwiązań sprawnych Metoda satysfakcjonującego poziomu kryteriów (1/1) Przykład 4.5 A O x 2 D E B C max 2 + 3x 2 max + 2x x 2 10, x 2 0 O' -10 y 2 C' E' A' D' B' y 1 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 33

34 4.4. Generowanie wybranych rozwiązań sprawnych Metoda sumy ważonej (1/1) Przykład 4.6 Decydent ustalił ważność kryteriów pierwszego i drugiego w stosunku 3 : 1 ryterialne y 1 = 2 + 3x 2 y 2 = 2 2x 2 x 2 4. Metody wielokr y = 3y 1 + y 2 = 3(2 + 3x 2 ) + + ( 2 2x 2 ) = 4 + 7x x 2 max + 2x , x 2 0 A O B C max T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 34

35 4.4. Generowanie wybranych rozwiązań sprawnych Hierarchia kryteriów (1/2) Przykład 4.7 Najważniejszy jest cel pierwszy, na drugim poziomie hierarchii występuje cel drugi. Pierwszy poziom hierarchii 2 + 3x 2 max + 2x , x 2 0 x 2 Drugi poziom hierarchii 2 2x 2 max + 2x x 2 = 14, x 2 0 x 2 A B max A B max O C O C T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 35

36 4.4. Generowanie wybranych rozwiązań sprawnych Hierarchia kryteriów (2/2) Przykład 4.8 Różnica między wartością optymalną dla pierwszego kryterium a wartością w rozpatrywanym rozwiązaniu nie większa niż 1. Pierwszy poziom hierarchii 2 + 3x 2 max + 2x , x 2 0 x 2 max Drugi poziom hierarchii 2 2x 2 max + 2x x 2 13, x 2 0 O' y 2 13 y 1 A Q B C' A' Q' O C B' T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 36

37 4.4. Generowanie wybranych rozwiązań sprawnych Wykorzystanie punktu idealnego (1/1) Przykład 4.9 Przyjmujemy metrykę euklidesową jako sposób mierzenia odległości w przestrzeni kryterialnej. Punkt idealny Y * (14, 0) y 2 O' Y * C' K' A' y 1 B' T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 37

38 4.4. Generowanie wybranych rozwiązań sprawnych Metoda interaktywna (1/6) Przykład 4.10 f 1 (, x 2 ) = 2 + 3x 2 max f 2 (, x 2 ) = 2 2x 2 max + 2x , x 2 0 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 38

39 4.4. Generowanie wybranych rozwiązań sprawnych Metoda interaktywna (2/6) Przebieg obliczeń Problem P 01 Problem P 02 A 2 + 3x 2 max + 2x , x 2 0 x 2 B O' 2 2x 2 max + 2x , x 2 0 y 2 y 1 C' A' O C B' T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 39

40 4.4. Generowanie wybranych rozwiązań sprawnych Metoda interaktywna (3/6) Przebieg obliczeń (c.d.) Kryterium Rozwiązanie f 1 f 2 R R Wartość Kryterium Akceptowana Optymistyczna Problem P 11 Problem P x 2 max Warunki ograniczające + 2x x x 2 12, x 2 0 f 1 2 2x 2 max f T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 40

41 4.4. Generowanie wybranych rozwiązań sprawnych Metoda interaktywna (4/6) Przebieg obliczeń (c.d.) Przestrzeń decyzyjna x 2 A E O D B C Przestrzeń kryterialna y 2 O' 7 D' C' E' A' B' y 1 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 41

42 4.4. Generowanie wybranych rozwiązań sprawnych Metoda interaktywna (5/6) Przebieg obliczeń (c.d.) Kryterium Rozwiązanie f 1 f 2 Wartość Kryterium f 1 f 2 R R / 3 Akceptowana Optymistyczna Problem P 21 Problem P x 2 max Warunki ograniczające + 2x x x 2 8, x x 2 max / 3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 42

43 4.4. Generowanie wybranych rozwiązań sprawnych Metoda interaktywna (6/6) Przebieg obliczeń (c.d.) Przestrzeń decyzyjna Przestrzeń kryterialna A E O x 2 D B C y 2 O' 7-8 D' E' C' A' B' y 1 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 43

44 4.5. Programowanie celowe Bilansowanie celów (1/3) Przykład 4.11 Cel 1 Cel 2 Zysk na poziomie przynajmniej 12 jednostek f 1 (, x 2 ) = 2 + 3x 2 12 Wykorzystanie zasobów pracy na poziomie 10 jednostek ϕ 1 (, x 2 ) = x 2 = 10 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 44

45 4.5. Programowanie celowe Bilansowanie celów (2/3) Cel 1 + y 1 y 1 = = Równanie bilansujące dla celu < x1 + 3x2-12 gdy f1( x1, x ) 12 gdy f ( x, x ) 12 0 gdy f1( x1, x2) x1 3x2 gdy f1( x1, x2) < x 2 y 1+ + y 1 = 12 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 45

46 4.5. Programowanie celowe Bilansowanie celów (3/3) Cel 2 + y 2 y 2 = = Równanie bilansujące dla celu 2 x1 + 2x2 10 gdy ϕ 2( x1, x ) 10 gdy ϕ 2 ( x1, x ) < gdy ϕ 2( x1, x2) x1 2x2 gdy ϕ 2( x1, x2) < x 2 y 2+ + y 2 = 10 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 46

47 4.5. Programowanie celowe Hierarchizacja odchyleń (1/2) Zadanie pierwszego poziomu hierarchii y 1 min Cel x 2 y 1+ + y 1 = 12 Cel 2 2x x 2 y 2+ + y 2 = 10 Ograniczenia + 2x , x 2, y 1+, y 1, y 2+, y 2 0 Istnieje rozwiązanie optymalne tego zadania, w którym y 1- = 0 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 47

48 4.5. Programowanie celowe Hierarchizacja odchyleń (2/2) Zadanie drugiego poziomu hierarchii ` y 2+ + y 2 min Cel x 2 y 1+ + y 1 = 12 Cel 2 2x x 2 y 2 + y 2 = 10 y 1 = 0 Ograniczenia Rozwiązanie + 2x , x 2, y 1+, y 1, y 2+, y 2 0 = 2, x 2 = 3, y 1+ = 1, y 1- = 0, y 2+ = 0, y 2- = 0 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 48

49 4.5. Programowanie celowe Ilustracja graficzna w przestrzeni decyzyjnej (1/3) Przypadek 1 Cel 1 y 1 = x 2 12 Cel 2 y 2- < 0 A O x 2 y 2+ > 0 D y 2 = x 2 = 10 B E y C 1- < 0 y 1+ > 0 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 49

50 4.5. Programowanie celowe Ilustracja graficzna w przestrzeni decyzyjnej (2/3) Przypadek 2 Cel 1 y 1 = x 2 12 ryterialne Cel 2 x 2 y 2 = x 2 = Metody wielokr y 2- < 0 A y 2+ > 0 B O C T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 50

51 4.5. Programowanie celowe Ilustracja graficzna w przestrzeni decyzyjnej (3/3) Przypadek 3 Cel 1 Cel 2 A x 2 y 2- < 0 y 2+ > 0 y 1 = x 2 12 y 2 = x 2 = 14 B O C T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 51

52 4.5. Programowanie celowe Współczynniki wagowe (1/5) Przykład 4.12 Odchylenie in plus w realizacji celu 2 jest dwukrotnie bardziej niekorzystne niż odchylenie in minus. Realizacja obu celów jest tak samo ważna dla decydenta. Model matamatyczny Rozwiązanie y y 2+ + y 2 min 2 + 3x 2 y 1+ + y 1 = x 2 y 2+ + y 2 = x , x 2, y 1+, y 1, y 2+, y 2 0 = 3, x 2 = 2, y 1 + = 0, y 1 = 0, y 2 + = 0, y 2 = 0 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 52

53 4.5. Programowanie celowe Współczynniki wagowe (2/5) Przykład 4.13 Cel 1: Cel 2: Cel 3: Zysk na poziomie przynajmniej 14 jednostek. Zatrudnienie na poziomie 10 jednostek. Cel 2a: Cel 2b: Zatrudnienie nie może przekroczyć 10 jednostek. Zatrudnienie nie może być mniejsze od 10 jednostek. Produkcja P 1 na poziomie przynajmniej 4 jednostek. I poziom hierarchii: Cel 1 i cel 2a. Realizacja celu 1 jest dwukrotnie ważniejsza od realizacji celu 2a II poziom hierarchii: Ważność realizacji celu 3 pozostaje do ważności realizacji celu 2b w stosunku 3 : 2 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 53

54 4.5. Programowanie celowe Współczynniki wagowe (3/5) Zadanie 1 (pierwszy poziom hierarchii) 2y 1 + y 2 + min Cel 1: 2 + 3x 2 y 1+ + y 1 = 14 Cel 2: 2x x 2 y + y 2 = 10 Cel 3: x 2 y 3+ + y 3 = 4 Ograniczenia: + 2x , x 2, y 1+, y 1, y 2+, y 2, y 3+, y 3 0 Minimalna wartość funkcji celu dla Zadania 1 wynosi 2 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 54

55 4.5. Programowanie celowe Współczynniki wagowe (4/5) Zadanie 2 (drugi poziom hierarchii) 2y 2 + 3y 3 min Cel 1: 2 + 3x 2 y 1+ + y 1 = 14 Cel 2: 2 + 2x 2 y 2+ + y 2 = 10 Cel 3: x 2 y 3+ + y 3 = 4 Ograniczenia: Rozwiązanie 2y 1 + y 2 = 2 + 2x , x 2, y 1+, y 1, y 2+, y 2, y 3+, y 3 0 = 2, x 2 = 3, y 1 + = 0, y 1 = 1, y 2 + = 0, y 2 = 0, y 3 + = 0, y 3 = 1 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 55

56 4.5. Programowanie celowe Współczynniki wagowe (5/5) Współczynniki kary Pozycja w hierarchii Nazwa celu Zysk Zatrudnienie Zatrudnienie Produkcja P 2 2My 1 + My y 2 Poziom osiągnięcia celu y 3 min 2 + 3x 2 y 1+ + y 1 = x 2 y 2+ + y 2 = 10 x 2 y 3+ + y 3 = 4 + 2x , x 2, y 1+, y 1, y 2+, y 2, y 3+, y 3 0 Współczynnik kary 2 M M 2 3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 56

57 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Sformułowanie problemu Decydent określił pewien skończony zbiór wariantów decyzyjnych A, złożony z n elementów, spośród których chce wybrać wariant najlepiej odpowiadający jego preferencjom. W tym celu określa on również k kryteriów, którymi zamierza się kierować. Metody, pozwalające na rozwiązanie tego typu zadań nazywamy wielokryterialnymi metodami dyskretnymi. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 57

58 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda AHP (1/9) AHP - skala ocen Ocena werbalna Wariant a w porównaniu z wariantem b względem rozpatrywanego kryterium jest preferowany Ocena numeryczna ekstremalnie 9 bardzo silnie do ekstremalnie 8 bardzo silnie 7 silnie do bardzo silnie 6 silnie 5 umiarkowanie do silnie 4 umiarkowanie 3 równoważnie do umiarkowanie 2 równoważnie 1 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 58

59 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda AHP (2/9) Przykład 4.14 Problem decyzyjny Warianty decyzyjne: Kryteria: Decydent: wybór samochodu wariant a (samochód a), wariant b (samochód b), wariant c (samochód c), cena koszty eksploatacji sylwetka marka student (o niewielkich dochodach) T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 59

60 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda AHP (3/9) Porównanie parami wariantów względem kolejnych kryteriów Cena Eksploatacja Sylwetka Marka a b c a b c a b c a b c a 2 a 4 a 2 4 a b b 2 5 b 3 b 5 4 c 6 5 c c c 3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 60

61 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda AHP (4/9) Porównanie parami kryteriów Cena Eksploatacja Sylwetka Marka Cena 6 2 Eksploatacja Sylwetka 9 Marka T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 61

62 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda AHP (5/9) Macierz porównań a Marka a b c b 5 4 c 3 Kryterium: Marka Marka a b c a 1 1/5 1/3 b c 3 ¼ 1 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 62

63 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda AHP (6/9) Ranking częściowy 1. W macierzy porównań parami sumujemy wartości kolejnych kolumn. 2. Normalizujemy otrzymaną macierz względem kolumn, dzieląc każdy element i-tej kolumny przez sumę s i. 3. Znajdujemy średnią dla każdego wiersza. Obliczone wartości traktujemy jako względne wagi porównywanych elementów. Marka a b c a 1 1/5 1/3 b c 3 1/4 1 suma 9,000 1,450 5,334 Marka a b c a 0,111 0,138 0,063 b 0,556 0,690 0,750 c 0,333 0,172 0,188 Marka a b c średnia a 0,111 0,138 0,063 0,104 b 0,556 0,690 0,750 0,665 c 0,333 0,172 0,188 0,231 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 63

64 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda AHP (7/9) Współczynnik zgodności 1. Mnożymy macierz porównań przez obliczone uprzednio wagi. 1 1/ 5 1/ 3 0,104 0, ,665 = 2, / 4 1 0,231 0, Dzielimy elementy otrzymanego wektora przez kolejne wagi. 0,314 3,023 0,104 = 3. Obliczamy średnią dla wartości obliczonych w kroku drugim. λ max 2,109 0,665 0,709 = 3,171 = 3, 068 0,231 3, ,171+ 3,068 = = 3,087 3 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 64

65 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda AHP (8/9) Współczynnik zgodności (c.d.) 4. Obliczamy współczynnik zgodności ze wzoru: λmax c = r n n ( 1) r - indeks losowy n r 0,58 0,90 1,12 1,24 1,32 1,41 1,45 1,49 λmax n 3,087 3 c = = = 0,075 r n ( 1) 0,58( 3 1) c 0,1 wystarczająca zgodność T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 65

66 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda AHP (9/9) Przebieg obliczeń Wyniki obliczeń dla pozostałych kryteriów 0,256 0,041 0,233 0,470 cena eksploatacja sylwetka marka a 0,168 0,334 0,557 0,104 b 0,113 0,568 0,320 0,665 c 0,719 0,098 0,123 0,231 Ranking końcowy w = Ww 0,256 0,168 0,334 0,557 0,104 0,236 0,041 w = 0,113 0,568 0,320 0,665 = 0,439 0,233 0,719 0,098 0,123 0,231 0,325 0,470 (3) (1) (2) T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 66

67 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda Promethee (1/15) Promethee funkcje preferencji δ i ((a, b) = f i (a) f i (b) Typ Funkcja preferencji Definicja Typ 1 Typ 2 Typ 3 P 1 P 1 P q δ δ 0 δ 0 P 1 ( δ) = 1 δ > 0 P 2 0 ( δ) = 1 P 3 ( δ) = 0 p δ 0 δ p 1 δ q δ > q δ 0 0 < δ δ > p p T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 67

68 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda Promethee (2/15) Promethee funkcje preferencji (c.d.) δ i ((a, b) = f i (a,) f i (b) Typ Funkcja preferencji Definicja Typ 4 Typ 5 Typ 6 P 1 1/2 0 q p δ P 1 0 q p δ P 1 0 s δ P 4 P 5 0 δ q ( δ) = 1 q < δ p 1 2 δ > p 0 δ q δ q ( δ) = q < δ p q 1 δ > p 0 2 P ( δ) = δ 6 1 exp( 2s 2 ) p δ 0 δ > 0 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 68

69 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda Promethee (3/15) Przykład 4.15 Wagi kryteriów Oceny w 1 = 0,2, w 2 = 0,1, w 3 = 0,3, w 4 = 0,1, w 5 = 0,1, w 6 = 0,2 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 a b ,5 248 c ,5 249 d , Kryterium o numerze i jest typu i. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 69

70 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda Promethee (4/15) Wartości funkcji preferencji Kryterium f 1 (typ 1) δ 1 (a, b) = f 1 (a) f 1 (b) = 6 4 = 2 δ 1 (b, a) = f 1 (b) f 1 (a) = 4 6 = 2 Typ Funkcja preferencji Definicja Typ 1 P 1 0 δ 0 δ 0 P 1 ( δ) = 1 δ > 0 Ponieważ δ 1 (a, b) > 0 oraz δ 1 (b, a) < 0, więc P 1 [δ 1 (a, b)] = 1 i P 1 [δ 1 (b, a)] = 0 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 70

71 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda Promethee (5/15) Wartości funkcji preferencji (c.d.) Kryterium f 2 (typ 2) Decydent ustalił wartość q = 2 δ 2 (a, b) = f 2 (a) f 2 (b) = = 1 δ 2 (b, a) = f 2 (b) f 2 (a) = = 1 Typ Funkcja preferencji Definicja Typ 2 P 1 0 q δ P 2 0 ( δ) = 1 δ q δ > q Ponieważ δ 2 (a, b) = 1 < 2 oraz δ 2 (b, a) = 1 < 2, więc P 2 [δ 2 (a, b)] = 0 i P 2 [δ 2 (b, a)] = 0 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 71

72 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda Promethee (6/15) Wartości funkcji preferencji (c.d.) Kryterium f 3 (typ 3) Decydent ustalił wartość p = 4 δ 3 (a, b) = f 3 (a) f 3 (b) = = 1 δ 3 (b, a) = f 3 (b) f 3 (a) = = 1 Typ Funkcja preferencji Definicja Typ 3 P 1 P 3 ( δ) = 0 p δ 0 δ p 1 δ 0 0 < δ δ > p p Ponieważ 0 δ 3 (a, b) 4 oraz δ 3 (b, a) < 0, więc P 3 [δ 3 (a, b)] = 1 / 4 i P 3 [δ 3 (b, a)] = 0 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 72

73 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda Promethee (7/15) Wartości funkcji preferencji (c.d.) Kryterium f 4 (typ 4) Decydent ustalił wartość q = 5 i p = 10 δ 4 (a, b) = f 4 (a) f 4 (b) = = 6 δ 4 (b, a) = f 4 (b) f 4 (a) = = 6 Typ Funkcja preferencji Definicja Typ 4 P 1 1/2 0 q p δ P 4 0 ( δ) = δ q q < δ δ > p p Ponieważ δ 4 (a, b) < 0 oraz 5 < δ 4 (b, a) < 10, więc P 4 [δ 4 (a, b)] = 0 i P 4 [δ 4 (b, a)] = 1 / 2 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 73

74 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda Promethee (8/15) Wartości funkcji preferencji (c.d.) Kryterium f 5 (typ 5) Decydent ustalił wartość q = 1 i p = 2 δ 5 (a, b) = f 5 (a) f 5 (b) = 1,25 3,5 = 2,25 δ 5 (b, a) = f 5 (b) f 5 (a) = 3,5 1,25 = 2,25 Typ Funkcja preferencji Definicja Typ 5 P 1 0 δ q P 5 ( δ) = p q 1 0 q p δ δ q q < δ p δ > p Ponieważ δ 5 (a, b) < 0 oraz δ 5 (b, a) > 2, więc P 5 [δ 5 (a, b)] = 0 i P 5 [δ 5 (b, a)] = 1 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 74

75 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda Promethee (9/15) Wartości funkcji preferencji (c.d.) Kryterium f 6 (typ 6) Decydent ustalił wartość s = 1 δ 6 (a, b) = f 6 (a) f 6 (b) = =2 δ 6 (b, a) = f 6 (b) f 6 (a) = = 2 Typ Funkcja preferencji Definicja Typ 6 P 1 0 s δ 0 2 P ( δ) = δ 6 1 exp( 2s 2 ) δ 0 δ > 0 Ponieważ δ 6 (a, b) > 0 oraz δ 6 (b, a) < 0, więc P 6 [δ 6 (a, b)] = 0,865 i P 6 [δ 6 (b, a)] = 0 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 75

76 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda Promethee (10/15) Wartości funkcji preferencji (c.d.) δ 1 a b c d δ 2 a b c d δ 3 a b c d a a a b b b c c c d d d δ 4 a b c d δ 5 a b c d δ 6 a b c d a a 0 2,25 1,25 0,5 a b b 2, ,75 b c c 1, ,75 c d d 0,5 0,75 0,75 0 d T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 76

77 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda Promethee (11/15) Wartości funkcji preferencji (c.d.) P 1 a b c d P 2 a b c d P 3 a b c d a a a 0 0,25 0 0,75 b b b ,5 c c c 0,5 0, d d d P 4 a b c d P 5 a b c d P 6 a b c d a a a 0 0,865 0,393 0 b 0,5 0 0,5 1 b ,75 b c c 0, c 0 0, d d d 0,865 0,999 0,989 0 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 77

78 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda Promethee (12/15) Zagregowane indeksy preferencji Π x, y) = w P ( x, y) j ( j j= 1 k k Π( y, x) = w P ( y, x) j j j= 1 Π(a, b) = 0, , ,3 0,25 + 0, , ,2 0,865 = 0,448 Π(b, a) = 0, , , ,1 0,5 + 0, ,2 0 = 0,15 Π(a, a) = 0 Π(a, b) = 0,448 Π(a, c) = 0,279 Π(a, d) = 0,525 Π(b, a) = 0,15 Π(b, b) = 0 Π(b, c) = 0,05 Π(b, d) = 0,325 Π(c, a) = 0,275 Π(c, b) = 0,304 Π(c, c) = 0 Π(c, d) = 0,4 Π(d, a) = 0,173 Π(d, b) = 0,4 Π(d, c) = 0,398 Π(d, d) = 0 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 78

79 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda Promethee (13/15) Przepływy preferencji Dodatni przepływ preferencji: Φ + 1 ( x) = n 1 y A Π( x,y) Φ + (a) = 0,333 [Π(a, b) + Π(a, c) + Π(a, d)] = = 0,333 (0, , ,525) = 0,417 Φ + (b) = 0,333 [Π(b, a) + Π(b, c) + Π(b, d)] = = 0,333 (0,15 + 0,05 + 0,325) = 0,175 Φ + (c) = 0,333 [Π(c, a) + Π(c, b) + Π(c, d)] = = 0,333 (0, , ,4) = 0,326 Φ + (d) = 0,333 [Π(d, a) + Π(d, b) + Π(d, c)] = = 0,333 (0, ,4 + 0,398) = 0,324 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 79

80 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda Promethee (14/15) Przepływy preferencji (c.d.) Ujemny przepływ preferencji: Φ 1 ( x) = n 1 y A Π( y, x) Φ - (a) = 0,333 [Π(b, a) + Π(c, a) + Π(d, a)] = = 0,333 ( 0,15 + 0, ,173) = 0,199 Φ - (b) = 0,333 [Π(a, b) + Π(c, b) + Π(d, b)] = = 0,333 (0, , ,4) = 0,384 Φ - (c) = 0,333 [Π(a, c) + Π(b, c) + Π(d, c)] = = 0,333 (0, ,05 + 0,398) = 0,242 Φ - (d) = 0,333 [Π(a, d) + Π(b, d) + Π(c, d)] = = 0,333 (0, , ,4) = 0,417 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 80

81 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda Promethee (15/15) Przepływy preferencji (c.d.) Przepływ netto: Φ(x) = Φ + (x) Φ - (x) Φ(a) = Φ + (a) Φ - (a) = 0,417 0,199 = 0,218 (1) Φ(b) = Φ + (b) Φ - (b) = 0,175 0,384 = 0,209 (4) Φ(c) = Φ + (c) Φ - (c) = 0,326 0,242 = 0,084 (2) Φ(d) = Φ + (d) Φ - (d) = 0,324 0,417 = 0,093 (3) T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 81

82 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda Electre I (1/15) Electre I - podstawowe pojęcia Wagi kryterialne Wskaźnik przewyższania ϕ i 1 ( x,y) = 0 Współczynnik zgodności Warunek zgodności gdy f i ( x) f ( y) w przeciwnym przypadku k = i= 1 c( x, y) w i ϕi ( x,y) i Warunek braku niezgodności Próg weta T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 82

83 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda Electre I (2/15) Reguły postępowania w metodzie Electre I 1. Wyznaczenie zbioru zgodności C s. 2. Znalezienie zbiorem niezgodności D V. 3. Określenie relacji przewyższania S( s, v) = C S D V 4. Konstrukcja grafu zależności między wariantami. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 83

84 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda Electre I (3/15) Przykład 4.16 Warianty Kryteria f 1 f 2 f 3 f 4 a a a a a a a a a Progi weta: v 1 = 5, v 2 = 7, v 3 = 6, v 4 = 5, Współczynniki wagowe: w 1 = 0,08, w 2 = 0,33, w 3 = 0,17, w 4 = 0,42. Próg zgodności: s = 0,83. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 84

85 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda Electre I (4/15) Wyznaczeniu zbioru zgodności a 1 3 a 2 5 a 3 10 a 4 4 a 5 2 a 6 9 a 7 4 a 8 1 a 9 5 f 1 (a 1 ) f 1 (a 1 ) ϕ 1 (a 1, a 1 ) = 1 ( ponieważ 3 3 ) f 1 (a 1 ) < f 1 (a 2 ) ϕ 1 (a 1, a 2 ) = 0 ( ponieważ 3 < 5 ).. f 1 (a 9 ) f 1 (a 8 ) ϕ 1 (a 9, a 8 ) = 1 ( ponieważ 5 1 ) f 1 (a 9 ) f 1 (a 9 ) ϕ 1 (a 9, a 9 ) = 1 ( ponieważ 5 5 ) T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 85

86 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda Electre I (5/15) Wyznaczeniu zbioru zgodności (c.d.) Φ 1 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 Φ 2 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a a a a a a a a a a a a a a a a a a T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 86

87 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda Electre I (6/15) Wyznaczeniu zbioru zgodności (c.d.) Φ 3 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 Φ 4 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a a a a a a a a a a a a a a a a a a T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 87

88 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda Electre I (7/15) Obliczenie zbioru zgodności (s=0,83) c(a 1, a 2 ) = w 1 ϕ 1 (a 1, a 2 ) + w 2 ϕ 2 (a 1, a 2 ) + w 3 ϕ 3 (a 1, a 2 ) + w 4 ϕ 4 (a 1, a 2 ) = 0, , , ,42 0 = 0,50 C = w 1 Φ 1 + w 2 Φ 2 + w 3 Φ 3 + w 4 Φ 4 C a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 C a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 1 1,00 0,50 0,92 0,59 0,83 0,92 0,59 0,08 0,92 a a 2 0,67 1,00 0,92 0,67 0,50 0,59 0,67 0,08 1,00 a a 3 0,08 0,08 1,00 0,67 0,50 0,25 0,08 0,08 0,50 a a 4 0,41 0,33 0,50 1,00 0,83 0,50 0,08 0,41 0,33 a a 5 0,17 0,50 0,50 0,17 1,00 0,17 0,17 0,25 0,50 a a 6 0,41 0,41 0,75 0,50 0,83 1,00 0,50 0,08 0,83 a a 7 0,58 0,50 0,92 1,00 0,83 0,92 1,00 0,41 0,92 a a 8 0,92 0,92 0,92 0,59 0,75 0,92 0,59 1,00 0,92 a a 9 0,08 0,08 0,92 0,67 0,50 0,17 0,50 0,08 1,00 a T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 88

89 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda Electre I (8/15) Wyznaczenie zbioru niezgodności C 0,83 = { (a 1, a 3 ), (a 1, a 5 ), (a 1, a 6 ), (a 1, a 9 ), (a 2, a 3 ), (a 2, a 9 ), (a 4, a 5 ), (a 6, a 5 ), (a 6, a 9 ), (a 7, a 3 ), (a 7, a 4 ), (a 7, a 5 ), (a 7, a 6 ), (a 7, a 9 ), (a 8, a 1 ), (a 8, a 2 ), (a 8, a 3 ), (a 8, a 6 ), (a 8, a 9 ), (a 9, a 3 ) } (a 1, a 3 ): f 1 (a 1 ) + v 1 < f 1 (a 3 ) ( < 10 ) niezgodność (a 1, a 5 ): f 1 (a 1 ) + v 1 f 1 (a 5 ) ( ) brak niezgodności.. (a 8, a 9 ): f 1 (a 8 ) + v 1 [f 1 (a 8 )] f 1 (a 9 ) ( ) brak niezgodności (a 9, a 3 ): f 1 (a 9 ) + v 1 [f 1 (a 9 )] f 1 (a 3 ) ( ) brak niezgodności T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 89

90 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda Electre I (9/15) Wyznaczenie zbioru niezgodności (c.d.) f 1 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 f 2 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 1 * * 1 * 0 1 * * 0 a 1 * * 0 * 0 0 * * 0 a 2 * * 0 * * * * * 0 a 2 * * 0 * * * * * 0 a 3 * * * * * * * * * a 3 * * * * * * * * * a 4 * * * * 0 * * * * a 4 * * * * 0 * * * * a 5 * * * * * * * * * a 5 * * * * * * * * * a 6 * * * * 0 * * * 0 a 6 * * * * 0 * * * 0 a 7 * * * * 0 a 7 * * * * 0 a * * 1 * * 0 a * * 0 * * 0 a 9 * * 0 * * * * * * a 9 * * 0 * * * * * * T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 90

91 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda Electre I (10/15) Wyznaczenie zbioru niezgodności (c.d.) f 3 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 f 4 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 1 * * 0 * 0 0 * * 0 a 1 * * 0 * 0 0 * * 0 a 2 * * 0 * * * * * 0 a 2 * * 0 * * * * * 0 a 3 * * * * * * * * * a 3 * * * * * * * * * a 4 * * * * 0 * * * * a 4 * * * * 0 * * * * a 5 * * * * * * * * * a 5 * * * * * * * * * a 6 * * * * 1 * * * 0 a 6 * * * * 0 * * * 0 a 7 * * * * 0 a 7 * * * * 0 a * * 0 * * 0 a * * 0 * * 0 a 9 * * 0 * * * * * * a 9 * * 0 * * * * * * T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 91

92 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda Electre I (11/15) Zbiór niezgodności D v = { (a 1, a 3 ), (a 1, a 6 ), (a 6, a 5 ), (a 7, a 3 ), (a 8, a 3 ), (a 8, a 6 ) } Zbiór D v Zbiór D v a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a a a a a a a a a a a a a a a a a a T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 92

93 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda Electre I (12/15) Wyznaczenie relacji przewyższania Zbiór zgodności C Dopełnienie zbioru niezgodności C a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a a a a a a a a a Zbiór D v a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a a a a a a a a a T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 93

94 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda Electre I (13/15) Wyznaczenie relacji przewyższania S a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a a a a a a a a a S ( s, v) = C s D v = {(a 1, a 5 ), (a 1, a 9 ), (a 2, a 3 ), (a 2, a 9 ), (a 4, a 5 ), (a 6, a 9 ), (a 7, a 4 ), (a 7, a 5 ), (a 7, a 6 ), (a 7, a 9 ), (a 8, a 1 ), (a 8, a 2 ), (a 8, a 9 ), (a 9, a 3 )} T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 94

95 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda Electre I (14/15) Grafy zależności między wariantami decyzyjnymi Od wariantu najlepszego do najgorszego S a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a a a a a a a a a T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 95

96 4.6. Wielokryterialne metody dyskretne Metoda Electre I (15/15) Grafy zależności między wariantami decyzyjnymi (c.d.) Od wariantu najgorszego do najlepszego S a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a a a a a a a a a T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 96

97 4.7. Przykłady wykorzystania metod wielokryterialnych Organizacja kampanii reklamowej (1/7) Przykład 4.17 Tygodniki: A, B, C, D, E. Zasięg i częstotliwość czytelnictwa czasopisma. Efekt prestiżu (skala od 1 do 10). cena jednego ogłoszenia prestiż jednostkowy zasięg Tygodnik jednostkowa częstotliwość czytelnictwa A Zasięg nie mniejszy niż 70% grupy docelowej. Częstotliwość nie mniejsza niż 2 2 B C D E Cele: I - minimalizacja kosztów (cel priorytetowy) II - maksymalizacja efektu prestiżu T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 97

98 4.7. Przykłady wykorzystania metod wielokryterialnych Organizacja kampanii reklamowej (2/7) Model matematyczny Cel(e) Celem jest określenie najlepszej kompozycji mediów. Zadanie rozpatrujemy jako dwukryterialny problem hierarchiczny, w którym: I. Minimalizujemy koszt kampanii II. Zmienne decyzyjne Maksymalizujemy całkowity prestiż x A liczba reklam w trakcie kampanii w tygodniku A x B liczba reklam w trakcie kampanii w tygodniku B x C liczba reklam w trakcie kampanii w tygodniku C x D liczba reklam w trakcie kampanii w tygodniku D x E liczba reklam w trakcie kampanii w tygodniku E T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 98

99 4.7. Przykłady wykorzystania metod wielokryterialnych Organizacja kampanii reklamowej (3/7) Model matematyczny (c.d.) Funkcje kryterialne Funkcja kosztu: 30x A + 28x B + 23x C + 19x D + 18x E min Funkcja efektu prestiżu : 2x A + x B + 4x C + 5x D + 3x E max Ograniczenia: całkowity zasięg: 7.5x A + 7x B x C x D + 4.5x E 70 całkowita częstotliwość : 0.16x A x B x C + 0.1x D + 0.1x E 2 Ograniczenia na zmienne decyzyjne 0 x A 4, 0 x B 4, 0 x C 4, 0 x D 4, 0 x E 4 x A, x B, x C, x D, x E całkowite T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 99

100 4.7. Przykłady wykorzystania metod wielokryterialnych Organizacja kampanii reklamowej (4/7) Ścisła hierarchia kryteriów Funkcja celu pierwszego poziomu hierarchii Ograniczenia: 30x A + 28x B + 23x C + 19x D + 18x E min 7.5x A + 7x B x C x D + 4.5x E x A x B x C + 0.1x D + 0.1x E 2 0 x A 4, 0 x B 4, 0 x C 4, 0 x D 4, 0 x E 4 x A, x B, x C, x D, x E całkowite Rozwiązania optymalne: 1. x A = 3 x B = 4 x C = 1 x D = 4 x E = 4 2. x A = 4 x B = 4 x C = 3 x D = 0 x E = 4 Optymalna wartość funkcji kosztu wynosi 373. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 100

101 4.7. Przykłady wykorzystania metod wielokryterialnych Organizacja kampanii reklamowej (5/7) Ścisła hierarchia kryteriów (c.d.) Funkcja celu drugiego poziomu hierarchii 2x A + x B + 4x C + 5x D + 3x E max Zbiór rozwiązań dopuszczalnych Rozwiązanie optymalne 1. x A = 3 x B = 4 x C = 1 x D = 4 x E = 4 2. x A = 4 x B = 4 x C = 3 x D = 0 x E = 4 Dla pierwszego z otrzymanych rozwiązań wartość funkcji prestiżu jest równa 46, a drugiego wynosi 36. Należy wybrać rozwiązanie pierwsze. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 101

102 4.7. Przykłady wykorzystania metod wielokryterialnych Organizacja kampanii reklamowej (6/7) Quasi hierarchia kryteriów Pierwszy poziom hierarchii Taki sam, jak poprzednio. Drugi poziom hierarchii Decydent decyduje się na zwiększenie kwoty przeznaczonej na reklamę o 10%, czyli maksymalnym akceptowalnym kosztem jest wartość 410. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 102

103 4.7. Przykłady wykorzystania metod wielokryterialnych Organizacja kampanii reklamowej (7/7) Quasi hierarchia kryteriów (c.d.) Funkcja celu drugiego poziomu hierarchii f(x A, x B, x C, x D, x E ) = 2x A + x B + 4x C + 5x D + 3x E min Warunki ogranicząjce 7.5x A + 7x B x C x D + 4.5x E x A x B x C + 0.1x D + 0.1x E 2 30x A + 28x B + 23x C + 19x D + 18x E x A 4, 0 x B 4, 0 x C 4, 0 x D 4, 0 x E 4 x A, x B, x C, x D, x E całkowite Rozwiązanie optymalne Efekt prestiżu wynosi teraz 53 (wzrost o 16,7%) Koszt zwiększył się do 388 (wzrost o 4%) T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 103

104 4.7. Przykłady wykorzystania metod wielokryterialnych Określenie strategii długookresowej firmy (1/7) Przykład 4.18 Cel 1: osiągnięcie zysku długookresowego równego przynajmniej 100 mln zł; Cel 2: utrzymanie zatrudnienia na poziomie osób, Cel 3: utrzymanie nakładów inwestycyjnych na poziomie nie wyższym niż 40 mln zł Cel zysk długookresowy poziom zatrudnienia nakłady i inwestycje zysk jednostkowy P P P założony poziom osiągnięcia celu 100 (mln zł) = 30 (setki zatrudnionych) 40 (mln zł) współczynniki kary 6(-) 2(+), 5(-) 4(+) Należy znaleźć taki poziom produkcji, który najlepiej realizuje przyjęte cele z uwzględnieniem. zadanych współczynników kar. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 104

105 4.7. Przykłady wykorzystania metod wielokryterialnych Określenie strategii długookresowej firmy (2/7) Model matematyczny Zmienne decyzyjne planowany rozmiar produkcji wyrobu P 1 x 2 planowany rozmiar produkcji wyrobu P 2 x 3 planowany rozmiar produkcji wyrobu P 3 Zmienne bilansujące cele y 1+ = wielkość, o jaką osiągnięty zysk przekracza wartość 100 mln zł y 1 = wielkość, o jaką osiągnięty zysk jest mniejszy od 100 mln zł y 2+ = wielkość, o jaką zatrudnienie przekracza 30 setek osób, y 2 = wielkość, o jaką zatrudnienie jest mniejsze od 30 setek osób, y 3+ = wielkość, o jaką nakłady inwestycyjne przekraczają 40 mln zł, y 3 = wielkość, o jaką nakłady inwestycyjne są mniejsze od 40 mln zł, T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 105

106 4.7. Przykłady wykorzystania metod wielokryterialnych Określenie strategii długookresowej firmy (3/7) Zadanie zastępcze Funkcja celu zadania zastępczego: Minimalizacja ważonej sumy niekorzystnych odchyleń od ustalonych poziomów realizacji celów. 6y 1 + 2y y 2 + 4y 3+ min Warunki ograniczające: Równanie bilansujące dla celu pierwszego: x x 3 y 1+ + y 1 = 100 Równanie bilansujące dla celu drugiego: 4 + 2x 2 + 3x 3 y 2+ + y 2 = 30 Równanie bilansujące dla celu trzeciego: 5 + 7x 2 + 8x 3 y 3+ + y 3 = 40 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 106

107 4.7. Przykłady wykorzystania metod wielokryterialnych Określenie strategii długookresowej firmy (4/7) Rozwiązanie optymalne = 10 x 2 = 0 x 3 = 0 y 1+ = 0 y 1 = 0 y 2+ = 10 y 2 =0 y 3+ = 10 y 3 = 0 Minimalna wartość funkcji mierzącej odchylenie od zadanych pomiarów celów jest równa 60. Interpretacja rozwiązania Nie jest możliwe jednoczesne zrealizowanie wszystkich trzech celów. Poziom zatrudnienia przekroczy docelową wartość 1000 pracowników, a nakłady inwestycyjne przekroczą docelowe wartości 10 mln zł. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 107

108 4.7. Przykłady wykorzystania metod wielokryterialnych Określenie strategii długookresowej firmy (5/7) Hierarchizacja celów Pierwszy poziom hierarchii: Cel 2a: Cel 3: nieprzekroczenie aktualnego poziomu zatrudnienia (3000 osób) utrzymanie nakładów inwestycyjnych na poziomie nie większym niż 30 mln zł Drugi poziom hierarchii: Cel 1: osiągnięcie zysku długookresowego na poziomie 100 mln zł, Cel 2b: Cel 2b: utrzymanie dotychczasowego poziomu zatrudnienia i nie obniżanie go. T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 108

109 4.7. Przykłady wykorzystania metod wielokryterialnych Określenie strategii długookresowej firmy (6/7) Hierarchizacja celów (c.d.) Zadanie pierwszego poziomu hierarchii 2y y 3+ min Cel x x 3 y 1+ + y 1 = 100 Cel x 2 + 3x 3 y 2+ + y 2 = 30 Cel x 2 + 8x 3 y 3+ + y 3 = 40 Zadanie drugiego poziomu hierarchii, x 2, x 3, y 1+, y 1, y 2+, y 2, y 3+, y 3 0 6y 1 + 5y 2 min x x 3 y 1+ + y 1 = x 2 + 3x 3 y 2+ + y 2 = x 2 + 8x 3 y 3+ + y 3 = 40 2y y 2 = 30, x 2, x 3, y 1+, y 1, y 2+, y 2, y 3+, y 3 0 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 109

110 4.7. Przykłady wykorzystania metod wielokryterialnych Określenie strategii długookresowej firmy (7/7) Hierarchizacja celów (c.d.) Rozwiązanie optymalne = 7.06 x 2 = 0 x 3 = 0.59 y + 1+ = 0 y 1 = 21,76 y 2+ = 0 y 2 = 0 y 3+ = 0 y 3 = 0 T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 110

111 Pora na relaks T.Trzaskalik: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem 111